圓錐曲線的參數(shù)方程

1、2022-5-28鄭平正 制作二二.圓錐曲線圓錐曲線的參數(shù)方程的參數(shù)方程高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修4-4高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修4-4 第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程1.1.橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程一、知識回顧222()()xaybr問題:圓的參數(shù)方程是什么?是怎樣推導(dǎo)出來的?122rbyraxsincos:rbyrax令)(sincos:為參數(shù)得rbyrax問題問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？的參數(shù)方程嗎？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos為參數(shù)byax這就是橢圓的參數(shù)方程這就是橢圓的參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程的

2、推導(dǎo)11xxayyb 從幾何變換的角度看，通過伸縮變換22222211.xyxyab則橢圓的方程可以變成cos()sinxy 利用圓的參數(shù)方程為參數(shù)cos()sinxayb可以得到橢圓的參數(shù)方為為參數(shù)程 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為）為半徑作兩個同心圓，設(shè)半徑作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的的軌跡參數(shù)方程軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB分析：

3、分析：點(diǎn)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過的坐標(biāo)可以通過引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系. 設(shè)設(shè)XOA=OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax)( 為參數(shù)為參數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. . 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別

4、以a，b（ab0）為）為半徑作兩個同心圓，設(shè)半徑作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的的軌跡參數(shù)方程軌跡參數(shù)方程. 1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓的參是橢圓的參 數(shù)方程數(shù)方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分分別是橢圓的長半軸長和短半軸長別是橢圓的長半軸長和短半軸長. ab另外另外, 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù)的取值范圍是的取值范圍

5、是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .xbYya焦點(diǎn)在 軸OAMxyNB知識歸納知識歸納橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbycosa為為參參數(shù)數(shù) xxyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為為參參數(shù)數(shù) rrx的幾何意義是的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程與與橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程中中參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義MOXYN

6、(x,y)(sincos為參數(shù)ayax)(sincos為參數(shù)byaxABOXYNM(x,y) 為為OX軸逆時針旋轉(zhuǎn)到與軸逆時針旋轉(zhuǎn)到與OM重合時所轉(zhuǎn)過的角度重合時所轉(zhuǎn)過的角度 并非并非為為OX軸逆時針旋轉(zhuǎn)到軸逆時針旋轉(zhuǎn)到與與OM重合時所轉(zhuǎn)過的角度重合時所轉(zhuǎn)過的角度是是AOX=,不是不是MOX=.【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1y

7、x22925(3)1yx練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是是參數(shù)參數(shù)) ，則此橢圓的長軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），短軸長為），短軸長為（ ），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），離心率是），離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.22204936xymxy000,M(,)mxy消元，利用，求出及切點(diǎn)0025

8、xymdM(3cos ,2sin ),設(shè)|3cos4sin -10|5d則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.分析分析23cos()2sinxy橢圓參數(shù)方程為：為參數(shù)34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中滿足05d當(dāng)=0時, 取最小值，0098coscos,

9、2sin2sin55此時339 8M( , )210055 5Mxy時，點(diǎn)與直線的距離取最小值。22,122516xyx yzxy與簡單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行類比，你能在實(shí)數(shù)滿足的前提下，求出的最大值和思考：最小值嗎？(5cos ,4sin )M設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，5cos8sinz則089cos()0cos() 1,1 89, 89z 例例2、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使，使P到直線到直線 l：x-y+4=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P設(shè)設(shè)2882|4yy|d則則分析分析2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè)222|4sincos|

10、 d則則分析分析3：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形面積求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值的最大值.22221(0)xyabab解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形當(dāng)時，最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩

11、形面積的最大值為2ab.2sin2ab2ab練習(xí)練習(xí)3已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy:10cos ,8sinA解 設(shè)20cos,16sin20 16 sincos160 sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例例3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:解 由橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P(3cos

12、 ,2sin)PAB即求點(diǎn)到直線的距離的最大值。,ABCABPS面積一定 需求 S最大即可132xy直線AB的方程為：22|cossin6 |23d6662 sin()1413,d當(dāng)=時有最大值 面積最大.4322P這時點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)2360 xy練習(xí)練習(xí)41、動點(diǎn)、動點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實(shí)數(shù)時，連接取一切實(shí)數(shù)時，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C.

13、直線直線 D. 線段線段B設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sinxy236cos6sinxy6 2sin()41(3cos ,2sin ).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)2PABCD、當(dāng)參數(shù) 變化時，動點(diǎn)所確定的曲線必過點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn)它的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5練習(xí)練習(xí)53 17cos()_,8sin2_.xy2.橢圓為參數(shù) 的中心坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為(3, 2)289315x 2224 cos2 sin3cos0 xyxy解：方程2224 cos2 sin3cos0,()_?xyxy3.已知圓的方程為為

14、參數(shù) ，那么圓心的軌跡的普通方程為22(2cos )(sin )1xy可化為2cos()sinxy圓心的參數(shù)方程為為參數(shù)2214xy化為普通方程是2214xy小結(jié)小結(jié)（1）橢圓的參數(shù)方程與應(yīng)用）橢圓的參數(shù)方程與應(yīng)用12222byax)(sincos為參數(shù)byax注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不同。注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不同。（2）橢圓與直線相交問題）橢圓與直線相交問題2.2.雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程aoxy)MBABA雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程探究：雙曲線探究：雙曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程22221xyabb12,Oa bC C以原點(diǎn) 為圓心，

15、為半徑分別作同心圓1,ACOAOxOA設(shè) 為圓上任意一點(diǎn)，作直線設(shè)為始邊，為終邊的角為1AC過點(diǎn) 作圓 的切線AA與x軸交于點(diǎn)A ,22.CC過圓與x軸的交點(diǎn)B作圓的切線BB與直線OA交于點(diǎn)B過點(diǎn)A ,B分別作y軸,x軸的平行線A M,BM交于點(diǎn)M.aoxy)MBABA雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程b( , )M x y設(shè)( ,0),( , ).A xB b y則1AC點(diǎn) 在圓上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又點(diǎn)B在角 的終邊上，tan.yb由三角函數(shù)定義有：tanyb1seccos記secxaxaMy

16、bsec()tan點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是為為參參數(shù)數(shù)AA=(x-acos ,-asin )sec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.aoxy)MBABAb雙曲線的參數(shù)方程雙曲

17、線的參數(shù)方程例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過過點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)（asec ,btan為）,b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，點(diǎn)B的橫坐cta2標(biāo)n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan

18、.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無關(guān)。tan(sec ).bybxaMAa 則直線的方程為： 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 sec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b2222221sectan1xyab注意：雙曲線：的參數(shù)方程實(shí)質(zhì)是由三角恒等式而代換得來的sec()tanyaxb為參數(shù)2a222yx-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b為離心角注意:雙曲線

19、還有什么參數(shù)方程?1()1xtttytt 為參數(shù)()ttttxeetyee 為參數(shù)3.3.拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程xyoM(x,y)22.(1)ypx設(shè)拋物線的普通方程為tan .(2)yx由三角函數(shù)的定義可得(1),(2), x y由解出，(1)()這就是拋物線不包括頂點(diǎn)的參數(shù)方程1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 則為參數(shù)有拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程22tan()2tanpxpy得到為參數(shù)(0,0)0t ，由參數(shù)方程表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)當(dāng)時2(,2()2)xpttyptt 為當(dāng)時，參數(shù)方程就參數(shù)表示拋物線。t參數(shù) 表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任

20、意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。M拋物線上任意點(diǎn) （x,y)MOX220)ypx p拋物線（的參數(shù)方程為：22()2xpttypt 為參數(shù)t參數(shù) 的幾何意義-拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。22(0)?xpy p思考：怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線 的參數(shù)方程22tan()2tanxpyp為參數(shù)tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt為參數(shù)t參數(shù) 的幾何意義-拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 與原點(diǎn)連線的斜率。22(0)xpy p拋物線 的參數(shù)方程為：22()2xpttypt為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程22()2xpttypt 為參數(shù)t拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)

21、連線參數(shù) 的幾的斜率何意義：的倒數(shù)。220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 為參數(shù)t拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原參點(diǎn)數(shù) 的幾何意義：連線的斜率。22(0)xpy p22()2xpttypt為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 為參數(shù)xyoBAM23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。( , ),M x y解：設(shè)點(diǎn)211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2