選修2-3回歸分析的基本思想及其初步應用(精華)

1、3.1回歸分析的基回歸分析的基本思想及其初步本思想及其初步應用應用高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-3問題問題1：正方形的面積：正方形的面積y與正方形的邊長與正方形的邊長x之間之間 的的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是是y = x2確定性關(guān)系確定性關(guān)系問題問題2：某水田水稻產(chǎn)量：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量與施肥量x之間是否之間是否 有一個確定性的關(guān)系？有一個確定性的關(guān)系？例如：在例如：在 7 塊并排、形狀大小相同的試驗田上塊并排、形狀大小相同的試驗田上 進行施肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得進行施肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得 到如下所示的一組數(shù)據(jù)：到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35

2、 40 45水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455復習復習 變量之間的兩種關(guān)系變量之間的兩種關(guān)系10 20 30 40 50500450400350300施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455xy施化肥量施化肥量水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系。1、定義：、定義： 1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系

3、；注注對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫分析的方法叫回歸分析回歸分析。2）：）： 現(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。探索：水稻產(chǎn)量探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量與施肥量x之間大致有何規(guī)之間大致有何規(guī)律？律？10 20 30 40 50500450400350300發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。探索探索2：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直：在這些點附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表線最能代表x與與y之間的關(guān)系呢？之間的關(guān)系呢？施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35

4、 40 45水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455xy散點圖散點圖施化肥量施化肥量水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量探究探究對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)1122( ,),(,),.,(,),nnx yxyxy我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計公式分別為：我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計公式分別為：1122211()(),.(2)()nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxy,.(1)aybx1111,.nniiiixx yynn其中( , )x y稱為樣本點的中心。稱為樣本點的中心。1、所求直線方程叫做、所

5、求直線方程叫做回歸直線方程回歸直線方程； 相應的直線叫做相應的直線叫做回歸直線回歸直線。2、對兩個變量進行的線性分析叫做、對兩個變量進行的線性分析叫做線性回歸分析線性回歸分析。1122211()(),()nniiiiiinniiiixx yyxnxybxxxnxay bxy 1、回歸直線方程、回歸直線方程ybxa2、求回歸直線方程的步驟：、求回歸直線方程的步驟：1111(1),nniiiixxyynn求211(2),.nniiiiixx y求（3）代入公式）代入公式1122211()(),(),.(1)nniiiiiinniiiixx yyxnxybxxxnxa y bxy （4）寫出直線方程

6、為）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。即為所求的回歸直線方程。例例1 1、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù)、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù): :x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379101010221110,0,110,3 01 0.3 ,1iiiiiiixyyyxx求兩變量間的回歸方程求兩變量間的回歸方程. .解：列表：解：列表：i12345678910 xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi91415125515121491011022110110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb.yx所求回歸直

7、線方程為所求回歸直線方程為?,?kg316.60cm172其原因是什么其原因是什么不是不是如果如果嗎嗎是是女大學生的體重一定女大學生的體重一定的的身高身高探究探究,17260.31660.316.cmkgkg顯然 身高的女大學生的體重不一定是但一般可以認為她的體重接近于21 . 1圖 假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在圖中所有的點將完全落在回歸直線回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上?；貧w直線上。這些點散布在回歸直線附

8、近。這些點散布在回歸直線附近。 那么，數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異 是隨機誤差的效應，稱是隨機誤差的效應，稱 為為殘差殘差。)iiyy(iiieyy=表表3-2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。編號編號12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 （一）（一）我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘

9、我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為這樣作出的圖形稱為殘差圖殘差圖。3 3、殘差分析：殘差分析：=1,2,3iiieyyin=，殘差圖的制作及作用殘差圖的制作及作用1 1、坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；、坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2 2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫、若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；軸為心的帶形區(qū)域；3 3、對于遠離橫軸的點，要特別注意。、對于遠離橫軸的點，要特別注

10、意。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題表表3-2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。編號編號12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 （一）（一）我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體

11、重估計值等，這樣作出的圖形稱為這樣作出的圖形稱為殘差圖殘差圖。3 3、殘差分析：殘差分析：=1,2,3iiieyyin=，（二）（二）8221821()1()iiiiiyyRyy 例例2 在一段時間內(nèi)，某中商品的價格在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量元和需求量Y件之件之間的一組數(shù)據(jù)為：間的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量Y1210753列出殘差表為列出殘差表為521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，擬

12、合效果較好。因而，擬合效果較好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4例例3 關(guān)于關(guān)于x與與y有如下數(shù)據(jù)：有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個線性模型：有如下的兩個線性模型：（1） ；（；（2） 試比較哪一個擬合效果更好。試比較哪一個擬合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們）畫

13、出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常

14、，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。 例例3 3、煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少、煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉鋼水含碳量和冶煉時間的關(guān)系。如果已測得爐料熔化完畢時，鋼水的含碳時間的關(guān)系。如果已測得爐料熔化完畢時，鋼水的含碳量量x與冶煉時間與冶煉時間y（從爐料熔化完畢到出剛的時間）的一（從爐料熔化完畢到出剛的時間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：列數(shù)據(jù)，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121y（min）10020

15、0210185155135170205235125（1 1）y y與與x x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2 2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3 3）預測當鋼水含碳量為）預測當鋼水含碳量為160160個個0.01%0.01%時，應冶煉多少分時，應冶煉多少分鐘？鐘？如何描述兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱？如何描述兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱？ 在在數(shù)學數(shù)學3中，我們學習了用相關(guān)系數(shù)中，我們學習了用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量來衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法。之間線性相關(guān)關(guān)系的方法。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r12211()().()()

16、niiinniiiixxyyxxyy0.751, 1, 0.75, 0 25,0.25,rrr 當， 表明兩個變量正相關(guān)很強；當表明兩個變量負相關(guān)很強；當.表明兩個變量相關(guān)性較弱。正相關(guān)；負相關(guān)。 通常，r0.75或r-0.75認為兩個變量有很強的相關(guān)性相關(guān)關(guān)系的測度相關(guān)關(guān)系的測度（相關(guān)系數(shù)取值及其意義）(1)(1)列出下表列出下表, ,并計算并計算i12345678910 xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi1040036000399003274522785180902550039155479401512510101022111159.8,172,265448,312350,287