極限的求法總結(jié)

1、極限的求法總結(jié)極限的求法總結(jié)簡(jiǎn)介：求極限方法舉例，列舉簡(jiǎn)介：求極限方法舉例，列舉21種種 求極限的方法和相關(guān)問題求極限的方法和相關(guān)問題1.1.代入法求極限代入法求極限221.lim(2)xxx例01012.( ).,lim( ).nnnnnxxP xa xa xaP x例 設(shè)有多項(xiàng)式 求nnxxnxxnxxaxaxaxP110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xPn多項(xiàng)式函數(shù)與分式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)與分式函數(shù)( (分母不為分母不為0)0)用用代入法求極限代入法求極限; ;方法總結(jié)：方法總結(jié)：221563.lim32xxxx例商的法則商的法則(代入法代入法)2

2、.2.由無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系求極限由無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系求極限2141 lim.23xxxx例求解解0)32(lim21xxx商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系, ,得得.3214lim21 xxxx解解例例4 4.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )0

3、0(型型( (消去零因子法消去零因子法) )3.3.消去零因子法消去零因子法)00(型型例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無(wú)窮小分出無(wú)窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法) )4.4.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母

4、中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小量以分出無(wú)窮小量, ,然后再求極限然后再求極限. ., 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx當(dāng)當(dāng)當(dāng).84152lim221xxxxx求練習(xí)練習(xí)1221lim.nnnn求練習(xí)練習(xí)2503020) 12()23()32(limxxxx練習(xí)練習(xí)347882(21)(1)lim(1)xxxx162)1 ()1 ()2(lim48218278178414xxxxxxx練習(xí)練習(xí)4例例).21(lim222nnnnn 求求解解是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之和是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnn

5、nnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限. .5.5.先變形再求極限先變形再求極限( (利用求和化簡(jiǎn)，拆項(xiàng)技巧，合并化簡(jiǎn)等利用求和化簡(jiǎn)，拆項(xiàng)技巧，合并化簡(jiǎn)等) )2111lim(.)1 33 541nn例 2111lim(.)1 33 541111111lim(1.)23352121111lim(1)2212nnnnnnn211111:()41(21)(21)2 2121nnnnn拆項(xiàng)2112 lim()11xxx例222112111212lim()lim()1111111 limlim112xxxxxxxxxxxx對(duì)于求無(wú)窮多項(xiàng)的

6、極限和不符合四則運(yùn)對(duì)于求無(wú)窮多項(xiàng)的極限和不符合四則運(yùn)算的極限，先通過變形在求極限算的極限，先通過變形在求極限; ;方法總結(jié)：方法總結(jié)：2005年數(shù)學(xué)三考研試題（第三大題15小題8分）011(15)lim().1xxxex 例例.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 6.6.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限201limsin.xxx練習(xí)1. 求1limsin .xxx練習(xí)2. 求01lim sin.xxx練習(xí)3. 求1lim sin.xxx練習(xí)4. 求0sinlim.xxx練習(xí)5

7、. 求例例).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn) ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故7.7.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限例例 求極限求極限22lim(31)xxx8.8.分子（母）有理化求極限分子（母）有理化求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無(wú)理式。2222222222(31)(31)lim (31)li

8、m312 lim031xxxxxxxxxxxxx220+42lim.+93xxx例 求( (分子分母有理化消去零因子分子分母有理化消去零因子) )222222220022220+42(+42)(+42)(+93)limlim+93(+42)(+93)(+93)(+93)3 lim2(+42)xxxxxxxxxxxxxxx9.9.利用夾逼準(zhǔn)則（兩邊夾法）則求極限利用夾逼準(zhǔn)則（兩邊夾法）則求極限說明：兩邊夾法則需要放大和縮小不等式，常用的方法是都換成最大的和最小的。 例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1

9、 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn說明：這種說明：這種n n項(xiàng)和的極限有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算，項(xiàng)和的極限有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算， 這道題是不可以的。這道題是不可以的。 01x33sin01 sinnnxxxx33111sin10,0001 sin11nnnxxxdxx dxxnn1lim 0lim01xxn331sinlim001 sinnxxxdxx解： 當(dāng)時(shí)，（積分不容易計(jì)算）故因?yàn)樗?31sinlim01 sinnnxxdxx例例10. 10. 用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限2

10、:(1) sin tan arcsin arctan ln(1)1;(2)1 cos ;2(3)1 ;(4)ln(1) ;0(5)1 ln ;(6)(1)1.xxxxxxxxxexxexxxaxxxxa當(dāng)常用的等時(shí):價(jià)無(wú)窮小量0ln(1)lim1 cosxxxx002ln(1)limlim211 cos2xxxxx xxx例：求極限解20(1)ln(1)1. lim1 cosxxexx201sin12. lim1 cosxxxx30tansin3. limxxxx練習(xí)：練習(xí)：2005年數(shù)學(xué)三考研試題(第一大題填空題第1小題4分)22(1)lim sin.1xxxx 2009年數(shù)學(xué)三考研試題(第

11、二大題填空題第9小題4分)cos320(9)lim.11xxeex 2008年數(shù)學(xué)三考研試題(第三大題第15題10分)201sin(15)limln.xxxx 11. 11. 應(yīng)應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限用兩個(gè)重要極限求極限0sinlim1xxx1011lim(1)lim(1)lim(1)xnxxnxxexn兩個(gè)重要極限是和第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無(wú)窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限 例：求極限1lim1xxxx【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出1，再湊1X，最后湊指數(shù)部分。解2121221212limlim 1lim1111112xxxxxxxexxxx例例.)11(lim

12、xxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 21lim 1xxx2lim8xxxaxaa練習(xí)練習(xí) 12，求2012年數(shù)學(xué)三考研試題(第二答題填空題第9小題)1cossin4lim(tan )xxxx9.12. 12. 應(yīng)應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則求極限用數(shù)列的單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則求極限0a 10 x 112nnnaxxx(1,2,3,)n 例例 設(shè)設(shè)，limnnxlim.nnx（1）證明存在； （2）求【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在。 解: (1) 1102nnnnnnaaxxxaxaxx即nx有下界， 由此

13、得 211()022nnnnnnnaxaxxxxxx nxlimnxx既單調(diào)下降，因此存在。limnxx0a12()2a .a（2）設(shè)，由（1）對(duì)遞推公式兩端取極限，得解得（舍去負(fù)值），所以13.13.用對(duì)數(shù)恒等式用對(duì)數(shù)恒等式 求極限求極限( )lim( )g xf x例：求極限20lim1ln(1)xxx解法1: 00222ln1 ln(1)ln1 ln(1)lim002ln(1)lim2lim1 ln(1)lim .xxxxxxxxxxxxeeee12ln(1)2ln(1)00lim1 ln(1)lim1 ln(1)xxxxxxxx012ln(1)12ln(1)lim2ln(1)ln(1)

14、00lim1 ln(1)lim1 ln(1)xxxxxxxxxxxe解法2: 原式解法3: 000222ln(1)lim(1 ln(1) 1)lim02lim2lim1 ln(1) .xxxxxxxxxxxxeeee1( )lim( )g xf x注注1：對(duì)于型未定式的極限，也可用公式( )lim( ) 1) ( )lim( )(1 )g xf xg xf xe因?yàn)? )lim ( )ln( )lim ( )ln(1( ) 1)lim( ) 1) ( )lim( ) g xg xf xg xf xf xg xf xeee( )lim( )g xf x注注2：對(duì)于：對(duì)于型未定式型未定式的極限也可

15、以利用第的極限也可以利用第1二個(gè)重要極限。二個(gè)重要極限。例：求極限3012coslim13xxxx2 cosln332002cosln13limlimxxxxxexx2001( sin )ln(2cos )ln32coslimlim2xxxxxxx 011sin1lim22cos6xxxx 解法1: 原式 2 cosln332002cosln13limlimxxxxxexx2200cos1ln(1)cos113limlim36xxxxxx 解法2: 原式 2011年數(shù)學(xué)一考研試題(第三答題解答題第15題10分)110ln(1)15. lim().xexxx2013年數(shù)學(xué)二考研試題(第二答題填空

16、題第9小題)200000ln(1)1ln(1)1limlim(21)0111111limlimlim2(1)222ln(1)9.lim2 .xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexeeee10ln(1)9.lim2xxxx14. 14. 將將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解 【說明】這是1洛必達(dá)法則，若直接求解有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過13提供的方法結(jié)合洛必達(dá)法則求解。例：求極限21limsinnnnn形式的極限，由于數(shù)列極限不能使用2221111sin1sin1601lim( sin)limlimyxxyxyxxxyxeeex2161limsinnnnen

17、【解】考慮輔助極限所以根據(jù):數(shù)學(xué)分析里面的歸結(jié)原則，又稱為海涅定理， 意思就是函數(shù)極限可以用數(shù)列極限刻畫。15. 15. 求極限式中的常數(shù)求極限式中的常數(shù)2121. lim,1xxaxba bx例設(shè) 試確定 , 并求此極限。2010年數(shù)學(xué)三考研試題(第三答題解答題第1題4分)0111. lim()1,_.( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 () 3 xxa eaxxABCD若則1()1. lim4,.313xa b x ba bxx 練習(xí)已知 試確定 ,22. lim( 241)0,.xxxax ba b 練習(xí)已知 試確定 ,16. 16. 利利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限用導(dǎo)數(shù)的定義求極限2013年數(shù)

18、學(xué)一考研試題(第二答題填空題第9小題)(1)(9) ( )1lim ( ( ) 1)_.xynyf xyxen fn設(shè)函數(shù)由方程確定， 則答案答案 2013年數(shù)學(xué)一考研試題(第一答題選擇題第小題)0arctan(1) lim,011( ) 2, ( ) 2, 2211( ) 3, ( ) 3, 33kxxxck cxcAkcBkcC kcDkc 已知極限,其中為常數(shù)， 且，則（ ） 答案答案 1.1.2(2). ( )(1 0)lim()_.2nyf xyxxnnfn設(shè)函數(shù)與在點(diǎn) ，處有公共切線， 則2013年數(shù)學(xué)三考研試題(第二大題填空題第9小題)答案答案 -2-22013年數(shù)學(xué)三考研試題(

19、第一大題選擇題第小題)232322222(1) 0( )( ) ()() ( ) ( ) ()() ( ) ()()() ( ) ( )()() xo xxAxo xo xBo x o xo xCo xo xo xDo xo xo x當(dāng)時(shí)，用表示比 高階的無(wú)窮小， 則下列式子中錯(cuò)誤的是（ ） 答案答案 1.1.2013年數(shù)學(xué)二考研試題(第一大題選擇題第2小題)(2). ( )cos()ln12lim ( ( ) 1)_.( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 () 2 nyf xxyyxn fnABCD設(shè)函數(shù)由方程確定， 則 17. 17. 應(yīng)應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限用洛必達(dá)法則求極限00【說明】 或

20、型的極限，可通過洛必達(dá)法則來求。例：求極限220lncos2ln(1 sin)limxxxx222002sin2sin2lncos2ln(1 sin)cos21 sinlimlim2xxxxxxxxxx20sin221lim32cos21 sinxxxxx 【注】許多變上限函數(shù)的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解( )f x(0)0f0() ( )0lim.()0 xxxt f t dtxxf xt dt例：設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限【解】由于 0()( )()( )00 x t uxxf xt dtf uduf u dux 于是， 00() ( )( )( )000limlim()( )00 x

21、xxxxxt f t dtxf t dttf t dtxxxf xt dtxf u du00( )( )( )( )00limlim( )( )( )( )00 xxxxf t dtxf xxf xf t dtxxf u duxf xf u duxf x0000( )( )00lim(0)1lim.(0)(0)2( )( )00( )limlim( )xxxxxxf t dtf t dtfxxxxfff u duf u duf xf xxx2011年數(shù)學(xué)三考研試題(第三大題解答題第15題10分)012sin115. lim.ln(1)xxxxx2012年數(shù)學(xué)三考研試題(第三大題解答題第15小題

22、10分)22 2cos4015. lim.xxxeex18. 18. 應(yīng)應(yīng)用定積分的定義求極限用定積分的定義求極限( )f x0,1111121limlim( )( )0ninninfffff x dxnnnnn【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算，是把看成定積分。baxxfd)(iniixf10)(lim例：求極限222222111lim12nnnnn2221111lim12111nnnnnn211121ln02211dxx 解：原式 2012年數(shù)學(xué)二考研試題(第二答題填空題第10小題)121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix練習(xí)：用定積分表示下列

23、極限練習(xí)：用定積分表示下列極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110練習(xí)：1lim(1)(21).nnn nnn101ln(1)(1)(21)lim(1)(21)lim().nnnx dxnnnn nnnn nnen練習(xí)：1111111( )limlim1( )nnkknnnnkkkknnknknn111limnknnkknk19. 19. 利利用中值定理求極限用中值定理求極限1. lim( ),lim ()( ).xxfxkf xaf x設(shè)求（1 1）. . 利利用微分中值定理求極

24、限用微分中值定理求極限22. lim(arctanarctan), (0)1naanann求.（2 2） 利利用積分中值定理求極限用積分中值定理求極限簡(jiǎn)單積分中值定理簡(jiǎn)單積分中值定理使使dxxfba )()(abf . . )(ba 201. limsin0nnxdx證明 .222002202222sinsinsin, 020sinsin ()020sin10nnnnnnxdxxdxxdxxdxxdxdx積分中值定理積分中值定理sin2. lim()n PnnxdxPx求 為一正常數(shù)sin1limsinsinlnn Pn PnnnxnPdxdxxxn20. 20. 應(yīng)應(yīng)用泰勒公式求極限用泰勒公式求極限202lim,xxxaax(0).a 例：求極限2ln221lnln(),2xxaxaexaa o x 2221lnln();2xxaxaao x2222ln().xxaaxa o x 222222002ln()limlimln.xxxxaaxao xaxx解： 01 1lim(cot ).xxx x001 11 sincoslim(cot )limsinxxxxxxx xxxx323230()1()3!2!limxxxxo xxx xx333