概率學生版本

1、期末復習資料之概率（教師版）一、【知識網(wǎng)絡圖】二、【知識點填空】1一般地，在一定條件S下， 一定會發(fā)生 的事件，叫做相對于條件S的必然事件。 在一定條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件。在一定條件S下， 可能發(fā)生也可能不發(fā)生 的事件，叫做相對于條件S的隨機事件。隨機事件A發(fā)生的概率的范圍是：。2如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務，那么“使樣本出現(xiàn)的可能性最大”作為決策的準則，這種判斷問題的方法稱為 極大似然法 。3某小組3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，其中：A:恰有1名男生與B:恰有2名男生； A:至少有1名男生與B:至少有1名女生

2、；A:至少有1名男生與B:全是男生； A:至少有1名男生與B:全是女生；其中是互斥事件的是 、 （寫出相應的序號即可）。4互斥事件分別發(fā)生的概率公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B互斥，那么事件A與、與及事件與也都是互斥事件；5.古典概型和幾何概型(1)計算古典概型的基本步驟有：判斷試驗結果是否為等可能事件；求出試驗包括的基本事件的個數(shù)n，以及所求事件A包含的基本事件的個數(shù)m；代入公式P(A)，求概率值 (2)對一些較為簡單、基本事件個數(shù)不是太大的概率問題，計數(shù)時只需要用枚舉法即可計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，但應特別注意：計算時要嚴防遺漏，絕不重復(3

3、)取球模型是古典概型計算中的一個典型問題，好多實際問題都可以歸結到取球模型上去，特別是產(chǎn)品的抽樣檢驗，解題時要分清“有放回”與“無放回”，“有序”與“無序”等條件的影響 6.幾何概型(1)幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型(2)在幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A)_.求試驗中幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解7古典概型與幾何概型的區(qū)別(1)相同點：基本事件發(fā)生的可能性都是_；(2)不同點：古典概型的基本事件是有限個，是可數(shù)的；幾何概型的基本事件是_，是不

4、可數(shù)的三、【例題導講】例1 . 將一枚質地均勻的骰子拋擲一次,考察以下事件:“出現(xiàn)的點數(shù)小于2”;“出現(xiàn)的點數(shù)大于4”;“出現(xiàn)的點數(shù)小于5”;“出現(xiàn)的點數(shù)大于3”;“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”;“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”.(1)寫出其中所有的包含關系.(2)_;_;_; _;_;_.(3)其中互斥的事件有_;對立的事件有_.例2 某校高三為優(yōu)生提供數(shù)學和物理超級培訓,以提高優(yōu)生的奪冠能力,每名優(yōu)生可選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓,已知參加過數(shù)學培訓的有60%,參加過物理培訓的有75%,假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)求1名優(yōu)生參加過培訓的概率;(2)任

5、選3名優(yōu)生,求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率.分析：在題設的兩項培訓中,每個優(yōu)生都有3種選擇方法:參加1項、兩項或不參加培訓.所以僅根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)無法判斷哪些是僅參加了一項培訓,哪些是兩項培訓都參加了的.所以本題屬于典型的計算和事件的題型.例3在矩形ABCD中，AB5，AC7.現(xiàn)在向該矩形內隨機投一點P，求時的概率.例4.將一個骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數(shù).求下列事件的概率:(1)兩數(shù)之和是3的倍數(shù);(2)兩數(shù)之和為質數(shù).(3)第二次擲得的點數(shù)大于第一次擲得的點數(shù).例5記不等式組表示的平面區(qū)域為M.（）畫出平面區(qū)域M，并求平面區(qū)域M的面積；（）若點為平面區(qū)域M中任意一點，求直線的圖象經(jīng)過

6、一、二、四象限的概率.例6甲、乙兩艘輪船都要停靠在同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達設甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r間分別是4小時和6小時，求有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率例7 袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個,其中標號為0的小球1個,標號為1的小球1個,標號為2的小球n個.已知從袋子中隨機抽取1個小球,取到標號是2的小球的概率是. (1)求n的值; (2)從袋子中不放回地隨機抽取兩個小球,記第一次取出的小球標號為a,第二次取出的小球標號為b. 例8 某產(chǎn)品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S = x + y + z評價該產(chǎn)品的等級. 若S4, 則該產(chǎn)品為一等品

7、. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質量指標列表如下: 產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質量指標(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質量指標(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)() 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率; () 在該樣品的一等品中, 隨機抽取兩件產(chǎn)品, 四【典型習題導練】1.如果A、B是互斥事件，那么（ ）A.和必不互斥 B.是必然事件C.A和可能互斥 D.AB是必然事件2在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五

8、個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A. B. C. D.3考察正方體6個面的中心，從中任意選3個點連成三角形，再把剩下的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于()A1 B. C. D04.利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個隨機數(shù)a和b，則方程x2a有實根的概率為（ ） A. B. C. D.答案：解：方程x2a即x22axab0若方程有實根，則有4a24ab0，即ba，其所求概率可轉化為幾何概率，如圖，其概率等于陰影面積與正方形面積之比P.5在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨

9、機挑選一人表演節(jié)目若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會的教師共有_人6.在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù)x，則|x|1的概率為_ 7某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數(shù)增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，則n是_368.在可行域內任取一點，規(guī)則如程序框圖所示，則能輸出數(shù)對(x，y)的概率是_9.某種產(chǎn)品按質量標準分成五個等級,等級編號x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機抽取20件,對其等級編號進行統(tǒng)計分析,得到頻率分布表:x12345頻率a0.

10、20.45bc(1)若所抽取的20件產(chǎn)品中,等級編號為4的恰有3件,等級編號為5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的條件下,將等級編號為4的3件產(chǎn)品記為x1、x2、x3,等級編號為5的2件產(chǎn)品記為y1、y2,現(xiàn)從x1、x2、x3、y1、y2這5件產(chǎn)品中任取兩件(假定每件產(chǎn)品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結果,并求這兩件產(chǎn)品的等級編號恰好相同的概率.解:(1)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, 即a+b+c=0.35.因為抽取的20件產(chǎn)品中,等級編號為4的恰有3件,所以b=320=0.15.等級編號為5的恰有2件,所以c=220=0.1,從而a=0.35-b-c=0

11、.1, 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)從產(chǎn)品x1、x2、x3、y1、y2中任取兩件,所有可能的結果為(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共10種.設事件A表示“從產(chǎn)品x1、x2、x3、y1、y2中任取兩件,其等級編號相同”,則A包含的基本事件為 (x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共4種.故所求的概率P(A)=410=0.4.10.一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球從中隨機取出1球，求：(1)取出1

12、球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1任取1球為紅球，A2任取1球為黑球，A3任取1球為白球，A4任取1球為綠球，則P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根據(jù)題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).方法二(利用對立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1A2的對立事件為A3A4，所以取出1

13、球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因為A1A2A3的對立事件為A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.阿11袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？解設事件A、B、C、D分別表示“任取一球，得到紅球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黃球”，“任取一球，得到綠球”，則由已知得P(A)，(3分)P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)1P(A)P(B)P(C)P(D)1.

14、 解得P(B)，P(C)，P(D).故得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為，.12.班級聯(lián)歡時，主持人擬出了如下一些節(jié)目：跳雙人舞、獨唱、朗誦等，指定3個男生和2個女生來參與，把5個人分別編號為1,2,3,4,5，其中1,2,3號是男生，4,5號是女生，將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個箱子中充分混合，每次從中隨機地取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目(1)為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)為了選出2人分別表演獨唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再從中抽取第二張卡片，求獨唱和朗誦由同一個人表演的概率解

15、(1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結果(如下圖所示)由上圖可以看出，試驗的所有可能結果數(shù)為20，因為每次都隨機抽取，因此這20種結果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型用A1表示事件“連續(xù)抽取2人一男一女”，A2表示事件“連續(xù)抽取2人都是女生”，則A1與A2互斥，并且A1A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能結果可以看出，A1的結果有12種，A2的結果有2種，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1A2)P(A1)P(A2)0.7，即連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7.(2)有放回地連續(xù)抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次

16、被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個有序實數(shù)對表示抽取的結果，例如“第一次取出2號，第二次取出4號”就用(2,4)來表示，所有的可能結果可以用下表列出. 第二次抽取第一次抽取123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)試驗的所有可能結果數(shù)為25，并且這25種結果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型用A表示事件“獨唱和朗誦由同一個人表演”，由上表可以看出

17、，A的結果共有5種，因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率P(A)0.2.13.汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率解(1)設該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以n2 000.則z2 000(100300)(150450)600400.(2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，即a2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，