高等幾何復(fù)習(xí)分解

1、課外訓(xùn)練方案部分第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換第二章、射影平面一、主要內(nèi)容：基本概念：射影直線與射影平面 ；無窮遠(yuǎn)元素；齊次坐標(biāo)；對偶原理；復(fù)元素 基本定理：德薩格定理：如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，則其對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上。 德薩格定理的逆定理：如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)對偶原理： 在射影平面里，如果一命題成立，則它的對偶命題也成立。二、疑難解析無窮遠(yuǎn)點(diǎn)：在平面上，對任何一組平行直線，引入一個(gè)新點(diǎn)，叫做則對應(yīng)頂點(diǎn)連線共無窮遠(yuǎn)點(diǎn).此點(diǎn)在這組中每一條直線上，于是平行的直線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).無窮遠(yuǎn)點(diǎn)記為P ,平面內(nèi)原有的點(diǎn)叫3C-做有限遠(yuǎn)點(diǎn).無窮遠(yuǎn)直線：所有相互平行的直線上引入的無窮

2、遠(yuǎn)點(diǎn)是同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，不同的平行 直線組上，弓I入不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，平面上直線的方向很多，因此引入的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也很多，這 些無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡是什么呢？由于每一條直線上只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 每一直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).因此，我們規(guī)定這個(gè)軌跡是一條直線于是這個(gè)軌跡與平面內(nèi)稱為無窮遠(yuǎn)直線.一般記為I比，為區(qū)別起見，平面內(nèi)原有的直線叫做有窮遠(yuǎn)直線.平面上添加一條無窮遠(yuǎn)直線，得到的新的平面叫做仿射平面.若對仿射平面上無窮遠(yuǎn)元素（無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、無窮遠(yuǎn)直線）與有窮遠(yuǎn)元素（有窮遠(yuǎn)點(diǎn)、有窮遠(yuǎn)直線）不加區(qū)別，同等 對待，則稱這個(gè)平面為射影平面.三、典型例題:1、求直線x-1=0與直線x-3y+4=0上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)解:（1

3、）直線x-1=0即x=1它與y軸平行 所以位y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0,1,0）141由直線X-3y*0得y=3X-故無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為（1,3,0） 或（ 3, 1, 0）求證：兩直線X1 + X2 -X3 = 0和2X1 - X2 + 2X3 = 0的交點(diǎn)C與兩點(diǎn)A( 3 , 1, B ),（三點(diǎn)共線證明：解方程組:I X + Xo X3 = 0«123 的交點(diǎn) C(1,V,3).2% X2 +2X3 =0因?yàn)樾辛惺?43=0 所以三點(diǎn)共線3、試證：兩共軛復(fù)點(diǎn)的連線是一實(shí)直線證明設(shè)a=(u i,u2, U3),與a=(Ui,U2,U3)是共軛復(fù)點(diǎn)，兩點(diǎn)連線為 丨竺旦旦=(當(dāng)U2U3U2U2U2

4、l 與重合，故巴=Ui由定理a在I上,a在l上，又a在I上，所以a的共軛a也在直線I上而兩點(diǎn)確定一條直線所以，旦=出=(當(dāng)即蟲與比都為實(shí)數(shù)U3 U3 U3 U2 U3所以U1：U2 ： U3與一組實(shí)數(shù)成比例，即直線為實(shí)直線。4、德薩格定理的逆定理：如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則其對應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。證明：如圖三點(diǎn)形 ABC與A1 B,G的三對應(yīng)邊交點(diǎn)L,M ,N共線，證明對應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，考慮三點(diǎn)形BLBi與CMCi則有對應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn) N，故對應(yīng)邊的交點(diǎn) A,Ai,O共線1、證明：中心投影一般不保留共線三點(diǎn)的單比.2、設(shè)一平面內(nèi)有幾條直線Ii,l2，川，ln用Ti,T2|,Tn_4分別表

5、示li與J，I2與b川，ln_l與In間的中心投影.這一串中心投影的復(fù)合 T =TnTn二川丁2 6把11上的點(diǎn)對應(yīng)到In上的點(diǎn)，這種對應(yīng)關(guān)系稱為射影對應(yīng).舉例說明對應(yīng)點(diǎn)之間的連線一般不共點(diǎn).3、4、設(shè)有兩個(gè)相交平面 眄和兀2，如果以S為中心做兀1到兀2的投影（S不在兀1和兀2上），把 眄上一已知直線li投影到兀2上直線l2 .證明：當(dāng)S變動(dòng)時(shí)，已知直線li的象l2總要通過 一個(gè)定點(diǎn)，或與定直線平行.設(shè)兀2是平面兀1與兀2之間的中心投影.試討論兀1上兩條平行直線的象在兀2中5、線？試證明：中心投影不保持直線上兩個(gè)線段之比.第三章、射影變換與射影坐標(biāo)一、 基本內(nèi)容：交比與調(diào)和比； 一維射影變換;

6、 二維射影變換于二維射影坐標(biāo)二、主要公式一維射影坐標(biāo);1、共線四點(diǎn)的交比:(P1P2, P3P4)=(P1 P2P3)(P1P 2P3) P1 P3 T2P4P2P3 計(jì)42、共點(diǎn)四線的交比:sin <a, C A sin < b,d asincb, C > sin < a,d還是否平行，不平行有什么性質(zhì)？同樣在兀2上兩條平行直線在 兀1中的原象是否為平行3、兩直線之間的射影變換:非齊次坐標(biāo)形式：X，= a”+22 =ai1a12HOa? X + *22a21a22齊次坐標(biāo)形式：I=a11X1 +a12X2311a12PX2 =*21X1 +*22X2a21a22參數(shù)形

7、式：aAA +bA+c 扎 +d =0,ad-bcH0Px1=311X*12X313X331131231314、二維射影變換：X2 =321X*22X2 +323X3, A =321322323IPxs =331X1 +332X2 中333X3331332333X1 'apX2'= Ax211x3；1x3丿,det A h0三、典型例題:1、證明：(ABi,CD) =(A2B2,CD)的充要條件是：(AA'CD) =(B,B2,CD)證明：設(shè) A =C +,0, A2 = C +k2D,B1 = C+n1D,B2 = C + n2Dk1則（ABjCD）=丄,（A2B2,

8、CD）=丄n1若（AiBi,CD） NZ'CD）k1k2 卡 k1n1則或=-1-門1n? k?n?n2所以有（A A2, CDA （ B B,CDk2而（A1A2, CD） = ',（B2, CD）=匹n?2、已知共點(diǎn)直線a,b,d的方程為:a:2x-y+1=0,b:3x + y-2 = 0, d:5x-1 = 01且(ab,cd) =5求直線c的方程解：先化為齊次線坐標(biāo)a2,-1,1,b3,1,-2, d5,0, -1則有d =a +b 即k=1令 c=a +nd 則（ab,cd）k=1 所以2 2c=a +1b=7,-1,0所以方程2 2 2為 7x y = 03、設(shè)一直

9、線上的點(diǎn)的射影變換是X3x +2= 證明變換有兩個(gè)自對應(yīng)點(diǎn),x+4且這兩自對應(yīng)點(diǎn)與任一對對應(yīng)點(diǎn)的交比為常數(shù)。得 x2 - X - 2 = 0 解得片=-1, X2 = 2解：令X =x'由x'=竺工x+4即有兩個(gè)自對應(yīng)點(diǎn)設(shè)k與k二塑咚 對應(yīng)，有(-1)2,kk')=-為常數(shù) k +42 如圖：ABCD為圓內(nèi)接正方形， P為圓上任意點(diǎn)。因?yàn)?AD = AB所以PA為角DPB的平 分線。4、試證圓上任證明：2注：結(jié)果 有&也對，不過順序有別5同理可證明 PC是角EPB平分線。即 PA, PC是角DPB的內(nèi)外角平分線。 所以直線PD, PA, PB,PC構(gòu)成調(diào)和線束。

10、5、試證：雙曲型對合的任何一對對應(yīng)元素P T P',與其兩個(gè)二重元素E, F調(diào)和共軛即(PP，,EF )=-1證明：E,F為自對應(yīng)元素，P與P對應(yīng)則有(P R,EF)=(R P,EF) 而(PR,EF)=1(PiP,EF)所以(PR,EF) =1(P P,EF)2得(PR,EF) =1因?yàn)镻,P1不重合故(PP,EF) = 11-IPx)=為 +x26、求射影變換Px2=x2的不變點(diǎn)坐標(biāo)PX3' = X3解：由特征方程:10 X,中 X2 = 0得X2 = 0,故X2 = 0上的點(diǎn)都是不變點(diǎn)將入=1代入方程組 0x2 =0I 0X3 = 0X2 = 0是不變點(diǎn)列。自測題1、設(shè)

11、R（1,1,1）,P2（1,1,1）,巳（1,0,1）為共線三點(diǎn)，且（RP2,F3Pi）=2 求 P3的坐標(biāo)。2、3、1已知線束中 三直線a,b,c求作直線d使（ab,cd）=-射影變換使直線上以0, 1為坐標(biāo)的點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)順次對應(yīng)-1 , 0, 1求變換式，并判斷變換的類型。4、2 2求兩直線ax + 2hxy+by =0所構(gòu)成角的平分線方程5、試證在同一直線上的四點(diǎn)的交比值與直線上攝影坐標(biāo)系的選取無關(guān)。丨 Px1 =2捲一X2 +X3求射影變換Px2 =x2xx3的逆變換，并求出影消線對應(yīng)直線的方程。I 'Px3 =X1 +X2 +X3第四章 變換群與幾何學(xué)疑難解析1.變換群（1

12、）基本定義射影變換群：射影平面上所有射影變換的集合構(gòu)成射影變換群P,它是一個(gè)八維群;仿射變換群：仿射平面上所有仿射變換的集合構(gòu)成仿射變換群A，它是一個(gè)六維群;相似變換群：平面上所有相似變換的集合構(gòu)成相似變換群S,它是一個(gè)四維群;正交變換群：歐氏平面上所有正交變換的集合構(gòu)成正交變換群M，它是一個(gè)三維群。四種變換群，就群的大小而言，它們的關(guān)系是:（2） 一一變換的集合 G構(gòu)成群的充要條件是:若,篤，則® 1亡G （封閉性）；若W ，則W'忘G （存在逆元）2克萊因關(guān)于幾何學(xué)的變換群觀點(diǎn)正交變換群7歐氏幾何;仿射變換群7仿射幾何;射影變換群7射影幾何;就變換群的大小來看，三種變換群

13、的關(guān)系為:從幾何學(xué)研究的內(nèi)容來看，它們的關(guān)系是:歐氏幾何二仿射幾何二射影幾何.名稱射影幾何仿射幾何相似幾何歐氏幾何變換群射影群仿射群相似群正交群純度量性質(zhì)純相似性質(zhì)純度量不變量研純仿射性質(zhì)純相似不變量純相似性質(zhì)究射影性質(zhì)純仿射不變量純仿射性質(zhì)純相似不變量對射影不變量射影性質(zhì)純仿射不變量純仿射性質(zhì)象射影不變量射影性質(zhì)純仿射不變量射影不變量射影性質(zhì)射影不變量結(jié)合性結(jié)合性結(jié)合性結(jié)合性主要不變性質(zhì)平行性平行性分割性平行性保角性合同性基本不變量交比單比相似比距離例題選解例1證明：平面內(nèi)有公共旋轉(zhuǎn)中心的所有旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群 證明：不失一般性，可將旋轉(zhuǎn)中心取為原點(diǎn)，則變換的一般式為:|x'= XCOS

14、日-ysin日 制，=xsi n 日 + ycos 日容易證明，這種變換對于乘法是封閉的，且逆變換也是以原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)變換（其實(shí)就是旋轉(zhuǎn)-日的變換），所以這種變換的集合構(gòu)成群 .梯形；（2）正方形；（3）離心率；（4）塞瓦定理與麥尼勞斯定理; 重心；（6）垂心；（7）平行四邊形的對角線互相平分； 在平面內(nèi)，一般位置的四條直線有六個(gè)交點(diǎn)；含于半圓內(nèi)的圓周角是直角；例2下面所說的名稱或定理，哪些屬于射影幾何學(xué)？哪些屬于仿射幾何學(xué)？哪些屬于歐氏 幾何學(xué)？（最大的）（1）（5）（8）（9）（10）如果直線AB與CD相交，則AC與BD相交；（11）二次曲線的中心；（12）德薩格定理.分析：判定一個(gè)圖形

15、或定理屬于哪一中幾何學(xué)研究的對象，主要根據(jù)圖形或定理所涉及的不涉及變性和不變量來判定，例如涉及距離，線段或角的相等就屬于歐氏幾何學(xué)研究的范圍， 直線的平行、線段的比例、線段的中點(diǎn)等就屬于仿射幾何學(xué)研究的對象，而僅與點(diǎn)、線、面 之結(jié)合關(guān)系有關(guān)的就屬于射影幾何學(xué)研究的對象了.解：（2）、（ 3）、（ 6）、（ 9）屬于歐氏幾何學(xué)；（1 ）、（ 4）、（ 5）、（ 7）、（ 11）屬于仿射幾何學(xué); （8）、（ 10）、（ 12）屬于射影幾何學(xué).例3為什么向量的數(shù)量積的概念在仿射幾何里不存在？解：因?yàn)槎蛄?U, V的數(shù)量積為：U lV 8S（U, v）而在仿射變換下，向量的長度和夾角都要改變，故向量

16、的數(shù)量積概念在仿射幾何里不存 在。第五章 二次曲線的射影理論本章是應(yīng)用前面學(xué)習(xí)的射影變換和仿射變換的知識，來研究二次曲線的性質(zhì)的。在射影平面上取定坐標(biāo)系后，首先給出二階（級）曲線的代數(shù)法定義，闡明其幾何意義之后，給出 二階（級）曲線的射影定義，并研究二階（級）曲線在射影變換下的不變性質(zhì)。然后基于射 影變換的基本不變性質(zhì)（結(jié)合性）和不變量（交比），反映在二階（級）曲線上，證明了兩個(gè)著名的定理 巴斯卡定理和布利安香定理，這兩個(gè)定理是相互對偶的。在此基礎(chǔ)上，定義了二階（級）曲線的極點(diǎn)和極線概念，導(dǎo)出了其求法。在研究二次曲線的性質(zhì)時(shí)對偶原理起著重要的作用。根據(jù)對偶原理，在射影平面內(nèi)可將二次曲線看作點(diǎn)曲

17、線（二階點(diǎn)列），稱為二階曲線。也可以將曲線看作直線的包絡(luò)，也就是 看作是線曲線（二級線束），稱為二級曲線，統(tǒng)稱二次曲線。因此，對于二階曲線的每一性 質(zhì)，都可以對偶地得出二級曲線的對偶性質(zhì)。這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)的過程中要加以注意。本章最后，研究了二次曲線（只研究二階曲線）的仿射性質(zhì)：二階曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線，給出了二次曲線的仿射分類：橢圓型曲線、雙曲型曲線和拋物型曲線。 在仿射平面上研究二階曲線性質(zhì)，是以無窮遠(yuǎn)直線在仿射變換下保持不變?yōu)榛A(chǔ)來進(jìn)行的， 因此研究仿射性質(zhì)要把握住無窮遠(yuǎn)元素。疑難解析1、二次曲線的概念教材中首先給出了二次曲線的代數(shù)法定義:二次曲線：滿足二次方程2 2 2a11X

18、1 +a22X2 +a33X3 +2a12X1X2 +2印3花3 + 2a23X2X3 = 0<3）或?qū)懗?S aijXiXj =0, aij =aji <.2 丿的全體點(diǎn)（xXz/X3稱為二階曲線，二階曲線是點(diǎn)的軌跡 二級曲線：滿足二次方程b2 +b22 駡 +b33 驚 +2b12 叨 2+2b13 屮3+2b23打蔦=0(3)的直線的全體稱為二級曲線，二級曲線看成是直線的包或?qū)懗? bijPfj =O,bij =bji It丿絡(luò).二階曲線和二級曲線統(tǒng)稱二次曲線。兩個(gè)不共心的射影線束（兩個(gè)不共底的射影點(diǎn)列），對應(yīng)直線的交點(diǎn)（對應(yīng)點(diǎn)的連線）的全體連同兩個(gè)線束的中心（兩個(gè)點(diǎn)列的底）

19、組成一條二階曲線（二級曲線）.這實(shí)際上給代數(shù)定義找到了幾何背景，由此引出了二次曲線的射影定義（也稱作幾何定義）：二階曲線：兩個(gè)射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的全體稱為二階曲線。二級曲線：兩個(gè)射影點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線的全體稱為二級曲線.當(dāng)成射影對應(yīng)的兩個(gè)線束（點(diǎn)列）為透視的，則此二階曲線（二級曲線）退化為二直線（二 點(diǎn)）。此時(shí)稱該二階曲線（二級曲線）為退化的二階曲線（二級曲線）。一個(gè)由射影線束生成的二階（二級）曲線，可以由其上任意二點(diǎn)（二線）為中心（底） 構(gòu)成的射影線束（點(diǎn)列）生成 .由此定理推出兩個(gè)重要的結(jié)論：，可決定唯一一條二階曲（1）平面內(nèi)給定無三點(diǎn)共線的五點(diǎn)（無三線共點(diǎn)的五條直線）線（二級曲線）.（2）

20、 二階曲線上四定點(diǎn)（二級曲線上四條定直線） 與其上任意第五點(diǎn)所連四直線（任意第五條直線相交）所得四線（四點(diǎn)）的交比不變.利用這兩個(gè)結(jié)論可以解決有關(guān)二次曲線的作圖問題。2.巴斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理這是關(guān)于二次曲線的兩個(gè)重要定理，要注意以下幾點(diǎn)：（1）這兩個(gè)定理是兩個(gè)對偶的定理，因此其一的證明完全可以從另一個(gè)對偶地得出，教材中已經(jīng)給出這兩個(gè)定理的證明。值得注意的是，巴斯卡定理的證明中， 射影中心的選擇可以是其中的任意兩點(diǎn)，同理布利安香定理的證明中，點(diǎn)列的底的選擇也是任意的兩點(diǎn)。（2）這兩個(gè)定理的逆定理也是成立的。（3）這兩個(gè)定理的應(yīng)用： 已知二階曲線上的五個(gè)點(diǎn)

21、利用巴斯卡定理可以作出第六個(gè)點(diǎn)（見典型例題）；對偶地，已知二級曲線上的五條切線，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六條切線。 可利用他們證明三點(diǎn)共線問題（見典型例題）；對偶地，也可用之證明三線共點(diǎn)問題。3二次曲線的極點(diǎn)與極線極點(diǎn)與極線是關(guān)于二次曲線的重要概念，對于討論二次曲線的仿射性質(zhì)起著重要的作用。極點(diǎn)與極線的概念是由關(guān)于二階曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)引入的。（1）調(diào)和共軛點(diǎn)：如果兩點(diǎn)P,Q被它們連線與二階曲線的交點(diǎn)M1,M2調(diào)和分離,即（P Q,M1M2-1，則稱P,Q關(guān)于是調(diào)和共軛的.（2）不在上兩點(diǎn)P（p, p,p）,Q（iq ,2q關(guān)于調(diào)和共軛當(dāng)且僅當(dāng)Z aj Piqj =0。（3） 定點(diǎn)P（

22、Pi, P2, P3）關(guān)于二階曲線的軌跡 £ ajjPiX0是一條直線： 2 aj P iXj =0 的調(diào)和共軛點(diǎn) Q(qi,q2,q3)=0的極點(diǎn)。這條直線稱為P（5, p2, p3）點(diǎn)的極線，而點(diǎn)P(Pl, P2, P3)稱為直線 2 4 PiXj（4）不在二階曲線r上兩點(diǎn)p（ P1, p2, p3）, Q（q1,q2,q3）關(guān)于調(diào)和共軛的充要條件是送 aj Pi qj = 0。4.二階曲線的切線我們從討論二階曲線（二級曲線）與直線（點(diǎn)）的相關(guān)位置入手，推導(dǎo)出二階曲線 （二級曲線）的切線（切點(diǎn)）的方程。則直線PQ上任意點(diǎn)的坐設(shè)兩點(diǎn) P,Q 的坐標(biāo)為 P（p 1, P2, P3）

23、, Q（qi，q2，q3）, 標(biāo)可以寫成x1,x2,x3，其中Xi = Pi +Aqi(i =1,2,3)(1)為了求直線PQ與二階曲線3藝 Qj Xi Xj = 0( aj = aji)i,j 二的交點(diǎn)，我們將（1）式代入（2）式，得3S aij( Pi +g)( Pj + kqj) =0i,jm展開并整理，得33(送aijqiqj +(送i,j#i,j 壬33aij Piqj+£ aijqi Pj)'"+送 ajPiPj=0如果Q點(diǎn)不在二階曲線上，則（3）i,jmi,j#式是關(guān)于 幾的二次方程，入有二值適合（3）式，這兩個(gè)值或?qū)崱⒒蛱?、或重合，所以直線PQ與二階

24、曲線或相交，或相離，或相切。3由于 aij = aji，所以 S a Piqji,j#3=2 aijqiPj ,因此（3）式可以寫成i,j¥33(無 aijqiqj + 2入2a” piqji,j壬i,j丑顯然當(dāng)333(S ajP iqj)2(送 ajqiqjXS aj Pi p j) =0i,j 4i,j#i,j#時(shí)，方程有二相等實(shí)根，即表示直線PQ與二階曲線相切。3若點(diǎn)P( P1, P2, P3)在二階曲線上，則切線方程為Z % PiXj =0 ,寫成矩陣形式為i,j”1 =0(P1P2P3 A X2I1x3丿此方程表示過二階曲線上一點(diǎn)P(p1, P2, P3)的二階曲線的切線方

25、程。其中A為二階曲線的系數(shù)矩陣。類似的方法，可以討論二級曲線與點(diǎn)的位置關(guān)系，求出切點(diǎn)的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo)。在此留給同學(xué)們自己討論。例題選解例1求二階曲線的方程，它是由下列兩個(gè)射影線束所決定的:捲一AXs = 0 與 X2 - A Xs = 0，且 '心H + 2a' + 1=0.解：射影對應(yīng)式為:由二線束方程有:k 呂”=乞，代入射影對應(yīng)式，經(jīng)化簡后得:X3X32x1x2x2xx1xx3 =0例2求證點(diǎn)坐標(biāo)方程2 2y =2px與線坐標(biāo)方程 pu2 -2u1U3=0表示同一條曲線.證明：將y2 =2 px化為齊次坐標(biāo)方程為:2X2-2pX1X3=0，它的線坐標(biāo)方程為:-P0UiU

26、2=0，即-PUiU2U3U30同理可求出PU2'pu22 -25出=0.-1Xi-2U1U3 = 0的點(diǎn)坐標(biāo)方程為：X2-1=0，X1X2X3X30X22 2 px X 尹 0.其非齊次坐標(biāo)方程為:2y =2px.例 3 求通過五點(diǎn) P(1,0,-1 ),Q(1,0,1 ),R(1,2,1 ),S(1,2,-1 ),T (1,3,0 )的二次曲線.2 2 2解：設(shè)所求為：aiixi + a22x2 +833X3 +2ai2xix2a23x2x2ai3xix 0，將已知五點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入所設(shè)方程，求出系數(shù)aii,a22, a33, ai2,a23, ai3的比，即得所求:3xi2 -x

27、23x32 +2X2 = 0 .例4設(shè)自點(diǎn)P(pi, P2, P3)至二階曲線S=0的切線的切點(diǎn)為Hi,Ki，自點(diǎn)Q(q,q2，q3)至二階曲線S=0的切線的切點(diǎn)為H2,K2，求證：HjKj, P, H2,K2,Q在同一個(gè)二階曲線上,其方程為Spq S = Sp Sq .證明：因?yàn)镠i,Ki為S = 0的過P點(diǎn)的切線的切點(diǎn)，所以Hi,Ki的坐標(biāo)滿足S = 0, Sp = 0 ,同理H2,K2的坐標(biāo)也滿足S=0 ,Sq = 0 .現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)二階曲線，使其通過Hi,H 2,Ki,K2，再確定待定系數(shù) A，使二階曲線也通過另外兩點(diǎn).設(shè)二階曲線方程為:如果二階曲線通過P，則有SppSqp=ASpp,有

28、A =Sqp，由于Spq=Sqp,所以二階曲Spq S = Sp 'Sq也通過Q點(diǎn).故Hi, Ki, P,H2,K2,Q在同一個(gè)二階曲線上，其方程為Spqp £q.例5設(shè)六邊形的三對對邊互相平行，求證這個(gè)六角形內(nèi)接于一條二次曲線 .證明：因三對對邊互相平行，所以三對對邊的交點(diǎn)都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 所以這三點(diǎn)共一條無窮遠(yuǎn) 直線，故有六邊形之三對對邊交點(diǎn)共線， 根據(jù)帕斯卡定理之逆定理， 這六邊形內(nèi)接于一條二 次曲線.例6求兩直線h : Xj + X2 -2x3 =0和J ：為+X3 = 0的交點(diǎn)關(guān)于二次曲線2 2 23Xi +2XiX2 +3x2 T6X2X3+23X3 =0的極線方程

29、.解：經(jīng)解聯(lián)立方程得Ii,l2的交點(diǎn)為P(-1,3,1). P點(diǎn)的極線為Sp =0，經(jīng)計(jì)算得所求為:X3 =0.例7求x2 +y2 =r2的動(dòng)切線關(guān)于ax2 + by2 = 1的極點(diǎn)的軌跡方程.解：將已知曲線方程化為齊次式:2 2 2X2 -r X3 =02 2 2 2 2ax +by =1 化為 axi +bx2 -X3 =0在上任取一點(diǎn)（Xi； x2 ,x3）,則切線方程為:2aXjXj +X2X2 -r X3X3 =0設(shè)直線關(guān)于axj + bx22 - X32=0的極點(diǎn)為（Xi，X2，X3 ），則有axi =Xi；* bx2 = x2,I1x3又因?yàn)?2,2 2,2Xi+ X2 r X3 = 0 .所以（ax1）m 化=0r2 (a2X12 +b2X22 )-X32 =0 .此即所求極點(diǎn)的軌跡方程，其非齊次坐標(biāo)方程為:r2 (a2x2 +b2y2 ) = 1.自測題1.試求點(diǎn)（-1, 1）關(guān)于二階曲線X2-3xy+y2-2x y-1 =0的極線。2.如圖，求作直線P關(guān)于二次曲線r的極點(diǎn)。P3.A ABC 和 A 線上。4.若有心二次曲線B' C'同時(shí)外切于一二次曲線 r,證明它們的六個(gè)頂點(diǎn)在另一個(gè)二次曲（中心為0）的一條直徑P通過一定點(diǎn) A，則其共軛直徑 P平行于A的極1.設(shè)入，”分別表示點(diǎn)列I(P)中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，則下述變換為對合(A =