線性代數(shù)知識點框架一

1、注：本篇可看作高等數(shù)學難點總結及習題解讀的姊妹篇呵呵再次強調下，本人所做的習題解讀分別針對：同濟五版線代同濟五版高數(shù)浙大版的概率等有時間再寫首先是知識框架：線性代數(shù)知識點框架（一）線性代數(shù)的學習切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（2）、方程組如何求解，有多少個解；（3）、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯(lián)系，即解的結構問題。高斯消元法，最基礎和

2、最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；（2）、交換某兩個方程的位置；（3）、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構成的表稱為矩陣?？梢杂镁仃嚨男问絹肀硎疽粋€線性方程

3、組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。系數(shù)矩陣和增廣矩陣。高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴格證明，可得到關于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項，則方r等于未知量數(shù)目n，方程組有使用最簡形，

4、最簡形的特點是主元但代價是之前需要經(jīng)過更多的初等程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目唯一解，若r<n，則方程組有無窮多解。在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習慣。常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解。利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的最基本理論。對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形

5、，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助于我們更方便的計算行列式。用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則?？偠灾?，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內容。線性代數(shù)知識點框架（二）在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數(shù)加

6、到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運算。數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設向量a=（a1,a2,.,an）,稱ai是a的第i個分量。n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質區(qū)別,只是元素的寫法不同。矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。對給定的向量組,可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關系。利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉化

7、為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結論的雙向作用。從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數(shù)更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關和線性無關的定義。通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關（零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等）。從多個角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關和線性無關的本質。部分組線性相關，整個向量組線性相關。向量組線性無關，延伸組線性無關?；氐骄€性方程組的解的問題

8、，即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,.,an線性表出？如果這個向量組本身是線性無關的，可通過分析立即得到答案：b,a1,a2,.,an線性相關。如果這個向量組本身是線性相關的，則需進一步探討。任意一個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數(shù)找到它的一個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關，從向量組的其余向量中任取一個進去，得到的新的向量組都線性相關，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關組。如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價。一個向量組可能又不止一個極大線性無關組，但可以確定

9、的是，向量組和它的極大線性無關組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關組等價。注意到一個重要事實：一個線性無關的向量組不能被個數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個向量（對應線性無關）的確不可能由平面內的兩個向量組成的向量組線性表出。一個向量組的任意兩個極大線性無關組所含的向量個數(shù)相等，我們將這個數(shù)目r稱為向量組的秩。向量線性無關的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價的向量組有相同的秩。有了秩的概念以后，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等

10、，則有解，若不等，則無解。向量組的秩是一個自然數(shù)，由這個自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，由此可見，秩是一個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。線性代數(shù)知識點框架（三）為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。對階梯形矩陣進行考察，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構成列向量組的一個極大線性無關組。矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩，也不會改變矩陣的列秩。任取一個矩陣A，通過初等行變換將其化成階梯形J,則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對任意一個矩陣來

11、說，其行秩和列秩相等，我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關組的方法?？紤]到A的行秩和A的轉置的列秩的等同性，則初等列變換也不會改變矩陣的秩?？偠灾醯茸儞Q不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無關組時，可以對A既作初等行變換，又作初等列變換，這會給計算帶來方便。矩陣的秩，同時又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達如下：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件

12、也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n,有唯一解，r<n，有無窮多解。齊次線性方程組的解的結構問題，可以用基礎解系來表示。當齊次線性方程組有非零解時，基礎解系所含向量個數(shù)等于n-r，用基礎解系表示的方程組的解的集合稱為通解。通過對具體實例進行分析,可以看到求基礎解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。非齊次線性方程組的解的結構,是由對應的齊次通解加上一個特解。線性代數(shù)知識點框架（四）在之前研究線性方程組的解的過程當中,注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應用,故還有必要對矩陣及其運算進行專門探討。矩陣的加法和數(shù)乘,與向量的運算類同。矩陣的另外一個重要應用：線性變換（最典型例子

13、是旋轉變換）。即可以把一個矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學上的表述。矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對應的是旋轉一個角度a,矩陣B對應的是旋轉一個角度b，則矩陣AB對應的是旋轉一個角度a+b。矩陣乘法的特點：若C=AB,則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結合律。利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為：Ax=b。對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列

14、秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩。關于矩陣乘積的另外一個重要結論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。一些特殊的矩陣：單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。每一個初等矩陣對應一個初等變換，因為左乘的形式為PA（P為初等矩陣），將A寫成行向量組的形式，PA意味著對A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對A做了一次初等列變換，故左乘對應行

15、變換，右乘對應列變換。若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開。矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無關，滿秩，要注意這些結論之間的充分必要性。單位陣和初等矩陣都是可逆的。若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因為初等矩陣滿秩，故最后化成的階梯型（最簡形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于列數(shù)，這即是單位陣。進一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對應的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位

16、陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因為單位陣在乘積中可略去?？赡婢仃囎鳛橐蜃硬粫淖儽怀耍o論左乘右乘）的矩陣的秩。由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結果是將這個單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊嚕纱艘銮竽骊嚨牡诙N方法：初等變換。需要注意的是這個過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對應行變換，右乘對應列變換。矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個整體，對這些被看作是整體的對象構成的新的矩陣，運算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實際也就是一種最常見的對矩陣進行分塊的方式。接下來是習題解讀同濟五版

17、線性代數(shù)習題解讀（一）1、利用對角線法則計算行列式，可以通過幾道小題熟悉一下把行列式化成上（下）三角的過程，基本題。2、3題涉及排列以及行列式的展開準則，不是太重要，了解即可。4、5、6題是一些計算行列式的練習，不同特點的行列式通常有不同的方法，常見的就是化為上（下）三角，按行（列）展開，某一行（列）是和的形式可進行拆分，基本題，要通過這些練習來熟練行列式的運算這一塊。5題雖然是以方程形式給出，但考察點還是計算。7、行列式性質的應用，比較重要的題型，重在對思維的訓練，而且該題的結論很常用，最好掌握。8、一些難度較高的行列式的計算題，涉及到不少技巧，而這些技巧通常初學者是想不到的，這時候可以看看

18、答案，體會一下答案的做法，對這塊內容的要求和不定積分是類似的。9、設計巧妙的題目，隱含考點是行列式按行展開的性質：若是相同行（列）的元素和代數(shù)余子式對應相乘求和，結果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代數(shù)余子式對應相乘求和，結果為0。注意此題要求的結果是第三行的代數(shù)余子式的某種組合，而根據(jù)代數(shù)余子式的定義可知，這與題給的行列式中的第三行的元素是無關的，那就可以根據(jù)需要把第三行的元素替換為前面要求的式子中的那些系數(shù)，這樣問題就簡化為求一個新的行列式，而無需煩瑣的進行四次求代數(shù)余子式的運算。此題技巧性較強，但這個構思方法值得掌握。10、克蘭姆法則的應用，歸根結底還是計算行列式。11、12題是通

19、過行列式來判斷齊次方程組的解的情況，基本題，在已經(jīng)復習完一遍線代后也可以用其它方法（化階梯行、求秩）來做?？偟膩碚f，第一章的習題大都非常基本，集中于計算層面的考察，沒有理解上的難度。同濟五版線性代數(shù)習題解讀（二）5）小題實際上就是第5）小題實際上就是第1、矩陣乘法的基本練習，簡單題，但計算很容易出錯，不可輕視，五章要接觸的二次型。2、直接考察矩陣相關運算，基本題。3、矩陣的乘法實際上是表示一個線性變換，題目給出了從y到x的變換，還給出了從z到y(tǒng)的變換，要求z到x的變換。既然一個矩陣可以表示一個線性變換，兩個矩陣的乘積即可理解為兩個變換的疊加，這也是提供了一個側面去理解矩陣相乘的意義。4、5題實

20、際上都是通過一些具體的例子來加深對矩陣運算的理解，比如矩陣乘法不能交換、不能像數(shù)乘那樣約去因子，等等，這些例子是比較重要的，因為有時能在考場上派上用場，需要熟悉。6、7題是求矩陣乘方的題目，基本題，但要注意些適當?shù)募记?，比如拆成兩個特殊矩陣的和，能簡化運算。8、9是關于對稱陣概念的考查，不難但重要，因為這類題即是線代里證明題的代表：幾乎都要從定義出發(fā)證明。所以從這兩道題得到的啟發(fā)是要把線代上的每個知識點都摳得足夠細，了然于心。10、11、12都是矩陣求逆的計算題，只不過表達方式不同，10題是直接提出要求，11題是以矩陣方程的形式來暗示求逆，12題則從線性方程組的角度來暗示求逆。求逆是錯誤率很高

21、的一類題目，所以需要重點練習。13、和3題類似，矩陣的乘法實際上是表示一個線性變換，題目給出了從y到x的變換可以用一個矩陣表示，反過來求x到y(tǒng)的變換，求逆陣即可。此題的另外一個暗示：要能夠熟練的掌握從方程組到矩陣的寫法，即矩陣方程x=Ay代表一個線性方程組，或者說一個線性變換，對這兩種寫法都要能夠看到一個馬上反應到另一個。14、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關系，同時把行列式加進來，綜合性較強的重要題型。15、16解簡單的矩陣方程，注意先對已知等式做一些適當?shù)淖冃?，基本題。14、15證明矩陣可逆，從定義出發(fā)即可，注意從題目中體會思路。16、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關系，同時把行列式加進來，綜合性

22、較強的重要題型。17、18稍微復雜一些的矩陣方程，因為其中涉及到伴隨陣，但也不難，利用好伴隨陣和逆陣的關系即可簡化，此二題的難度接近考研中的填空題。19、20是矩陣的乘方（多項式實質也是乘方）運算，在復習完一遍線代后再看發(fā)現(xiàn)這其實就是特征值特征向量（對角化）的一個應用，實際上特征值問題本來就可以理解為是為了尋找矩陣乘方運算的捷徑而發(fā)展起來的，只不過后來發(fā)現(xiàn)特征值還有許多其它很好的用處。21、22證明矩陣可逆，從可逆的定義出發(fā)即可，即若能找到某一矩陣與已知矩陣的乘積為單位陣，那么已知矩陣肯定可逆，注意從這兩道題目中體會這種常用的思路。23、24題本身的證明是從定義出發(fā)，更重要的是這兩道題可以作為

23、結論記的，線代的考研題目常涉及這兩個命題。在線代的學習中，把握好一些不是課本上正面給出（如出現(xiàn)于習題中）的命題是很有好處的。25、26、27、28都是對分塊矩陣運算的考查，作為適當?shù)木毩?，是必要的。在分塊矩陣這部分知識點特別要注意的是：要能夠根據(jù)問題的需要采取適當?shù)姆謮K方式，典型的如行分塊和列分塊，一個線性方程組可以用矩陣Ax=b來表示，一個矩陣方程AX=B則可看作是若干個線性方程組A（x1x2.xn）=（b1b2.bn）同時成立的結果，當然這只是一個典型的里子，其它還有很多類似的點也要熟練到能夠在頭腦中隨時切換，以適應不同的解題或理解需要。和第一章類似，第二章的學習也主要集中在計算層面上，我

24、們可以這樣來理解，前兩章的內容主要是教會我們一些線性代數(shù)中基本的運算規(guī)則，就如我們以前學數(shù)的加減乘除一樣，這些規(guī)則當然是認為規(guī)定的，但是又是在解決某些實際問題的過程中會大量用到的，所以有必要先統(tǒng)一進行了解和學習，比如求行列式可以幫助我們解方程，求矩陣的乘積可以幫助我們進行坐標變換，等等。同濟五版線性代數(shù)習題解讀（三）1、用初等變換把矩陣化為最簡行階梯形，基本運算的練習，實際上也可以化為階梯行而不一定非要最簡，這類計算要多加練習，需純熟掌握。2、3表面上是要求一個能使已知矩陣化為行最簡形的可逆陣，實際上是考察初等矩陣，因為化為行最簡形的過程就是初等變換過程，對應的是一系列初等矩陣的乘積，把這一過

25、程搞清楚了，要求的矩陣也就相應清楚了。要知道一個初等矩陣對應一個初等變換，其逆陣也是，從這個意義上去理解可以有效解決很多問題。4、求矩陣的逆陣的第二種方法（第一種是伴隨陣），基本題，同時建議把這兩種方法的來龍去脈搞清楚（書上相應章節(jié)有解釋），即為什么可以通過這兩種方法求逆陣。5、6是解矩陣方程，關鍵還是求逆，復習過一遍線代的同學就不用拘泥于一種方法了，選擇自己習慣的做法即可。7、考察矩陣秩的概念，所以矩陣的秩一定要搞清楚：是不為零的子式的最高階數(shù)。所以秩為r的話只需要有一個不為零的r階子式，但所有的r+1階子式都為零；至于r-1階子式，也是有可能為零的，但不可能所有的都為零，否則秩就是r-1而

26、不是r了。8、還是涉及矩陣的秩，矩陣減少一行，秩最多減1，也可能不減，不難理解，但自己一定要在頭腦中把這個過程想清楚。9、主要考查矩陣的秩和行(列)向量組的秩的關系，實際上它們是一致的，因為已經(jīng)知道的兩個向量是線性無關的，這樣此題就轉化為一個簡單問題：在找兩個行向量，與條件中的兩個行向量組成的向量組線性無關，最后由于要求方陣，所以還要找一個向量，與前面四個向量組和在一起則線性相關，最容易想到的就是0向量了。10、矩陣的秩是一個重要而深刻的概念，它能夠反映一個矩陣的最主要信息，所以如何求矩陣的秩也就相應的是一類重要問題。矩陣的初等行(列)變換都不會改變其秩，所以可以混用行、列變化把矩陣化為最簡形

27、來求出秩。11題是一個重要命題，經(jīng)?？梢灾苯幽脕碛?，至于它本身的證明，可以從等價的定義出發(fā)：等價是指兩個矩陣可以經(jīng)過初等變換互相得到，而初等變換是不改變矩陣的秩的，所以等價則秩必相等。實際上11題因為太過常用，以至于我們常常認為秩相等才是等價的定義，不過既然是充分必要條件，這樣理解也并無不可。12、選取合適的參數(shù)值來確定矩陣的秩，方法不止一種，題目不難但比較典型。13、14題是求解齊次、非齊次方程組的典型練習，務必熟練掌握。15、線性方程組的逆問題，即已知解要求寫出方程，把矩陣的系數(shù)看做未知數(shù)來反推即可，因為基礎解系中自由未知量的個數(shù)和有效方程正好是對應的，個人感覺這類題不太重要。16、17、

28、18題是線性方程組的一類典型題，考研常見題型，討論不同參數(shù)取值時解的情況，要熟練掌握這類題目。19、證明本身不是很重要，重要的是由題目得到的啟示：由一個向量及其轉置(或一個列向量一個行向量)生成的矩陣其秩一定是1。這實際上也不難理解，矩陣的秩是1意味著每行(或每列)都對應成比例，即可以寫成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系數(shù)，反過來也一樣，這個大家可自行寫一些具體的例子驗證，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩陣，而行向量乘列向量生成的是數(shù)。20、考察的是矩陣的運算對矩陣秩的影響，抓住R(AB)<=min(R(A),R(B)這個關鍵命題即可?；蛘邚耐?/p>

29、方程組角度出發(fā)，即要證明兩個矩陣秩相等，可證其方程組同解。21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法證明，這是易犯的錯誤之一。實際上該題考察的還是方程組只有零解的條件：滿秩。關鍵一步在于把條件改寫為A(X-Y)=0前兩章的習題以鍛煉計算能力為主，從第三章開始理解層面的內容逐漸增多，很多概念要引起重視。同濟五版線性代數(shù)習題解讀(四)首先說一下，第四章的精華就在于勾勒出了向量組、矩陣和線性方程組之間的關系，它們共同形成一個線性代數(shù)的知識網(wǎng)絡，習題四中的證明題基本上都是對思維的鍛煉，做好這些證明題有助于加深對線代知識點相互關系的理解，要重點對待。1、涉及一個重要的知識轉換，即一個向量能否被另一個向

30、量組線性表出的問題實際上就是一個線性方程組是否有解的問題，同時，一個向量組是否能被另一個向量組線性表出的問題實際上就是兩個向量組的秩的比較問題，所以此題即轉化為考察兩個向量組的秩的大小。因為我們知道一個重要的事實：一個向量組不可能由比它秩更小的向量組來線性表出，例如，三維空間里的向量（秩是3）永遠不可能由平面上的向量（秩是2）來表出。2、考察向量組的等價，搞清楚何為向量組等價，直接驗證即可，基本題。另外可以發(fā)散一下思維，向量組等價和矩陣等價有何不同？哪個命題的結論更強？實際上向量組等價則對應矩陣一定等價，反之未必。3、與線性表出有關的命題，一般用反證法，這類題目可以有效的鍛煉解題思路，如果不會

31、要重點體會答案給出的方法和思路。4、5題涉及線性相關和線性無關的判斷，實際上還是轉化為方程組有解無解的問題，基本題。6題考察對兩個向量線性相關的理解，實際上就是對應成比例，但實際上很多類似的題目不僅僅局限于兩個向量，此題不是太有代表性，了解一下即可。7、8涉及到一些相關和無關的命題判斷，重點在于理解題干的意思，如8（1）的錯誤在于放大了線性相關的結論，因為線性相關只需要至少有一個向量可由其余向量表示，而不一定能確定到底是哪個向量能用其余向量表示，類似的去理解清楚其余幾個說法要表達的意思，這是第一要務。至于反例倒在其次，可以通過參考書的答案看看，了解下有這樣的反例即可。9、10題是證明線性相關線

32、性無關的經(jīng)典題，可先假設其線性組合為零，然后推證系數(shù)的情況，若系數(shù)可不全為零則線性相關，若系數(shù)必須全為零則線性無關，重點題型。11、12考察如何求一個向量組的秩和最大無關組，注意求向量組的秩只能用一種變換（一般用行變化），化為階梯形即一目了然，基本題型的練習，要熟練掌握。13、通過秩來確定參數(shù)，基本題，只不過這里是以向量組的形式給出條件，和以線性方程組、矩陣的形式給出條件無本質區(qū)別。14、15是向量組的命題，注意單位坐標向量的特殊性：線性無關。另外14題就是15題的特殊情況。16、用反證法，此題的巧妙之處在于要逐步遞推，這是線代習題中少有的過程比結論重要的題目（大多習題都是結論常用所以顯得更重

33、要），注意仔細體會證明過程。17、就是習題三的20題，只不過是以向量組的說法給出。18、應該從此題中體會到的是：兩個向量組等價，則其關系矩陣一定是滿秩的，原因可用矩陣的語言來解釋：兩個向量組等價實際上就是通過一系列初等變換可互化，關系矩陣就是這些所所有初等變換對應的初等矩陣的乘積，初等矩陣全部都是滿秩的。但復習過一遍線代的同學應該要把思路拓寬，看看從特征19、題目本身不難，直接代入已知條件再作適當?shù)淖冃渭纯?，注意到，特征值與特征向量的一些概念在此題中已經(jīng)初現(xiàn)端倪，向量的角度來看是否能對題目有新的體會。20、齊次線性方程組的練習，基本題型，必需的練習，尤其是(3)這類系數(shù)由通式給出的方程，在考研

34、中出現(xiàn)的概率更高，注意不要出錯。21、實際上轉化為線性方程組的題目，也是基本題型。22、就是習題三的15題，兩者無本質區(qū)別。23、基本題，求方程組的基礎解系，另外注意公共解實際上就是方程組聯(lián)立后的結果。24、題目涉及的重要命題有兩個，一是：若AB=0，則R(A)+R(B)<=0；另一個是：R(A)+R(B)>=R(A+B)。至于證明本身，只是這兩個命題在某種特殊情況下的綜合應用，解答過程給我們的提示相對來說是更重要的。25、與伴隨陣的秩有關的著名命題，常用結論，一定要掌握。證明過程很多參考資料都給出了。26、非齊次線性方程組的練習，基本題型。27、考察線性方程組的解的結構，較好的融

35、合了該部分的相關知識點，通過此題的練習可以加深解的結構相關概念的理解。28、討論參數(shù)取值對方程組的解的影響，基本題，以向量組的語言給出而已。29、把線性方程組和空間解析幾何的知識點相結合的一道題目，可以作為一個提高練習，不強求掌握。30、以抽象的向量形式給出線性方程組的問題，考研典型題之一，解決此題需要綜合應用線性方程組和向量組的若干知識點，重點掌握和理解的對象。31、32、33都是涉及解的結構的證明題，其中對基礎解系的理解要清晰：基礎解系是線性無關的，同時所有的解都可由基礎解系表示，由此可見基礎解系本身就給出了許多強有力的信息，這個在題目中一定要多加利用。同時還有一些解的結構的命題，如非次方

36、程解的差即齊次方程解，等等，也可以通過這幾道練習中來加強理解和掌握。34及以后的向量空間的題目都不作要求，最多是40題的過渡矩陣了解一下即可，具體解法可參加書上例題，這里不再詳述。通過三、四章的學習和練習，我們體會到，要學好線代，需要建立起良好的思維習慣，即面對線性代數(shù)的知識點，常常需要從不同的角度（方程組角度、向量組角度和矩陣角度）去理解同一個數(shù)學事實或數(shù)學命題，并且它們通常還是可以互推的，所以在線代里，“見一反三”非常重要，一旦抓住了整個知識網(wǎng)絡，線代就會成為考研數(shù)學里最簡單的一環(huán)。同濟五版線性代數(shù)習題解讀（五）1、涉及與正交相關的條件的基本計算題，可作為運算方面的練習。2、施密特正交化的

37、計算，很重要的基本題，要注意的是施密特正交化的計算公式難于記憶，最好是把正交化的整個過程搞清楚，也就是說：給你一組向量，你要把它們化成正交的，怎么做？可以先考慮簡單情形，兩個向量怎么正交化？很簡單，只要一個向量減去它在另外一個上的投影就可以了。那三個向量怎么正交化？先把其中兩個正交化，然后第三個減去它在另外兩個的平面上的投影就好了。依次類推，就不難理解施密特正交化中每個公式的意義了。3、判斷矩陣是不是正交陣，按定義即可，基本題。4、5是簡單的涉及正交矩陣概念的證明題，從定義出發(fā)，都不難得到結論。6、求特征值和特征向量的基本題型，需要練習純熟。7、證明特征值相同，按特征值定義即可，此命題可作為結

38、論用。8、較難的一道題，把線代里幾個重要的知識點都綜合在一起考察，關鍵在于問題的轉化：有公共的特征向量問題即兩個方程組有公共解的問題，然后用與方程組的基礎解系有關的知識點解決，要重點體會解題思路。9、10、11都是與特征值有關的一些命題，從定義出發(fā)不難證明，線代里的概念大多都要從定義上去抓住它們，把它們理解好。其中10題是一個常用的結論。12、13是特征值性質的應用，即特征值與矩陣特有的對應關系，比如矩陣作多項式運算，則其特征值也就該多項式規(guī)律變化，基本題，也是常見題型。14、考察相似的概念，仍然是要把握好定義，何為相似？15、16題涉及到相似對角化，這就要求把相似對角化的條件搞清楚，那么什么

39、樣的矩陣可相似對角化？條件是特征向量線性無關，從這點出發(fā)就可以解決問題。至于16（1）則是特征值特征向量定義的直接考察。17、18涉及到求矩陣的乘方，實際上特征值特征向量問題就可以看作是為了簡化矩陣乘方運算提出的，這里自然是化為對角陣以后計算，18題是應用題形式。19、20題涉及正交的相似變換矩陣，基本題，計算量較大且容易出錯，是值得重視的練習。21、22、23題則是特征值問題的反問題，實際上把已知的對角矩陣看作出發(fā)點即可。值得注意的是：對一般矩陣來說，不同的特征值對應的特征向量是線性無關的；對對稱矩陣來說，不同的特征值對應的特征向量不僅線性無關，還是正交的，這顯然是個更有用的結果。24是一個

40、重要命題，它涉及到由一個列向量生成的矩陣的特征值問題。實際上有一個列向量生成的矩陣其秩是1，而且是對稱的，所以必可對角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不難求出，就是這個列向量轉置后生成的數(shù)。此題的結論很常用，要重點掌握。25題涉及求矩陣的多項式運算，不外乎就是乘方運算，與17、18題類同。26、27題考察二次型的概念，基本題，要求熟練寫出一個二次型所對應的矩陣，反過來也一樣。28、29題考察用正交變換化二次型為標準型，實際上就是一個對角化的問題，但因為是對稱矩陣，所以既可正交又可相似對角化。同時要注意二次型的幾何意義：是一個二次曲面。曲面的形狀在不同的坐標系下都是一樣的，所以對于

41、一個復雜的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通過化為主坐標系下的二次型(即標準型)來進行觀察。30、綜合性較強的一道題，轉化為多元函數(shù)的條件極值問題即可。31、用配方法化二次型的練習，基本題，注意計算不要出錯。32、33都是判斷二次型的正定性，對于具體給出的二次型，用順序主子式的符號即可判斷，這個是其中一個充分必要條件。34、實際給出了正定的另一個充分必要條件，證明過程涉及一個抽象矩陣，故只能從最基本的正定的定義出發(fā)，此命題是一個有用的結論，要求掌握。最后是一些線性代數(shù)核心知識點的相關思維訓練學好線代的最關鍵要點在于“見一反三”，即面對同一個數(shù)學事實，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個

42、角度來表述和理解它，以便于根據(jù)解決問題的需要選擇合適的切入點?，F(xiàn)將一些個人覺得比較鍛煉思維的習題匯總如下，相信通過對這些題目涉及的命題及其推理過程進行深入思考，會有助于更進一步把握好線代的知識體系。1任何一個向量a=(a1,a2,，an)都能由單位向量e1=(1,0,0)、e2=(0,1,.,0)、sn=(0,0,.,1)線性表出，且表示方式唯一。2、向量組a1，a2,，an中任一個向量ai可以由這個向量組線性表出。3、判斷下列說法正確性：(1)“向量組a1,a2,，an,如果有全為零的數(shù)k1,k2,.,kn使得k1*a1+k2*a2+kn*an=0,則a1,a2,，an線性無關?！?2)如果

43、有一組不全為零的數(shù)k1,k2,.,kn，使得k1*a1+k2*a2+kn*an0,則a1,a2，an線性無關?！?3)“若向量組a1,a2,，an(n>2)線性相關，則其中每一個向量都可以由其余向量線性表出。4、三維空間中的任意4個向量必線性相關。5、n+1個n維向量必線性相關。6、如果向量組a1,a2,a3線性無關，則向量組2a1+a2,a2+5a3,4a3+3a1也線性無關。7、如果向量組a1,a2,a3,a4線性無關,判斷向量組a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1是否線性無關。8、如果向量B可以由向量組a1,a2,，an線性表出，則表出方式唯一的充分必要條件是a1，a2，

44、an線性無關。9、設向量組a1,a2,，an線性無關，B=k1*a1+k2*a2+kn*an。如果對于某個ki豐0，則用B替換ai后得到的向量組a1,，a(i-1),B,a(i+1),，an也線性無關。10、由非零向量組成的向量組a1,a2，an(n2)線性無關的充分必要條件是每一個ai(1<iwn)都不能用它前面的向量線性表出。11、設a1,a2,，an線性無關，且(B1,B2,，Bn)=A(a1,a2,，an),則B1,B2,，Bn線性無關的充分必要條件是A的行列式為零。12、秩為r的向量組中任意r個線性無關的向量都構成它的一個極大線性無關組。13、任一n維向量組若是線性無關的,那么

45、其所含向量數(shù)目不會超過n。14、如果n維向量構成的向量組a1,a2，an線性無關，那么任一n維向量B可由a1，a2，an線性表出。15、如果任意的n維向量都可以由a1,a2,，an線性表出，那么a1,a2，an線性無關。16、如果秩為r的向量組可以由它的r個向量線性表出,則這r個向量構成的向量組就是它的一個極大線性無關組。17、n個方程的n元線性方程組x1*a1+x2*a2+xn*an=B對任何B都有解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零。18、如果向量組a1,a2，an和向量組a1,a2，an,B有相同的秩，貝B可以由a1,a2,，an線性表出。an)+r(B1，B19、r(a1,a2，an,

46、B1,B2,，Bm)wr(a1,a2,2，2，3m)。20、矩陣的任意一個子矩陣的秩不會超過原矩陣的秩。21、如果m*n的矩陣A的秩為r，那它的任何s行組成的子矩陣A1的秩不會小于r+s-m。22、如果一個n*n矩陣至少有nA2-n+1個元素為0，則這個矩陣不是滿秩矩陣。23、如果一個n*n矩陣至少有nA2-n+1個元素為0，那么這個矩陣的秩最多是多少？24、設n1,n2,，nt是齊次線性方程組的一個基礎解系，則與n1,n2，nt等價的線性無關的向量組也是方程組的一個基礎解系。r(r<n),則方程組的任意n-r個線性無關的25、設n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是解向量都是它的一個基礎解系。26、設n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是解向量，貝Ur(31,S2,，Sm)wn-r。r(r<n),設S1,S2,，Sm是方程組的27、設n個方程的n元線性方程組的系數(shù)矩陣A的行列式等于零，同時A至少存在一個元素的代數(shù)余子式A(kl)不為零，則向量(A(k1),A(k2),.,A(kn)是這個齊次線性方程組的一個基礎解系。28、設A1是s*n矩陣A的前s-1行組成的子矩陣，如果以A1為系數(shù)矩陣的