波利亞標(biāo)準(zhǔn)化程序解題應(yīng)用

1、波利亞標(biāo)準(zhǔn)化解題的應(yīng)用波利亞標(biāo)準(zhǔn)化解題的應(yīng)用前言：關(guān)于波利亞前言：關(guān)于波利亞v波利亞的生平簡(jiǎn)介波利亞的生平簡(jiǎn)介v波利亞的數(shù)學(xué)成就波利亞的數(shù)學(xué)成就v波利亞與他的波利亞與他的怎樣解題怎樣解題波利亞生平簡(jiǎn)介波利亞生平簡(jiǎn)介v波利亞（波利亞（George Polya，1887-1985），美籍匈牙），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國(guó)。青年時(shí)期曾利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國(guó)。青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和在布達(dá)佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長(zhǎng)

2、。年任數(shù)理學(xué)院院長(zhǎng)。1940年移居美國(guó)，年移居美國(guó)，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國(guó)數(shù)年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)功勛獎(jiǎng)。他是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)園和學(xué)會(huì)功勛獎(jiǎng)。他是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)園和匈牙利科學(xué)院的院士。匈牙利科學(xué)院的院士。v 著作：著作：怎樣解題怎樣解題、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)與猜想猜想等，這些書(shū)被譯成很多國(guó)家的文字出版，成等，這些書(shū)被譯成很多國(guó)家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。波利亞的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)波利亞的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)v波利亞在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣。他的數(shù)波利亞在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣。他的數(shù)學(xué)

3、研究的最顯著特點(diǎn)是他有極為廣泛的興趣，對(duì)實(shí)學(xué)研究的最顯著特點(diǎn)是他有極為廣泛的興趣，對(duì)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語(yǔ)和定理。獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語(yǔ)和定理。v另外，他一生發(fā)表達(dá)另外，他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他多篇論文和許多專著，他的論文被收集整理成四卷本的論文集，由美國(guó)麻省的論文被收集整理成四卷本的論文集，由美國(guó)麻省理工學(xué)院出版社出版理工學(xué)院出版社出版(前兩卷在前兩卷在1974年出版，后兩年出版，后兩

4、卷在卷在1984年出版年出版) 波利亞與他的波利亞與他的怎樣解題怎樣解題v波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題分析問(wèn)題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教考問(wèn)題分析問(wèn)題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的育的根本宗旨根本宗旨是是“教會(huì)年輕人思考教會(huì)年輕人思考”。學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題。數(shù)學(xué)的主要目的在于解題。v波利亞致力于解題的研究，為了回答波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，他專門研究了解題的思維過(guò)程，并把問(wèn)題，他專門研究了解題的思維過(guò)程，并把研究所得寫(xiě)成研究所得寫(xiě)成怎樣

5、解題怎樣解題一書(shū)。一書(shū)。v怎樣解題怎樣解題這本書(shū)的核心是：他分解解題這本書(shū)的核心是：他分解解題的思維過(guò)程得到的一張的思維過(guò)程得到的一張?jiān)鯓咏忸}怎樣解題表。這表。這張表包括四大步驟：張表包括四大步驟：“弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題”、“擬定擬定計(jì)劃計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和和“回顧回顧”。其中，。其中，對(duì)第二步即對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃”的分析是最為引人的分析是最為引人入勝的。入勝的。v他認(rèn)為只要解題按照這四個(gè)步驟去做，必定他認(rèn)為只要解題按照這四個(gè)步驟去做，必定成功。成功。 他指出尋找解法實(shí)際上就是他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，未知數(shù)之間的聯(lián)

6、系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。最終得出一個(gè)你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。求解計(jì)劃?！彼褜ふ也l(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程的它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程的慢動(dòng)作鏡頭慢動(dòng)作鏡頭，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn)，摸得著。見(jiàn)，摸得著。v波利亞的波利亞的怎樣解題怎樣解題表的精髓是：?jiǎn)l(fā)你表的精髓是：?jiǎn)l(fā)你去聯(lián)想。去聯(lián)想。 聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提

7、出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧。中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧。你以前見(jiàn)你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)試知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。悉的問(wèn)題。波利亞波利亞怎樣解題怎樣解題表表v怎樣解題怎樣解題表的介紹表的介紹v怎樣解題怎樣解題表的應(yīng)用表的應(yīng)用一、一、怎樣解題怎樣解題表的介紹表的介紹波利亞解題過(guò)程可分為以下四個(gè)階段：波利亞解題過(guò)程可分為以下四個(gè)階段

8、：1.弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，是認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，是成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提。成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提。2.擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是關(guān)鍵是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置。邏輯配置。4.回顧回顧是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法。解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法。v弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題（1）未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足）

9、未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足 條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？（2）畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)）畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)（3）把條件的各個(gè)部分分開(kāi)你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？）把條件的各個(gè)部分分開(kāi)你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？v擬定計(jì)劃擬定計(jì)劃（1）你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形）你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？式稍有不同？（2）你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)）你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？可能用得上

10、的定理？（3）看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相）看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題（4）這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決）這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題的問(wèn)題（5）你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能）你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？某些輔助元素？（6）你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同）你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？的方法重新敘述它？（7）回到定義去。）回到定義去。（8

11、）如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)）如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。與此有關(guān)的問(wèn)題。（9）你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了）你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念？念？v實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（1 1）實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟（2 2）你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否清楚地看出這一步驟是正確的？ （3 3）你能否證明這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？v回顧回顧（1 1）你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？（2

12、2）你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？（3 3）你能不能一下子看出它來(lái)？你能不能一下子看出它來(lái)？（4 4）你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？二、二、怎樣解題怎樣解題表的應(yīng)用表的應(yīng)用1v（2013福建理福建理7）在四邊形在四邊形ABCD中中， ， ，則該，則該四邊形的面積為（四邊形的面積為（ ）A、 B、C、 D、, 1 2AC ,4 2BD 52 55101、理解已知條件和未知、理解已知條件和未知v本題的未知是什么？本題的未知是什么？ 四邊形四邊形ABCD的面積的面積 由于題中所給的四邊形為不規(guī)則的四邊形，而對(duì)于由于題中所

13、給的四邊形為不規(guī)則的四邊形，而對(duì)于不規(guī)則四邊形的面積求解，通常可通過(guò)以下兩條路不規(guī)則四邊形的面積求解，通常可通過(guò)以下兩條路徑進(jìn)行求解：徑進(jìn)行求解： 海倫公式：海倫公式： zazbzczdS 1sin2mnS 1、理解已知條件和未知、理解已知條件和未知v本題的已知條件是什么？本題的已知條件是什么？四邊形四邊形ABCD, 1 2AC ,4 2BD ABCD2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：四邊形四邊形ABCDv未知：未知：四邊形四邊形ABCD的面積的面積解題路徑：解題路徑：海倫公式：海倫公式： , 1 2AC ,4 2BD ABCDzazbzczdS 1s

14、in2mnS 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：四邊形四邊形ABCDv未知：未知：四邊形四邊形ABCD的面積的面積海倫公式：海倫公式： 由于海倫公式需已知四由于海倫公式需已知四邊形四條邊長(zhǎng)邊形四條邊長(zhǎng), 1 2AC ,4 2BD ABCDzazbzczdS 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：四邊形四邊形ABCDv未知：未知：四邊形四邊形ABCD的面積的面積 其中其中m，n為兩對(duì)角線長(zhǎng)為兩對(duì)角線長(zhǎng)，為兩對(duì)角線的夾角為兩對(duì)角線的夾角, 1 2AC ,4 2BD ABCD1sin2mnS 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系

15、、找到已知條件和未知的聯(lián)系v如何利用公式如何利用公式 求四邊形的面積？求四邊形的面積？ 已知兩對(duì)角線的向量，則對(duì)角線長(zhǎng)即為向量的模長(zhǎng)已知兩對(duì)角線的向量，則對(duì)角線長(zhǎng)即為向量的模長(zhǎng)，于是，于是 。 而兩對(duì)角線的夾角而兩對(duì)角線的夾角則可以通過(guò)向量的數(shù)量積進(jìn)行求則可以通過(guò)向量的數(shù)量積進(jìn)行求解。解。1sin2Smn 1sin2SACBD 3、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（開(kāi)展解答）、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（開(kāi)展解答）ACBD，又又 ， ，四邊形四邊形ABCD的面積：的面積：故選故選C。 , 1 24 2142 20 AC BD 22125AC22422 5BD 11sin52 5sin90522SACBD 90 二、二、怎樣解題怎樣解題

16、表的應(yīng)用表的應(yīng)用2v（2013福建理福建理13）如圖如圖ABC中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)D在在BC邊上，邊上，ADAC， ，則，則BD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為2 2sin,3 2,33BACABADDACB1、理解已知條件和未知、理解已知條件和未知v本題的未知是什么？本題的未知是什么？ 直線直線BD的長(zhǎng)的長(zhǎng) 而直線而直線BD是是ABD的一條邊，對(duì)于三角形的一條邊，對(duì)于三角形 邊長(zhǎng)的求解，常有以下幾條路徑：邊長(zhǎng)的求解，常有以下幾條路徑： 勾股定理勾股定理 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理DACB1、理解已知條件和未知、理解已知條件和未知v本題的已知條件是什么？本題的已知條件是什么？ 點(diǎn)點(diǎn)D在在BC邊上邊上 AD

17、AC 2 2sin3BAC3 2AB 3AD 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：點(diǎn)點(diǎn)D在在BC邊上邊上 ADACv未知：未知：直線直線BD的長(zhǎng)的長(zhǎng) 解題路徑：解題路徑： 勾股定理勾股定理 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理2 2sin3BAC3 2AB 3AD 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：點(diǎn)點(diǎn)D在在BC邊上邊上 ADACv未知：未知：直線直線BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)勾股定理：勾股定理： 適應(yīng)條件：在直角三角適應(yīng)條件：在直角三角形中，已知兩邊求第三形中，已知兩邊求第三邊，而邊，而ABD并不是直并不是直角三角形角三角形

18、2 2sin3BAC3 2AB 3AD 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：點(diǎn)點(diǎn)D在在BC邊上邊上 ADACv未知：未知：直線直線BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)正弦定理：正弦定理： 適應(yīng)條件：已知兩角適應(yīng)條件：已知兩角與一邊，或已知兩邊及與一邊，或已知兩邊及一對(duì)角一對(duì)角2 2sin3BAC3 2AB 3AD 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v已知條件：已知條件：點(diǎn)點(diǎn)D在在BC邊上邊上 ADACv未知：未知：直線直線BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)余弦定理：余弦定理： 適應(yīng)條件：已知兩邊及適應(yīng)條件：已知兩邊及夾角，求第三邊夾角，求第三邊2 2sin3BAC3 2AB 3AD 2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v如何利用余弦定理求如何利用余弦定理求BD的長(zhǎng)呢？的長(zhǎng)呢？ 已知已知AB和和AD的長(zhǎng)，而由余弦定理可知：的長(zhǎng)，而由余弦定理可知： 于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了，求于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了，求 ，2222cosBDABADAB ADBADcosBAD2、找到已知條件和未知的聯(lián)系、找到已知條件和未知的聯(lián)系v如何求如何求 的值呢？的值呢？ 因?yàn)橐驗(yàn)?ADAC，所以，所以DAC = 90， 于是于是BAC = BAD + 90， 再根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式就有：再根