理論力學(xué) 第2版 06靜力學(xué)專題_3重心

1、第三節(jié)第三節(jié) 物體的重心物體的重心基本概念基本概念重心：重心：形心：形心：基本結(jié)論基本結(jié)論1）對于勻質(zhì)物體，重心與形心位置重合）對于勻質(zhì)物體，重心與形心位置重合2）形心位于物體的幾何對稱軸上）形心位于物體的幾何對稱軸上物體重力的作用點物體重力的作用點物體的幾何形狀中心物體的幾何形狀中心一、物體的重心坐標(biāo)計算公式一、物體的重心坐標(biāo)計算公式 iiCiiCiiCx PxPyPyPzPzP有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 為第為第 i 小小塊的重心坐標(biāo)；塊的重心坐標(biāo)； Pi 為第為第 i 小塊的重力小塊的重力無限分割形式：無限分割形式： 式中，式中，( x ,

2、 y , z ) 為微元為微元 dP 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo)dddCCCx PxPy PyPz PzP二、物體的質(zhì)心坐標(biāo)計算公式二、物體的質(zhì)心坐標(biāo)計算公式 iiCiiCiiCxmxmymymzmzm有限分割形式：有限分割形式： 其中，其中，( xi , yi , zi ) 為第為第 i 小小塊的質(zhì)心坐標(biāo)；塊的質(zhì)心坐標(biāo)； mi 為第為第 i 小塊的質(zhì)量。小塊的質(zhì)量。無限分割形式：無限分割形式： 其中，其中，( x , y , z ) 為微元為微元 dm 的質(zhì)心坐標(biāo)。的質(zhì)心坐標(biāo)。dddCCCx mxmy mymz mzm三、物體的形心坐標(biāo)計算公式三、物體的形心坐標(biāo)計算公式 iiCiiCiiCx Vx

3、VyVyVzVzV有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 為第為第 i 小小塊的形心坐標(biāo)；塊的形心坐標(biāo)； Vi 為第為第 i 小塊的體積小塊的體積無限分割形式：無限分割形式： 式中，式中，( x , y , z ) 為微元為微元 dV 的形心坐標(biāo)的形心坐標(biāo)dddCCCx VxVy VyVz VzV四、平面圖形的形心坐標(biāo)計算公式四、平面圖形的形心坐標(biāo)計算公式 iiCiiCxAxAyAyA有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi ) 為第為第 i 小塊小塊的形心坐標(biāo)；的形心坐標(biāo)； Ai 為第為第 i 小塊的面積小塊的面積無限分割形式：無限分割

4、形式： 式中，式中，( x , y ) 為微元為微元 dA 的形心坐標(biāo)的形心坐標(biāo)ddCCx AxAy AyA五、曲線段的形心坐標(biāo)計算公式五、曲線段的形心坐標(biāo)計算公式 iiCiiCiiCx lxlylylzlzl有限分割形式：有限分割形式： 式中，式中，( xi , yi , zi ) 為第為第 i 小小段曲線的形心坐標(biāo)；段曲線的形心坐標(biāo)； li 為為第第 i 小段曲線的長度小段曲線的長度無限分割形式：無限分割形式： 式中，式中，( x , y , z ) 為曲線為曲線微元微元 dl 的形心坐標(biāo)的形心坐標(biāo)dddCCCx lxly lylz lzl例例1 確定由圖示二次拋物線構(gòu)成的曲邊三角形的形心

5、。確定由圖示二次拋物線構(gòu)成的曲邊三角形的形心。310Cyb34CxaOxyabr例例2 試求圖示一段勻質(zhì)圓弧細桿的重心。設(shè)圓弧的半徑為試求圖示一段勻質(zhì)圓弧細桿的重心。設(shè)圓弧的半徑為r ，圓弧，圓弧所對的圓心角為所對的圓心角為 2 。 解：解：dlCx lxl0Cy 以以 d 表示微元弧長表示微元弧長 dl 所對的圓心角所對的圓心角若為半圓弧，即有若為半圓弧，即有 = / 2，則得，則得 2Crx ydl選取圓弧的對稱軸為選取圓弧的對稱軸為 x 軸并以圓心為坐標(biāo)原點，軸并以圓心為坐標(biāo)原點，xd由對稱性得由對稱性得代入曲線段的形心坐標(biāo)計算公式代入曲線段的形心坐標(biāo)計算公式002cosd2drrrxs

6、inr例例3 試確定圖示均質(zhì)三角板試確定圖示均質(zhì)三角板 的重心位置。設(shè)三角板底邊的重心位置。設(shè)三角板底邊 長長為為 ，高為，高為 。bABDBDh解解:如圖，將三角板分割成一系列平行于底邊的細長條，由于每一細長條的重心均在其中點，因此整個三角板的重心 必位于中線 上。 AEC顯然，只要再求出 ，則三角板 的重心位置即定。CyABD建立坐標(biāo)系，取任一平行于底邊 的細長條為微元，其面積 BDhydAb dyb dyh 則0()132hACbhy ydyydAhhyAbh選取坐標(biāo)軸，選取坐標(biāo)軸，211.2cm 12cm14.4cmA 10.6cmx 16cmy 226.8cm 1.2cm8.16cm

7、A 24.6cmx 20.6cmy 1 1221214.4 0.68.16 4.6cm2.05cm14.48.16CAxA xxAA11221214.4 68.16 0.6cm4.05cm14.48.16CA yA yyAA 例例4 如圖，已知如圖，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，試確定該圖形，試確定該圖形的形心位置。的形心位置。 由平面圖形形心坐標(biāo)計算公式，得該圖形的形心坐標(biāo)為由平面圖形形心坐標(biāo)計算公式，得該圖形的形心坐標(biāo)為III其面積和形心坐標(biāo)分別為其面積和形心坐標(biāo)分別為解：解：xy將該圖形分割成兩個矩形將該圖形分割成兩個矩形ORra例例5 試求圖示圖形的形心，已知大圓的半徑為試求圖示圖形的形心，已知大圓的半徑為 R ，小圓的半徑，小圓的半徑為為 r ，兩圓的中心距為，兩圓的中心距為 a 。解：解：21AR10 x 22Ar 2xa2221 1222222120CRraAxA xarxAARrRr 0Cy 圖形可視為從大圓中切去了一個小圓圖形可視為從大圓中切去了一