第3章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

1、1第3章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ) 3.1 3.1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號特征和控制方法特征計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號特征和控制方法特征 3.2 3.2 信號的采樣與保持信號的采樣與保持 3.3 Z3.3 Z變換理論變換理論 3.4 3.4 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 3.5 3.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析 總學(xué)時：總學(xué)時：8 8學(xué)時學(xué)時2 3 3.1 .1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號特征和控制方法特征計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號特征和控制方法特征 一、信號特征一、信號特征 模擬控制系統(tǒng)中各處的信號均為連續(xù)模擬信號，而計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中除了有模擬信號之外，還有離散模擬、離散數(shù)字等

2、多種信號形式。圖3.1.1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號流程 3信號的形式可按在時間和幅值上的取值進(jìn)行分類：1、按時間上的取值分類： （1）連續(xù)信號：在時間軸上的取值是連續(xù)的信號，即在某一時間間隔內(nèi)，對于所有時間值都有確定的信號。 （2）離散信號：在時間軸上的取值是離散的信號，即只在某些斷續(xù)的時間值上存在信號，其他時間值上信號無定義。2、按幅值上的取值分類： （1）模擬信號：幅值上連續(xù)變化的信號。 （2）離散信號：幅值上只取離散值的信號。 （3）數(shù)字信號：幅值用一定位數(shù)的二進(jìn)制編碼的形式表示的信號。 將時間和幅值上的各種信號組合起來，可以得到不同類型的信號。4 二、控制方法特征二、控制方法特征 計(jì)算機(jī)

3、控制系統(tǒng)除了包含連續(xù)信號外，還包含數(shù)字信號，因而計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)與模擬控制系統(tǒng)在本質(zhì)上有許多不同，需采用專門的理論來分析和設(shè)計(jì)。 常用的設(shè)計(jì)方法有兩種： （1）模擬化設(shè)計(jì)方法（模擬調(diào)節(jié)規(guī)律離散化設(shè)計(jì)法） （2）離散化直接設(shè)計(jì)法返回本章目錄返回本章目錄5一、采樣系統(tǒng)一、采樣系統(tǒng)1、采樣 采樣指的是：將連續(xù)模擬信號轉(zhuǎn)變成離散脈沖序列的過程。2、采樣器 采樣器指的是：把連續(xù)信號變換成脈沖序列的裝置，又稱采樣開關(guān)。3、采樣系統(tǒng) 如果系統(tǒng)中有一處或多處采樣開關(guān)，則該系統(tǒng)為采樣系統(tǒng)。圖3.2.1 采樣控制系統(tǒng)3.2 信號的采樣與保持信號的采樣與保持 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)則屬于采樣控制系統(tǒng)。圖3.2.2 計(jì)算機(jī)控制

4、系統(tǒng)6二二、信號的采樣信號的采樣1、實(shí)際采樣過程 采樣過程可以用一個周期性閉合的采樣開關(guān)S來表示，如圖3.2.3所示。假設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次，T稱為采樣周期，閉合的持續(xù)時間為。采樣器的輸入為連續(xù)信號e(t)，輸出e*(t)為寬度等于的調(diào)幅脈沖序列。圖3.2.3 實(shí)際采樣過程7采樣過程 圖3.2.4 理想采樣過程 e*(t)是在時間上是離散，在幅值上連續(xù)變化的信號。 離散模擬信號不能直接進(jìn)入計(jì)算機(jī)，必須經(jīng)量化后成為數(shù)字信號才能被計(jì)算機(jī)接受。8所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二進(jìn)制碼）來逼近離散模擬信號的幅值，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。 量化過程：將采樣信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號的過程。 執(zhí)行量化動作的裝置

5、：A/D轉(zhuǎn)換器。圖3.2.5 量化過程9三、采樣定理三、采樣定理 采樣定理【香農(nóng)(Shannon)采樣定理】：若連續(xù)信號是有限帶寬的，且最高頻率分量為max，則當(dāng)采樣頻率s2max時，采樣信號可以不失真地表征原來的連續(xù)信號，或者說可以從采樣信號不失真地恢復(fù)原來的連續(xù)信號。 這個頻率2max一般稱為奈奎斯特率（Nyquist rate），而max一般稱為奈奎斯特頻率。 理論上： 進(jìn)行采樣，則采樣信號就能無失真地恢復(fù)原信號。 在實(shí)際應(yīng)用中： 只有采樣頻率足夠高，即采樣時刻很密集的時候，采集的信號才接近原來的連續(xù)模擬信號。 采樣定理，給出了采樣信號唯一不失真地恢復(fù)原信號的條件（即最低采樣頻率）。ma

6、x2ffs max)105(ffs 10四、采樣保持器四、采樣保持器 采樣時原則上不需要保持操作，但加入保持器可以提高采樣的精度。 在A/D轉(zhuǎn)換期間，如果輸入信號變化較大，就會引起誤差。所以，一般情況下，采樣信號都不直接送至A/D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 要求輸入到A/D轉(zhuǎn)換器的模擬量在整個轉(zhuǎn)換過程中保持不變，但在轉(zhuǎn)換之后，又要求A/D轉(zhuǎn)換器的輸出信號能夠跟隨模擬量變化。能夠完成這個任務(wù)的器件稱為采樣保持器（Sample/Hold，簡寫為S/H）。111 1、孔徑時間和孔徑誤差（即轉(zhuǎn)換時間和最大轉(zhuǎn)換誤差）、孔徑時間和孔徑誤差（即轉(zhuǎn)換時間和最大轉(zhuǎn)換誤差）（1）孔徑時間：指的是在模擬量輸入通道中，A/D轉(zhuǎn)

7、換器將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字量信號總需要一定的時間，完成A/D轉(zhuǎn)換所需的時間。（2）孔徑誤差：指的是對于隨時變化的模擬信號來說，孔徑時間決定了每一個采樣時刻的最大轉(zhuǎn)換誤差。圖3.2.6 由孔徑時間引起的誤差則其可能的最大誤差: ftUum2sinftfUdtdum2cos2設(shè): fUtum2在橫坐標(biāo)交點(diǎn)上：12 一個10位的A/D轉(zhuǎn)換器，量化精度為0.1%，孔徑時間為10s。如果要求轉(zhuǎn)換誤差在轉(zhuǎn)換精度內(nèi)，則允許轉(zhuǎn)換的正弦波模擬信號的最大頻率為： 從誤差的百分?jǐn)?shù)的公式可得知，對于一定的轉(zhuǎn)換時間tA/D，誤差的百分?jǐn)?shù)和信號頻率成正比。 為了確保A/D轉(zhuǎn)換的精度，不得不限制信號的頻率范圍。Hz 1610

8、0101020.11002 6-/DAtf（3）孔徑誤差消除：采用帶有保持電路的采樣器（即采樣保持器）。 這樣做可提高模擬量輸入信號的頻率范圍，以適應(yīng)某些隨時間變化較快的信號的要求，消除孔徑誤差。誤差百分?jǐn)?shù)為：1002 1002100/DADAmtfftUu取t=tA/D,則橫坐標(biāo)交點(diǎn)處轉(zhuǎn)換的不確定電壓誤差為：A/DmftUu213（2）基本組成電路 采樣保持器的基本組成電路一般是由輸入輸出緩沖器、采樣開關(guān)、保持電容組成。其工作原理為： 采樣：K閉合，VIN通過輸入緩沖器對Ch快速充電，VOUT跟隨VIN 保持：K斷開，VOUT保持VC 采樣保持器一旦進(jìn)入保持期，便立即啟動A/D轉(zhuǎn)換器，保證A

9、/D轉(zhuǎn)換期間輸入恒定。（1）工作方式 采樣保持器的兩種工作方式：采樣和保持。 在采樣方式中，采樣保持器的輸出跟隨模擬量輸入電壓變化。 在保持狀態(tài)時，采樣保持器的輸出將保持命令發(fā)出時刻的模擬量輸入值，直到保持命令撤銷為止（即再次接到采樣命令時）。2 2、采樣保持器的原理、采樣保持器的原理圖3.2.7 采樣保持器的組成14 （1）保持采樣信號不變，以便完成A/D轉(zhuǎn)換； （2）提高模擬量輸入信號的頻率范圍，適應(yīng)某些隨時間變化較快的信號的要求，消除轉(zhuǎn)換誤差； （3）同時采樣幾個模擬量，以便進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與測量； （4）減少D/A輸出器的輸出毛刺，消除輸出電壓的峰值及縮短穩(wěn)定輸出值的建立時間。3 3、采樣

10、保持器的主要作用、采樣保持器的主要作用 常用的集成采樣保持器有LF198/298/398、AD582/585/346/389等。4 4、常用的集成采樣保持器、常用的集成采樣保持器15五、采樣過程的數(shù)學(xué)描述五、采樣過程的數(shù)學(xué)描述2、調(diào)制后的采樣信號可表示為：T0( )()TnttnT*TTT00( )( )( )( )()( )()nne te tte ttnTe ttnT1 1、理想脈沖序列可表示為：、理想脈沖序列可表示為：也表示為：*T0( )()()ne te nTtnT3、量化單位定義為：maxmin21neeqemax和emin分別為模擬信號的最大值和最小值；n為二進(jìn)制數(shù)碼的字長。 4

11、、A/D轉(zhuǎn)換器的輸出信號： *( )( )int0.5ete kq量化過程實(shí)際上是一個取整的過程，有“向上取整、向下取整”和“四舍五入取整”，大部分A/D轉(zhuǎn)換器采用的是“四舍五入取整”。16六、信號保持六、信號保持 連續(xù)信號經(jīng)過采樣器后轉(zhuǎn)換成離散信號，經(jīng)脈沖控制器處理后，其輸出仍然是離散信號，而采樣控制系統(tǒng)的被控對象一般只能接收連續(xù)信號，因此需要保持器將離散信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號。工程上應(yīng)用最廣且為最簡單的保持器就是零階保持器。 零階保持器：是一種采用恒值外推規(guī)律的保持器，在一個采樣周期內(nèi)將信號保持為常數(shù)，形成階梯的連續(xù)模擬信號。主要功能是完成信號恢復(fù)。其傳遞函數(shù)為：圖3.2.8 零階保持器的輸入

12、和輸出信號1( )TseH ss返回本章目錄返回本章目錄173.3 Z3.3 Z變換理論變換理論一、一、Z變換的導(dǎo)出變換的導(dǎo)出（1）序列的傅立葉變換定義為： 式中，ej是的復(fù)函數(shù)，變量是實(shí)數(shù)； ej也可看成是復(fù)數(shù)變量j的函數(shù)，此時的ej就是復(fù)變函數(shù)。（2）序列的傅立葉變換存在的充分條件為：1、由序列的傅立葉變換導(dǎo)出Z變換 nnjnnjjenfenfeF nnf 由此可見，絕對可和的條件限制了某些序列的傅立葉變換的存在。 為使更多的函數(shù)存在傅立葉變換，則引入一個衰減因子e-n，讓其與 f (n)相乘，于是絕對可和的條件就很容易滿足。則有： jnnjnjnneFenfeenfDTFT令令z=e+j

13、, ,則由上式可得到序列的則由上式可得到序列的Z變換式為：變換式為： nnznfzF雙邊雙邊Z變換變換當(dāng)0n時， 0nnznfzF單邊單邊Z變換變換18（2）連續(xù)函數(shù) f (t) 的拉氏變換為：-( )( )( )stF sL f tf t edt（1）連續(xù)信號f (t) 經(jīng)采樣開關(guān)后得到的采樣信號f *(t) 為：*-( )( )( )= ( )()=() ()Tnnftf ttf ttnTf nTtnT 2、由采樣信號的拉氏變換導(dǎo)出Z變換19其中：s=+j，引入復(fù)變量z，令 （3）采樣信號f *(t)的拉氏變換為：*-( )*( )() () () () ()() ()nstnstnnTs

14、nF sL ftLf nTtnTf nTtnTedtf nTtnT edtf nT e Tsze則：-*( )()()()( )TsnnnnFsf nT ef nT zF z 0)()(nnznfzF當(dāng)0n時，得單邊Z變換：單邊Z變換（4）則采樣信號f *(t)的Z變換定義為：（5）從廣義上講，T=1，則( )( )nnF zf n z雙邊Z變換-*( ) ( )()( )nnF zZ f tffZnTtz 203 3、從離散時間序列直接導(dǎo)出、從離散時間序列直接導(dǎo)出Z變換 設(shè)f (n)為離散序列，f (n)=f (0)，f (1)， f (n) ，則f (n)的單邊單邊Z變換定義為：變換定義為

15、： 0210)(210)(nnznfzfzfzfnxZzF 雙邊雙邊Z變換定義為：變換定義為： nnznfnfZzF)()(f二、Z平面與S平面的映射關(guān)系 對于連續(xù)系統(tǒng),在S平面上，當(dāng)復(fù)變量s的實(shí)部為0時(s=j)，即在虛軸j上，拉氏變換就是連續(xù)時間傅立葉變換。 對于離散系統(tǒng),在Z平面上，當(dāng)復(fù)變量z的模為1時，即在半徑為1的單位圓上，Z變換就是離散時間傅立葉變換。S平面平面Z平面平面0 0 0 :為為常常數(shù)數(shù) 1 zr1 zr1 zr 0:為為常常數(shù)數(shù)r左半平面左半平面虛軸虛軸 j右半平面右半平面左向右移左向右移單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)單位圓上單位圓上單位圓外單位圓外半徑擴(kuò)大半徑擴(kuò)大22三、三、Z Z

16、變換的定義、收斂域及典型序列的變換的定義、收斂域及典型序列的Z Z變換變換1 1、Z變換的定義變換的定義 離散序列 f (n) 的Z變換（單邊）的定義為： 0nnznfnfZzF離散序列 f (n) 的Z變換（雙邊）的定義為： -nnznfnfZzFz是一個復(fù)變量，z=e+j=rej，r=|z|=e。232 2、Z變換的收斂域變換的收斂域 根據(jù)級數(shù)理論，對于任意有界離散序列 f (n)，使其Z變換式（即級數(shù) ）絕對收斂或者是F(z)存在的充要條件是：滿足冪級數(shù)絕對可和，即： -nnznf 0lim-nnnnznfznf或或只有級數(shù)絕對收斂時，Z變換才有意義。因?yàn)?( )( )nnnnx n z

17、x nz 為滿足上述絕對可和的條件，就必須要對|z|有一定范圍的限制。這個范圍一般可表示為： 由此可見Z變換的收斂域?yàn)閆平面上是一個以Rx-及Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域。RxjImzRezRxxxRzR243、典型序列的、典型序列的Z變換變換典型序列的Z變換及其收斂域時間序列Z變換及其收斂域整個z平面 n nu nnu nuan nuncos nunsin1,111zz1,)1 (211zzzazaz,1111,cos21cos1211zzzz1,cos21sin211zzzz 常用函數(shù)的拉氏變換和Z變換表見教材P186的附錄A。25四、四、Z變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理26(1

18、) 線性性質(zhì) 若x1nX1(z)，ROC=R1 x2nX2(z)，ROC=R2 則 ax1n+bx1naX1(z)+bX2(z)，ROC包括R1R2 a、b為任意復(fù)常數(shù)對于具有有理Z變換的序列，aX1(z)+bX2(z)的極點(diǎn)由X1(z)和X2(z)的全部極點(diǎn)構(gòu)成，即沒有出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消現(xiàn)象，則線性組合的收斂域是各個收斂域的重疊部分。如果在線性組合后，出現(xiàn)零極點(diǎn)相互抵消，那么收斂域可能會擴(kuò)大。27n例： 1110111111nnnnnnnn-n=za u n zaz-aa u na u nza z =az=aza = zaza， l線性組合后，anun-anun-1=n1，此時收斂域擴(kuò)大到整個Z

19、平面。28 若xnX(z)，ROC=R 則 xn-n0z-n0X(z),(2) 時移性質(zhì) ROC=R，原點(diǎn)或無限遠(yuǎn)點(diǎn)可能去除或加上。 001-00( )nnkk=nzx kx nXzz 時移后的收斂域可能發(fā)生變化。這是因?yàn)槎喑肆藌-n0這個因子。若n00時，則在z=0處的引入極點(diǎn)，會把X(z)在z=0處的零點(diǎn)抵消。此時，z-n0X(z)的ROC為時移前X(z)的ROC去除原點(diǎn)（即z0）。若n01。 由時移性質(zhì)得， 由線性性質(zhì)得， 1zX z =z-1-kzu n-kzz- 11111111-k-k-kzzu n -u n-k - zz-z-z -zz-z =z-z ， 30 若xnX(z)，R

20、OC=R 則 anxnX(z/a), ROC=|a|R，a為任意復(fù)常數(shù)。(3) 頻移性質(zhì) l頻移性質(zhì)表明：在時域中離散序列xn乘以指數(shù)序列an，則在Z平面上像函數(shù)在尺度上就壓縮a倍，因此該性質(zhì)也稱為Z域尺度變換。收斂域也在原收斂域的基礎(chǔ)上做尺度變換為|a|R。 000jjja=e ex nXezROC =R當(dāng)當(dāng)時時，頻頻移移性性質(zhì)質(zhì)可可表表示示為為：，31 若xnX(z)，ROC=R 則 x-nX(1/z), ROC=1/R(4) 時間反折性質(zhì) l利用時間反折性質(zhì)，可分別求出奇偶對稱信號的Z變換關(guān)系式。 對于奇對稱信號x-n = -xn，利用時間反折性質(zhì)，可得到 X(1/z) = -X(z)

21、對于偶對稱信號x-n = xn，利用時間反折性質(zhì)，可得到 X(1/z) = X(z)(5) 共軛性質(zhì) 若xnX(z)，ROC=R 則 x*nX*(z)*, ROC=R 當(dāng)xn是實(shí)序列的時，則有X*(z)*=X(z)32 若x1nX1(z)，ROC=R1 x2nX2(z)，ROC=R2 則 x1n*x2nX1(z)X2(z), ROC包括R1R2(6) 卷積性質(zhì) lX1(z)X2(z)的收斂域包括R1和R2的重疊部分，如果在乘積中發(fā)生零極點(diǎn)抵消現(xiàn)象，收斂域可能會擴(kuò)大。l由Z變換的表達(dá)式可知，離散序列xn的Z變換X(z)就是復(fù)變量z-1的無窮冪級數(shù)，其系數(shù)就是相應(yīng)的xn的值。所以卷積性質(zhì)表明：當(dāng)兩

22、個多項(xiàng)式或冪級數(shù)X1(z)和X2(z)相乘時，代表該乘積的多項(xiàng)式的系數(shù)就是在多項(xiàng)式X1(z)和X2(z)中的系數(shù)的卷積。33(7) Z域微分性質(zhì) x nXz ROC=Rzx ndXnzdz , ROC=R 若若，則則22321211111122n nn u nu nzu n zzz zddzn u n=-z-z=dzdzzzn nnu n=u n例例：利利用用Z Z域域微微分分性性質(zhì)質(zhì)求求下下列列序序列列的的Z Z變變換換。（1 1）， （2 2）解解：Z Z， 由由Z Z域域微微分分性性質(zhì)質(zhì)，可可得得（1 1）Z Z（2 2）Z ZZ ZZ Z322321212111nu nz zz =zz

23、z = zz，(8) Z域積分性質(zhì) 10mmzx nXz ROC=Rx nXzdz , ROC=Rn+mmn+m若若，則則為為整整數(shù)數(shù)，且且 2111111111ln1 ln1zzzu nx n =nzu n = zzu n = zd = zdn = z-d =zz-z = 例例：利利用用Z Z域域積積分分性性質(zhì)質(zhì)，求求序序列列的的Z Z變變換換。解解：Z Z，由由Z Z域域積積分分性性質(zhì)質(zhì)，可可得得Z Zln11z z ，34(9) 初值定理 1200,00lim0120,0lim0n=zznX z =x n z=xxzxz n x n zX z =x nX z xxnx n=X z證證明明

24、：根根據(jù)據(jù)Z Z變變換換的的定定義義，可可得得 ，當(dāng)當(dāng)時時，上上式式兩兩端端取取，則則有有則則極極限限若若且且l初值定理表明：對于因果序列，如果xn有限，則 有限。 即：將X(z)寫成兩個多項(xiàng)式之比，分子多項(xiàng)式的階次不能大于分母多項(xiàng)式的階次，或 零點(diǎn)個數(shù)不能多于極點(diǎn)的個數(shù)。l利用初值定理可很方便地檢查Z變換的結(jié)果是否是正確的。 通常x0是已知的，通過求解 并與x0進(jìn)行比較，就可判斷Z變換結(jié)果是否正確。 limzX z limzX z35 117632111111767632327nnnnnnx n =u nu nzu n= zzz =u nu n=u nu n = 例例：求求解解下下列列離離散

25、散序序列列的的Z Z變變換換，并并利利用用初初值值定定理理，驗(yàn)驗(yàn)證證其其Z Z變變換換結(jié)結(jié)果果是是否否正正確確。 解解：Z Z， X XZ ZZ ZZ Z 32611113232076132limlim111320limzzzz zzz -zzzzxz z z =zzxz X XX X，滿滿足足初初值值定定理理，Z Z變變換換的的結(jié)結(jié)果果正正確確。3610、終值定理 10,01limlimnzx nX z nx nzx=x n =X zz若若且且則則l利用終值定理可很方便地從X(z)求出當(dāng)n時xn的特性。對研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性有幫助。 112010.520limlim110.51limlim1limzznzzz zz =xxzzz zx=z =zzz x=x n =zzz =例例：已已知知某某離離散散序序列列的的Z Z變變換換為為X X，分分別別求求出出該該序序列列的的初初值值和和終終值值。解