微積分B版-上冊-講義-3-4函數(shù)的單調(diào)性

1、3.43.4函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性與極值和曲線的凹凸性與極值1( ) , ( , )1).( , )( )0,( ) , 2).( , )( )0,( ) , yfxa ba ba bfxyfxa ba bfxyfxa b定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則若在內(nèi)則函數(shù)在上單調(diào)增加；若在內(nèi)則函數(shù)在上單調(diào)減少；將閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），將閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立321;2).xyexyx練習(xí)：討論下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1).備注：對函數(shù)備注：對函數(shù)y=f(x)單調(diào)性的討論，應(yīng)先求出使導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的討論，應(yīng)先求出使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)或使導(dǎo)

2、數(shù)不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將函數(shù)等于零的點(diǎn)或使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為若干個子區(qū)間，然后逐個判斷函數(shù)的的定義域劃分為若干個子區(qū)間，然后逐個判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)在各個子區(qū)間的符號，從而確定函數(shù)在各個在各個子區(qū)間的符號，從而確定函數(shù)在各個子區(qū)間的單調(diào)性子區(qū)間的單調(diào)性32( )29123f xxxx練習(xí)：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC二、曲線凹凸的定

3、義二、曲線凹凸的定義定義定義的（或凸?。┑模ɑ蛲够。┥系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱如果恒有如果恒有的（或凹?。┑模ɑ虬蓟。┥系膱D形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有點(diǎn)點(diǎn)上任意兩上任意兩如果對如果對上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 121212121212( ) , ,( , ),(0,1),(1)()(1)()( )( , ),( , ),(0,1),(1)()(1)()( )( , )f xa bxxa bfxxf xf xf

4、 xa bxxa bfxxf xf xf xa b定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若恒有:成立，則稱函數(shù)在內(nèi)是下凸的；若恒有:成立，則稱函數(shù)在內(nèi)是上凸的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y( )( )( )( )f xyf xf xyf x下凸函數(shù)的圖形是向下凸的，也稱曲線是下凸的（或稱曲線是凹的）；上凸函數(shù)的圖形是向上凸的，也稱曲線是上凸的（或稱曲線是凸的）定理定理2 2( )( , ),( )( , )( )0( )0f xa bf xa bfxfx如果在內(nèi)具有二階可導(dǎo) 則為上的下凸（上凸）函數(shù)的充要條件是：或）定理定理2 2(

5、 )( , ),( )( , )( )0( )0f xa bf xa bfxfx如果在內(nèi)具有二階可導(dǎo) 則為上的下凸（上凸）函數(shù)的充要條件是：或）注意：若定義注意：若定義1 1定理定理1 1中的不等式變?yōu)閲?yán)格不等式，中的不等式變?yōu)閲?yán)格不等式，則稱函數(shù)是嚴(yán)格下凸（或上凸）的。則稱函數(shù)是嚴(yán)格下凸（或上凸）的。0002.( )(,()( )f xxxf xyf x定義若函數(shù)在點(diǎn)左右兩側(cè)的凸性相反，則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。00( )()0 xf xfx推論：若 是二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)所表示曲線的拐點(diǎn)，則必有( )fx注意：不存在的點(diǎn)也可能是曲線的拐點(diǎn)例例1 1.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及

6、求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(2.( ) |ln( )|(0)f xxx例 求函數(shù)的凸性區(qū)間及曲線的拐點(diǎn)22101ln01. ( )01( )1ln111101( )1,(0,1)11(1,)(1,0)( )xxxxf xxfxxxxxxxxfxxxxf x解不存在不存在所以在區(qū)間上函數(shù)下凸，在區(qū)間上，函數(shù)上凸。點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。f(1)不存在32( -2)yxx練習(xí)：求

7、函數(shù)凸性區(qū)間及曲線拐點(diǎn)。定義域：( )fx計算( )fx計算( )0fx 計算的所有根，及所有二階導(dǎo)不存在的點(diǎn)檢查這些點(diǎn)左右兩側(cè)的凹凸性，確定曲線的凹凸性和拐點(diǎn)坐標(biāo)。2, (),1()2a baba b abeee練習(xí)：證明對于任意的實(shí)數(shù)有：20sin2xxxx練習(xí)：證明當(dāng)時，判斷拐點(diǎn)判斷拐點(diǎn)的方法的方法: :.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .

8、sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 函數(shù)極值函數(shù)極值00( )( )0yf xxxfx費(fèi)馬定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，若 是函數(shù)的極值點(diǎn)，則推論：推論：可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)；的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)；00()0( )fxxf x駐點(diǎn)：一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn) 稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。問題：駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？問題：駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？3yx問題：不可導(dǎo)點(diǎn)可能是駐點(diǎn)嗎？問題：不可導(dǎo)點(diǎn)可能是駐點(diǎn)嗎？不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)嗎？不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)嗎？|yx連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)

9、可能由哪些點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)可能由哪些點(diǎn)構(gòu)成呢？構(gòu)成呢？函數(shù)的某點(diǎn)成為極值點(diǎn)需要具備函數(shù)的某點(diǎn)成為極值點(diǎn)需要具備什么條件呢？什么條件呢？定理定理3(3(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)0000( )(, )f xxxU x設(shè)函數(shù)在 處連續(xù)，在點(diǎn) 的某去心鄰域可導(dǎo)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( )0;fx求函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)和駐點(diǎn)（的點(diǎn)）(2),;檢查駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號 判斷極值點(diǎn)(3).求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例4 4解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2

10、 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下23( )(2)f xxx例5：求函數(shù)的極值32332254( )33xxfxxxx解40( )( )5xf xxf x即，為的不可導(dǎo)點(diǎn)，為的駐點(diǎn)。x(,0)(4/5,)(0,4/5)04/5)(xf )(xf 不存在0 極大值極大值極小值極小值34616(0)0,( )5525ff 極大值極小值定理

11、定理4(4(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).2xxyee例6 求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值1.( )2,( )0ln22xxfxeefxx解令11ln2ln2221( )2( ln2)202xxfxeefee11ln2( ln2)2 222xf所以 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值sin( )(02 )1cos( )xttyy xtyty x 例7.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求函數(shù)的極值。sin,0,sin01 cosxxtyyttt 解. 令即2sin11(),0,1 cos(1 cos )4( )1 cos2xxtytyttty xy 當(dāng)時，故，當(dāng)時，函數(shù)達(dá)到極大值，曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法小結(jié)小結(jié)極值的求法極值的求法思考題思考題設(shè)設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)二階可導(dǎo)，且內(nèi)二階可導(dǎo)，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(