工程力學(xué)材料力學(xué)桿的穩(wěn)定計(jì)算與校核

1、HOHAI UNIVERSITY1Ch14 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性14-1 14-1 壓桿的穩(wěn)定性概念壓桿的穩(wěn)定性概念受軸向壓縮的直桿，其破壞有兩種形式：受軸向壓縮的直桿，其破壞有兩種形式：1 1）短粗的直桿，其破壞是由于橫截面上的正應(yīng)力達(dá)到材料）短粗的直桿，其破壞是由于橫截面上的正應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力，為的極限應(yīng)力，為強(qiáng)度破壞強(qiáng)度破壞。2 2）細(xì)長(zhǎng)的直桿，其破壞是由于桿不能保持原有的直線平衡）細(xì)長(zhǎng)的直桿，其破壞是由于桿不能保持原有的直線平衡形式，為形式，為失穩(wěn)破壞失穩(wěn)破壞。HOHAI UNIVERSITY2 對(duì)于這些細(xì)長(zhǎng)的壓桿，其破壞并非由于強(qiáng)度不足，而是對(duì)于這些細(xì)長(zhǎng)的壓桿，其破壞并非由

2、于強(qiáng)度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平衡形式而失效。衡形式而失效。工程中存在著很多受壓桿件。工程中存在著很多受壓桿件。HOHAI UNIVERSITY31 1. 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿，當(dāng)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿，當(dāng)F力較小時(shí)，桿在力力較小時(shí)，桿在力F作用下將保持原有直線平衡形式。作用下將保持原有直線平衡形式。此時(shí)，在其側(cè)向施加此時(shí)，在其側(cè)向施加微小干擾力微小干擾力使其彎曲，當(dāng)使其彎曲，當(dāng)干擾力撤除后，桿仍可回復(fù)到原來(lái)的直線形式。干擾力撤除后，桿仍可回復(fù)到原來(lái)的直線形式?？梢?jiàn)這種直線平衡形式是可見(jiàn)這種直線平衡形式是穩(wěn)定穩(wěn)定的。

3、的。HOHAI UNIVERSITY42 2. 當(dāng)壓力超過(guò)某一數(shù)值時(shí)，如作用一側(cè)向微小干擾力使壓桿當(dāng)壓力超過(guò)某一數(shù)值時(shí)，如作用一側(cè)向微小干擾力使壓桿微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復(fù)到原來(lái)的直線平衡形微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復(fù)到原來(lái)的直線平衡形式，而在微彎狀態(tài)下保持平衡。壓桿原來(lái)的直線平衡形式是式，而在微彎狀態(tài)下保持平衡。壓桿原來(lái)的直線平衡形式是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為喪失喪失穩(wěn)定性穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)失穩(wěn)。壓桿從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡時(shí)，軸壓桿從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡時(shí)，軸向壓力的臨界值，稱為向壓力的臨界值，稱為臨界力臨界力

4、或或臨界荷載臨界荷載，用用Fcr表示。表示。HOHAI UNIVERSITY5 穩(wěn)定性問(wèn)題在其它一些構(gòu)件，如板、殼。一些薄壁構(gòu)件中穩(wěn)定性問(wèn)題在其它一些構(gòu)件，如板、殼。一些薄壁構(gòu)件中也存在。如寬高比較小的懸臂梁，也存在。如寬高比較小的懸臂梁，F(xiàn)力過(guò)大時(shí)會(huì)發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)。力過(guò)大時(shí)會(huì)發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)。HOHAI UNIVERSITY614-2 14-2 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載 在在臨界力臨界力Fcr作用下，細(xì)長(zhǎng)壓桿在微彎狀態(tài)下平衡，若此時(shí)壓作用下，細(xì)長(zhǎng)壓桿在微彎狀態(tài)下平衡，若此時(shí)壓桿仍處在線彈性階段，可應(yīng)用梁的撓曲線近似微分方程及桿端約桿仍處在線彈性階段，可應(yīng)用梁的撓曲線近似微分方程及桿端約

5、束條件求解束條件求解臨界力臨界力Fcr。1.1.兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿設(shè)兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界荷載設(shè)兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界荷載Fcr作用下，在作用下，在xOw平面內(nèi)處于微彎平面內(nèi)處于微彎狀態(tài)。狀態(tài)。lxFcrwHOHAI UNIVERSITY7撓曲線近似微分方程為撓曲線近似微分方程為lwxFcrxwEIw = - -M(x)x截面的彎矩為截面的彎矩為M(x) = Fcr w EIw =- -Fcr w EIw +Fcr w =0令令FcrEIw +k2w =0得得二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程其通解為其通解為w =Asinkx+BcoskxA、B、k待定常數(shù)待定

6、常數(shù)xwxwFcrFcrM(x)HOHAI UNIVERSITY8由桿的已知位移邊界條件確定常數(shù)由桿的已知位移邊界條件確定常數(shù)x = 0，w = 0 x = l，w = 0得得 B = 0，w =Asinkx得得 Asinkl = 0由由 Asinkl=0 得得 A=0（不可能）（不可能） 或或 sinkl = 0即即 kl = n (n = 0,1,2）因此因此: :Fcr =n22EIl2最小的臨界荷載最小的臨界荷載（n=1）（Euler公式）公式）Fcr =2EIl2FcrEI(n = 0,1,2）lxFcrww =Asinkx+BcoskxHOHAI UNIVERSITY9壓桿的撓曲線

7、方程為壓桿的撓曲線方程為A是壓桿中點(diǎn)的撓度是壓桿中點(diǎn)的撓度wmax。w =Asin xl（半波正弦曲線）（半波正弦曲線）x=2l時(shí)時(shí)wmax= Aw =Asinkx+Bcoskxk = /llxFcrwHOHAI UNIVERSITY102.2.不同桿端約束下壓桿的臨界力不同桿端約束下壓桿的臨界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwlHOHAI UNIVERSITY11lFcrFcr2lFcrl類比法類比法 一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度2l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同

8、。Fcr =2EI（2l）2HOHAI UNIVERSITY12lFcrFcrl/2l/4l/4類比法類比法Fcr =2EI(0.5l)2兩端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度兩端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度0.5l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。壓桿撓曲線形狀相同。HOHAI UNIVERSITY130.7lFcr0.3llFcr類比法類比法Fcr =2EI(0.7l)2一端固定，另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，在一端固定，另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，在0.7l范圍內(nèi)與兩端鉸支范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。HOHAI UNIVERSITY14Euler公式的統(tǒng)一形式公式的

9、統(tǒng)一形式Fcr =2EI(l)2約束越強(qiáng)，約束越強(qiáng)，越小，越小，臨界力臨界力Fcr越大。越大。長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)l相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度一端固定一端自由一端固定一端自由一端固定一端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定兩端固定兩端鉸支兩端鉸支=1.0=2.0=0.5=0.7HOHAI UNIVERSITY15Fcr =2EI(l)2公式討論公式討論2.2.當(dāng)桿端約束在各個(gè)方向相同時(shí)（如球鉸、空間固定端）當(dāng)桿端約束在各個(gè)方向相同時(shí)（如球鉸、空間固定端），壓桿只可能在壓桿只可能在最小抗彎剛度平面最小抗彎剛度平面內(nèi)失穩(wěn)內(nèi)失穩(wěn)，即即I取取Imin值值；1. 1. Fcr與抗彎剛度成與抗彎剛度成EI正比，與相當(dāng)長(zhǎng)度正比，

10、與相當(dāng)長(zhǎng)度l的平方成反比；的平方成反比；最小抗彎剛度平面：慣性矩最小抗彎剛度平面：慣性矩I為最小為最小的縱向平面的縱向平面如矩形截面的如矩形截面的Iy最小，最小，xOz平面為最平面為最小抗彎剛度平面。小抗彎剛度平面。10-2 10-2 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載HOHAI UNIVERSITY163.3.實(shí)際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據(jù)具體實(shí)際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據(jù)具體情況選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度系數(shù)情況選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度系數(shù)值。值。4.4.實(shí)際工程中的壓桿，非理想的均質(zhì)直桿，荷載也總會(huì)有小的實(shí)際工程中的壓桿，非理想的均質(zhì)直桿，荷載也總會(huì)有小的偏心，因此其臨界力比

11、公式計(jì)算出的為小，這可以在安全系數(shù)偏心，因此其臨界力比公式計(jì)算出的為小，這可以在安全系數(shù)里考慮，故實(shí)際工程中壓桿仍可按該公式計(jì)算其臨界荷載。里考慮，故實(shí)際工程中壓桿仍可按該公式計(jì)算其臨界荷載。10-2 10-2 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載HOHAI UNIVERSITY1714-3 14-3 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍當(dāng)壓桿在臨界荷載當(dāng)壓桿在臨界荷載Fcr作用下，并仍處于直線形式的平衡狀態(tài)時(shí)，作用下，并仍處于直線形式的平衡狀態(tài)時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力稱為橫截面上的正應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力。一、壓桿的臨界應(yīng)力一、壓桿的臨界應(yīng)力cr =Fcr2EI(l)2=Ilcr =2EHOH

12、AI UNIVERSITY18二、歐拉公式的適用范圍二、歐拉公式的適用范圍推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，推導(dǎo)歐拉公式時(shí)， 桿處于線彈性狀態(tài)。桿處于線彈性狀態(tài)。cr P 故歐拉公式的適用條件故歐拉公式的適用條件cr =2E P 2EP 2EP 滿足該條件的壓桿稱為滿足該條件的壓桿稱為細(xì)長(zhǎng)壓桿（或大柔度桿）細(xì)長(zhǎng)壓桿（或大柔度桿）。10-3 10-3 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍HOHAI UNIVERSITY19為材料參數(shù)，不同的材料有不同的值。為材料參數(shù)，不同的材料有不同的值。如如Q235235鋼，鋼，PE三、中小柔度桿的臨界應(yīng)力三、中小柔度桿的臨界應(yīng)力為彈性失穩(wěn)為彈性失穩(wěn)壓桿的失穩(wěn)稱為非彈性失穩(wěn)壓桿

13、的失穩(wěn)稱為非彈性失穩(wěn)cr P 此時(shí)歐拉公式不再適用，工程上常以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公此時(shí)歐拉公式不再適用，工程上常以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算這類壓桿的臨界應(yīng)力。如直線公式式來(lái)計(jì)算這類壓桿的臨界應(yīng)力。如直線公式cr=a-b a、b為與材料有關(guān)的常數(shù)，由試驗(yàn)確定。為與材料有關(guān)的常數(shù)，由試驗(yàn)確定。如如Q235235鋼，鋼，a=304MPab=1.12MPa這類壓桿的臨界力為這類壓桿的臨界力為crFcr=10-3 10-3 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍稱為中長(zhǎng)桿稱為中長(zhǎng)桿( (中柔度桿中柔度桿) )HOHAI UNIVERSITY20實(shí)際上實(shí)際上 時(shí)時(shí)cr u 壓桿將發(fā)生強(qiáng)度破壞，而不是失穩(wěn)破壞。壓桿將發(fā)生強(qiáng)度破壞，而不是失穩(wěn)破