d2_1數(shù)列的極限與函數(shù)的極限

1、1微積分微積分I I教師：教師：?jiǎn)挝唬簲?shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)挝唬簲?shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)1 1、數(shù)列極限、數(shù)列極限2 2、函數(shù)極限、函數(shù)極限3 3、極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則、極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則4 4、極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限、極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限5 5、無窮小的比較與應(yīng)用、無窮小的比較與應(yīng)用6 6、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的連續(xù)性3一、極限的引入一、極限的引入41 1、劉徽的割圓術(shù)、劉徽的割圓術(shù)割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣。以至不可割，則與圓周合體而無所失矣。 劉徽劉徽 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元我國

2、古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3 3世紀(jì)）利用圓內(nèi)世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法接正多邊形來推算圓面積的方法-割圓術(shù)（參割圓術(shù)（參看光盤演示）看光盤演示）, , 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. .52 2、古希臘阿基里斯悖論、古希臘阿基里斯悖論 公元前公元前400400多年，古希臘的芝諾提多年，古希臘的芝諾提出的，若阿基里斯讓烏龜幾步，則阿出的，若阿基里斯讓烏龜幾步，則阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)你Ｕ摶锼褂肋h(yuǎn)也追不上烏龜?shù)你Ｕ? 極限思想是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生極限思想是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的的. .極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高

3、等數(shù)學(xué)極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級(jí)數(shù)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. . 極限方法又是研究函數(shù)的極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法一種最基本的方法. . 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義. .7二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限81 1、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義(1)(1)數(shù)列數(shù)列: :無窮多個(gè)按順序排列的數(shù)無窮多個(gè)按順序排列的數(shù),x,x,xn21例如例如. . . . x1 x3 xnx20 00 0當(dāng)當(dāng)n無限增大無限增大時(shí)時(shí), ,nx無

4、限接近無限接近常數(shù)常數(shù)A A , , .Axlimnn 11limnn即01limnn即,1,31,21, 1) 1 (n,1,31,21, 1)2(n,1,41,31,21, 1)3(nn0 001limnnn即91 10 011limnnn即021limnn即,1,43,32,21)4(nn,21,81,41,21)5(n, 12 , 5 , 3 , 1)6(n,1, 1, 1 , 1, 1)7(1n12limnn即或者說，不存在或者說，不存在極限不存在極限不存在10nnnn12lim例例1.1.求極限求極限nnn12lim解：原式解：原式= =211nnn、nnnn、nnn、nn、nnn

5、nn21lim421lim31314lim316lim122222求極限求極限求極限求極限2342123練習(xí)一下12數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義: :（定義（定義1.1)1.1)總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)N,N,當(dāng)當(dāng)n n N N 時(shí)，恒有時(shí)，恒有 |Ax|n,Axlimnn 記作記作: :定義：N, 0N（自然數(shù)）（自然數(shù)） , ,當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)，時(shí)， 恒有恒有 Axn成立成立, ,Axlimnn 則則或稱數(shù)列或稱數(shù)列nxA收斂收斂于數(shù)于數(shù)否則否則, ,稱數(shù)列是稱數(shù)列是發(fā)散發(fā)散的的. . .nAxn 或或設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ，若存在常數(shù)，若存在常數(shù)A A，使使對(duì)于對(duì)于任意給定任意給定的正數(shù)的正數(shù)

6、nx成立成立, , 則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)時(shí) ， 數(shù)列數(shù)列nx以以A A為為極限。極限。 n13. . . . . . . . . . .1x2x3xx2 . . . . . .1NxA A A2Nx3Nx數(shù)列極限的幾何解釋數(shù)列極限的幾何解釋: : AxAn(1)(1)定義中的定義中的是是任意給定任意給定的的. .用來刻劃用來刻劃 “ “ 無限接近于數(shù)無限接近于數(shù) ”. ”.nxA(2)(2)正整數(shù)正整數(shù)N N與與有關(guān)有關(guān), ,它是隨它是隨的給定而確定的給定而確定. .且不唯一且不唯一. .注意注意 Axn有有當(dāng)當(dāng),Nn ,0 ,N 只有有限項(xiàng)只有有限項(xiàng)( (最多最多N N項(xiàng)項(xiàng)) )落在鄰域之外落在

7、鄰域之外. .,321nNNNxxxx ,A,A內(nèi)內(nèi) 都落在都落在 N N以后所有項(xiàng)以后所有項(xiàng): :, 0N, ,當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)，時(shí)，恒有恒有 Axn成立成立, ,Axlimnn 則則14 , 0 0lim 11nn例例2. 2. 證明證明證證11110nn要使要使只要只要11n即可即可取取 1N, ,則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), ,011n成立成立, ,所以所以, ,0lim 11nn, 0N, , 當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)，時(shí)，恒有恒有 Axn成立成立, ,（不作要求）（不作要求）15例如例如, ,數(shù)列數(shù)列,nn,).(165544332211 取奇數(shù)項(xiàng)取奇數(shù)項(xiàng): :,kk,21265 43 21 取偶數(shù)項(xiàng)取偶

8、數(shù)項(xiàng): :,kk,12276 54 32 都是都是(1)(1)的子數(shù)列的子數(shù)列. .,)( ,).(n 11111112 又如又如, ,取奇數(shù)項(xiàng)取奇數(shù)項(xiàng): :取偶數(shù)項(xiàng)取偶數(shù)項(xiàng): : ,11 1 1,1 1 1 2 2、子數(shù)列及其斂散性、子數(shù)列及其斂散性都是都是(2)(2)的子數(shù)列的子數(shù)列. .1 11 11 11 1-1-1在數(shù)列在數(shù)列nx中中任意抽取任意抽取無限多項(xiàng)，無限多項(xiàng)，先后次序，先后次序，稱為原數(shù)列稱為原數(shù)列nx的的一個(gè)一個(gè)子數(shù)列子數(shù)列. .并并保持保持這些項(xiàng)這些項(xiàng)在原數(shù)列中的在原數(shù)列中的這樣得到的一個(gè)數(shù)列，這樣得到的一個(gè)數(shù)列， 。記記為為子子數(shù)數(shù)列列knx? ?163 3、收斂數(shù)列

9、與其子數(shù)列的關(guān)系、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系(1).(1).逆命題不成立逆命題不成立. . 子數(shù)列收斂的數(shù)列未必收斂子數(shù)列收斂的數(shù)列未必收斂. .(2).(2).逆否命題成立逆否命題成立. .子數(shù)列發(fā)散的數(shù)列一定發(fā)散子數(shù)列發(fā)散的數(shù)列一定發(fā)散. ., ,則它的任一子數(shù)列也收斂于則它的任一子數(shù)列也收斂于A nx收斂于收斂于A如果數(shù)列如果數(shù)列注意注意結(jié)論結(jié)論17 充要條件之一充要條件之一12limnnxAxnn2limAxnnlim18,lim:12Axnn若推論,Bxlimnn 2不存在。則nnxlimBA ,61041021例如例如, ,數(shù)列數(shù)列例如例如, ,數(shù)列數(shù)列,6504302119nnnn

10、xnnnnxlim,1,1求為偶數(shù)為奇數(shù)已知練習(xí)一下204 4、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理定理1.11.1 nx若數(shù)列若數(shù)列收斂收斂, ,Axlimnn 且且則極限值則極限值A(chǔ) A唯一唯一. .極限極限的的唯唯一性一性定理定理1.21.2 nx若數(shù)列若數(shù)列收斂收斂, , nx則數(shù)列則數(shù)列必有界必有界. .收斂數(shù)列的收斂數(shù)列的有有界性界性注意注意(1).(1).定理定理1.31.3的的逆命題不成立逆命題不成立. . 有界數(shù)列有界數(shù)列, ,未必收斂未必收斂. .(2).(2).定理定理1.31.3的的逆否命題成立逆否命題成立. . 無界數(shù)列必發(fā)散無界數(shù)列必發(fā)散. .,) 1(1nnx有界但

11、發(fā)散有界但發(fā)散. .例如例如, ,數(shù)列數(shù)列12 nxn無界無界, , 故發(fā)散故發(fā)散. .21提高題目提高題目例例3 3 設(shè)設(shè) ，求，求2,11,211nxxxnnnnxlim22三、函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限1、當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù) 的極的極限限x)x(f01xxx注意：注意：23 x)(xf1 1、時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)的極限的極限 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 無限增大時(shí)，函數(shù)值無限增大時(shí)，函數(shù)值 無限地趨近于常數(shù)無限地趨近于常數(shù)A A，則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為為極限。極限。)x(fx)x(fy )x(f x對(duì)于對(duì)于任意給定任意給定的正數(shù)的正數(shù), ,總存在正數(shù)總存在正數(shù) M ,M , |

12、A)x( f |則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為為極限。極限。)x(f x,A)x(flimx .xA)x( f 記作記作: :當(dāng)當(dāng)| |x x| |MM時(shí)，恒有時(shí)，恒有注意注意(1).(1).定義中定義中是是任意給定任意給定的的. .用來刻化用來刻化 A A的接近程度的接近程度)x(f(2).(2).正數(shù)正數(shù)M M與與有關(guān)有關(guān), ,它是隨它是隨的給定而確定的給定而確定. .用來刻化用來刻化| |x x| |充分大的程度充分大的程度定義定義2.12.124幾何解釋幾何解釋M|x| A)x(fAxyoA Ay AyM-M當(dāng)當(dāng) M|x| 時(shí)，時(shí)，Axfx)(lim則則|)(|Axf恒有

13、恒有成立，成立，,0 ,M0 Mx,Mx |A)x(f|“ - M 語言語言 ”定定義義25例例4 4用定義證明：用定義證明：. 01limxx證：,0 要使|101xx只需,1|x取 1 M當(dāng)M|x| 時(shí)，有01x所以. 01limxx問題?xeyx時(shí)的極限如何時(shí)的極限如何當(dāng)當(dāng) ?xxy時(shí)的極限如何時(shí)的極限如何當(dāng)當(dāng) 1當(dāng) M|x| 時(shí)，|)(|Axf恒有成立，,0 ,M0 26 x)(xf2 2、 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 的極限的極限 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 取正值且取正值且無限增大時(shí)，函數(shù)值無限增大時(shí)，函數(shù)值 無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)A A, , 則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A

14、為為極限。極限。)x(fx)x(fy )x(fx,A)x(flimx .xA)x( f 記作記作: :定義定義2.22.2對(duì)于對(duì)于任意給定任意給定的正數(shù)的正數(shù), ,總存在正數(shù)總存在正數(shù) M ,M , |A)x( f |當(dāng)當(dāng) x xM M 時(shí)時(shí) ，恒有，恒有則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為為極限。極限。)x(fx27 x)(xf3 3、 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 的極限的極限,A)x(flimx .xA)x( f 記作記作: :定義定義2.32.3對(duì)于對(duì)于任意給定任意給定的正數(shù)的正數(shù), ,總存在正數(shù)總存在正數(shù) M ,M , |A)x( f |當(dāng)當(dāng) x x M M 時(shí)，恒有時(shí)，恒有則稱當(dāng)則稱

15、當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為為極限。極限。)x(fx 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 取負(fù)值且取負(fù)值且 無限增大時(shí)，函數(shù)無限增大時(shí)，函數(shù) 無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)A A, , 則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以A A為為極限。極限。)x( fx)x(fy )x(fxx28 )x(flimxA)x(flimx A)x(flimx 充要條件之二充要條件之二 29例例5xxelim, xxelim0 xxelim 不存在不存在xyoxexxelim:求30例例6. 6. 設(shè)設(shè) 1,521,21)(xxxxxf求求)x(flimx 解：解： )x(flimx 52xxlimx21 )x(flimx21