2018-2019學(xué)年北師大版選修2-2-4.1.1定積分背景——面積和路程問(wèn)題-課件(25張)

1、第四章 定積分1 定積分的概念1.1 定積分的背景面積和路程問(wèn)題 我們學(xué)過(guò)如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形和梯形我們學(xué)過(guò)如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形和梯形等平面圖形的面積；這些圖形都是由直線圍成的。等平面圖形的面積；這些圖形都是由直線圍成的。那么如何求由曲線圍成的平面圖形的面積呢？那么如何求由曲線圍成的平面圖形的面積呢？ 本章我們要學(xué)習(xí)的定積分，就可以幫助我們解本章我們要學(xué)習(xí)的定積分，就可以幫助我們解決這些問(wèn)題。當(dāng)然定積分還可以解決變速度的路程決這些問(wèn)題。當(dāng)然定積分還可以解決變速度的路程問(wèn)題，變力作功問(wèn)題。它也是我們解決實(shí)際問(wèn)題的問(wèn)題，變力作功問(wèn)題。它也是我們解決實(shí)際問(wèn)題的有力的工具。有力的工具。

2、 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)定積分的背景這節(jié)課我們學(xué)習(xí)定積分的背景-面積和路程問(wèn)題面積和路程問(wèn)題引入引入xoy 圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，這樣圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，這樣的平面圖形稱為的平面圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形，)(xfy ab曲邊梯形曲邊梯形定義定義： 我們把由直線我們把由直線 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲和曲線線 y = f (x) 所圍成的圖形叫作曲邊梯形所圍成的圖形叫作曲邊梯形。那么如何求那么如何求曲邊梯形曲邊梯形面積呢？面積呢？探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1：定積分的幾何背景：定積分的幾何背景 曲邊圖形曲邊圖形的面積問(wèn)題的面積問(wèn)題 我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家我國(guó)古

3、代的數(shù)學(xué)家祖沖之祖沖之，從圓內(nèi)接正六邊形入手，讓邊，從圓內(nèi)接正六邊形入手，讓邊數(shù)成倍增加，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積。數(shù)成倍增加，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積。 古希臘的數(shù)學(xué)家，從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)古希臘的數(shù)學(xué)家，從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方面去逼近圓面積。入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個(gè)方面去逼近圓面積。 我們用正多邊形逼近圓的方法我們用正多邊形逼近圓的方法 ( (即即“以直代曲以直代曲”) ) 求出了求出了圓的面積，能否也能用直邊形圓的面積，能否也能用直邊形( (如矩形如矩形) )來(lái)逼近曲邊梯形的方法來(lái)逼近曲邊梯形

4、的方法求陰影部分面積呢？求陰影部分面積呢？圓也是由曲線圍成的平面圖形，它的面積怎樣求昵？圓也是由曲線圍成的平面圖形，它的面積怎樣求昵？ y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 將區(qū)間將區(qū)間a，b平均分成許多小區(qū)間，把曲邊梯形拆平均分成許多小區(qū)間，把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形。對(duì)每個(gè)小曲邊梯形分成一些小曲邊梯形。對(duì)每個(gè)小曲邊

5、梯形“以直代曲以直代曲”，即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊小曲邊梯形的面積，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值。梯形面積的近似值。 可以想象，區(qū)間拆分的越細(xì)，近似程度就越好，亦可以想象，區(qū)間拆分的越細(xì)，近似程度就越好，亦即：用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近思想來(lái)求曲邊梯形即：用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近思想來(lái)求曲邊梯形的面積?？赏ㄟ^(guò)以下幾個(gè)步驟具體實(shí)施：的面積。可通過(guò)以下幾個(gè)步驟具體實(shí)施： （1）分割；）分割； （2）近似代替；）近似代替； （3）逼近。）逼近。問(wèn)題問(wèn)題1 1 圖圖中陰影

6、部分是由拋物線中陰影部分是由拋物線 ，直線，直線以及以及 x x 軸所圍成的平面圖形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形軸所圍成的平面圖形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形的面積的面積 S S . . 2xy 1xxoy12xy 2xy 1x2xy 2xy 1x2xy xoy1分析分析 首先，將首先，將區(qū)間區(qū)間00，1515等分，如圖所示等分，如圖所示. .1S 圖圖 (1) (1) 中，所有小矩形的面積之和（記為中，所有小矩形的面積之和（記為S S1) )顯顯然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱S S1為為S S的過(guò)剩的過(guò)剩估計(jì)值，估計(jì)值，有有44. 02 . 0)18 . 06 . 04

7、 . 02 . 0(222221S（1 1）xoy1 圖圖 (2) (2) 中，所有陰影小矩形的面積之和中，所有陰影小矩形的面積之和( (記為記為s s1 1) )顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱s s1 1為為S S的不足的不足估計(jì)值，估計(jì)值，有有1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221s. .（2 2）xoy1思考：思考：我們可以用我們可以用S S1 1或或s s1 1近似表示近似表示S S，但是都存在，但是都存在誤差，誤差有多大呢？誤差，誤差有多大呢？提示：提示：二者之差為二者之差為S S1 1- -s s1

8、1=0.2=0.2如圖如圖(3)(3)中陰影所示，無(wú)論用中陰影所示，無(wú)論用S S1 1還是用還是用s s1 1來(lái)表示曲邊來(lái)表示曲邊梯形的面積，誤差都不會(huì)超過(guò)梯形的面積，誤差都不會(huì)超過(guò)0.2.0.2.（3 3）xoy1(4) 為了減小誤差，我們將區(qū)間為了減小誤差，我們將區(qū)間0，1 10等分，則等分，則所求面積的過(guò)剩估計(jì)值為所求面積的過(guò)剩估計(jì)值為385. 01 . 0)12 . 01 . 0(2222S285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s不足估計(jì)值為不足估計(jì)值為 二者的差值為二者的差值為S S2 2-s-s2 2=0.1=0.1，此時(shí)，無(wú)論用，此時(shí)，無(wú)論用S S2

9、 2還是用還是用s s2 2來(lái)表示來(lái)表示S S，誤差都不超過(guò)，誤差都不超過(guò)0.1.0.1.結(jié)論：結(jié)論：區(qū)間分得越細(xì)，誤差越區(qū)間分得越細(xì)，誤差越小小. .當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長(zhǎng)度當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于趨于0 0時(shí)，過(guò)剩估計(jì)值和不足估時(shí)，過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都會(huì)趨于曲邊梯形的面積計(jì)值都會(huì)趨于曲邊梯形的面積. . . . 有理由相信，分有理由相信，分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，即分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，即分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲面積和的極限即為曲邊形的面積。邊形的面積。 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加 作為整個(gè)曲邊形面積作為整個(gè)曲邊形面積S S的近似值。的近似值。 （4 4）

10、取極限取極限 n oxy抽象概括抽象概括 我我們通過(guò)們通過(guò)“以直以直代曲代曲”和和“逼近思想逼近思想”方方法解決了求法解決了求曲邊梯形的面曲邊梯形的面積的積的問(wèn)題問(wèn)題，它們的，它們的步驟：步驟：分割區(qū)間分割區(qū)間過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩估計(jì)值不足估計(jì)值不足估計(jì)值逼近逼近所求面積所求面積所分區(qū)間長(zhǎng)度所分區(qū)間長(zhǎng)度趨于趨于 0 估計(jì)值趨于所求值估計(jì)值趨于所求值 3xy xyo1動(dòng)手做一做動(dòng)手做一做 求曲線求曲線y= y= 與直線與直線x=1,y=0 x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積的所圍成的平面圖形的面積的估計(jì)值，并寫出估計(jì)誤差估計(jì)值，并寫出估計(jì)誤差. .（把區(qū)間（把區(qū)間00，1 51 5等分來(lái)估計(jì)）等分來(lái)

11、估計(jì)）3x解析：解析： 把把區(qū)間區(qū)間 00，11 5 5等分，以每一個(gè)小區(qū)間等分，以每一個(gè)小區(qū)間左右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足左右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足估計(jì)值估計(jì)值 和過(guò)剩估計(jì)值和過(guò)剩估計(jì)值 ，如如下：下：1s1S1s36. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 . 0(16. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(33333333331S1S1s估計(jì)誤差不會(huì)超過(guò)估計(jì)誤差不會(huì)超過(guò) - =0.2- =0.2探究探究點(diǎn)點(diǎn)2 2 定積分的物理背景定積分的物理背景 - -估估計(jì)變速運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)變速運(yùn)動(dòng)的路程 已知?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)物體的速度已知?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)物體

12、的速度v和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t, ,我們可以求出它走過(guò)的路程我們可以求出它走過(guò)的路程s=vt, ,那么如何求非那么如何求非勻速運(yùn)動(dòng)的物體走過(guò)的路程呢？勻速運(yùn)動(dòng)的物體走過(guò)的路程呢？問(wèn)題問(wèn)題2 想象這樣一個(gè)場(chǎng)景：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，想象這樣一個(gè)場(chǎng)景：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行汽車滑行5s后停下，在這一過(guò)程中，汽車的速度后停下，在這一過(guò)程中，汽車的速度 v （單位：（單位：m/s)是時(shí)間是時(shí)間 t 的函數(shù)：的函數(shù)：請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的距離距離 s .)50(2510)(2ttttv分析：分析：由已知，汽車在剛開(kāi)始剎車時(shí)的速度是由已知，汽車在剛開(kāi)始剎車

13、時(shí)的速度是v v(0)=25(0)=25m/sm/s, ,我們可以用這個(gè)速度來(lái)近似替代汽車在我們可以用這個(gè)速度來(lái)近似替代汽車在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離：這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離：s s=25=255=125(m)5=125(m)但顯然，這樣的誤差太大了但顯然，這樣的誤差太大了. .為了提高精確度，我們可以采用分割滑行時(shí)間的方法為了提高精確度，我們可以采用分割滑行時(shí)間的方法來(lái)估計(jì)滑行距離來(lái)估計(jì)滑行距離. .首先，將滑行的時(shí)間首先，將滑行的時(shí)間5s5s平均分成平均分成5 5份份. .我們分別用我們分別用v v(0),(0),v v(1),(1),v v(2),(2)

14、,v v(3),(3),v v(4) (4) 近似替代汽近似替代汽車在車在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s內(nèi)的平均速內(nèi)的平均速度，求出滑行距離度，求出滑行距離s s1 1：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs由于由于v v是下降的，所以顯然是下降的，所以顯然s s1 1大于大于s,s,我們稱它為汽我們稱它為汽車在車在5 s5 s內(nèi)滑行距離的過(guò)剩估計(jì)值內(nèi)滑行距離的過(guò)剩估計(jì)值. .用用v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4),(4),v v(5)(5)分別近似替代汽車分別近似替代汽車在在0 01

15、s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s內(nèi)的平均速內(nèi)的平均速度，求出汽車在度，求出汽車在5 5s s內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值 ：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs1s不論用過(guò)剩估計(jì)值不論用過(guò)剩估計(jì)值s1s1還是不足估計(jì)值還是不足估計(jì)值 表示表示s s，誤差都不超過(guò)：誤差都不超過(guò)：)(2511mss1s不論用過(guò)剩估計(jì)值不論用過(guò)剩估計(jì)值s1s1還是不足估計(jì)值還是不足估計(jì)值 表示表示s s，誤差都不超過(guò)：誤差都不超過(guò)：1s為了得到更加精確的估計(jì)值，可以將滑行時(shí)間分為了得到更加精確的估計(jì)值，可以將滑行時(shí)間分得更細(xì)些，因?yàn)槲覀冎溃?/p>

16、滑行時(shí)間的間隔越小，得更細(xì)些，因?yàn)槲覀冎?，滑行時(shí)間的間隔越小，用其中一點(diǎn)的速度代替這段時(shí)間內(nèi)的平均值，其用其中一點(diǎn)的速度代替這段時(shí)間內(nèi)的平均值，其速度誤差就越小速度誤差就越小. .比如，將滑行時(shí)間比如，將滑行時(shí)間5s5s平均分成平均分成1010份份. .用類似的方法得到汽車在用類似的方法得到汽車在5s5s內(nèi)滑行距離的過(guò)剩估內(nèi)滑行距離的過(guò)剩估計(jì)值計(jì)值s s2 2：)(125.485 . 0)5 . 4()4()1()5 . 0()0(2mvvvvvs結(jié)論：結(jié)論： 滑滑行時(shí)間等分得越細(xì)，誤差越小行時(shí)間等分得越細(xì)，誤差越小. .當(dāng)滑行時(shí)間被當(dāng)滑行時(shí)間被等分后的小時(shí)間間隔的長(zhǎng)度趨于等分后的小時(shí)間間隔

17、的長(zhǎng)度趨于0 0時(shí)，過(guò)剩估計(jì)值和時(shí)，過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值就趨于汽車滑行的路程不足估計(jì)值就趨于汽車滑行的路程. .)(625.355 . 0)5()2()5 . 1()1()5 . 0(2mvvvvvs)(5 .12625.35125.4822mss汽車在汽車在5s5s內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值內(nèi)滑行距離的不足估計(jì)值 ：2s無(wú)論用無(wú)論用s s2 2還是還是 表示汽車的滑行距離表示汽車的滑行距離s s，誤差都不超過(guò)誤差都不超過(guò)2s抽象概括抽象概括 前面，我們通過(guò)前面，我們通過(guò)“以直代曲以直代曲”的逼近方法解決了求的逼近方法解決了求曲邊梯形的面積的問(wèn)題，對(duì)于變速運(yùn)動(dòng)路程的步驟：曲邊梯形的面積的問(wèn)題，對(duì)

18、于變速運(yùn)動(dòng)路程的步驟：分割區(qū)間分割區(qū)間過(guò)剩估計(jì)值過(guò)剩估計(jì)值不足估計(jì)值不足估計(jì)值逼近所求路程逼近所求路程所分區(qū)間長(zhǎng)度所分區(qū)間長(zhǎng)度趨于趨于 0 估計(jì)值趨于所求值估計(jì)值趨于所求值 1. 1. 在在“近似替代近似替代”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間x xi i,x,xi+1i+1上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.A.只能是區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值只能是區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xf(xi i) )B.B.只能是區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值只能是區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xf(xi+1i+1) )C.C.可以是區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的函數(shù)值可以是區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的函數(shù)值f(f(i i) )（i ix xi i,x,xi+1i+1）D.D.以上答案均正確以上答案均正確解析解析 以直代曲，可以把區(qū)間以直代曲，可以把區(qū)間x xi,x,xi+1上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值f(f(i) )（ix xi,x,xi+1）作為小矩形的高）作為小矩形的高. .C C2.2.已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度v=gtv=gt，則估計(jì)在時(shí)間區(qū)，則估計(jì)在時(shí)間區(qū)間間0,60,6內(nèi)，將時(shí)間區(qū)間內(nèi)，將時(shí)間區(qū)間1010等分時(shí)，物體下落的等分時(shí)，物體下落的距離的估計(jì)值可以為（距離的估計(jì)值可以為（ ）A.14g B.15g C.16g