2017中考特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)

1、2017中考特殊的平行四邊形復(fù) 習(xí)特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)一.中點(diǎn)四邊形問題：例1.（變式題：練習(xí)第三2和8題）（2016?蘭州）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖 1,我們把一 個(gè)四邊形ABCD勺四邊中點(diǎn)E, F, G, H依次連接起來得到的 四邊形EFGK平行四邊形嗎？小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC.盧E. F分后是AD, BC®中點(diǎn)I EFUAC I回邁出ETCH是五行四邊形三角形中位GH/ACGH=AC結(jié)合小敏的思路作答（1）若只改變圖1中四邊形ABCD勺形狀（如圖2）,則四邊 形EFGHE是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方 法解決一下問題：

2、（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接 AC BD.當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGF菱形，寫出結(jié) 論并證明；當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGK矩形，直接寫 出結(jié)論.二、四邊形中的特殊三角形例 2、如圖，在ABCR!ABCD? / BAC4 BCD=90 , AB=AQ CB=CD長CA至點(diǎn)E,使AE=AC延長CB至點(diǎn)F,使BF=BC連 接AD AF, DF, EF.延長DB交EF于點(diǎn)N.爸用圖（1）求證：AD=AF求證：BD=EF（3）試判斷四邊形ABNE勺形狀，并說明理由.三、四邊形中的折疊問題本質(zhì)：軸對稱（全等性，對稱性）關(guān)鍵：根據(jù)折疊實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化（1）根據(jù)勾股定理得方程

3、。（2）根據(jù)相似比得方程。（3）找折疊中的特殊位置來解決特殊值問題例3（2015濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形 AOCD 沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10, 8),則點(diǎn)E的坐4例4 (2013德義)如上圖，將一張矩形紙片 ABCD&直線MN 折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線M岐BC 于點(diǎn)M 交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CM=CN (2)若4CMN的面積與CDN勺面積比為3: 1,求錯的值.UN四、正方形中的線段垂直問題例5如圖1,在正方形ABC珅，E、F分別是邊AD DC上的 點(diǎn)，且 AFL BE(1)求證：

4、AF=BE(2)如圖2,在正方形ABC珅，M N、P、Q分別是邊AR BG CD DA上的點(diǎn)，且 MPL NQ MP與NQ是否相等？并說明 理由.五、探究型問題例6.（2015?T肅武威）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm, /B=60 G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動點(diǎn)， EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F,連結(jié)CE, DF. （1） 求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)AE=cm時(shí)，四邊形CEDF是矩形； 當(dāng)AE=_cm時(shí)，四邊形CEDF是菱形.（直接寫出答案，不需要說明理由）£ D六、四邊形中的相似三角形例7 （2015湖南岳陽第22題8分）如圖，正

5、方形 ABCD中, M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EFXAM,垂足為F, 交AD的延長線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N .（1）求證：ABMsEFA;（2）若 AB = 12, BM=5,求 DE 的長.1. （2016 山東省荷澤市.3分）在?ABC珅,AB=3 BC=4當(dāng)？ABCD勺面積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的有（）AC=5 /A+/ C=180° ; AC± BR AC=BDA. B. C. D.2. （2016貴州畢節(jié)3分）如圖，正方形ABCD勺邊長為9,將GH若正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上白點(diǎn)E處，折痕為BE: EC=2 1,則線段CH的長是（）A. 3 B. 4 C.

6、 5 D. 65題圖3. （2016海南3分）如圖，矩形ABC而頂點(diǎn)A C分別在直 線a、b上，且a/ b, / 1=60° ,貝2的度數(shù)為（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°4 .（2016河北 野»關(guān)于ABCD勺敘述，正確的是（ ）A.若 ABLBC 則ABC推fe形 B.若 AC± BD,則ABC麋正方形C,若 AC=Bq 則ABCDB巨形 D ,若 ABAD,則ABC國正方形5 . （2016河南）如圖，已知菱形 OABC勺頂點(diǎn)O （0, 0） , B （2, 2）,若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒

7、旋轉(zhuǎn)45。，則第60秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. (1, -1) B. (1, 1) C.(血,0) D. (0,一6. （16福建龍巖）如圖，在周長為12的菱形ABC珅,AE=1, AF=?若P為對角線BD上一動點(diǎn)，貝U EP+F而最小值為（ ）A. 1 B . 2 C . 3 D . 46T 題圖7題圖8題圖7. （2016四川眉山-3分）把邊長為3的正方形ABCD 點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB' C' D',邊BCW D' C 交于點(diǎn)O,則四邊形ABOD的周長是（）A .mB. 6C.二 D. 一 二8. （2016四川眉山）如

8、圖，矩形ABC珅，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與 AB CD交于點(diǎn)E、F,連結(jié)BF交AC于FO=FC則下列結(jié)論：點(diǎn) M,連結(jié) DE BO 若 / COB=60 )FB垂直平分 OC EO軍ACMBDE=EFS；aaoe： Sabc帝2:3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（C2個(gè) D . 1個(gè))A. 4 個(gè) B . 3個(gè)9. （2016 四川宜賓） 如圖，點(diǎn) P是矩形 ABCD的邊AD上的一動點(diǎn)，矩形的兩條邊 則點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AB、BC的長分別是 6和8, AC和BD的距離之和是A. 4.8 B9 題圖12題圖10. (20165 C6B.矩形的D .矩形的1113四川攀枝花）下列關(guān)于矩形的說法

9、中正確的是A.對角線相等的四邊形是矩形對角線相等且互相平分C.對角線互相平分的四邊形是矩形對角線互相垂直且平分11. （2016四川南充）如圖，對折矩形紙片 ABCD使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn) D 落到EF上點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn) A,展平紙片后/ DAG勺大小為（）A. 30°B 45°C 60°D. 75°12. （2016 四川瀘州） 如圖，矩形 ABCD的邊長 AD=3, AB=2, E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊 BC上，且 BF=2FC, AF分 別與DE、DB相交于點(diǎn)同N,則MN的長為（）A.等B .黎C .等D .

10、等13. （2016 湖北荊門）如圖，在矩形 ABCD （AD>AB）, 點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA AF±DE垂足為點(diǎn)F,在下列 結(jié)論中，不一定正確的是（）A AAFtDADCE B . AF=AD C . AB=AFD. BE=A。DF 二、填空題1. （2016-內(nèi)蒙古包頭 3分）如圖，在矩形ABCDK 對 角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE! BR垂足為點(diǎn)E,1 題圖2題圖3題圖4題圖2. （16西寧）如圖，在菱形 ABC珅，E, F分別是AD, BD的中點(diǎn)，若EF=Z則菱形ABCD勺周長是.3. （2016 陜西）如圖，在菱形 ABCDK /ABC=60 ,

11、AB=2 點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn) P、B、C為頂點(diǎn) 的三角形是等腰三角形，則 P、D （P、D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間 的最短距離為.4. （2016江西）如圖是一張長方形紙片 ABCD已知AB=8AD=7 E為AB上一點(diǎn)，AE=5現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（AEP,使點(diǎn)P落在長方形ABCD勺某一條邊上，則等腰三 角形AEP的底邊長是5. （2016 遼寧丹東）如圖，正方形 ABC腦長為3,連接 AC, AE平分/ CAD交BC的延長線于點(diǎn)E, FAI AE,交CB 延長線于點(diǎn)F,則EF的長為.6.（2016 -四川南充）的長是 cm.6題圖如圖，菱形題圖ABCD勺周長是8cm, A

12、B7. （2016 四川內(nèi)江）如圖4,在菱形ABCDh,對角線AC 與BD相交于點(diǎn)O, AC= 8, BD= 6, 0aBC垂足為點(diǎn)E,則 0E=.8. （2016 黑龍江齊齊哈爾）如圖，平行四邊形 ABCD勺對角 線AC BD相交于點(diǎn)0,請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 使其成為菱形（只填一個(gè)即可）.9. （2016 齊齊哈爾）有一面積為 砂的等腰三角形，它的 一個(gè)內(nèi)角是30。，則以它的腰長為邊的正方形的面積 為.10. （16昆明）如圖，E, F, G, H分別是矩形ABC咯邊的中 點(diǎn)，AB=6 BC=8則四邊形EFGH勺面積是.11. （2016海南4分）如圖，四邊形ABC奧軸對稱圖形，且 直線A

13、C是對稱軸，AB/CD則下列名論：AC! BDAD / BC四邊形ABC奧菱形；4AB羋ACDB其中正確的 是 （只填寫序號）10題圖11題圖-12題圖13題圖12. （2016 山東省濱州市-4分）如圖，矩形ABC珅，AB=, BC釜，點(diǎn)E在對角線BD上，且BE=1.8,連接AE并延長交 DC于點(diǎn)F,則岸.13. （16哈爾濱）如圖，在菱形 ABCDK Z BAD=120，點(diǎn)E、F分別在邊AR BC上，ZXBEF與AGE聯(lián)于直線EF對稱, 點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn) G,且點(diǎn)G在邊AD上.若EGL AC, AB=6 , 則FG的長為.三.解答題1. 已知：如圖，在矩形ABCDh,對角線AC BD相交于

14、點(diǎn)O, E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE過點(diǎn)C作CF/ BD交線段OE的延長線 于點(diǎn)F,連結(jié)DF.求證：（1） AODE5AFCE （2）四邊形ODFO菱形.2. D、E分別是不等邊三角形 ABC（即ABBCAC的邊ABAC的中點(diǎn).O是 ABC所在平面上的動點(diǎn)，連接 OB OC點(diǎn) G F分別是OB OC勺中點(diǎn)，順次連接點(diǎn) D G F、E.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在ABC勺內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形 DGFE 是平行四邊形；（2）若四邊形DGF遑菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量 關(guān)系？（直接寫出答案，不需要說明理由.）3. （16吉林）如圖，菱形ABCD勺對角線AC BD相交于點(diǎn)O, 且DE/ AC, AE/1 B

15、D.求證：四邊形 AOD誕矩形.AC4. （2016 四川內(nèi)江）（9分）如圖6所示，ZXABC中，D是 BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE 的延長線于F,且A三BD,連接BF. （1）求證：D是BC的 中點(diǎn)；（2）若AB= AC試判斷四邊形AFBD勺形狀，并證明你的結(jié)論.B / C圖65. （2016 黑龍江哈爾濱）已知：如圖，在正方形ABCDK點(diǎn)E在邊CD上，AQL BE于點(diǎn)Q, DP! AQT點(diǎn)P.（1）求證：AP=BQ(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線 段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長.E6. (2016山東省濟(jì)寧市)如圖，正方

16、形ABCD勺對角線AC,/ ACFBD相交于點(diǎn)O,延長CB至點(diǎn)F,使CF=CA連接AF, 的平分線分別交 AF, AB, BD于點(diǎn)E, N, M連接EO (1)已知BD= ,求正方形ABCD勺邊長； (2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.7.(16濱州市)如圖，BD是 ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB, BD, BC于點(diǎn)E, F, G,連接ED, DG(1)請判斷四邊形EBGD勺形狀，并說明理由；(2)若/ABC=30 , / C=45° , ED=2，點(diǎn) H是 BD上的一 個(gè)動點(diǎn)，求HG+HC勺最小值.8. (16德州)我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊 形各

17、邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.(1)如圖1,四邊形ABCDK點(diǎn)E, F, G, H分別為邊AR BC, CD DA的中點(diǎn).求證：中點(diǎn)四邊形EFGF平行四邊形；(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABC的一點(diǎn)，且滿足PA=PBPC=PD /APBh CPD 點(diǎn) E, F, G H分別為邊 AB BC CD DA的中 點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH勺形狀，并證明你的猜想；(3)若改變(2)中的條件，使/ APBh CPD=90 ,其他條 件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形 EFGH勺形狀.(不必證明)9、如圖， ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，過 O作直線 MNZBC 設(shè)M聯(lián)/ACB的平分線于點(diǎn) E,交/ ACB的

18、外角平 分線于點(diǎn)F.(1)求證：OE=OF(2)若 CE=12 CF=5,求 OC勺長；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形AEC幅矩 形？并說明理由.BDAr10 （2016 湖北荊州）如圖，將一張直角三角形 ABC片沿 斜邊AB上的中線CD剪開，彳#到4 ACD再將ACD& DB方 向平移到 A C D'的位置，若平移開始后點(diǎn)D'未到達(dá)點(diǎn) B時(shí)，A C'交CDT E, D' C'交CB于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)四 邊形EDD F為菱形時(shí)，試探究AA' DE的形狀，并判斷 A' DE與EFC是否全等？請說明理由.C例1解：（

19、1）是平行四邊形,證明：如圖2,連接ACE是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的 中點(diǎn)，.EF/AC EF=AC 同理 HGI AC HG=AC, 綜上可得：EF/ HG EF=HG 故四邊形EFGK平行四邊 形； AC=BD 理由如下：由(1)知，四邊形EFGH 平行四邊形，且FG=BD HG=AQ，當(dāng) AC=BD寸，F(xiàn)G=HG平行四邊形EFGF菱形，(3)當(dāng)ACL BD時(shí)，四邊形 efgHj矩形； 理由如下：同(2)得：四邊形EFGH 平行四邊形，. ACL BD GH/ AC，GHL BD,. GF/1 BD，GHL GF . / HGF=90 , 四邊形EFGHfe矩形.【點(diǎn)評】此題主要考查了中點(diǎn)

20、四邊形，關(guān)鍵是掌握三角形中 位線定理，三角形的中位線平 行于第三邊且等于第三邊的 一半.例 2 (1)證明：: AB=AC /BAC=90 ) ./ABC4 ACB=45 ) /ABF=135 ) , / BCD=90 ) /ABF土 ACD . CB=CD CB=BF = BF=CD 在 ABF和 ACD中，產(chǎn)AC/柳F二/前D , 阪CD.AB監(jiān) A ACID (SAS,.AD=AF(2)證明：由(1)知，AF=ADAB監(jiān) AACD / FAB土 DAC , / BAC=90 ) . / EAB=/ BAC=90 ) / EAF土 BAD在AAEF和AABD中，AE = AB;AF=AD.

21、AEF ZABD(SAS, .BD=EF(3)解：四邊形ABN里正方形；理由如下：. CD=CB / BCD=90 ,. / CBD=45 ,由(2)知，/ EAB=90 ,AEF A ABD /AEF土 ABD=90 )，四邊形ABN里矩形，又, AE=AB一四邊形ABNEi：正方形.例4證明：由折疊的性質(zhì)可得：/ANMgCNM.四邊形ABC奧矩形， .AD/1 BC ./ANMgCMN ./ CMN=CNM .CM=C N(2)解：過點(diǎn)N作NHLBC 于點(diǎn)H,則四邊形NHC遑矩形， .HC=DN NH=DC CMN勺面積與 CDN勺面 積比為3: 1) Sac 皿SACDJT寧 MONKt

22、Ml-aLi3) .MC=3ND=3HC . MH=2HC設(shè) DN=x 則 HC=x MH=2x . CM=3x=CN在 RtZXCD而， DC=CN2 - DN2=2x) .HN=2 x, 在 RtZXMNHK MN= r =2 X)_L_例5 (1)證明：在正方形ABCD中)AB=AD / BAE2 D=90° ) / DAF廿 BAF=90 )/AFX BE, /ABE廿BAF=90 ) / ABEh DAF 在AABE和ADAF中，r ZABE=ZDAF的AD)I /BAE二 Nd.AB草 A DAI3 (ASA, .AF=BE(2)解：MP與 NQffi等.理由如下：如圖，

23、過點(diǎn)A作AF/1 MP交CD于F,過點(diǎn)B作BE/1 NQ交 AD于 E, 則與（1）的情況完全相同.5.6 點(diǎn). 212 5ACL BC或 / AOB=90 或 AB=BC 206和20 2433 包3【解答】證明：二.四邊形ABCD 為菱形，AC± BD. / AOD=90 ）d DE/1 AC AE/1 BD二四邊形AOD叨平行四邊形，四邊形AOD丘矩形.4 （1）證明：二點(diǎn)E是AD的 中點(diǎn)，.AE= DE . AF/ BC，/AFE= /DCE / FAE= / CDE.EAM A EDC，AF= DC .AF= BD .B4 DC即D是BC的中點(diǎn).四邊形AFBD是矩形.證 明

24、如下： AF/ BD AF= BD 四邊形AFBD是平行四邊形./AB= AC又由（1）可知D是BC的中點(diǎn)，ADL BC .AFBD1 矩形.5【解答】解：（1） .正方形ABCD .AD=BA / BAD=90 即/BAQ廿 DAP=90/DPI AQ / ADP它 DAP=90 / BAQ4 ADP. AQL BE于點(diǎn) Q DPLAQ于占P八,、 / AQB4 DPA=90.AQ陰 ADP/A (AA0 .AP=BQ(2) AQ- AP=PQAQ- BQ=PQDP- AP=PQ DP BQ=PQ6【解答】解：(1) .四邊形ABCt正方形， . AB端等腰直角三角形， 2AB=BD,; B

25、D=2, .AB=1,，正方形ABCD勺邊長為1; CN= CM證明：: CF=CA AF是/ ACF的平分線， .CE! AF, /AEN= CBN=90 , . /ANE=CNB / BAF土 BCN在 ABF和 CBN中，r ZBAF=ZBCN'/研F二 NCB29。小 融RC.ABF A CBN (AAS, .AF=CN , / BAF土 BCN / ACNW BCN / BAF土 OCM丁四邊形ABC奧正方形，/.AC± BD . / ABF=Z COM=90 ,.ABD A COM CMC 四 AB)043 CLCD = 2)即 CN=CM7【解答】解：(1)四邊

26、形EBG里菱形.理由：: EG垂直平分BD, .EB=ED GB=GD / EBD力EDB ,/ EBD= DBC / EDFWGBF在EFDR! ZGFB 中，rZ£DF=ZGBF/EFD=/GFBDF=BF .EFB AGFB .ED=BG .BE=ED=DG=GB，四邊形EBG比菱形.(2)作 EML BC于 M DNL BC于N,連接EC交BD于點(diǎn)H, 此時(shí)HG+H謖小,在R3 EBM扎/EMB=90 ) E EBM=30 ) EB=ED=2;J EM=BE= 'v DE/ BC EML BQ DNL BQ .EM/ DN EM=DNj MN=DE=21在 R3 DN

27、OK /DNC=90 , / DCN=45 , . / NDC= NCD=45 , .dn=nc=； . MC=3 , 在 R3 EMCK /EMC=90 , EM甌 MC=MEC='+1 = - ：二=1 0折.; HG+HC=EH+HC=EC .HG+HC勺最小值為10:8【解答】(1)證明：如圖1 中，連接BD. 點(diǎn)E, H分別為邊AB, DA 的中點(diǎn)，/.EH/ BD EH=BD 點(diǎn)F, G分別為邊BQ CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)G/ BD FG=BD /.EH/ FG EH=GF 中點(diǎn)四邊形EFGK平行四 邊形.(2)四邊形EFGF菱形. 證明：如圖2中，連接AQ BD /APBW CPD /APB廿 APD= CPDVAPD即 / APC=BPD在AAP刖 BPD中， rAP=PB，ZAPC-ZBPD PC=PD .AP第 A BPD .AC=BD ,點(diǎn)E, F, G分別為邊AB, BC, CD勺中點(diǎn), .EF=AC FG=BD? .四邊形EFGK平行四邊 形，四邊形EFGK菱形.(3)四邊形EFGK正方形