第8章壓桿穩(wěn)定

1、 第第8 8章章 壓壓桿穩(wěn)定桿穩(wěn)定軸軸向拉、壓桿的強度條件為向拉、壓桿的強度條件為 示例：示例：一長為一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為的鋼板尺，橫截面尺寸為 20mm 1 mm，鋼，鋼的許用應力為的許用應力為 =196MPa。 由強度條件，由強度條件，鋼板尺允許承受壓力鋼板尺允許承受壓力為為 F = A = 3.92 kN81 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定的概念的概念 實際上加實際上加的軸向壓力達到的軸向壓力達到40N時，鋼板尺就突然發(fā)明顯時，鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形，喪失的彎曲變形，喪失了承載能力。了承載能力。一、引言一、引言 maxmax NA 由此看出：工程中有些受壓構件具有足夠的強度、由

2、此看出：工程中有些受壓構件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作剛度，卻不一定能安全可靠地工作.此類伴隨彎曲變形的此類伴隨彎曲變形的失效稱為失效稱為失穩(wěn)失效失穩(wěn)失效。構件的承載能力構件的承載能力 強度強度 剛度剛度 穩(wěn)定性穩(wěn)定性內燃機、空氣壓縮機的連桿內燃機、空氣壓縮機的連桿二、二、工程實例工程實例 案例案例1 20世紀初，美國橋梁學家?guī)彀卦谑趥愃购由辖ㄔ焓兰o初，美國橋梁學家?guī)彀卦谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽蚩瓤舜髽?Quebec Bridge)1907年年8月月29日，在施工時發(fā)生穩(wěn)定日，在施工時發(fā)生穩(wěn)定性破壞，性破壞，85位工人死亡，成為上世紀十大工程慘劇之一位工人死亡，成為上世

3、紀十大工程慘劇之一.三、失穩(wěn)三、失穩(wěn)破壞案例破壞案例 案例案例2 1995年年6月月29日下午，韓國漢城三豐百貨大樓，由日下午，韓國漢城三豐百貨大樓，由于盲目于盲目擴建加擴建加層，致使大樓四五層立柱不堪重負而產生失穩(wěn)破層，致使大樓四五層立柱不堪重負而產生失穩(wěn)破壞使大樓倒塌，死壞使大樓倒塌，死502人，傷人，傷930人，失蹤人，失蹤113人人. 案例案例3 2000年年10月月25日南京電日南京電視臺演播中心視臺演播中心由于腳手架失由于腳手架失穩(wěn)造成穩(wěn)造成屋屋頂模板倒塌，死頂模板倒塌，死6人，傷人，傷34人人.1、平衡的穩(wěn)定性、平衡的穩(wěn)定性四、壓桿穩(wěn)定的四、壓桿穩(wěn)定的基本概念基本概念隨遇平衡隨遇

4、平衡2、彈性、彈性壓桿壓桿的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性直線平衡直線平衡曲線平衡曲線平衡失穩(wěn)失穩(wěn)穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡狀態(tài)狀態(tài) 臨界平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài) 不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 關鍵關鍵確定壓桿的臨界力確定壓桿的臨界力 crFF crFF crFF 穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界壓力臨界壓力: :過過度度對應的對應的壓力壓力一、兩一、兩端絞支細長壓桿的臨界壓力端絞支細長壓桿的臨界壓力mmwBxlF8.2 壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力By彎矩彎矩撓曲撓曲線近似微分方程線近似微分方程壓桿任一壓桿任一 x 截面沿截面沿 y 方向的位移方向的位移)(xfw ( )M xFw( )EIwM

5、xFw（a)令令 EIFk 2(b)式的通解為式的通解為)c (cossinkxBkxAw （A、B為積分常數）為積分常數）02 wkw(b) ( ) M xwEIBy邊界條件邊界條件 由公式由公式(c)討論：討論：0, 0 wx0, wlx000cos0sin BBA0 0 klAsin0 0 A0sin kl若若 0 00 0 wA,mmwBxlF), 2 , 1 , 0(0sin nnklkl必須必須兩端兩端鉸支等截面細長受壓直桿臨界鉸支等截面細長受壓直桿臨界力的力的歐拉公式歐拉公式), 2 , 1 , 0(2 nnklEIFk), 2 , 1 , 0(222 nlEInF令令 n =

6、1, 得得2cr2EIFl 臨界臨界力與抗彎剛度力與抗彎剛度EI成正比，與長度成正比，與長度l2成反比。成反比。mmwBxlF二、不同桿端約束情況下細長壓桿的臨界力二、不同桿端約束情況下細長壓桿的臨界力1 1、細長、細長壓桿壓桿的形式的形式兩兩端端鉸鉸支支一端一端自由自由一端一端固定固定一端一端固定固定一端一端鉸支鉸支兩兩端端固固定定2、其它、其它支座條件下的支座條件下的歐拉公式歐拉公式lFcr2l()2cr22EIFl Fcrl0.3l0.7l( . )2cr207EIFl Fcrl2cr2EIFl 歐拉公式的統(tǒng)一形式歐拉公式的統(tǒng)一形式22cr)(lEIF lFcrl/4l/4l/2( /

7、)2cr22EIFl l兩端鉸支兩端鉸支一端固定，另一端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定兩端固定一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由表表1 1 各種支承各種支承約束條件壓約束條件壓桿臨界力的歐拉公式桿臨界力的歐拉公式 支承情況支承情況臨界力的歐拉公式臨界力的歐拉公式長度因數長度因數 為壓桿的長度系為壓桿的長度系數，反應了約束情況對臨界力數，反應了約束情況對臨界力對的影響，約束越強對的影響，約束越強， 就越小，臨界力就越高就越小，臨界力就越高22crlEIF 22cr)7 . 0(lEIF 22cr)5 . 0(lEIF 22cr)2(lEIF 3、討論、討論 為長度因數為長度因數 l 為相

8、當長度為相當長度（1）相當長度）相當長度 l 的物理意義的物理意義 壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度（即折算成兩端壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度（即折算成兩端鉸支桿的長度）就是壓桿的鉸支桿的長度）就是壓桿的相當長度相當長度 l . l是各種支承條件下，細長壓桿是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中失穩(wěn)時，撓曲線中相當相當于半波正于半波正弦弦曲線的一段曲線的一段長度長度.22cr)(lEIF zyx 若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界壓力。界壓力。I 為其相應中性軸的

9、慣性矩為其相應中性軸的慣性矩. 即分別用即分別用 Iy ，Iz 計算出兩計算出兩個臨界壓力，個臨界壓力，然后然后取小的一個作為壓桿取小的一個作為壓桿的臨界壓力。的臨界壓力。（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩 I 若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則 I 應取最小的形心主慣性矩應取最小的形心主慣性矩. 例例8.1 已知已知一內燃機的連桿為細長一內燃機的連桿為細長壓桿。截面壓桿。截面形狀為工字形狀為工字鋼形，慣性矩鋼形，慣性矩Iz=6.510 4 mm4, Iy=3.810 4 mm4，彈性模量，彈性

10、模量E=2.110 5 MPa。試。試計算臨界力計算臨界力Fcr.x8801000yzyxz880 xyz軸銷FFlxz880（1）桿件在兩個方向的約束情況不同；）桿件在兩個方向的約束情況不同；x8801000yzy（2）計算出兩個臨界壓力）計算出兩個臨界壓力. 最后取小的一個作為最后取小的一個作為壓桿的壓桿的臨界壓力臨界壓力.分析思路：分析思路：解：解：kN6 .134)11(105 . 6101 . 214. 3)(2811222cr lEIF kN4 .406)88. 05 . 0(108 . 3101 . 214. 3)(2811222cr lEIF 所以連桿的臨界壓力為所以連桿的臨界

11、壓力為134.6kN.xOy面：兩端鉸支面：兩端鉸支 =1，I=Iz，l=1mxOz面：兩端固定面：兩端固定 =0.5，I=Iy，l=0.88mx8801000yzyFFlxz880 當當壓桿受臨界力壓桿受臨界力Fcr作用時，橫截面上的壓應力作用時，橫截面上的壓應力可按可按 = F/A 計算計算. 三、三、 歐拉公式的歐拉公式的應用范圍應用范圍-經驗公式經驗公式、臨界臨界應力應力歐拉公式歐拉公式臨界應力臨界應力 按按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫橫截面上的臨界應力截面上的臨界應力為為AlEIAF22crcr)( i 為壓桿橫截面對中性軸的

12、慣性半徑為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.()()(/ )2222crcr222FEIEEiAlAll i 稱為壓桿的柔度（長細比），集中地反映了壓桿的稱為壓桿的柔度（長細比），集中地反映了壓桿的長度長度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力臨界應力的影響的影響. 令令il AIi 22cr E crcrAF 令令則則則則、 歐拉公式的應用歐拉公式的應用范圍范圍 只有在只有在 cr p 的的范圍內，才可以用歐拉公式范圍內，才可以用歐拉公式計算壓桿計算壓桿的臨界壓力的臨界壓力 Fcr（臨界應力（臨界應力 cr ）.或或2crp2 E 1pE 2p E

13、 令令 即即 1，大柔度桿大柔度桿，為，為歐拉公式歐拉公式的適用范圍的適用范圍 當當 1 時，即時，即 cr p，但，但 cr s，此時壓桿仍屬于，此時壓桿仍屬于穩(wěn)定性問題，但不能應用歐拉公式，此時需用經驗公式穩(wěn)定性問題，但不能應用歐拉公式，此時需用經驗公式. 1 的大小取決于壓桿材料的大小取決于壓桿材料的力學性能的力學性能 Q235鋼鋼，可取，可取 E=206GPa， p=200MPa，得，得916p206 10100200 10E . . 常用的經驗常用的經驗公式公式式中：式中：a 和和 b是與材料有關的常數，可是與材料有關的常數，可查表得出。查表得出。 2 是對應是對應直線公式直線公式的

14、最低線。的最低線。對于對于Q235鋼，可取鋼，可取 a=304MPa，b=1.12MPa，s=235MPa ，得得2=61.6直線公式直線公式scr ba 的桿為的桿為中柔度桿中柔度桿，其臨界應力用經驗公式，其臨界應力用經驗公式. 12 或或bas bas 2 2令令1 12 、壓桿的分類及臨界應力壓桿的分類及臨界應力總圖總圖1、壓、壓桿桿的分類的分類 ba crscr （1）大）大柔度桿柔度桿（2）中）中柔度桿柔度桿（3）?。┬∪岫葪U柔度桿2 22cr E 2、臨界、臨界應力總圖應力總圖scr ba cr22cr E cr 1 1 2 2Ps 例例8.2 圖示圖示各桿均為圓形截面細長壓桿各桿

15、均為圓形截面細長壓桿. 已知各桿的材已知各桿的材料及料及直徑相等。問直徑相等。問哪個桿先失穩(wěn)哪個桿先失穩(wěn)?dF1.3 a BF1.6 aCaFA解：解：可知可知A桿先失穩(wěn)桿先失穩(wěn).桿桿Aal22 桿桿Bal3 . 11 桿桿Caal12. 16 . 17 . 07 . 0 il 由柔度由柔度的公式的公式：dF1.3 a BF1.6 aCaFA 例例8.3 壓桿截面如圖所示壓桿截面如圖所示. 兩端為柱形鉸鏈兩端為柱形鉸鏈約束，約束，繞繞 y 軸軸失穩(wěn)失穩(wěn)可視為兩端固定，若繞可視為兩端固定，若繞 z 軸失穩(wěn)可視軸失穩(wěn)可視為兩端為兩端鉸鉸支支. 已知，桿已知，桿長長l=1m ，材料的彈性模量，材料的

16、彈性模量E=200GPa， p=200MPa. 求壓桿的求壓桿的臨界力臨界力.30mm20mmyz解：解：m0058. 002. 003. 0)02. 003. 0(1213 AIiyym0087. 0 AIizz15 . 0 zy 11586 zzzyyyilil 因為因為 z y ，所以壓桿繞，所以壓桿繞 z 軸先失穩(wěn)，且軸先失穩(wěn)，且 z =115 1，用歐拉公式計算臨界力用歐拉公式計算臨界力.kN5 .8922crcr zEAAF 1p99E 30mm20mmyz 例例8.4 外徑外徑 D = 50 mm，內徑，內徑 d = 40 mm 的鋼管，兩端鉸的鋼管，兩端鉸支，材料為支，材料為

17、Q235鋼，承受軸向壓力鋼，承受軸向壓力 F。 試求試求（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；（2）當壓桿長度為上述最小長度的）當壓桿長度為上述最小長度的 3/4 時，壓桿的臨界壓力時，壓桿的臨界壓力. （已知（已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直線用直線公式時，公式時，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.）解：（解：（1 1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度）能用歐拉公式時壓桿的最小長度壓桿壓桿 = 11p100E 222244414)(64)(dDdDdDAIi 1004122 dDlilm6 .

18、 11404. 005. 010022min l（2）當）當 l = 3/4 lmin 時，時，Fcr=?用直線公式計算用直線公式計算m2 . 143min ll122754 dDlil 5712. 1240304s2bakN5 .155)(4)(22crcr dDbaAF 一、穩(wěn)定性條件一、穩(wěn)定性條件二、計算步驟二、計算步驟（1）計算最大的柔度系數）計算最大的柔度系數 max； （2）根據）根據 max 選擇臨界應力公式，選擇臨界應力公式，計算臨界計算臨界壓力壓力；（3）根據穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性、設計截面尺寸）根據穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性、設計截面尺寸或確定許可載荷或確定許可載荷

19、.8-3 壓壓桿的桿的穩(wěn)定性計算穩(wěn)定性計算crstFFncrstFnnFn為工作安全因素為工作安全因素 例例8.5 活塞桿（兩端鉸支）由活塞桿（兩端鉸支）由45號鋼制成，號鋼制成， s = 350MPa ， p = 280MPa E=210GPa， a= 461MPa， b= 2.568 MPa， 長長度度 l = 703mm ，直徑，直徑 d=45mm. 最大壓力最大壓力 Fmax = 41.6kN. 規(guī)定規(guī)定穩(wěn)定安全系數為穩(wěn)定安全系數為 nst = 8-10 . 試校核其穩(wěn)定性試校核其穩(wěn)定性.兩端鉸支兩端鉸支解：解： = 1截面為圓形截面為圓形1p86E 4dAIi 62.5li 由于由于

20、 1 1 不能用歐拉公式計算臨界壓力不能用歐拉公式計算臨界壓力.用用直線公式直線公式，查表：，查表：a= 461MPab= 2.568 MPa 2 .43s2ba可由直線公式計算臨界應力可由直線公式計算臨界應力. 2 1MPa301cr ba臨界壓力是臨界壓力是crcr478kNFA活塞的工作安全因數活塞的工作安全因數crst11.5FnnF所以滿足穩(wěn)定性要求所以滿足穩(wěn)定性要求. . 由于cr與壓桿的柔度有關，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩(wěn)的危險性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數nst也隨 變化，因此穩(wěn)定許用應力st是一個與壓桿柔度的關系比較復雜的量。 crcrststst,1nn 折減系數

21、 = ()隨壓桿柔度變化三、折減系數三、折減系數crststn壓桿的穩(wěn)定許用應力壓桿的穩(wěn)定許用應力 我國鋼結構設計規(guī)范根據對常用截面形式、尺寸和加我國鋼結構設計規(guī)范根據對常用截面形式、尺寸和加工工藝的工工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產生的殘余應根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產生的殘余應力所作數值計算結果，在選取適當的安全因數后，給出了力所作數值計算結果，在選取適當的安全因數后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數鋼壓桿穩(wěn)定因數與柔度與柔度l的一系列關系值。的一系列關系值。 該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應力對臨界應力的影響從小到大該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應力對臨界應力的影響從小到大分為分為a，b，c三類截面。大多數鋼

22、壓桿可取作三類截面。大多數鋼壓桿可取作b類截面壓桿。類截面壓桿。表表1為為Q235鋼鋼b類截面中心壓桿隨柔度類截面中心壓桿隨柔度變化的穩(wěn)定因數變化的穩(wěn)定因數 。表表1 Q235鋼鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數 例例8.6 圖圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根由兩根110 mm70 mm7 mm的角鋼用綴條和綴板的角鋼用綴條和綴板聯成整體，材料為聯成整體，材料為Q235鋼，強度鋼，強度許用應力許用應力 =170 MPa。試求該試求該壓桿的穩(wěn)定許用應力。壓桿的穩(wěn)定許用應力。 解：解：1. 確定組合截面形心和形心主慣性軸確定組合截面形心和形心主慣性軸查表：截面的形心離角鋼短肢的距離查表：截面的形心離角鋼短肢的距離y035.7 mm，并在對稱軸并在對稱軸y軸上。軸上。2. 計算組合截面的形心主慣性矩計算組合截面的形心主慣性矩4444mm10306mm101532zI442244mm10235mm5 . 7mm1 .16mm1230mm1001.492yIImax= Iz ，Imin= Iy , z 軸為強軸，y軸為弱軸。3. 計算壓桿的柔度計算壓桿的柔