剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

1、3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理3.2.4 開普勒定律開普勒定律3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律3.2.5 例題分析例題分析3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1. 力矩力矩對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而言：對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而言： MFdM rmF doFrM sinFr 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言：對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言： zorFP/F FFrM Fr注意注意: : ( (1) )力矩是對(duì)點(diǎn)或?qū)S而言的力矩是對(duì)點(diǎn)或?qū)S而言的; ( (2) )一

2、般規(guī)定，使剛體逆時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一般規(guī)定，使剛體逆時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)時(shí) ；使剛體順時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)；使剛體順時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) . . 0 M0 M2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 對(duì)質(zhì)元對(duì)質(zhì)元 ，由，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得 im iiamFF 內(nèi)力內(nèi)力外力外力zoir內(nèi)力內(nèi)力Fi im i 外力外力F ,其中其中 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞繞轉(zhuǎn)軸作圓運(yùn)動(dòng)的加速轉(zhuǎn)軸作圓運(yùn)動(dòng)的加速度，寫為分量式如下：度，寫為分量式如下： iaim iiiiiniiiamFFamFFsinsincoscos內(nèi)內(nèi)力力外外力力內(nèi)內(nèi)力力外外力力 其中其中 和和 是質(zhì)元是質(zhì)元 繞軸作圓運(yùn)動(dòng)繞軸作圓運(yùn)動(dòng)的

3、法向加速度和切向加速度，所以的法向加速度和切向加速度，所以 ina iaim iiiiiiiirmFFrmFFsinsincoscos2內(nèi)內(nèi)力力外外力力內(nèi)內(nèi)力力外外力力切切向向：法法向向： 2sinsiniiiiiirmrFrF 內(nèi)力內(nèi)力外力外力法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸, ,其力矩為零其力矩為零. . iiiiiiiiirmrFrF2sinsin內(nèi)力內(nèi)力外力外力內(nèi)力矩為零內(nèi)力矩為零外力矩為外力矩為M J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)慣性的量度描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)慣性的量度描述. .3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 iiir

4、mJ2 mdmrJ2適用于離散剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算適用于離散剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算適用于連續(xù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算適用于連續(xù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 在國(guó)際單位制在國(guó)際單位制（SI）中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為千克二次方米，即位為千克二次方米，即 . . 2mkg 3.2.5 例題分析例題分析 1.一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為分別為m 和和M 的物體，且的物體，且 . . 滑輪可滑輪可看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為 ，半徑為半徑為R ， 轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如圖所示圖所示. .由于軸上有摩擦，

5、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到了摩擦阻力矩了摩擦阻力矩 的作用的作用. . 設(shè)繩不可伸長(zhǎng)且設(shè)繩不可伸長(zhǎng)且與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng). .求物體的加速度及繩求物體的加速度及繩中的張力中的張力. . mM 阻阻Mm mG1TMG2T1a2a阻阻MRm mMo 解解 受力分析如圖所示受力分析如圖所示. .對(duì)上下做平動(dòng)的兩物體，對(duì)上下做平動(dòng)的兩物體，可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得二運(yùn)動(dòng)定律得 2211MaTMgMmamgTm：對(duì)對(duì)：對(duì)對(duì) 若以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)的若以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)的力矩為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的方力矩為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的方向?yàn)樨?fù)，則由剛體定軸轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)，則由剛

6、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律得動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 21221RmJMRTRT阻阻 Raaaa 21 據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，所據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，所以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即度相等，即 聯(lián)立以上三個(gè)方程，得聯(lián)立以上三個(gè)方程，得 2)(mmMRMgmMa 阻阻2)22()(1mmMRmMmgmMagmT 阻阻2)22()(2mmMRMMMgmmagMT 阻阻 注意：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩時(shí)，此時(shí)有時(shí)，此時(shí)有 ，物理學(xué)中稱這樣的滑輪，物理學(xué)中稱這樣的滑輪為為“理想滑輪理想滑輪”，稱這

7、樣的裝置為，稱這樣的裝置為阿特伍德阿特伍德機(jī)機(jī). . 21TT 2. 求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng) ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. . （2）對(duì)于通過棒的中點(diǎn)與棒垂直的軸對(duì)于通過棒的中點(diǎn)與棒垂直的軸. . （1）對(duì)于通過棒的一端與棒垂直的軸；對(duì)于通過棒的一端與棒垂直的軸；解解 （1）如圖所示，以過如圖所示，以過A 端垂直于棒的端垂直于棒的 為軸，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)闉檩S，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)閤 軸，原點(diǎn)在軸上，在軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長(zhǎng)度元棒上取長(zhǎng)度元 ，則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有: :dxoo xo odxxdmLAB mdmxJ2端端點(diǎn)點(diǎn) LdxLmx02231m

8、L （2）如圖所示，以過如圖所示，以過中點(diǎn)中點(diǎn)垂直于棒的垂直于棒的 為軸，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)闉檩S，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)閤 軸，原點(diǎn)在軸上，在軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長(zhǎng)度元棒上取長(zhǎng)度元 ，則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有，則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有: :dxoo mdmxJ2中中點(diǎn)點(diǎn) 222LLdxLmx2121mL xo odxxdm2LAB2LRo 3.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓環(huán)的勻質(zhì)圓環(huán)對(duì)垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. . dm解解 作示意圖如右作示意圖如右, ,由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動(dòng)量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義得慣量的定義得 mdmRJ2 R

9、dlRmR 20222mR lo 4.試求質(zhì)量為試求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻質(zhì)圓盤的勻質(zhì)圓盤對(duì)垂直于盤面且過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)垂直于盤面且過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. . rRdr解解 如圖所示如圖所示, , 由于質(zhì)由于質(zhì)量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的厚度為厚度為l，則圓盤的質(zhì)量，則圓盤的質(zhì)量密度為密度為 lRm2 mdmrJ2 Rldrrr022 lR421 221mR 部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直中心與盤面垂直221mrJ2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球體轉(zhuǎn)軸沿直徑522mrJl 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直中心與棒垂直1

10、22mlJl 細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直端點(diǎn)與棒垂直32mlJ(2)(2)質(zhì)量元的選?。嘿|(zhì)量元的選?。?(dldxdm或線分布線分布面分布面分布 dsdm體分布體分布 dvdm(1)(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 以上各例說明：以上各例說明：線分布線分布體分布體分布面分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。與軸的位置有關(guān)。 (3) (3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位移，由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨

11、時(shí)間變化，故對(duì)于 定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與下列因素有關(guān)：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與下列因素有關(guān)： （1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大； （2）總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大； （3）對(duì)同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)軸的分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小不同對(duì)軸的分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小不同. . 3.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能(

12、 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 ) oo irim iv對(duì)于第對(duì)于第i 個(gè)質(zhì)元個(gè)質(zhì)元, ,動(dòng)能為動(dòng)能為221iikimEv 2221 iirm NikikEE121221 Niiirm對(duì)于整個(gè)剛體對(duì)于整個(gè)剛體, ,動(dòng)能為動(dòng)能為221 J 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩所做的功及功率剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩所做的功及功率oyxr dPrd FrdFdW dsF)cos( dFr)sin( MddW 0MdW MdtdMdtdWN 3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理0kkkEEEWW 內(nèi)內(nèi)力力外外力力,0 MdW外外力力, 0 內(nèi)內(nèi)力力W,21200 JEk .212 JEk 20222121210 JJ

13、MdJdMd積分形式：積分形式：微分形式：微分形式： 1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2之和之和.o練習(xí)練習(xí): 一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng).某瞬時(shí)細(xì)桿某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，桿與豎直軸的夾角，桿與豎直軸的夾角為為 . 設(shè)桿的質(zhì)量為設(shè)桿的質(zhì)量為 、桿長(zhǎng)為、桿長(zhǎng)為 l，小球的質(zhì)量為小球的質(zhì)量為 .1m2m求：求： 1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；）系統(tǒng)對(duì)軸

14、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能； 3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：2k21JE22213121lmm)(3）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：21MMMglmlgmsinsin221glmmsin)(2121ogm1l 5. 如圖所示，一質(zhì)如圖所示，一質(zhì)量為量為M 、半徑為、半徑為R 的勻的勻質(zhì)圓盤形滑輪

15、，可繞一質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng). . 圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)的繩子，繩子一端固定的繩子，繩子一端固定在滑輪上，另一端懸掛在滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 的物體，問的物體，問物體由靜止落下物體由靜止落下h 高度高度時(shí)時(shí), , 物體運(yùn)動(dòng)的速率為物體運(yùn)動(dòng)的速率為多少？多少？ RMh 物體下降的加速度的物體下降的加速度的大小就是轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)滑輪邊緣大小就是轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)滑輪邊緣上切向加速度，所以上切向加速度，所以GTao RMh 解法一解法一 用牛頓第二運(yùn)動(dòng)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解. .分分析受力如圖所示析受力如圖所示. . 對(duì)物

16、體對(duì)物體m用牛頓第二用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得運(yùn)動(dòng)定律得 maTmg 對(duì)勻質(zhì)圓盤形滑輪用對(duì)勻質(zhì)圓盤形滑輪用轉(zhuǎn)動(dòng)定律有轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 JTR 物體物體m 落下落下h 高度時(shí)的速率為高度時(shí)的速率為 Ra ah2 v221MRJ 圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 聯(lián)立以上五式，可得物體聯(lián)立以上五式，可得物體m 落下落下h 高度高度時(shí)的速率為時(shí)的速率為mMmgh22 v.2gh小于物體自由下落的速率小于物體自由下落的速率解法二解法二 利用動(dòng)能定理求解利用動(dòng)能定理求解. . 對(duì)于物體對(duì)于物體m 利用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理有利用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理有2022121vvmmThmgh 其中其中 和和 是物體的初速度和末速度是物體的

17、初速度和末速度. . 0vv對(duì)于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有對(duì)于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有2022121 JJTR 其中其中 是在拉力矩是在拉力矩TR 的作用下滑輪轉(zhuǎn)的作用下滑輪轉(zhuǎn)過的角度，過的角度， 和和 是滑輪的初末角速度是滑輪的初末角速度. . 0 由于滑輪和繩子間無相對(duì)滑動(dòng)，所以物由于滑輪和繩子間無相對(duì)滑動(dòng)，所以物體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點(diǎn)所體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)，即經(jīng)過的弧長(zhǎng)，即 . . Rh, 00 v又又因因?yàn)闉? 00 ,R v.212MRJ 聯(lián)立以上各式，可得物體聯(lián)立以上各式，可得物體 m 落下落下h 高度高度時(shí)的速率為時(shí)的速率為mM

18、mgh22 v解法三解法三 利用機(jī)械能守恒定律求解利用機(jī)械能守恒定律求解. . 若把滑輪、物體和地球看成一個(gè)系統(tǒng)，若把滑輪、物體和地球看成一個(gè)系統(tǒng)，則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，繩子的則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，繩子的拉力拉力T 對(duì)物體做負(fù)功對(duì)物體做負(fù)功（ ），對(duì)滑輪做正，對(duì)滑輪做正功功（ ）即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒. . Th Th 若把系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)而還沒有運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀若把系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)而還沒有運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度h 時(shí)時(shí)的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則 021

19、2121222 mghmRMRvv解之可得物體解之可得物體 m 落下落下h 高度時(shí)的速率高度時(shí)的速率. .3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律1. 角動(dòng)量角動(dòng)量( 動(dòng)量矩動(dòng)量矩 ) 對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而言：對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而言： LPrL rmvmP sinro vmr 在國(guó)際單位制在國(guó)際單位制（SI）中，角動(dòng)量的單位為中，角動(dòng)量的單位為12smkg irim ivzLiiiimrLv krmii 2 對(duì)于繞固定軸對(duì)于繞固定軸oz 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的整個(gè)剛體而言動(dòng)的整個(gè)剛體而言: : 對(duì)于繞固定軸對(duì)于繞固定軸oz的的轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)元轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)元 而言而言: : im JrmLNiii 2

20、角動(dòng)量的方向不是沿軸的正向，就是沿角動(dòng)量的方向不是沿軸的正向，就是沿軸的負(fù)向軸的負(fù)向, ,所以可用代數(shù)量來描述所以可用代數(shù)量來描述. . 2. 角動(dòng)量定理（動(dòng)量矩定理）角動(dòng)量定理（動(dòng)量矩定理） dtdJM dtJd dtdL dLJdMdt 微微分分形形式式：00 JJMdttt 積積分分形形式式：00LLMdttt 或或3. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 0 M若若： .0常常量量或或，則則： JLJddL即系統(tǒng)所受的合外力矩為零即系統(tǒng)所受的合外力矩為零.角動(dòng)量守恒的條件角動(dòng)量守恒的條件 角動(dòng)量守恒的內(nèi)容角動(dòng)量守恒的內(nèi)容 注意：注意：在推導(dǎo)角動(dòng)量守恒定律的過程中受在推導(dǎo)角動(dòng)量守恒定律的過程中

21、受到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些限制圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些限制. . 如如: : 滑冰運(yùn)動(dòng)員的表演滑冰運(yùn)動(dòng)員的表演. .3.2.4 開普勒定律開普勒定律1. 開普勒第一定律開普勒第一定律 每一行星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽是每一行星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽是橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)這一定律也稱為橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)這一定律也稱為軌道定軌道定律律 太陽太陽冥王星冥王星海王星海王星天王星天王星土星土星木星木星火星火星地球地球金星金星水星水星2. 開普勒第二定律開普勒第二定律 行星運(yùn)動(dòng)過程中，行星相對(duì)于太陽的位矢行星運(yùn)動(dòng)過程中，行星相對(duì)于太陽

22、的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等這一定律也在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等這一定律也稱為稱為面積定律面積定律. . 2a太陽太陽行星行星3. 開普勒第三定律開普勒第三定律 KTa 23.42稱稱為為開開普普勒勒常常數(shù)數(shù)其其中中 sMGK 行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)，橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，即方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，即這一定律也稱為這一定律也稱為周期定律周期定律 6. 哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時(shí)的軌道是一個(gè)哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時(shí)的軌道是一個(gè)橢圓，橢圓， 如圖所示，它距離太陽最近的距離是如圖所示，它距離太陽最近的距離是 , , 速率速率它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率它離

23、太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率這時(shí)它離太陽的距離這時(shí)它離太陽的距離 m1075. 810 近日近日r1-4sm1046. 5 近日近日v1-2sm1008. 9 遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日v？遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日 r遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日v近日近日v近日近日r遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日r解解 彗星受太陽引力的作用，而引力通過了彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對(duì)太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)太陽，所以對(duì)太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)行的過程中角動(dòng)量守恒行的過程中角動(dòng)量守恒. . 于是有于是有 遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日vv rr遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日，因因?yàn)闉関v rr遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日近近日日近近日日遠(yuǎn)遠(yuǎn)日日所所以以vvrr m1026. 512 遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日r

24、代入數(shù)據(jù)可代入數(shù)據(jù)可, 得得 7.如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為M 的的勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動(dòng)自由轉(zhuǎn)動(dòng). .一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 、速、速率為率為v 的子彈以與水平方向成角的子彈以與水平方向成角 的方向射的方向射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為 . . 問子彈的初速率為多少？問子彈的初速率為多少？ 6030解解 把子彈和勻質(zhì)桿作為把子彈和勻質(zhì)桿作為一個(gè)系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng), , 分析可知在碰分析可知在碰撞過程中角動(dòng)量守恒撞過程中角動(dòng)量守恒. . 設(shè)子彈射入桿后與桿設(shè)子彈射入桿后與桿一同前進(jìn)的角速度為一同前進(jìn)的角速度為 , ,則

25、則 3060lav 223160cosmaMlamv 子彈在射入桿后與桿一起擺動(dòng)的過程中只子彈在射入桿后與桿一起擺動(dòng)的過程中只有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有 30cos1230cos13121222 lMgmgamaMl 聯(lián)立上述這兩個(gè)方程得子彈的初速率為聯(lián)立上述這兩個(gè)方程得子彈的初速率為 22326322maMlmaMlgma v 8. 如圖所示，一根質(zhì)量為如圖所示，一根質(zhì)量為M 、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為2l 的的均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)細(xì)

26、棒靜止于水平的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)細(xì)棒靜止于水平位置位置. . 今有一質(zhì)量為今有一質(zhì)量為m 的小球，以速度的小球，以速度 垂垂直向下落到了棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒的碰撞直向下落到了棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞為完全彈性碰撞. . 試求碰撞后小球的回跳速試求碰撞后小球的回跳速度度 及棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 . . uv oMllum解解 分析可知分析可知, ,以棒和小球組成的系統(tǒng)的角動(dòng)以棒和小球組成的系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒量守恒. . 由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動(dòng)量就是小球的角動(dòng)量碰撞前系統(tǒng)的角動(dòng)量就是小球的角動(dòng)量 ; ; lmu由于碰撞后小球以速度由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒獲得的角回跳，棒獲得的角速度為速度為 ，所以碰撞后系統(tǒng)的角動(dòng)量為，所以碰撞后系統(tǒng)的角動(dòng)量為 231Mllm v由角動(dòng)量守恒定律得由角動(dòng)量守恒定律得 231Mllmlmu v 由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)能守恒，即碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)能守恒，即 222231212121 Mlmmuv聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為uMmMm 33v棒的角速度為棒的角速度為luMmm 36 0 v要保證小球回跳要保證小球回跳 ，