復(fù)變函數(shù) 鐘玉泉第三版 第二章第二節(jié) ppt

1、 2.2 初等函數(shù)初等函數(shù)2.2.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)2.2.0 整冪函數(shù)整冪函數(shù)2.2.3 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)2.2.4 小結(jié)與思考小結(jié)與思考2.2.2 三角函數(shù)三角函數(shù)22.2.0 (整整)冪函數(shù)冪函數(shù)Def：稱：稱 ()nnzzz zz n 個(gè)個(gè)為為正正整整數(shù)數(shù)為冪函數(shù)為冪函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì) (1). z=x R時(shí)時(shí),zn=xn (2). 令令z=rei =r(cos +isin ), zn= rnein =rn(cos(n ) +isin(n ) ) 1(3) ( ) nnnzA Cznz 3這里的這里的ex是是實(shí)指數(shù)函數(shù)實(shí)指數(shù)函數(shù)2.2.1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(cossin )zx iyxee

2、eyiy exp(cossin )xzeyiy也也可可表表示示為為 1.指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義:z將將此此函函數(shù)數(shù)稱稱為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù) 的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù). .定義定義2.4 對(duì)于任何復(fù)數(shù)對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定規(guī)定 , . (cossin )zxeeyiy 注注意意沒(méi)沒(méi)有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)代代表表實(shí)的正實(shí)的正余弦函余弦函數(shù)數(shù)42 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)z(2)|0, arg() e0 Arg()2,Zzxzzeeeyeykk z(3) e) =;zzee 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析, ,且且( (1) Im( )0, ( )xzzxRf

3、 ze 當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí)復(fù)指數(shù)函復(fù)指數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)與實(shí)指數(shù)函數(shù)保數(shù)函數(shù)保持一致持一致.(4). 加法定理加法定理1212()zzzzeee (5) ez是以是以2 i為基本周期的周期函數(shù)為基本周期的周期函數(shù)6lim,zzee ( )( )極極限限不不存存在在 即即無(wú)無(wú)意意義義5(1) 證明加法定理證明加法定理1212()zzzzeee 證證 , , 222111iyxziyxz 設(shè)設(shè)12zzee左左端端121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(21212

4、1yyiyyexx 12(). zze 右右端端幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 加法定理不能利用實(shí)數(shù)中的加法定理不能利用實(shí)數(shù)中的同底數(shù)冪的乘法法則予以證同底數(shù)冪的乘法法則予以證明明6因?yàn)椋寒?dāng)因?yàn)椋寒?dāng)z沿實(shí)軸趨于沿實(shí)軸趨于+時(shí)時(shí)ez; 當(dāng)當(dāng)z沿實(shí)軸趨于沿實(shí)軸趨于-時(shí)時(shí), ez0.6limzze ( () )極極 限限不不 存存 在在 的的 說(shuō)說(shuō) 明明22 .zk izk izeeee 首首先先5ze( () )的的 周周 期期 性性 的的 說(shuō)說(shuō) 明明 ,: zz wzwezee 其其次次是是 的的一一個(gè)個(gè)周周期期, ,則則對(duì)對(duì)0,0: 11w a ibwa ibzeee 特特別別取取1,rg122aweb

5、aikki 2 i是是ez的周期的周期2 i是是ez的基的基本周期本周期7例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因?yàn)橐驗(yàn)?.cos)Re( , yeeeexzxz 實(shí)部實(shí)部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 8例例2 解解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:).20()5(;

6、)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的輻角的輻角因?yàn)橐驗(yàn)閥iyeeexiyxz )(2Arg為整數(shù)為整數(shù)kkyez .,(- arg 內(nèi)的一個(gè)輻角內(nèi)的一個(gè)輻角為區(qū)間為區(qū)間其輻角主值其輻角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie9 ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22s

7、in2sin2 i 2cos2sin2sin2 i10 2sin2cos2sin2 i ,20 因?yàn)橐驗(yàn)? 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是復(fù)數(shù)上式就是復(fù)數(shù) iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )(arg iiee ,2 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )(arg iiee .22 11例例3 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 122.2.3 三角函數(shù)三角函數(shù)1. 三角正弦與余弦函數(shù)三角正弦與余弦函數(shù),

8、sincos yiyeiy 因?yàn)橐驗(yàn)?sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況數(shù)取復(fù)值的情況.13 cos,2izizeez 余余弦弦函函數(shù)數(shù)為為: : s2in.izizeeiz 正正弦弦函函數(shù)數(shù)為為定義定義2.5 對(duì)任意的復(fù)數(shù)對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,規(guī)定規(guī)定z的的 性質(zhì)性質(zhì): (1) sinsin ,coscos.zxRzxzx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí): : 是是實(shí)實(shí)三三角角函函數(shù)數(shù)(2) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)

9、和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz 14(3) sin , cos.zz是是奇奇函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù).cos)cos(,sin)sin(zzzz 遵循通常的三角恒等式，如遵循通常的三角恒等式，如 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz 12121212()()122n=.2sii zzi zzizizizizeee eeezizi112211222222.izizizizizizizizeeeeeeeeii1212sincoscossi

10、nzzzz15 , 時(shí)時(shí)為純虛數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)當(dāng)yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix16例例9 9 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因?yàn)橐驗(yàn)?5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因?yàn)橛忠驗(yàn)?5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)(

11、 的周期是的周期是故故zzf.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (4)sincos2.zz 和和都都是是以以為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)17 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( (注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的) )sinz的零點(diǎn)的零點(diǎn)(i.e. sinz=0的根的根)為為z=n cosz的零點(diǎn)的零點(diǎn)(i.e. cosz=0的根的根)為為z=(n+1/2) n=0, 1, 2, n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ (5)(6)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無(wú)界函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無(wú)界函數(shù)182.

12、2. 其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義,cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù) . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我們可以討論它們的我們可以討論它們的類似類似和和與與zz1.都是相應(yīng)實(shí)函數(shù)的推廣都是相應(yīng)實(shí)函數(shù)的推廣2.定義域：定義域：tanz,secz的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閦 (k+1/2) cotz,cscz的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閦 k 3.它們都在自己的定義域內(nèi)解析。它們都在自己的定義域內(nèi)解析。 (tanz) =s

13、ec2z, (cotz) =-csc2z (secz) =tanzsecz (cscz) =-cotzcscz4. tanz cotz的周期是的周期是 secz cscz的周期是的周期是2 5 secz是偶函數(shù)是偶函數(shù) tanz cotz, cscz是奇函數(shù)是奇函數(shù)19例例1010 . tan 的實(shí)部與虛部的實(shí)部與虛部確定確定z解解zzzcossintan , iyxz 設(shè)設(shè))cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos2

14、2sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(tanz )Im(tanz 20例例1111解解 , iyxz 設(shè)設(shè) . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因?yàn)橐驗(yàn)? 0sin x所以所以, kx代入代入將將 kx1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即21例例1212 . )3tan( )1(

15、cos 的值的值和和求求ii 解解2)1cos()1()1(iiiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 221sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3si

16、n1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222 i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i231. 雙曲函數(shù)的定義雙曲函數(shù)的定義 cosh,2zzeez 雙雙曲曲余余弦弦sinh,2zzeez 雙雙曲曲正正弦弦sh tanh.chzzzzzeezzee 雙雙曲曲正正切切2.2.4 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)ch coth.shzzzzzeezzee 雙雙曲曲余余切切1sechchzz 雙雙曲曲余余割割 1 coth.chzz 雙雙曲曲正正割割2. 雙曲函數(shù)的性質(zhì)雙曲函數(shù)的性質(zhì). , 的的定定義義完完全全一一致致函函數(shù)數(shù)它它與與高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中

17、中的的雙雙曲曲時(shí)時(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)xz24.cosh , sinh ,是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)容易證明容易證明zz它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為,cosh)(sinhzz 并有如下公式并有如下公式:coshcos ,ziz .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它們都是以它們都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù),i 2.sin)(coshzz sinhsin .ziiz 參見(jiàn)課本參見(jiàn)課本P87-8816-19題題25例例1313解解. 1tanh z解方程解方程zzzzeeeez tanh,1122 z

18、zee,1122 zzee , ,2ivuez 并令并令兩邊平方兩邊平方, 0 )1()1(2222 uvuvu或或)Re( 2zeu 因?yàn)橐驗(yàn)?)Im(2cos)Re(2zez 0)Im(2cos0 zu,24)Im( kz. 24)Im( 1tanh zkzz的所有復(fù)數(shù)的所有復(fù)數(shù)的解是的解是故故 ., 2, 1, 0 k其中其中262.2.5 小結(jié)與思考小結(jié)與思考 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性質(zhì)本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性又有一些與后者不同的特性. 如如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性指數(shù)函數(shù)具有周期性) 2 (i周期為周期為2. 三角正弦與余弦不再具有有界性三角正弦與余弦不再具有有界性3. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)27思考題思考題 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在