高三一輪復(fù)習(xí)之解三角形

1、高三一輪復(fù)習(xí)資料 解 三 角 形 講 義解三角形 1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如右上圖，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與

2、它們夾角的余弦的積的兩倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：（1）S ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）S absinCbcsinAacsinB；（3）S ；(R為三角形ABC外接圓半徑)（4）S ； （5） ,其中是三角形內(nèi)切圓半徑.4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三

3、角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）邊與角關(guān)系：大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角變

4、換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。（3）在ABC中，熟記并會(huì)證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。6. 正余弦定理的應(yīng)用 在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或

5、角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題；(2)已知三邊問題. 解三角形時(shí)，三角形解的個(gè)數(shù)的判斷 在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解7. 正余弦定理解決應(yīng)用題1.步驟：由已知條件作出圖形， 在圖上標(biāo)出已知量和要求的量； 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； 答2.注意方位角；俯角；仰角；張角；張角等如：方位角是指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角。 方位角北張角仰角俯角1、高考真題再現(xiàn)1. （201

6、4年高考安徽（文）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，且，的面積為，求與的值.2.（2014年高考安徽（理）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.（）求a的值（）求的值.3.（2013年高考安徽卷（文、理）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若,則角=（ ） A. B. C. D. 4.（2012年高考安徽卷（文）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有。（）求角A的大?。唬? 若，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)。5.（2012年高考安徽卷（理）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為；則下列命題正確的是 若；則 若；則 若；則 若；則 若；則6.(2011年高考安徽卷（理）)已知 的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)

7、成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_7(2013年高考陜西卷（理）)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b cos Cc cos Ba sin A，則ABC的形狀為( )A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不確定8.（2014年高考江西卷（理）在中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若則的面積（ ）A.3 B. C. D.9.（2014年高考重慶卷（理）已知三角形ABC的內(nèi)角滿足,面積滿足,則下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 10.（2014年高考四川卷（理）如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度約等于_。（用四舍五入

8、法將結(jié)果精確到個(gè)位。參考數(shù)據(jù)：，）11.（2014年高考新課標(biāo)I卷（理）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，=2，且，則面積的最大值為 .12.（2014年高考陜西卷（理）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（I）若成等差數(shù)列，證明：；（II）若成等比數(shù)列，求的最小值. 13.（2014年湖南卷（理）如圖5,在平面四邊形中,.(1)求的值;(2)若,求的長(zhǎng).2、例題分析題型一：利用正余弦定理解三角形例1.在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和邊c. (2)在ABC中，a8，B60°，C75°，求邊b和c.例2.在ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是（） Ab=20，A=45

9、°，C=80°Ba=30，c=28，B=60° Ca=14，b=16，A=45°Da=12，c=15，A=120例3.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2bsinA.（1）求角B的大??； （2）求cosAsinC的取值范圍例4.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積.題型二：利用正余弦定理解決面積問題與周長(zhǎng)問題例1.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且. 例2.在中,已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量,且 (1)求銳角B的大小; (

10、2)如果,求的面積的最大值例3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若cosB，ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)例4.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，。（1） 求A的大小（2） 若a=1，求ABC的周長(zhǎng)的取值范圍（若改為銳角三角形，則周長(zhǎng)的取值范圍呢？）例5在中,角所對(duì)的邊分別為,. （1）試判斷的形狀; （2）若的周長(zhǎng)為16,求面積的最大值.題型三：三角形中的三角恒等變換問題例1在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。例2在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值

11、。例3. 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且3b23c23a24bc. (1)求sin A的值； (2)求的值例4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，8，BAC，a4.(1)求b·c的最大值及的取值范圍；(2)求函數(shù)f()2sin2()2cos2的值題型四：利用正、余弦定理判斷三角形形狀例1.在中,若,則的形狀是（ ）A銳角三角形.B直角三角形.C鈍角三角形.D不能確定.例2.已知在ABC中，則ABC的形狀是 例3.在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形例4

12、.在ABC中，面積且判定三角形形狀。例5.在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀.題型五：利用正、余弦定理解決實(shí)際問題例1.如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端，長(zhǎng)35米，長(zhǎng)80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為.（1）設(shè)計(jì)中是鉛垂方向，若要求，問的長(zhǎng)至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？（2）施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01米）？例2.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處

13、下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,山路長(zhǎng)為,經(jīng)測(cè)量,.(1)求索道的長(zhǎng);(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?CBA例3.為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟3.課后練習(xí)1在ABC中，角A、B、C所對(duì)

14、的邊分別為a，b，c.若acosAbsinB，則sinAcosAcos2B( )A B. C1 D12.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a2bcos C，則此三角形一定是 () A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC中，若A60°，b1，SABC，則的值為() A. B. C. D.4.若ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA4sinB3sinC，則cosB( )A. B. C. D.5.若ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a，b，c滿足(ab)2c24且C60°，則ab的值為( )A. B84 C1 D.6.在

15、ABC中，若b5，B，sin A，則a_.7.若ABC的面積為，BC2，C60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC_.10.在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_.11在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若其面積S(b2c2a2)，則A_ _12.在銳角ABC中，BC1，B2A，則的值等于_，AC的取值范圍為 .【解析】由正弦定理得：，即，則2.又ABC為銳角三角形，AB3A>90°，B2A<90°30°<A<45°，<

16、cosA<由AC2cosA得AC的取值范圍是(，)13.在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀.解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0°<A<180°，A120°.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1， si

17、n Bsin C.解聯(lián)立的方程組，得sin Bsin C.因?yàn)?°<B<60°，0°<C<60°，故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形.14.在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2cos 2A. (1)求A的度數(shù)； (2)若a，bc3，求b、c的值.解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0°<A<180°，A60°.(2)

18、由A60°，根據(jù)余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3， b2c22bc9.0 整理得：bc2.解聯(lián)立方程組得或15在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，其中b，tanAtanCtantanA·tanC·tan.(1)求角B的大??；(2)求ac的取值范圍解析 (1)tan(AC)， AC，B.(2)由正弦定理有2R1，ac2R(sinAsinC)sinAsinCsinAsin(A)sinAcosAsin(A)又由0A，有A，ac，即ac的取值范圍是(，16在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，a2，tantan4，sinB·

19、;sinCcos2，求A、B及b、c.【解析】由tantan4，得cottan4，即4，所以4，所以2，所以sinC，又C(0，)，所以C或，由sinB·sinCcos2，得sinB·sinC1cos(BC)，即2sinB·sinC1cosB·cosCsinB·sinC，所以cosB·cosCsinB·sinC1，即cos(BC)1，所以BC， A(BC)，由正弦定理得， bca·2×2.17若tanC，c，試求ab的最大值(2)tanCtan(AB)tan(AB)即sin(AB)cosAsin(AB)cosBcos(AB)sinAcos(AB)sinB0即sin(2AB)sin(A2B)0.2AB(A2B)2k(kZ)或(2AB)(A2B)2k(kZ)A，B為ABC的內(nèi)角，AB，即C.又c，由余弦定理c2a2b22abcosC得：3aba2b22abab3，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)“”成立故ab的最大值為3.18在ABC中，