第七章 光路計算及(實)

1、第七章第七章 光線的光路計算光線的光路計算 及像差概述及像差概述n 引言引言 n由于視場和孔徑的增大，而引起實際像與理想像由于視場和孔徑的增大，而引起實際像與理想像之間的差異稱為之間的差異稱為像差像差。n光學(xué)系統(tǒng)對單色光成像時所產(chǎn)生的像差稱為單色光學(xué)系統(tǒng)對單色光成像時所產(chǎn)生的像差稱為單色像差，它們分別是像差，它們分別是球差球差、彗差彗差、像散像散、像面彎曲像面彎曲（場曲場曲）和）和畸變畸變五種五種單色像差單色像差。n復(fù)色光進(jìn)入系統(tǒng)后不同色光的光路差別引起的像復(fù)色光進(jìn)入系統(tǒng)后不同色光的光路差別引起的像差稱為差稱為色差色差，色差有兩種，色差有兩種，位置色差位置色差和和倍率色差。倍率色差。 有代表性

2、的光路計算為：有代表性的光路計算為： 1.近軸光線的光路計算，近軸光線的光路計算，這是為了求得高斯像這是為了求得高斯像面的位置和高斯像的大小，進(jìn)而進(jìn)行初級像差面的位置和高斯像的大小，進(jìn)而進(jìn)行初級像差所必須的；所必須的； 2.含軸面（子午面）內(nèi)光線的光路計算，含軸面（子午面）內(nèi)光線的光路計算，這是這是為求得大部分像差所必須的；為求得大部分像差所必須的； 3.沿軸外點主光線的細(xì)光束像差的計算，沿軸外點主光線的細(xì)光束像差的計算，這是這是為求得像散和像面彎曲（場曲）所必須的；為求得像散和像面彎曲（場曲）所必須的； 4.子午面外光線或空間光線的光路計算，子午面外光線或空間光線的光路計算，這是這是對系統(tǒng)的

3、成像質(zhì)量作全面的了解所必須的。對系統(tǒng)的成像質(zhì)量作全面的了解所必須的。n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算一一.近軸光線的光路計算近軸光線的光路計算 第一近軸光線：從物體軸上點發(fā)出的光線。第一近軸光線：從物體軸上點發(fā)出的光線。計算近軸光時，角計算近軸光時，角u常對入射光瞳的邊緣常對入射光瞳的邊緣光線取值。其初始值：光線取值。其初始值： 第二近軸光線：由軸外物點發(fā)出的通過入第二近軸光線：由軸外物點發(fā)出的通過入瞳中心的近軸光線。計算第二近軸光線的瞳中心的近軸光線。計算第二近軸光線的起始值：起始值： 11sinluU1MMzzulsin11n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線

4、的光路計算二二. 遠(yuǎn)軸光線的光路計算遠(yuǎn)軸光線的光路計算n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算1.當(dāng)物體位于無限遠(yuǎn)時當(dāng)物體位于無限遠(yuǎn)時n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算2.當(dāng)物體在有限遠(yuǎn)時當(dāng)物體在有限遠(yuǎn)時n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算三三.光路計算中幾種特殊情況的處理光路計算中幾種特殊情況的處理1.物在無限遠(yuǎn)物在無限遠(yuǎn)2.出現(xiàn)平面分界面時出現(xiàn)平面分界面時n7.1 子午面內(nèi)光線的光路計算子午面內(nèi)光線的光路計算7.2 軸外物點近主光線細(xì)光束經(jīng)球面折射的計算軸外物點近主光線細(xì)光束經(jīng)球面折射

5、的計算ABdUU-s-tPMM2II,M1Cdt,Bt,B,s1Bs,B,s2入瞳BM,sMM,sB,tB,sMB=-t MB,t=t,MB=-s MB,s=s,7.2 軸外物點近主光線細(xì)光束經(jīng)球面折射的計算軸外物點近主光線細(xì)光束經(jīng)球面折射的計算7.3 球差A(yù)A,光學(xué)系統(tǒng)高斯像面,Ll U,-UL-T,L, ,lA0,一、球差的定義及計算一、球差的定義及計算A-Um高斯像面A,4L,mU,mLl ,mL-T,5321l ,7.3 球差7.3 球差定義定義：由軸上點發(fā)出的同心光束，經(jīng)光學(xué)：由軸上點發(fā)出的同心光束，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)各個面折射后，不同孔徑角系統(tǒng)各個面折射后，不同孔徑角U 的光線的光線交光軸

6、與不同點交光軸與不同點A 上，相對于理想像點的上，相對于理想像點的位置位置A 0有不同的偏離，稱為球差。有不同的偏離，稱為球差?，F(xiàn)象現(xiàn)象：存在對光軸對稱的彌散斑。：存在對光軸對稱的彌散斑。 7.3 球差度量度量：以第一近軸光線得到的高斯像點為基準(zhǔn)，：以第一近軸光線得到的高斯像點為基準(zhǔn)，與不同孔徑角的像方截距之差，即與不同孔徑角的像方截距之差，即危害危害：使得軸上點得不到清晰的像。：使得軸上點得不到清晰的像。lLLULTtan計算計算：計算：計算l 及不同及不同U角的遠(yuǎn)軸光線光路的角的遠(yuǎn)軸光線光路的L 特點特點： 球差是軸上點唯一的單色像差。球差是軸上點唯一的單色像差。有大小而產(chǎn)生的由于孔徑角單

7、色光像差U7.3 球差7.3 球差單正透鏡產(chǎn)生負(fù)球差，單負(fù)透鏡產(chǎn)生單正透鏡產(chǎn)生負(fù)球差，單負(fù)透鏡產(chǎn)生正球差，正、負(fù)透鏡組合起來可能使球正球差，正、負(fù)透鏡組合起來可能使球差得到校正。差得到校正。所謂消球差系統(tǒng)一般只能使一個孔徑所謂消球差系統(tǒng)一般只能使一個孔徑（帶），通常使邊緣孔徑的球差為零。（帶），通常使邊緣孔徑的球差為零。7.3 球差二、光學(xué)系統(tǒng)的球差分布公式二、光學(xué)系統(tǒng)的球差分布公式7.3 球差對于光學(xué)系統(tǒng)中任一個折射面，球差是對于光學(xué)系統(tǒng)中任一個折射面，球差是由兩部分組成的，一部分是該折射面本由兩部分組成的，一部分是該折射面本身所產(chǎn)生的球差，另一部分是折射面物身所產(chǎn)生的球差，另一部分是折射面

8、物方球差乘以該面的轉(zhuǎn)面倍率而得到的。方球差乘以該面的轉(zhuǎn)面倍率而得到的。可用下式表示折射面的像方球差：可用下式表示折射面的像方球差：LLL 7.3 球差考慮到遠(yuǎn)軸光的影響，采用了下式表示轉(zhuǎn)面倍率：考慮到遠(yuǎn)軸光的影響，采用了下式表示轉(zhuǎn)面倍率：sinsinnuUn uU 代入到折射面的像方球差公式，得到：代入到折射面的像方球差公式，得到：sinsinnuULLLn uU 7.3 球差變形得到：變形得到：sinsinsinn uULnuU Ln uUL 令令：1s in2n uULS 則整理得則整理得 ：1(sinsin)2Sni LULU7.3 球差設(shè)符號設(shè)符號 ：則得則得 ：sinsinZLULU

9、12Sn iZ 上式稱為克爾伯公式。其中的近軸光線和實際上式稱為克爾伯公式。其中的近軸光線和實際光線不一定要由同一物點發(fā)出，也可以由光軸上任光線不一定要由同一物點發(fā)出，也可以由光軸上任意兩點發(fā)出，只要它們通過同一光學(xué)系統(tǒng)，上式就意兩點發(fā)出，只要它們通過同一光學(xué)系統(tǒng)，上式就成立。該公式在其他像差分布公式的推導(dǎo)中也是有成立。該公式在其他像差分布公式的推導(dǎo)中也是有用的，所以這個公式具有普遍意義。用的，所以這個公式具有普遍意義。7.3 球差通過上面的一系列推到，可得單個折射面的球通過上面的一系列推到，可得單個折射面的球差表示式為差表示式為 ：sin1sin2sinnuULLSn uUn uU 7.3

10、球差把上式用于把上式用于k個折射面的光學(xué)系統(tǒng)的每一個面，得：個折射面的光學(xué)系統(tǒng)的每一個面，得：111111111111sin1()sin2sinn uULLSn uUn uU 222222222222sin1()sin2sinn uULLSn uUn uU sin1()sin2sinkkkkkkkkkkkkn uULLSn uUn uU 7.3 球差對于一個光學(xué)系統(tǒng)，上式轉(zhuǎn)面倍率中的因子有以對于一個光學(xué)系統(tǒng)，上式轉(zhuǎn)面倍率中的因子有以下關(guān)系：下關(guān)系：2221 11sinsinn uUn uU 333222sinsinn uUn uU 111sinsinkkkkkkn uUnuU7.3 球差另外，

11、有：另外，有：12231,.,kkLLLLLL經(jīng)過化簡可得整個系統(tǒng)的球差表示式為：經(jīng)過化簡可得整個系統(tǒng)的球差表示式為：1 11111 11sin1sin2sinkkkkknuULLSnuUn uU 7.3 球差或?qū)憺榛驅(qū)憺?：上式就是球差分布公式，當(dāng)實際物體成像時，上式就是球差分布公式，當(dāng)實際物體成像時， ，則，則折射面的折射面的 值和值和 的乘積即為該折射面以的乘積即為該折射面以光學(xué)系統(tǒng)總球差值的貢獻(xiàn)量，所以稱光學(xué)系統(tǒng)總球差值的貢獻(xiàn)量，所以稱 為球差分布系為球差分布系數(shù)，其數(shù)值大小也表征了該面所產(chǎn)生球差的大小。數(shù)，其數(shù)值大小也表征了該面所產(chǎn)生球差的大小。 稱為光學(xué)系統(tǒng)的球差系數(shù)，它表征了系統(tǒng)

12、的球差。稱為光學(xué)系統(tǒng)的球差系數(shù)，它表征了系統(tǒng)的球差。1 11111sinsin2kkkkkn uULnuULS 10L()S1(2sin)kkkn uU SS7.3 球差三、單個折射面的球差分布系數(shù)、不暈點三、單個折射面的球差分布系數(shù)、不暈點 為便于分析折射球面球差分布系數(shù)的特性，確定折為便于分析折射球面球差分布系數(shù)的特性，確定折射面的無球差點的位置和球差正負(fù)號等，而把球差分射面的無球差點的位置和球差正負(fù)號等，而把球差分布系數(shù)寫成便于分析的形式。布系數(shù)寫成便于分析的形式。1(sinsin ) (sinsin )211112sin sin()cos () 2sin ()cos ()2222Sni

13、rUIUInirU IU IUIUI7.3 球差其中：其中：sinsin11coscos()22LULUPAOEIUIU7.3 球差因此：因此：111cos()cos()222112sin()sin()22SniPAUIUIniPAIUII 最后整理得：最后整理得：sinsinsinsinsin111122coscoscos222niLUIIIUSIUIUII7.3 球差由上式可導(dǎo)出單個折射球面在以下三種情況時球差為零：由上式可導(dǎo)出單個折射球面在以下三種情況時球差為零：0L Lsinsin0II0II LLr sinsin0IUIUsinsinLrIUrsinsinsinnn LrIIUnnr

14、（1） ，有三角光路計算公式可知，此時，有三角光路計算公式可知，此時 必為零，即必為零，即物點、像點均與球面頂點重合；物點、像點均與球面頂點重合；（2） ，這只能在，這只能在 的條件下才能滿足。相的條件下才能滿足。相當(dāng)于光線和球面法線相重合，物點和像點均與球面中心相重合，當(dāng)于光線和球面法線相重合，物點和像點均與球面中心相重合，即即 ；（3） 或或 。此時，相應(yīng)的物點位置易。此時，相應(yīng)的物點位置易于由于由 求出，求出， 即即7.3 球差故得物點位置為：故得物點位置為：相應(yīng)像點位置為：相應(yīng)像點位置為：nnLrnnnLrn 7.3 球差7.3 球差sinsinUU無球差共軛點位置間的簡單關(guān)系無球差共

15、軛點位置間的簡單關(guān)系 ： 此時表明，這一對共軛點不管孔徑角多此時表明，這一對共軛點不管孔徑角多大，比值大，比值 和和 始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生球差，這一對共軛點稱為不暈點（或齊明球差，這一對共軛點稱為不暈點（或齊明點）。點）。sinsinsinsinUInLUInLLL 7.3 球差四、單個折射面的球差正負(fù)和物體位置的關(guān)系四、單個折射面的球差正負(fù)和物體位置的關(guān)系 對單個折射面給出三對無球差共軛點的位置，可以對單個折射面給出三對無球差共軛點的位置，可以把由把由 到到 的整個空間分為四個以無球差點為界的的整個空間分為四個以無球差點為界的區(qū)間。區(qū)間。sinsinsinsinsin

16、111122coscoscos222niLUIIIUSIUIUII7.3 球差SL當(dāng)當(dāng) ， 時，各個因子在每個區(qū)間內(nèi)正負(fù)和各區(qū)時，各個因子在每個區(qū)間內(nèi)正負(fù)和各區(qū)間的間的 及球差及球差 正負(fù)正負(fù) 0r 0PA 7.3 球差SL當(dāng)當(dāng) ， 時，各個因子在每個區(qū)間內(nèi)正負(fù)和各區(qū)時，各個因子在每個區(qū)間內(nèi)正負(fù)和各區(qū)間的間的 及球差及球差 正負(fù)正負(fù) 0r 0PA 7.3 球差1.折射球面對光束起會聚作用（即折射球面對光束起會聚作用（即 ）產(chǎn)生負(fù)球差；對光束其發(fā)散作用時，產(chǎn)生正球差；產(chǎn)生負(fù)球差；對光束其發(fā)散作用時，產(chǎn)生正球差；但對從球心到齊明點的區(qū)間有相反結(jié)論。此區(qū)間但對從球心到齊明點的區(qū)間有相反結(jié)論。此區(qū)間稱

17、為折射球面的反常區(qū)。稱為折射球面的反常區(qū)。2.除反常區(qū)外，會聚球面對光束起會聚作用，產(chǎn)除反常區(qū)外，會聚球面對光束起會聚作用，產(chǎn)生負(fù)球差；發(fā)散球面對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正生負(fù)球差；發(fā)散球面對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正球差。但從頂點到球心的區(qū)間例外。物點處于此球差。但從頂點到球心的區(qū)間例外。物點處于此區(qū)間時，會聚面反而對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正區(qū)間時，會聚面反而對光束起發(fā)散作用，產(chǎn)生正球差；發(fā)散面對光束起會聚作用，產(chǎn)生負(fù)球差。球差；發(fā)散面對光束起會聚作用，產(chǎn)生負(fù)球差。此區(qū)間稱為折射球面的半反常區(qū)。此區(qū)間稱為折射球面的半反常區(qū)。3.總之，會聚球面除在反常區(qū)和半反常區(qū)產(chǎn)生正總之，會聚球面除在反常區(qū)和半反常區(qū)

18、產(chǎn)生正球差外，均產(chǎn)生負(fù)球差；發(fā)散球面除在反常區(qū)和球差外，均產(chǎn)生負(fù)球差；發(fā)散球面除在反常區(qū)和半反常區(qū)產(chǎn)生負(fù)球差外，均產(chǎn)生正球差。半反常區(qū)產(chǎn)生負(fù)球差外，均產(chǎn)生正球差。 sinsin0II 7.4 彗差B-yp1p2poB,T入射光瞳折射球面nn,aL輔軸B,0abz,bL,zLz,B,zb,B,ba,B,a-K,T7.4 彗差A(yù)BP1P2PK,TA,0Y,aY,bY,zB,-K,TB,T入瞳azB,zz,a,B,ab,B,bbA,B,TB,-X,T7.4 彗差一一.彗差及計算彗差及計算定義定義：在子午平面光束中，本來對主光：在子午平面光束中，本來對主光線對稱的各對光線，經(jīng)系統(tǒng)以后失去對線對稱的各對

19、光線，經(jīng)系統(tǒng)以后失去對稱的一種成像缺陷稱為子午彗差。稱的一種成像缺陷稱為子午彗差?，F(xiàn)象現(xiàn)象：主要能量在像方主光線附近，形：主要能量在像方主光線附近，形成一個以主光線為頂點的彗星形能量分成一個以主光線為頂點的彗星形能量分布。布。7.4 彗差度量度量：以軸外光束上、下光線在高斯像面以軸外光束上、下光線在高斯像面上交點高度的平均值和主光線在高斯像上交點高度的平均值和主光線在高斯像面上交點高度之差表示：面上交點高度之差表示：產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：球差和軸外光束失去對稱性。球差和軸外光束失去對稱性。ZbaTYYYK21 7.4 彗差危害危害：使物面上的軸外點成像為彗星狀：使物面上的軸外點成像為彗星狀的彌散斑

20、，破壞了軸外視場的成像清晰的彌散斑，破壞了軸外視場的成像清晰度。度。特點特點：是一種垂軸像差單色光像差 7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響A-yBop2p1 入射光瞳n, np(c)A,Y,an-X,TB,TY,bY,zazB,aa,bz,B,zb,B,b 7.4 彗差B-yp1p2poB,T入射光瞳折射球面nn,aL輔軸B,0abz,bL,zLz,B,zb,B,ba,B,a-K,T二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響ABop2 入射光瞳n, npA,Y,

21、aY,bnY,zp1cB,TB,-X,TK,TB,aa,z,B,zb,B,bazb7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響7.4 彗差二二.光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對彗差的影響 彗差與光闌的位置有關(guān)。彗差與光闌的位置有關(guān)。 彗差值的大小和正負(fù)還和透鏡形狀彗差值的大小和正負(fù)還和透鏡形狀 有密切的關(guān)系。有密切的關(guān)系。7.4 彗差弧矢彗差：弧矢彗差：ZcSYYK7.5 像散和像面彎曲（場曲）一一.像散

22、像散7.5 像散和像面彎曲（場曲）7.5 像散和像面彎曲（場曲）一一.像散像散定義定義：軸外物點沿主光線的細(xì)光束錐中，子午：軸外物點沿主光線的細(xì)光束錐中，子午面上的子午光束在主光線上的會聚點面上的子午光束在主光線上的會聚點B t與弧與弧矢面上的弧矢光束在主光線上會聚點矢面上的弧矢光束在主光線上會聚點B S各處各處于主光線上的不同位置，這種現(xiàn)象稱為像散現(xiàn)于主光線上的不同位置，這種現(xiàn)象稱為像散現(xiàn)象，與像散現(xiàn)象產(chǎn)生相應(yīng)的成像缺陷，就是像象，與像散現(xiàn)象產(chǎn)生相應(yīng)的成像缺陷，就是像散。散。7.5 像散和像面彎曲（場曲）現(xiàn)象現(xiàn)象：軸外一點的像為在空間相互垂直的兩條：軸外一點的像為在空間相互垂直的兩條 短線。

23、短線。度量度量：以近主光線的細(xì)光束的子午像點：以近主光線的細(xì)光束的子午像點B t和和弧矢像點弧矢像點B s之間的距離在光軸上的投之間的距離在光軸上的投影來度量的，即影來度量的，即危害：危害：像散嚴(yán)重時，軸外點得不到清晰像。像散嚴(yán)重時，軸外點得不到清晰像。sttsllx7.5 像散和像面彎曲（場曲）產(chǎn)生產(chǎn)生：入射處球面半徑不同，進(jìn)而會聚點入射處球面半徑不同，進(jìn)而會聚點不同。不同。特點特點：是軸外細(xì)光束像差單色光像差7.5 像散和像面彎曲（場曲）二二.場曲場曲7.5 像散和像面彎曲（場曲）二二.場曲場曲定義定義：在不同視場時，子午像面和弧矢：在不同視場時，子午像面和弧矢像面對于理想像面的偏離，成為

24、子午像像面對于理想像面的偏離，成為子午像面彎曲和弧矢像面彎曲。面彎曲和弧矢像面彎曲。度量度量：llxllxsstt7.5 像散和像面彎曲（場曲）危害：危害：當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)存在嚴(yán)重場曲時，就不能使當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)存在嚴(yán)重場曲時，就不能使一個較大的平面物體各點同時清晰成像。一個較大的平面物體各點同時清晰成像。三三.像散與場曲像散與場曲sttsxxxn球面光學(xué)系統(tǒng)存在場曲是由球面固有性質(zhì)決定的。球面光學(xué)系統(tǒng)存在場曲是由球面固有性質(zhì)決定的。7.5 像散和像面彎曲（場曲）像散和像面彎曲（場曲）7.5 像散和像面彎曲（場曲）像散和像面彎曲（場曲）四四.寬光束的像散和場曲寬光束的像散和場曲STTSXXX產(chǎn)生：產(chǎn)生：

25、7.6 畸變 定義：定義： 在一對共扼平面上的垂軸放大率不為常數(shù)時在一對共扼平面上的垂軸放大率不為常數(shù)時 ,就就會使物、像失去了相似性，這種成像缺陷即為會使物、像失去了相似性，這種成像缺陷即為畸變。枕形畸變是由于隨著視場的增大垂軸放畸變。枕形畸變是由于隨著視場的增大垂軸放大率增大而產(chǎn)生的；桶形畸變是由于隨著視場大率增大而產(chǎn)生的；桶形畸變是由于隨著視場的增大垂軸放大率減小而產(chǎn)生的。的增大垂軸放大率減小而產(chǎn)生的。7.6 畸變 計算：計算： 畸變是在高斯像面上，以高斯面上理想像高畸變是在高斯像面上，以高斯面上理想像高y 為基準(zhǔn)度量的，畸變可用線畸變?yōu)榛鶞?zhǔn)度量的，畸變可用線畸變yz表示。表示。 畸變還有一種表達(dá)式，稱為相對畸變，記為畸變還有一種表達(dá)式，稱為相對畸變，記為qzzyYy z100%100%Yyqy7.6 畸變 特點：特點：是一種垂軸像差；是一種垂軸像差； 僅與視場有關(guān)；僅與視場有關(guān)； 不影響成像的清晰度。不影響成像的清晰度。 結(jié)構(gòu)完全對稱的結(jié)構(gòu)完全對稱的-1倍垂軸放大率的光學(xué)系統(tǒng)的倍垂軸放大率的光學(xué)系統(tǒng)的畸變能自然消除。畸變能自然消除。7.6 畸變 光學(xué)系統(tǒng)光闌對畸變的作用：光學(xué)系統(tǒng)光闌對畸變的作用：7.6 畸變 光學(xué)系統(tǒng)光闌對畸變的作用：光學(xué)系統(tǒng)光闌對畸變的作用：7.6 畸變7.7 位置色差