第3章 幾何造型技術(shù)

1、第第3章章 幾何造型技術(shù)幾何造型技術(shù)n本章教學(xué)目標(biāo)本章教學(xué)目標(biāo)1. 總體目標(biāo)：掌握幾何造型技術(shù)的基本原理，理解三維圖形的構(gòu)造總體目標(biāo)：掌握幾何造型技術(shù)的基本原理，理解三維圖形的構(gòu)造思想。思想。 2. 通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)能做到：通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)能做到：掌握下列概念：掌握下列概念：參數(shù)曲線和曲面參數(shù)曲線和曲面、位置矢量位置矢量、切矢量切矢量、法矢法矢量量、曲率曲率、撓率撓率、插值插值、逼近逼近、擬合擬合、光順光順、參數(shù)化參數(shù)化、參數(shù)參數(shù)連續(xù)性連續(xù)性、幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性、BernsteinBernstein基函數(shù)基函數(shù)、BezierBezier曲線曲線、B B樣樣條基條基、B B樣條曲線樣條曲線

2、、NurbsNurbs曲線曲線和和形體表示模型形體表示模型。 。 掌握曲線曲面的參數(shù)表示方法和掌握曲線曲面的參數(shù)表示方法和連續(xù)性連續(xù)性的基本概念、的基本概念、BezierBezier曲線的曲線的deCasteljaudeCasteljau遞推算法遞推算法、BezierBezier曲線的升階算法曲線的升階算法、BezierBezier曲面的遞推算法曲面的遞推算法和和B B樣條基樣條基及及B B樣條曲線的樣條曲線的DeboorCoxDeboorCox遞遞推算法推算法的基本思想的基本思想 。熟悉熟悉參數(shù)曲面的代數(shù)和幾何形式參數(shù)曲面的代數(shù)和幾何形式、三邊三邊BezierBezier曲面片曲面片的基本的

3、基本思想、思想、B B樣條曲面的定義樣條曲面的定義、NurbsNurbs曲線的定義曲線的定義及及齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)表示、表示、線與線求交算法線與線求交算法的基本思想。的基本思想。了解了解B B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插入算法樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插入算法、NubrsNubrs曲線權(quán)因子的幾何意曲線權(quán)因子的幾何意義義、圓錐曲線的圓錐曲線的NurbsNurbs表示表示、NurbsNurbs曲面的定義及性質(zhì)曲面的定義及性質(zhì)、形體形體的邊界表示模型的邊界表示模型、線與面線與面及及面與面求交面與面求交的基本思想和的基本思想和實(shí)體造實(shí)體造型系統(tǒng)型系統(tǒng)的基本功能。的基本功能。 n幾何造型技術(shù)幾何造型技術(shù)是一項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)中，如

4、是一項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)中，如何表達(dá)物體模型形狀的技術(shù)。何表達(dá)物體模型形狀的技術(shù)。n描述物體的三維模型有三種描述物體的三維模型有三種: : 線框模型、曲面模型和實(shí)體模型。線框模型、曲面模型和實(shí)體模型。線框模型線框模型用頂點(diǎn)和棱邊來表示用頂點(diǎn)和棱邊來表示物物體。體。n由于沒有面的信息，它不能表示表面含有曲由于沒有面的信息，它不能表示表面含有曲面的面的物物體；體；n它不能明確地定義給定點(diǎn)與它不能明確地定義給定點(diǎn)與物物體之間的關(guān)系體之間的關(guān)系（點(diǎn)在（點(diǎn)在物物體內(nèi)部、外部或表面上）。體內(nèi)部、外部或表面上）。曲面模型用面的集合來表示曲面模型用面的集合來表示物物體，而用環(huán)來定體，而用環(huán)來定義面的邊界。義面的邊界

5、。n表面模型能夠滿足面面求交、線面消隱、明暗色彩表面模型能夠滿足面面求交、線面消隱、明暗色彩圖、數(shù)控加工等需要。圖、數(shù)控加工等需要。n但在該模型中，只有一張張面的信息，物體究竟存但在該模型中，只有一張張面的信息，物體究竟存在于表面的哪一側(cè)，并沒有給出明確的定義，無法在于表面的哪一側(cè)，并沒有給出明確的定義，無法計(jì)算和分析物體的整體性質(zhì)。如物體的體積、重心計(jì)算和分析物體的整體性質(zhì)。如物體的體積、重心等。等。n也不能將這個(gè)物體作為一個(gè)整體去考察它與其它物也不能將這個(gè)物體作為一個(gè)整體去考察它與其它物體相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，如是否相交等。體相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，如是否相交等。實(shí)體模型能完整表示物體的所有形狀信息，可

6、實(shí)體模型能完整表示物體的所有形狀信息，可以無歧義地確定一個(gè)點(diǎn)是在物體外部、內(nèi)部或以無歧義地確定一個(gè)點(diǎn)是在物體外部、內(nèi)部或表面上。是最高級(jí)的模型。表面上。是最高級(jí)的模型。n這種模型能夠進(jìn)一步滿足物性計(jì)算、有限元分析等這種模型能夠進(jìn)一步滿足物性計(jì)算、有限元分析等應(yīng)用的要求。應(yīng)用的要求。n三維曲面模型表示三維物體的信息并不完三維曲面模型表示三維物體的信息并不完整，但它能夠表達(dá)復(fù)雜的雕刻曲面，在幾整，但它能夠表達(dá)復(fù)雜的雕刻曲面，在幾何造型中具有重要的地位，對(duì)于支持曲面何造型中具有重要的地位，對(duì)于支持曲面的三維實(shí)體模型，曲面模型是它的基礎(chǔ)。的三維實(shí)體模型，曲面模型是它的基礎(chǔ)。3.1 參數(shù)曲線和曲面參數(shù)曲

7、線和曲面n3. .1. .1 曲線曲面參數(shù)表示曲線曲面參數(shù)表示顯式表示顯式表示:y=f:y=f（x x）隱式表示隱式表示:f:f（x x，y y）=0=0參數(shù)表示參數(shù)表示:P(t)=x(t), y(t), z(t:P(t)=x(t), y(t), z(t)n顯式或隱式表示存在下述問題：顯式或隱式表示存在下述問題：1）與坐標(biāo)軸相關(guān)；與坐標(biāo)軸相關(guān)；2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情形會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情形( (如垂線如垂線) )；3) 3) 不便于計(jì)算機(jī)編程。不便于計(jì)算機(jī)編程。n參數(shù)表示參數(shù)表示: :曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用定參數(shù)的函數(shù)。假定用t t表

8、示參數(shù)，平面曲表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)線上任一點(diǎn)P P可表示為：可表示為： n空間曲線上任一三維點(diǎn)空間曲線上任一三維點(diǎn)P P可表示為：可表示為： 如：梁友棟裁剪算法中，一條兩端點(diǎn)為如：梁友棟裁剪算法中，一條兩端點(diǎn)為P1（x1，y1）、）、P2（x2，y2）的線段可以用參數(shù)方程形式表示：）的線段可以用參數(shù)方程形式表示： n參數(shù)表示例子：參數(shù)表示例子：直線直線單位圓單位圓（1）以滿足幾何不變性的要求。以滿足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀（3）對(duì)曲線、曲面進(jìn)行變換，可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)對(duì)曲線、曲面進(jìn)行變換，可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何

9、變換。行幾何變換。（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會(huì)因此而中斷便于處理斜率為無窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。計(jì)算。（5 5）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。間去。（6 6）規(guī)格化的參數(shù)變量）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7 7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：3.1.2 曲線的基本概念曲線的基本概念位置矢量位置矢量：曲

10、線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為：曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)；切向量切向量( (切矢量切矢量) )n選擇弧長(zhǎng)選擇弧長(zhǎng)s s作為參數(shù)，則作為參數(shù)，則 是單位切是單位切矢量矢量n根據(jù)弧長(zhǎng)微分公式有：根據(jù)弧長(zhǎng)微分公式有：n于是有于是有 T= T= ，即為單位切矢量，即為單位切矢量法矢量法矢量n與與 平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢N Nn矢量積矢量積 是第三個(gè)單位矢量，它垂直于是第三個(gè)單位矢量，它垂直于T T和和N N。把平行于矢量。把平行于矢量B B的法矢稱為曲線的副法矢。的法矢稱為曲線的副法矢。n我們可以推導(dǎo)出：我們可

11、以推導(dǎo)出：T(T(切矢切矢) )、N(N(主法矢主法矢) )和和B(B(副法矢副法矢) )構(gòu)成了曲構(gòu)成了曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架線上的活動(dòng)坐標(biāo)架N N、B B構(gòu)成的平面稱為法平面，構(gòu)成的平面稱為法平面，N N、T T構(gòu)成的平構(gòu)成的平面稱為密切平面，面稱為密切平面，B B、T T構(gòu)成的平面稱為從切構(gòu)成的平面稱為從切平面。平面。 曲率和撓率曲率和撓率 即即稱為稱為曲率曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對(duì)，其幾何意義是曲線的單位切矢對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率?；￠L(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。曲率曲率k k的倒數(shù)的倒數(shù) 稱為曲率半徑。稱為曲率半徑。撓率撓率 的絕對(duì)值等于副法線方向的絕對(duì)值等于副法線方向( (或密切平或密切平面面) )對(duì)于弧

12、長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率. .n撓率是刻劃曲線彎曲狀況的又一個(gè)重要的幾何量，撓率是刻劃曲線彎曲狀況的又一個(gè)重要的幾何量，又可稱之為曲線的第二曲率；撓率絕對(duì)值度量了又可稱之為曲線的第二曲率；撓率絕對(duì)值度量了曲線上鄰近兩點(diǎn)的次法向量之間的夾角對(duì)弧長(zhǎng)的曲線上鄰近兩點(diǎn)的次法向量之間的夾角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率。由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況，變化率。由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況，通常說它通常說它表示了曲線的扭曲程度表示了曲線的扭曲程度 n撓率撓率 大于大于0、等于、等于0和小于和小于0分別表示曲線為右旋分別表示曲線為右旋轉(zhuǎn)空間曲線、平面曲線和左旋轉(zhuǎn)空間曲線。轉(zhuǎn)空間曲線、平面曲線和左旋轉(zhuǎn)空間曲線。. .

13、對(duì)于一般參數(shù)對(duì)于一般參數(shù)t t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計(jì)算公式如下：率的計(jì)算公式如下：3.1.3 插值、擬合、逼近和光順插值、擬合、逼近和光順n給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)P Pi i，i=0, 1, i=0, 1, , n, n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。為插值曲線。n擬合擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)( (但未必通過這些點(diǎn)但未必通過這些點(diǎn)) )，所構(gòu)造的，

14、所構(gòu)造的曲線為曲線為擬合曲線擬合曲線。n在計(jì)算數(shù)學(xué)中，在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近逼近通常指用一些性質(zhì)較好的通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。值和擬合都可以視為逼近。n光順光順(Fairing)(Fairing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：線而言，相對(duì)光順的條件是：a. a. 具有二階幾何連續(xù)性具有二階幾何連續(xù)性(G(G2 2) )；b. b. 不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；不存在多

15、余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c. c. 曲率變化較小。曲率變化較小。3.1.4 參數(shù)化參數(shù)化n參數(shù)化常用方法有：參數(shù)化常用方法有：均勻參數(shù)化均勻參數(shù)化( (等距參數(shù)化等距參數(shù)化) )n節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布，節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布， 。累加弦長(zhǎng)參數(shù)化累加弦長(zhǎng)參數(shù)化 這種參數(shù)法如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況，這種參數(shù)法如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況，能夠克服型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布不均勻的情況下采用能夠克服型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。向心參數(shù)化法向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧

16、段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡(jiǎn)化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適一些簡(jiǎn)化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。用于非均勻型值點(diǎn)分布。修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法弦長(zhǎng)修正系數(shù)弦長(zhǎng)修正系數(shù)KiKi=1=1。從公式可知，與前后鄰弦長(zhǎng)及相。從公式可知，與前后鄰弦長(zhǎng)及相比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角q qi-1i-1和和q q i i( (不超不超過過/2時(shí)時(shí)) )越大，則修正系數(shù)就越大，則修正系數(shù)就K K i i 就越大。就越大。n參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化3.1.5 參數(shù)曲線的代數(shù)

17、和幾何形式參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。n代數(shù)形式代數(shù)形式上述代數(shù)式寫成矢量式是上述代數(shù)式寫成矢量式是n幾何形式幾何形式對(duì)三次參數(shù)曲線，若用其端點(diǎn)位矢對(duì)三次參數(shù)曲線，若用其端點(diǎn)位矢P(0)P(0)、P(1)P(1)和切矢和切矢P P (0)(0)、P P (1)(1)描述。描述。將將P(0)P(0)、P(1)P(1)、P P (0)(0)和和P P (1)(1)簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為P P0 0、P P1 1、P P 0 0和和P P 1 1，代入代入 得得12 3.1.6 連續(xù)性連續(xù)性n即連續(xù)性條件有

18、兩種：即連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性和和幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性。1.零階參數(shù)連續(xù)性，記作零階參數(shù)連續(xù)性，記作C0，指相鄰兩個(gè)曲線，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。 零階連續(xù)性l 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性2.一階參數(shù)連續(xù)性，記作一階參數(shù)連續(xù)性，記作C1，指相鄰兩個(gè)曲線段，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)。在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)。 一階連續(xù)性l 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性3.二階參數(shù)連續(xù)性，記作二階參數(shù)連續(xù)性，記作C2，指相鄰兩個(gè)曲線，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 圖7-6 二階連續(xù)性l 參數(shù)連

19、續(xù)性參數(shù)連續(xù)性與參數(shù)連續(xù)性的區(qū)別，幾何連續(xù)性只要與參數(shù)連續(xù)性的區(qū)別，幾何連續(xù)性只要求導(dǎo)數(shù)成比例，而不是相等。求導(dǎo)數(shù)成比例，而不是相等。 1.零階幾何連續(xù)性，記作零階幾何連續(xù)性，記作 G 0 ，與零階參數(shù)，與零階參數(shù)連續(xù)性相同，即相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)連續(xù)性相同，即相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)。處有相同的坐標(biāo)。 l 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性2.一階幾何連續(xù)性，記作一階幾何連續(xù)性，記作 G 1 ，指相鄰兩個(gè)曲，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例，但大小不線段在交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例，但大小不一定相等。一定相等。 l 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性3.二階幾何連續(xù)性，記作二階幾何連續(xù)性，記作 G 2 ，

20、指相鄰兩個(gè)曲線，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)成比例，即曲率段在交點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)成比例，即曲率一致。一致。 l 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性n反例：反例：n左右導(dǎo)數(shù)不等左右導(dǎo)數(shù)不等n說明傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)定義太嚴(yán)格說明傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)定義太嚴(yán)格3.1.7 參數(shù)曲面基本概念參數(shù)曲面基本概念示意圖示意圖 參數(shù)曲面的幾個(gè)基本概念參數(shù)曲面的幾個(gè)基本概念n工程中常常遇到這樣的情況：已知一些計(jì)算值或測(cè)試數(shù)據(jù)，工程中常常遇到這樣的情況：已知一些計(jì)算值或測(cè)試數(shù)據(jù)，要構(gòu)造一條光滑曲線，通過或貼近這些離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，這樣要構(gòu)造一條光滑曲線，通過或貼近這些離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，這樣構(gòu)造出來的曲線稱為構(gòu)造出來的曲線稱為擬合曲線擬合曲線。

21、n擬合曲線通常采用二次或三次參數(shù)曲線的形式，擬合曲線通常采用二次或三次參數(shù)曲線的形式，我們一般我們一般采用三次擬合曲線。采用三次擬合曲線。(原因低于原因低于3次，控制曲線形狀不夠靈次，控制曲線形狀不夠靈活，且光順性受影響，高于活，且光順性受影響，高于3次，計(jì)算量大，且可能增加不次，計(jì)算量大，且可能增加不必要的擺動(dòng)（即振蕩）。必要的擺動(dòng)（即振蕩）。nBezier曲線是法國(guó)數(shù)學(xué)家曲線是法國(guó)數(shù)學(xué)家P.E. Bezier構(gòu)造的一種構(gòu)造的一種以逼近為以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線?；A(chǔ)的參數(shù)曲線。3.2 Bzier曲線與曲面曲線與曲面Bezier曲線的描述方法：曲線的描述方法：通過一組通過一組多邊折線的各個(gè)頂點(diǎn)

22、多邊折線的各個(gè)頂點(diǎn)唯一定義出來的唯一定義出來的在這組多邊折線的頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最一點(diǎn)在在這組多邊折線的頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最一點(diǎn)在曲線上曲線上且多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)且多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向和終點(diǎn)的切線方向其余各頂點(diǎn)用來定義其余各頂點(diǎn)用來定義BezierBezier曲線的階次和形狀。曲線的階次和形狀。多邊折線也稱為多邊折線也稱為控制多邊形控制多邊形，它的頂點(diǎn)叫做，它的頂點(diǎn)叫做控制點(diǎn)控制點(diǎn) 特點(diǎn)：特點(diǎn)：Bezier曲線的形狀曲線的形狀趨近于趨近于控制多邊形的形狀控制多邊形的形狀改變控制多邊形的頂點(diǎn)位置就會(huì)改變曲線的形狀改變控制多邊形的頂

23、點(diǎn)位置就會(huì)改變曲線的形狀典型的三次典型的三次Bezier曲線曲線P0P1P2P3P0P1P2P3Bzier曲線曲線P(t)與其控制多邊形的關(guān)系可以這樣認(rèn)為：與其控制多邊形的關(guān)系可以這樣認(rèn)為：控制多邊形控制多邊形P0P1Pn是是P(t)的的大致形狀的勾畫大致形狀的勾畫；P(t)是對(duì)多邊形是對(duì)多邊形P0P1Pn的的逼近逼近；3.3.1 Bzier曲線的定義和性質(zhì)曲線的定義和性質(zhì)1.一次一次Bezier曲線曲線n當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有二個(gè)控曲線的控制多邊形有二個(gè)控制點(diǎn)制點(diǎn)P0和和P1 n可以看出，一次可以看出，一次Bezier曲線是一次多項(xiàng)式，一曲線是一次多項(xiàng)式，一段直線。段

24、直線。 2.二次二次Bezier曲線曲線 n當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有三個(gè)控制點(diǎn)曲線的控制多邊形有三個(gè)控制點(diǎn)P0、P1和和P2，二次，二次Bezier曲線是二次多項(xiàng)式。曲線是二次多項(xiàng)式。n可以證明，二次可以證明，二次Bezier曲線是一段拋物線。曲線是一段拋物線。 3.三次三次Bezier曲線曲線 n當(dāng)當(dāng)n3時(shí)，時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)曲線的控制多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)P0、P1、P2和和P3，Bezier曲線是三次多項(xiàng)式。曲線是三次多項(xiàng)式。 n可以證明，三次可以證明，三次Bezier曲線是自由曲線。曲線是自由曲線。 2.Bernstein基函數(shù)性質(zhì)基函數(shù)性質(zhì)

25、2.Bernstein基函數(shù)性質(zhì)基函數(shù)性質(zhì)2.Bernstein基函數(shù)性質(zhì)基函數(shù)性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.Bzier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)3.2.2 Bzier曲線的遞推算法曲線的遞推算法n設(shè)設(shè)P0、P02 、P2是一條拋物線上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。是一條拋物線上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。過過P0和和P2點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)的兩切線交于P1點(diǎn)，在點(diǎn)，在P02點(diǎn)的切線交點(diǎn)的切線交P0P1和和P2P1于于P01和和P11，則如下比例

26、成立：，則如下比例成立： 這是所謂拋物線的這是所謂拋物線的三切線定理。三切線定理。 n當(dāng)當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為，令上述比值為t:(1-t)，即有：即有：n t從從0變到變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、曲線。將一、二式代入第三式得：二式代入第三式得： 3.2.2 Bzier曲線的遞推算法曲線的遞推算法n當(dāng)當(dāng)t從從0變到變到1時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三三點(diǎn)定義的一條二次點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：

27、曲線。并且表明：這二次這二次Bezier曲線曲線P02可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)(P0,P1)和后兩個(gè)頂點(diǎn)和后兩個(gè)頂點(diǎn)(P1,P2)決定的一次決定的一次Bezier曲線的線性曲線的線性組合。組合。依次類推，由依次類推，由(n+1)個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,.,n)定定義的義的n次次Bezier曲線曲線P0n可被定義為分別由前、后可被定義為分別由前、后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次次Bezier曲線曲線P0n-1與與P1n-1的線性組合：的線性組合： 3.2.2 Bzier曲線的遞推算法曲線的遞推算法n由此得到由此得到Bezier曲線的遞推計(jì)

28、算公式：曲線的遞推計(jì)算公式：n這便是著名的這便是著名的de Casteljau算法。用這一遞推公式，算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點(diǎn)曲線上一點(diǎn)P(t)非常有效。非常有效。上式中：上式中：Pi0=Pi是定義是定義Bezier曲線的控制點(diǎn)，曲線的控制點(diǎn)，P0n即為曲線即為曲線P(t)上具有參數(shù)上具有參數(shù)t的點(diǎn)。的點(diǎn)。 3.2.2 Bzier曲線的遞推算法曲線的遞推算法舉例分析：舉例分析：n以三次以三次Bzier曲線為例，曲線為例，n=3時(shí)時(shí)Pin的遞推關(guān)系如下的遞推關(guān)系如下所示：所示：3.2.2 Bzier曲線的遞推算法曲線的遞推算法n=3時(shí)，時(shí)，Pin

29、的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系 幾何作圖法求幾何作圖法求Bezier曲線曲線上一點(diǎn)（上一點(diǎn)（n=3，t=1/3） Bzier曲線的遞推算法的幾何意義曲線的遞推算法的幾何意義（Bezier曲線的可分割性）曲線的可分割性） n依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)，對(duì)這些中間頂點(diǎn)分割點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)，對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復(fù)操作，直構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復(fù)操作，直到得出一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。到得出一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。n根據(jù)該

30、式可以繪制根據(jù)該式可以繪制Bezier曲線，比如繪制三次曲線，比如繪制三次取取t=0，t1/3，t2/3，t=1，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成成Bezier曲線。圖曲線。圖1繪制的是繪制的是t=1/3的點(diǎn)。的點(diǎn)。 例：例：Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法（分別?。ǚ謩e取t=0，t1/3，t2/3，t=1）n圖圖2繪制的是繪制的是t=2/3的點(diǎn)。的點(diǎn)。 例：例：Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法（分別?。ǚ謩e取t=0，t1/3，t2/3，t=1）n連接閉區(qū)間（連接閉區(qū)間（0，1）內(nèi)的所有點(diǎn)，可以繪）內(nèi)的所有點(diǎn)，可以繪制制Bezier曲線，如圖曲線，如圖3所示。所示。 例

31、：例：Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法（分別取（分別取t=0，t1/3，t2/3，t=1）n注意：對(duì)于注意：對(duì)于Bezier曲曲線，在區(qū)間（線，在區(qū)間（0,1）范）范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)均圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)均不為零，說明不能使不為零，說明不能使用控制多邊形對(duì)曲線用控制多邊形對(duì)曲線的形狀進(jìn)行局部調(diào)整，的形狀進(jìn)行局部調(diào)整，如果要改變某一控制如果要改變某一控制點(diǎn)位置，整個(gè)曲線都點(diǎn)位置，整個(gè)曲線都將受到影響。將受到影響。 n5次次Bzier曲線的分割過程：曲線的分割過程：3.2.3 Bzier曲線的拼接曲線的拼接3.2.3 Bzier曲線的拼接曲線的拼接3.2.3 Bzier曲線的拼接曲線的拼接

32、3.2.4 Bzier曲線的升階與降階曲線的升階與降階1.Bzier曲線的升階曲線的升階1.Bzier曲線的升階曲線的升階1.Bzier曲線的升階曲線的升階2.Bzier曲線的降階曲線的降階n假定假定Pi是由是由Pi*升階得到，則由升階公式有：升階得到，則由升階公式有：n從這個(gè)方程可以導(dǎo)出兩個(gè)遞推公式：從這個(gè)方程可以導(dǎo)出兩個(gè)遞推公式：n其中第一個(gè)遞推公式在靠近其中第一個(gè)遞推公式在靠近P0處趨向生成較好的處趨向生成較好的逼近，而第二個(gè)遞推公式在靠近逼近，而第二個(gè)遞推公式在靠近Pn處趨向生成較處趨向生成較好的逼近。好的逼近。 2.Bzier曲線的降階曲線的降階3.2.5 Bzier 曲面曲面1.B

33、zier曲面的定義曲面的定義剩下的剩下的4 4個(gè)頂點(diǎn)決定了雙三次個(gè)頂點(diǎn)決定了雙三次BezierBezier曲面片的形狀曲面片的形狀 1212個(gè)頂點(diǎn)決定四條邊界曲線個(gè)頂點(diǎn)決定四條邊界曲線, ,皆為三次皆為三次BezierBezier曲線曲線例子例子2.Bzier曲面的性質(zhì)曲面的性質(zhì)（1）Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是曲面特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bezier曲面的四個(gè)角點(diǎn)，即曲面的四個(gè)角點(diǎn)，即 P(0,0)=P00，P(1,0)=Pm0，P(0,1)=P0n，P(1,1)=Pmn。（2）Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條邊界；曲面的

34、四條邊界；Bezier曲面邊界的跨界切矢只與曲面邊界的跨界切矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰一排頂點(diǎn)有關(guān)，且定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰一排頂點(diǎn)有關(guān)，且P00P10P01、P0nP1nP0,n-1、PmnPm,n-1Pm-1,n和和Pm0Pm-1,0Pm1（圖（圖3. 16打上斜線的三角形）；其跨界二階打上斜線的三角形）；其跨界二階導(dǎo)矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰兩排頂點(diǎn)有關(guān)。導(dǎo)矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰兩排頂點(diǎn)有關(guān)。（3）幾何不變性。）幾何不變性。（4）對(duì)稱性。）對(duì)稱性。（5）凸包性。）凸包性。圖圖3. 16 雙三次雙三次Bezier曲面及邊界信息曲面及邊界信息2.Bzier曲面的性質(zhì)曲面的性質(zhì)3.B

35、zier曲面片的拼接曲面片的拼接如右圖所示，設(shè)兩張如右圖所示，設(shè)兩張mn次次Bezier曲面片，分別由控制頂點(diǎn)曲面片，分別由控制頂點(diǎn)Pij和和Qij定義。定義。兩個(gè)曲面片拼接的條件：兩個(gè)曲面片拼接的條件：它們有公共的邊界：它們有公共的邊界：P(1,v)=Q(0,v) 兩曲面片在該邊界上有公共的切平面，即曲面邊界的兩曲面片在該邊界上有公共的切平面，即曲面邊界的u向向和和v向是光滑且連續(xù)的。向是光滑且連續(xù)的。4.Bzier曲面的遞推算法曲面的遞推算法Bezier曲線的遞推曲線的遞推(de Casteljau)算法，可以推廣到算法，可以推廣到Bezier曲曲面的情形。若給定面的情形。若給定Bezie

36、r曲面特征網(wǎng)格的控制頂點(diǎn)曲面特征網(wǎng)格的控制頂點(diǎn)Pij(i=0,1,.,m;j=0,1,.,n)和一對(duì)參數(shù)值和一對(duì)參數(shù)值(u,v)，則：，則： Bezier曲面的離散生成曲面的離散生成Bzier曲面的離散生成曲面的離散生成Bzier曲面的離散生成曲面的離散生成Bzier曲面的離散生成曲面的離散生成Bzier曲面的離散生成曲面的離散生成Bzier曲面的離散生成曲面的離散生成3 3. .2 2. .6 6 三邊三邊BezierBezier曲面片曲面片圖圖3.18 兩類兩類Bezier曲面曲面n四邊四邊Bezier曲面片曲面片定義在矩形區(qū)域上。定義在矩形區(qū)域上。n三邊三邊Bezier曲面片曲面片定義在

37、三邊形域上。定義在三邊形域上。3.2.6 三邊三邊Bezier曲面片曲面片3.2.6 三邊三邊Bezier曲面片曲面片 2三角域上的三角域上的Bernstein基基 單變量的單變量的n次的次的Bernstein基基 由由 的二項(xiàng)式展開各項(xiàng)組成。雙變量張量的二項(xiàng)式展開各項(xiàng)組成。雙變量張量積的積的Bernstein基由兩個(gè)單變量的基由兩個(gè)單變量的Bernstein基各基各取其一的乘積組成。而定義在三角域上的雙變量取其一的乘積組成。而定義在三角域上的雙變量n次的次的Bernstein基由基由 的展開式各項(xiàng)組成。的展開式各項(xiàng)組成。), 1 , 0)(,nitBnintt)1 ( nwvuniinjkn

38、inwvuBwvu00,),(3.3 B樣條曲線與曲面樣條曲線與曲面nBezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：點(diǎn)不足：Bezier曲線或曲面不能作局部修改；曲線或曲面不能作局部修改；Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜n 1972年年Gordon、Riesenfeld等人提出了等人提出了B樣條樣條曲線，對(duì)曲線，對(duì)Bezier曲線進(jìn)行改進(jìn)，用曲線進(jìn)行改進(jìn)，用B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)替代了替代了Bernstein基函數(shù)?；瘮?shù)。B樣條曲線克服了樣條曲線克服了Bezier曲線的不足，同時(shí)保留了曲線的不足，同時(shí)保留了Bezier曲線的直曲線

39、的直觀性和凸包性，并且可以做到：觀性和凸包性，并且可以做到：可以進(jìn)行局部可以進(jìn)行局部修改，修改，曲線更逼近特征多邊形，曲線更逼近特征多邊形，曲線的階次曲線的階次與頂點(diǎn)數(shù)無關(guān)，因而更加靈活方便。從而成了工與頂點(diǎn)數(shù)無關(guān)，因而更加靈活方便。從而成了工程設(shè)計(jì)中更常用的一種擬合曲線。程設(shè)計(jì)中更常用的一種擬合曲線。 3.3.1 B樣條的遞推定義和性質(zhì)樣條的遞推定義和性質(zhì)1.定義定義例：例： 二次二次B樣條曲線段樣條曲線段 n二次二次B樣條曲線的樣條曲線的n2，i0，1，2，控制多，控制多邊形有三個(gè)控制點(diǎn)邊形有三個(gè)控制點(diǎn)P0、P1和和P2n因此，二次因此，二次B樣曲線的表達(dá)式可以寫成如下的樣曲線的表達(dá)式可以

40、寫成如下的形式形式:n所以其分段混合函數(shù)可以寫成如下形式。所以其分段混合函數(shù)可以寫成如下形式。n綜合的二次綜合的二次B樣曲線表達(dá)式可以寫成：樣曲線表達(dá)式可以寫成：二次二次B樣條曲線段的幾何性質(zhì)樣條曲線段的幾何性質(zhì) 起點(diǎn)起點(diǎn)p(0)位于位于P0P1邊的中點(diǎn)處邊的中點(diǎn)處終點(diǎn)終點(diǎn)p(1)位于位于P1P2邊的中點(diǎn)處邊的中點(diǎn)處起點(diǎn)切矢量沿起點(diǎn)切矢量沿P0P1邊的走向邊的走向終點(diǎn)切矢量沿終點(diǎn)切矢量沿P1P2邊的走向邊的走向P(1/2)正是正是P(0)、P1、P(1)這三點(diǎn)這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的中線所構(gòu)成的三角形的中線P1Pm的中的中點(diǎn)，而且點(diǎn)，而且p(1/2)處的切線平行于兩處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線個(gè)

41、端點(diǎn)的連線p(0) p(1)。三個(gè)頂點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)P0P1P2確定一段二次確定一段二次B樣條曲線段，樣條曲線段，該段曲線是一段拋物線該段曲線是一段拋物線。一般情況下，。一般情況下，B樣條樣條曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)，曲線起點(diǎn)只與前二個(gè)控制曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)，曲線起點(diǎn)只與前二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。 二次二次B樣條曲線的起點(diǎn)樣條曲線的起點(diǎn)p(0)位于位于P0P1邊的中點(diǎn)處邊的中點(diǎn)處終點(diǎn)終點(diǎn)p(1)位于位于P1P2邊的中點(diǎn)處邊的中點(diǎn)處起點(diǎn)切矢量沿起點(diǎn)切矢量沿P0P1邊的走向邊的走向終點(diǎn)切矢量沿終點(diǎn)切矢量沿P1P2邊的走向邊的走向P(1/2)正是正是P(0)、P1

42、、P(1)這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的中這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的中線線P1Pm的中點(diǎn)，而且的中點(diǎn)，而且p(1/2)處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線連線p(0) p(1)。二次二次B樣條曲線段的幾何性質(zhì)樣條曲線段的幾何性質(zhì)例：三次例：三次B樣條曲線段樣條曲線段 n三次三次B樣條曲線段的樣條曲線段的n3, 控制多邊形有四個(gè)控控制多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)制點(diǎn)P0、P1、P2 和和P3，B樣條曲線段是三次多項(xiàng)樣條曲線段是三次多項(xiàng)式。式。 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)曲線的起點(diǎn)曲線的起點(diǎn)p(0)位于位于P0P2的中點(diǎn)和的中點(diǎn)和P1的連的連線上，且距線上，且距P1點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處曲線終點(diǎn)曲線終點(diǎn)p(1)

43、位于位于P1P3的中點(diǎn)和的中點(diǎn)和P2的連的連線上，且距線上，且距P2點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處切矢量切矢量p(0)平行于平行于P0P2，且長(zhǎng)度，且長(zhǎng)度為其二分之一為其二分之一切矢量切矢量p(1)P1P3，且長(zhǎng)度為其二分，且長(zhǎng)度為其二分之一之一二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)p”(0) 是向量是向量P1P2和和P0P1的和的和二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)p”(1)是向量是向量P2P3和和P1P2的和的和p”(0) 沿著中線沿著中線P1Pm方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍p”(1)沿著中線沿著中線P2Pm方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍 曲線的起點(diǎn)曲線的起點(diǎn)p(0)位于位于P0P2的中點(diǎn)和的中點(diǎn)

44、和P1的連的連線上，且距線上，且距P1點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處曲線終點(diǎn)曲線終點(diǎn)p(1)位于位于P1P3的中點(diǎn)和的中點(diǎn)和P2的連的連線上，且距線上，且距P2點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處切矢量切矢量p(0)平行于平行于P0P2，且長(zhǎng)度為其二分之一，且長(zhǎng)度為其二分之一切矢量切矢量p(1)平行于平行于P1P3，且長(zhǎng)度為其二分之一，且長(zhǎng)度為其二分之一二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)p”(0) 是向量是向量P1P2和和P0P1的和的和二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)p”(1)是向量是向量P2P3和和P1P2的和的和三次三次B樣條曲線段的幾何性質(zhì)樣條曲線段的幾何性質(zhì)B樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分nB樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分

45、曲線按其首末端點(diǎn)是否重合，區(qū)分為閉曲線曲線按其首末端點(diǎn)是否重合，區(qū)分為閉曲線和開曲線。和開曲線。B樣條曲線按其節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)的分布情況，樣條曲線按其節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)的分布情況，可劃分為四種類型?？蓜澐譃樗姆N類型。B樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分n均勻均勻B樣條曲線。樣條曲線。 節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù)軸均勻或等距分布節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù)軸均勻或等距分布，所有節(jié)，所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為常數(shù)。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻的點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為常數(shù)。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻的B樣條基。樣條基。B樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分n準(zhǔn)均勻準(zhǔn)均勻B樣條樣條 與均勻與均勻B樣條曲線的差別在于樣條曲線的差別在于兩端節(jié)

46、點(diǎn)具有重復(fù)度兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻的這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。均勻樣條基。均勻B樣樣條曲線沒有保留條曲線沒有保留Bezier曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用準(zhǔn)均勻的準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決樣條曲線解決了了這個(gè)問題這個(gè)問題B樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分n分段分段Bezier曲線曲線 節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的B

47、ernstein基?；樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分 B樣條曲線用分段樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就曲線表示后，各曲線段就具有了相對(duì)的獨(dú)立性，移動(dòng)曲線段內(nèi)的一個(gè)控制具有了相對(duì)的獨(dú)立性，移動(dòng)曲線段內(nèi)的一個(gè)控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對(duì)其它曲線段的形頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對(duì)其它曲線段的形狀沒有影響。并且狀沒有影響。并且Bezier曲線一整套簡(jiǎn)單有效的曲線一整套簡(jiǎn)單有效的算法都可以原封不動(dòng)地采用。缺點(diǎn)是增加了定義算法都可以原封不動(dòng)地采用。缺點(diǎn)是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。B樣條曲線類型的劃分樣條曲線類型的劃分B樣條曲線的

48、性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)局部性質(zhì)局部性質(zhì) 在在B樣條曲線中，每段樣條曲線中，每段B樣條曲線段受樣條曲線段受n+1個(gè)個(gè)控制點(diǎn)影響，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響控制點(diǎn)影響，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響n+1個(gè)曲線段，其它部分曲線形狀保持不變，如個(gè)曲線段，其它部分曲線形狀保持不變，如下圖所示。在工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要對(duì)曲線進(jìn)行局下圖所示。在工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要對(duì)曲線進(jìn)行局部修改，部修改，B樣條曲線能很好地滿足這一要求，這樣條曲線能很好地滿足這一要求，這就是就是B樣條曲線受歡迎的原因之一。樣條曲線受歡迎的原因之一。 二次二次B B樣條曲線局部頂點(diǎn)修改樣條曲線局部頂點(diǎn)修改B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)B樣條曲線

49、的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)連續(xù)性連續(xù)性nB樣條曲線不同于樣條曲線不同于Bezier曲線整體生成，它是分段生曲線整體生成，它是分段生成的，成的，B樣條曲線各段之間自然連接。樣條曲線各段之間自然連接。n由空間由空間N個(gè)控制點(diǎn)生成的個(gè)控制點(diǎn)生成的n次次B樣條曲線是由樣條曲線是由m+1(m=N-n-1) 段段n次次B樣條曲線段逼近而成，每個(gè)曲樣條曲線段逼近而成，每個(gè)曲線段的形狀僅由點(diǎn)列中的線段的形狀僅由點(diǎn)列中的n+1個(gè)順序排列間距相等的個(gè)順序排列間距相等的點(diǎn)所控制。點(diǎn)所控制。曲線段之間自然連續(xù)。曲線段之間自然連續(xù)。n例如：空間例如：空間5個(gè)控制點(diǎn)生成的個(gè)控制點(diǎn)生成的3次次B樣條曲線是由樣條曲線是由m12（m

50、5311）段）段3次次B樣條曲線逼近而成，樣條曲線逼近而成，每個(gè)曲線段的形狀僅由點(diǎn)列中的每個(gè)曲線段的形狀僅由點(diǎn)列中的314個(gè)順序排列個(gè)順序排列間距相等的點(diǎn)所控制，曲線段之間自然連續(xù)。間距相等的點(diǎn)所控制，曲線段之間自然連續(xù)。P0P0P1P1P2P2P3P3P4P49個(gè)控制點(diǎn)決定的二次B樣條曲線B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)分段參數(shù)多項(xiàng)式分段參數(shù)多項(xiàng)式P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)的參數(shù)t的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式 B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)變差縮減性變差縮減性 設(shè)平面內(nèi)設(shè)平面內(nèi) n+1 個(gè)控制頂點(diǎn)個(gè)控制頂點(diǎn) 構(gòu)成

51、構(gòu)成B樣條曲線樣條曲線 P(t) 的特的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與 P(t) 的交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。幾何不變性幾何不變性B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)仿射不變性仿射不變性即在仿射變換下，的表達(dá)式具有形式不變性。即在仿射變換下，的表達(dá)式具有形式不變性。直線保持性直線保持性控制多邊形退化為一條直線時(shí)，曲線也退化為一條直線?？刂贫噙呅瓮嘶癁橐粭l直線時(shí)，曲線也退化為一條直線。B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)

52、B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 三頂點(diǎn)重合，三頂點(diǎn)重合，構(gòu)造含有尖點(diǎn)的曲線構(gòu)造含有尖點(diǎn)的曲線兩頂點(diǎn)重合，兩頂點(diǎn)重合，構(gòu)造相切于控制多邊形邊的曲線構(gòu)造相切于控制多邊形邊的曲線3.3.3 de Boor 算法算法n欲計(jì)算欲計(jì)算B樣條曲線上對(duì)應(yīng)一點(diǎn)樣條曲線上對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P(t)，可以利用，可以利用B樣條曲線方樣條曲線方程，但是采用程，但是采用de Boor 算法，計(jì)算更加快捷。算法，計(jì)算更加快捷。de Boor 算法的導(dǎo)出算法的導(dǎo)出de Boor 算法的遞推關(guān)系如圖算法的遞推關(guān)系如圖de Boor 算法的幾何意義算法的幾何意義 j=5k=63.

53、3.4 節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法 節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法 節(jié)點(diǎn)插入算法節(jié)點(diǎn)插入算法 3.3.5 B樣條曲面樣條曲面 從上圖可以看出，雙三次從上圖可以看出，雙三次B樣條曲面是由三次樣條曲面是由三次B樣條曲線交織而成。曲面生成時(shí)樣條曲線交織而成。曲面生成時(shí)可以通過固定可以通過固定u, 變化變化v得到一簇三次得到一簇三次B樣條曲線；固定樣條曲線；固定v，變化，變化u得到另一簇三次得到另一簇三次B樣條曲線。與三次樣條曲線。與三次B樣條曲線相似，雙三次樣條曲線相似，雙三次B樣條曲面一般情況下不通過控制樣條曲面一般情況下不通過控制網(wǎng)格的任何一個(gè)頂點(diǎn)。網(wǎng)格的

54、任何一個(gè)頂點(diǎn)。 3.4 NURBS曲線與曲面曲線與曲面nB樣條曲線包括其特例的樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的樣條曲面包括其特例的Bezier曲面曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。表示。n提出提出NURBS方法，即方法，即非均勻有理非均勻有理B樣條樣條方法主要是為了方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。精確

55、表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。nNURBS方法的主要優(yōu)點(diǎn)方法的主要優(yōu)點(diǎn)既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面即前面提到的初等曲線曲面)，又為，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性。的靈活性。具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)對(duì)幾何變換和投影變換具有不變性。對(duì)幾何變換和投影變換具有不變性。非有理非有理B樣條、有理與非有理樣條、有理與非有理Bezier方

56、法是其特例。方法是其特例。n應(yīng)用應(yīng)用NURBS中還有一些難以解決的問題：中還有一些難以解決的問題：比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變對(duì)搭接、重疊形狀的處理很麻煩。對(duì)搭接、重疊形狀的處理很麻煩。反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題 (MAF方法方法) NURBS的含義的含義nNURBS是非均勻有理是非均勻有理B樣條曲線（樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Splines）的縮寫。）的縮寫。Non-Uniform(非均

57、勻性）：是指一個(gè)控制頂點(diǎn)非均勻性）：是指一個(gè)控制頂點(diǎn)的影響力的范圍能夠改變。當(dāng)創(chuàng)建一個(gè)不規(guī)則的影響力的范圍能夠改變。當(dāng)創(chuàng)建一個(gè)不規(guī)則曲面的時(shí)候這一點(diǎn)非常有用。曲面的時(shí)候這一點(diǎn)非常有用。 Rational(有理）：是指每個(gè)有理）：是指每個(gè)NURBS物體都可物體都可以用有理多項(xiàng)式形式表達(dá)式來定義。以用有理多項(xiàng)式形式表達(dá)式來定義。 B-Spline(B樣條）：（參見上一節(jié)）樣條）：（參見上一節(jié)）3.4.1NURBS曲線的定義曲線的定義NURBS曲線與曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：NURBS曲線與曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：NURB

58、S曲線與曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：3.4.2 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示3.4.2 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示3.4.3 3.4.3 權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子的幾何意義3.4.4圓錐曲線的圓錐曲線的NURBS表示表示3.4.5 NURBS曲線的修改（一）曲線的修改（一）n常用的方法有修改權(quán)因子、控制點(diǎn)和反插節(jié)點(diǎn)。常用的方法有修改權(quán)因子、控制點(diǎn)和反插節(jié)點(diǎn)。（1 1）修改權(quán)因子）修改權(quán)因子當(dāng)保持控制頂點(diǎn)和其它權(quán)因子不變，減少或增當(dāng)保持控制頂點(diǎn)和其它權(quán)因子不變，減少或增加某權(quán)因子時(shí)，曲線被推離或拉向相應(yīng)頂點(diǎn)。加某權(quán)因子時(shí)，曲線被推離或拉

59、向相應(yīng)頂點(diǎn)。3.4.5 NURBS曲線的修改（二）曲線的修改（二）3.4.5 NURBS曲線的修改（三）曲線的修改（三）3.4.5 NURBS曲線的修改（四）曲線的修改（四）3.4.5 NURBS曲線的修改（四）曲線的修改（四）3.4.6 NURBS3.4.6 NURBS曲面曲面mnpP1,13.6 形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示n幾何造型幾何造型n形體表示形體表示n邊界表示模型邊界表示模型3.6.1 3.6.1 引言引言n計(jì)算機(jī)中表示形體，通常用線框、表面和計(jì)算機(jī)中表示形體，通常用線框、表面和實(shí)體三種模型。實(shí)體三種模型。n幾何造型歷史：早期的線框表示幾何造型歷史：早期的線框表示 實(shí)

60、體造型與曲面造型實(shí)體造型與曲面造型7070 獨(dú)立發(fā)展到互相溶合獨(dú)立發(fā)展到互相溶合 NURBS NURBS 邊界表示邊界表示正則形體正則形體n對(duì)于任一形體，如果它是對(duì)于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。稱為非正則形體。n一些非正則形體的實(shí)例一些非正則形體的實(shí)例正則形體的定義：組成三維物體的點(diǎn)的集合可以分為正則形體的定義：組成三維物體的點(diǎn)的集合可以分為內(nèi)部點(diǎn)和邊界點(diǎn)兩部分，由內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集閉包