大一極限運算法則

1、 第一章 一、一、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 二、二、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則 第三節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 極限運算法則時, 有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 . 證證: 考慮兩個無窮小的和考慮兩個無窮小的和 . 設設,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當100 xx時 , 有2, 02當200 xx時 , 有2取則當00 xx22因此.0)(lim0 xx這說明當0 xx 時,為無窮小量 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 無限個無限個

2、無窮小之和無窮小之和不一定不一定是無窮小是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設uuM故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因為是0 xx 時的無窮小 .oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sin

3、x01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知也是無窮小也是無窮小, 再利用極限與無窮小再利用極限與無窮小BA的關系定理的關系定理 , 知定理結論成立知定理結

4、論成立 .定理定理 1.3.1 若若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推論推論: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf則則.BA)()()(xgxfx利用保號性定理證明利用保號性定理證明 .說明說明: 定理定理 1可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 補充性質:(極限的保號性）若lim( ),f xA且在0 x的某去心鄰域內有( )0( )0)f xorf x，則0(0)AorA定理定理 2. 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limx

5、gxf提示提示: 利用極限與無窮小關系定理證明利用極限與無窮小關系定理證明 .說明說明: 定理定理 2可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )例例2. 設設 n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為無窮小為無窮小B2B1)(1xg)(0 xx定理

6、定理 3 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,設設BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小無窮小有界有界BA因此由極限與無窮小關系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx例例1.3.1. 設有分式函數(shù)設有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項式多

7、項式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 .例例1.3.3934lim223xxxx) 3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5 . 求求.3214lim21xxxx解解: x = 1 時時1432lim21xxxx0114312123214lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因機動 目錄 上頁 下頁 返回

8、 結束 例例1.3.4. 求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 運用極限運算法則定要注意：只有當該項或該因式的極限存在時才能把極限符號搬到那里進行運算。一般有如下結果：一般有如下結果：為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當( 如P28例1.3.5 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 mn 當mn 當例例1.3.7 . 求求2211lim.nxx解解:

9、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222222002011( 11)( 11)limlim( 11)11lim.211xxxxxxxxxx例例8 . 求求. ) 1(21lim32323nnnnn解解: 36) 12() 1(limnnnnn61)12)(11 (61limnnn原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 補例補例 . 求求. )4421(lim22xxx解解: 42lim22xxx4121lim2xx原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、三、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則定理定理1.3.2 設設,)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時時,)(

10、ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.3.2 設,)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 補例補例. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.

11、11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復合函數(shù)極限求法設中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考及練習思考及練習1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim