對高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分若干問題的思考

1、對高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分若干問題的思考張勁松摘  要：幾何課程改革始終是數(shù)學(xué)課程改革的熱點(diǎn)問題，“立體幾何”是高中數(shù)學(xué)課程的經(jīng)典內(nèi)容。在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)A版的編寫以及實(shí)驗(yàn)過程中，我們遇到了若干問題。如何正確看待這些問題，是這次“立體幾何”改革能否取得成功的重要前提。 本文依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）的要求，編寫普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)A版時的思考，結(jié)合教材實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況以及實(shí)驗(yàn)教師的反映，系統(tǒng)地闡述高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的內(nèi)容與要求，幾何的研究對象和研究方法，以及“立體幾何”部分的結(jié)構(gòu)體系。最后對幾何課程改

2、革進(jìn)行了展望。 關(guān)鍵詞：課程，立體幾何，內(nèi)容與要求，推理論證，結(jié)構(gòu)體系。 2003年4月教育部正式頒布實(shí)施普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)編寫的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)于2004年秋季開始在山東、廣東、海南、寧夏進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，2005年秋季又?jǐn)U大到江蘇，到2006年秋季，福建、浙江、安徽、遼寧、天津加入。目前共有十?。▍^(qū)、直轄市）使用普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)。 這次高中數(shù)學(xué)課程改革比較突出的特點(diǎn)是在“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺”的前提下，“提供多樣課程，適應(yīng)個性選擇”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”“

3、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”等等。具體做法是，課程內(nèi)容分為諸多模塊和專題，突出數(shù)學(xué)教科書的“數(shù)學(xué)味”，注重從現(xiàn)實(shí)情境引入數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)處理具體的實(shí)際問題等等。實(shí)事求是地講，標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的理念和思路都是非常好的，作為標(biāo)準(zhǔn)最主要的載體教材在實(shí)驗(yàn)過程中，有很多積極的評價。但也存在不少問題，比較突出的是標(biāo)準(zhǔn)把“內(nèi)容與要求”合在一起寫。雖然表述容易，但有些內(nèi)容不明確，教還是不教，難以把握，彈性很大。具體到教材的編寫，不同版本的教材存在一定的差異。 本文依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求，編寫普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)A版時的思考，結(jié)合教材實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況以及實(shí)驗(yàn)教師的反映，系統(tǒng)地闡述對高中數(shù)學(xué)新課程中“立

4、體幾何”部分若干問題的思考。希望對教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的幫助。 一、“立體幾何”部分到底包括哪些內(nèi)容？ “立體幾何”是高中數(shù)學(xué)非常經(jīng)典的內(nèi)容。回顧上個世紀(jì)九十年代以后開始的近二十年的高中數(shù)學(xué)課程改革，1997年前，“立體幾何”部分單獨(dú)成冊立體幾何，與代數(shù)（上冊）同時開設(shè)，在高一兩個學(xué)期完成，立體幾何約需57課時。1997年后，全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱把“立體幾何”部分的內(nèi)容縮為一章“直線、平面、簡單幾何體”，再加上“研究性學(xué)習(xí)課題  多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，共39課時。翻看全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（高中部分）（修訂本）和全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，其教

5、學(xué)內(nèi)容和具體要求（或教學(xué)目標(biāo)）都是分開表述，學(xué)什么，達(dá)到什么目標(biāo)，比較清晰。標(biāo)準(zhǔn)把“立體幾何”部分的內(nèi)容，放在數(shù)學(xué)2“立體幾何初步”、選修2-1“空間向量與立體幾何”，以及系列3和系列4的部分專題中，如“選修3-3  球面上的幾何”中等等，而且必修課程和選修課程分的比較開。由于選修系列1的（希望在人文、社會科學(xué)等方面發(fā)展）學(xué)生只學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)2中的“立體幾何初步”，選修系列2的學(xué)生學(xué)習(xí)“空間向量與立體幾何”，所以，我們認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)新課程中的“立體幾何”部分包括數(shù)學(xué)2中的“立體幾何初步”和選修2-1中“空間向量與立體幾何”，它們共30課時。（一）高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是

6、不是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集？ 單從課時上看，容易產(chǎn)生這種印象：高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集。實(shí)際是這種情況嗎？答案是否定的。從標(biāo)準(zhǔn)和普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2A版（以下簡稱數(shù)學(xué)2）看，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分新增加了一些內(nèi)容：平行投影、中心投影，三視圖。這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而“直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內(nèi)容。增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識空間圖形，通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對空間圖形有比較完整的認(rèn)識，培養(yǎng)

7、和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體。投影是視圖的基礎(chǔ)，投影分為平行投影和中心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形。中心投影在日常生活中非常普遍，但不是高中“立體幾何”研究的主要內(nèi)容。有了投影，才有視圖。除了“平行投影、中心投影，三視圖”的內(nèi)容外，其他內(nèi)容是“直線、平面、簡單幾何體”的真子集。 （二）高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)和教科書的編寫，概括一下，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容：1空間幾何體 棱柱。棱錐。棱臺。圓柱。圓錐。圓臺。球。 柱體、錐體、臺體、球體的簡單組合體。 簡

8、單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖。斜二測畫法。簡單空間圖形的直觀圖。 平行投影下的空間圖形。中心投影下的空間圖形。 球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積。 2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)。 平行直線。對應(yīng)邊分別平行的角。異面直線所成的角。直線和平面平行的判定與性質(zhì)。直線和平面垂直的判定和性質(zhì)。點(diǎn)到平面的距離。斜線在平面上的射影。直線和平面所成的角。 三垂線定理及其逆定理。 平面與平面平行的判定與性質(zhì)。二面角及其平面角。平面與平面垂直的判定與性質(zhì)。 3空間向量與立體

9、幾何空間向量及其加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算?？臻g向量基本定理?？臻g向量的正交分解?？臻g向量的坐標(biāo)表示?？臻g向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示?？臻g向量的數(shù)量積。空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。 直線的方向向量。平面的法向量（三）關(guān)于夾角與距離 標(biāo)準(zhǔn)在選修2-1 “空間向量與立體幾何”中明確提出：“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用?！?。 角度是“立體幾何”中的一種度量。異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角等內(nèi)容在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”必須介紹，穿插在相關(guān)內(nèi)容之中，盡管在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置

10、關(guān)系”中沒有明確提到。 距離是“立體幾何”中的另一種度量。點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、平行直線之間的距離、異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、平面與平面之間的距離的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間的距離。而兩點(diǎn)之間的距離是以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模或長度。這樣，空間中的距離問題就轉(zhuǎn)化為向量的?；蜷L度問題。 可見，用空間向量及其運(yùn)算，特別是數(shù)量積運(yùn)算，是處理夾角和距離問題的首選方法。 （四）關(guān)于“三垂線定理及其逆定理” 很多教師都說，整個高中立體幾何就是“三垂線定理”。盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用。確

11、實(shí)，“三垂線定理”是整個立體幾何內(nèi)容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置，綜合了很多知識內(nèi)容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行。在數(shù)學(xué)2“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，但在選修2-1“空間向量與立體幾何”中提到“能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）”。按照這種提法，教材中必須明確提出“三垂線定理”，學(xué)生應(yīng)該知道這個定理。至于放在數(shù)學(xué)2中，還是放在選修2-1中，則是另外一個問題。實(shí)際上，考慮到目前“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”一章僅有10課時，而且直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理僅僅要求歸納得出，在數(shù)

12、學(xué)2中沒有嚴(yán)格的證明。我們認(rèn)為，“三垂線定理”放在選修2-1中比較合適，而且只要求了解其內(nèi)容，并用向量方法證明，不要求運(yùn)用此定理證明有關(guān)的命題。有了“三垂線定理”，“三垂線定理的逆定理”也就順理成章了，無非是斜線與斜線在平面內(nèi)的射影的位置互換了一下。 在教材實(shí)驗(yàn)過程中，教師非常關(guān)注“三垂線定理及其逆定理”的教學(xué)。一方面是它在過去整個高中“立體幾何”中的地位和作用；另一方面，它也是過去高考的核心內(nèi)容，目前的高考試卷中，如果是用綜合法處理的“立體幾何”方面的大題，都是關(guān)于“三垂線定理及其逆定理”的。但是，隨著空間向量及其運(yùn)算引入“立體幾何”內(nèi)容中，用空間向量及其運(yùn)算的向量方法（或坐標(biāo)方法

13、）處理有關(guān)垂直和平行問題成為一種普適的方法，用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法退居其次。高中數(shù)學(xué)新課程中強(qiáng)調(diào)用空間向量及其運(yùn)算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理角度問題和距離問題。（五）關(guān)于球 目前標(biāo)準(zhǔn)只要求認(rèn)識球的結(jié)構(gòu)特征，了解球的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶）。由于在系列3中的“選修3-3 球面上的幾何”專門講述涉及球以及球面的幾何，因此現(xiàn)在新課程中“立體幾何”部分不涉及球面上距離等內(nèi)容，對球的表面積和體積公式也不要求推導(dǎo)，教學(xué)時一定不要增加這方面的內(nèi)容。二、怎樣把握這部分的教學(xué)要求？ 由于標(biāo)準(zhǔn)把“內(nèi)容與要求”合在一起寫，對教學(xué)要求的把握相對來說，容易

14、一些。但在教材編寫和教材實(shí)驗(yàn)中，也存在不少問題。 （一）棱柱、棱錐、棱臺這些空間幾何體要求到什么程度？ 按照標(biāo)準(zhǔn)的要求，教材首先通過實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。結(jié)構(gòu)特征是這些空間幾何體的本質(zhì)特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念。以棱柱為例，抽象出它的本質(zhì)特征后，要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性質(zhì)？由于標(biāo)準(zhǔn)在選修2-1“空間向量與立體幾何”中有“參考案例”例1，例1中明確提出“直三棱柱”，所以必須講。至于放到哪部分內(nèi)容中，下面我們談到結(jié)構(gòu)體系時，會詳細(xì)闡述。棱錐也有類似的問題，正棱錐怎么講？在何處講？

15、（二）關(guān)于三視圖與幾何直觀能力、空間想象能力視圖和投影是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）新增的內(nèi)容，作為與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內(nèi)容。要求到什么程度？1三視圖是不是要求到“長對正、高平齊、寬相等”？與初中階段的相關(guān)內(nèi)容如何銜接？2對于平行投影和中心投影下的視圖與直觀圖，如果只是“通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式?！保遣皇且筇土?？ 3如果不明確給出直棱柱、正棱柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三視圖能否講清楚？因?yàn)槔庵娜晥D涉及棱柱的高等概念。增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

16、和幾何直觀能力具有重要的促進(jìn)作用。過去的“立體幾何”內(nèi)容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這種狀況。對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證。我們要求學(xué)生能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，能夠從空間幾何體的直觀圖畫出它的三視圖，從三視圖畫出它的直觀圖等等。使得學(xué)生能通過“實(shí)物模型三視圖直觀圖” 這樣一個相互轉(zhuǎn)化的過程認(rèn)識空間幾何體。這些數(shù)學(xué)活動是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑。只有這樣，立體幾何的教學(xué)目標(biāo)才更加全面。 基于以上原因，我們認(rèn)為，教師和學(xué)生應(yīng)該知道正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的“擺放”位置，以及“長對正、高平齊、寬相等”的要求，但尺寸、線條、具體怎么

17、畫不作嚴(yán)格要求。這部分內(nèi)容是初中“投影與視圖”的基礎(chǔ)上的發(fā)展。 一個現(xiàn)實(shí)情況是，“空間幾何體”8個課時的容量，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖”僅有2個課時的時間，很多內(nèi)容無法展開。要想說的很清楚，勢必沖破2個課時的限制，這顯然違背標(biāo)準(zhǔn)的要求。因此，很多內(nèi)容“點(diǎn)到為止”，要求不高，像上面提到點(diǎn)在平面的射影、空間幾何體的高，平行投影和中心投影下的視圖和直觀圖等幾個問題，必須明確提到，但要求較低。（三）關(guān)于推理論證的要求 從必修課程·數(shù)學(xué)2、選修課程系列2·選修2-1的“內(nèi)容與要求”看，“立體幾何”部分推理論證的要求有所變化，而且有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些

18、判定定理用向量方法加以證明。而經(jīng)典的“立體幾何”除了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力外，非常強(qiáng)調(diào)推理論證能力，把推理論證能力放在最突出的位置。由于整個義務(wù)教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低，與義務(wù)教育階段相銜接的高中數(shù)學(xué)新課程這方面的教學(xué)要求有很大變化。 是不是標(biāo)準(zhǔn)對幾何推理論證的要求降低了呢？對“立體幾何”部分的教學(xué)要求降低了呢？ 這種看法有一定的片面性。從標(biāo)準(zhǔn)和整套教材看，不難發(fā)現(xiàn)，在“立體幾何”中對于推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的： （1）對空間幾何體的認(rèn)識，先直觀感受、操作確認(rèn)，不做任何推理論證的要求。 （2

19、）以長方體為載體（包括其他的實(shí)物模型、身邊的實(shí)際例子等）對圖形（模型）進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，引入合情推理。 （3）嚴(yán)格的推理論證，如選修課程系列2·選修2-1中關(guān)于直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理的證明。 （4）在選修課程系列2·選修2-1中的“空間向量與立體幾何”中引入空間向量，用空間向量處理平行、垂直、距離和夾角等問題。 幾何的現(xiàn)實(shí)性與論理性是幾何的兩個方面。歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣，很久以來幾何學(xué)就成為訓(xùn)練邏輯推理的素材，用主觀的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性

20、的認(rèn)識。 從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非幾何所獨(dú)有，它廣泛存在于數(shù)學(xué)的各個分支中。近幾十年的國際數(shù)學(xué)教育改革對幾何推理的要求發(fā)生了一些變化，適當(dāng)弱化演繹推理，更多地強(qiáng)調(diào)從具體情境或前提出發(fā)，進(jìn)行合情推理；從單純強(qiáng)調(diào)幾何的邏輯推理，轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、試驗(yàn)、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。立體幾何初步特別注意，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認(rèn)識直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，在推理過程中滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精神。 （四）關(guān)于幾何模型的作用與價值 標(biāo)準(zhǔn)中多次提到“數(shù)學(xué)模型”一詞，目的是進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際