曲線的凹凸性與函數(shù)圖象描繪

1、第五節(jié) 曲線的凹凸性問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC定義定義1212()()(),( )22()()xxf xf xff xI 如如果果恒恒有有那那末末稱稱在在上上的的圖圖形形是是凸凸的的向向上上或或凸凸弧弧 恒有恒有如果如果上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),)(21IxxIxf ,2)()()2(2121xfxfxxf ( )()();f xI那那末末稱稱在在上上的的圖圖形形是是凹凹的的向向

2、上上或或凹凹弧弧xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x122xx 12()2xxf 12()()2f xf x 曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA 0y遞減遞減)(xf 0y定理定理1 1( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在內(nèi)內(nèi)一一階階和和階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上連連的的圖圖形形是是的的則則在在上上的的圖圖形形續(xù)續(xù)具具有有凹凹是是凸凸的的二二,2,21021xxxxx 令令不不妨妨

3、設(shè)設(shè)),()(! 21)()()(020000之間之間在在xxxxfxxxfxfxf 分析分析( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在內(nèi)內(nèi)一一階階和和階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上連連的的圖圖形形是是的的則則在在上上的的圖圖形形續(xù)續(xù)具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理1 1,2)()()2(2121xfxfxxf 上上與與分分別別在在,0201xxxx.1）僅僅證證結(jié)結(jié)論論（,2,21021xxxxx 令令不不妨妨設(shè)設(shè)),()(! 21)()()(020

4、000之間之間在在xxxxfxxxfxfxf 證證,2121xxbaxx 且且任任取取0( )f xx把把函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)展展開開為為階階泰泰勒勒一一公公式式，得得( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在內(nèi)內(nèi)一一階階和和階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 若若在在內(nèi)內(nèi)則則在在上上連連的的圖圖形形是是的的則則在在上上的的圖圖形形續(xù)續(xù)具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理1 1.1）僅僅證證結(jié)結(jié)論論（,2,21021xxxxx 令令不不妨妨設(shè)設(shè)),()(! 21)()()(020000之間

5、之間在在xxxxfxxxfxfxf ),()(! 21)()()(022202202002之間之間在在xxxxfxxxfxfxf 證證,2121xxbaxx 且且任任取取0( )f xx把把函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)展展開開為為階階泰泰勒勒一一公公式式，得得得得為為分別取分別取,21xxx),()(! 21)()()(011201101001之間之間在在xxxxfxxxfxfxf )()(21)(2202220110 xxfxxfxf )()(21)2(2121xfxfxxf 即即二二式式兩兩邊邊相相加加，得得 )()(21xfxf),(2)()(0)(021xfxfxfxf 由由結(jié)論（結(jié)論（2）可類似

6、得證）可類似得證.教材上用教材上用langrange定理證明定理證明!例例7 7.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到, ,.232yxyxeeeyx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)例例xexf )(證證：設(shè)設(shè)是是凹凹的的。)(0)(xfxf 22)()()2(212122121xxxxeeexfxfxxf .22yxyxeeeyx 時(shí)，時(shí)，即當(dāng)即當(dāng)曲線的拐點(diǎn)及其求法連續(xù)曲線上凹

7、凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).1.1.定義定義注注:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.xyoABC證證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩邊變號兩邊變號在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)又又xfx,)(0取取得得極極值值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的. 0)( xf2 2、拐點(diǎn)的求法、拐點(diǎn)的求法 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零等于零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在不存在的點(diǎn)，的點(diǎn)，可能可能是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)方法方法1:1:；求求)()1(xf ；不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)

8、及及求求ixxfxf)(0)()2( 的符號：的符號：兩近旁兩近旁檢查檢查)()3(xfxi .)(,(,;)(,(,0000是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)相反相反不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)相同相同xfxxfx例例1010.14334的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)及及凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間求求曲曲線線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為例例1212.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 ,