經(jīng)典可積系統(tǒng)與KTV方程.

1、裝訂線經(jīng)典可積系統(tǒng)與KdV方程數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 費(fèi)春生 指導(dǎo)教師 王鵬【摘要】在論文中，我們首先介紹可積系統(tǒng)的一些基本概念。之后，我們?cè)敿?xì)介紹一下橢圓函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，并演示KdV方程的推導(dǎo)過程，然后利用簡(jiǎn)單的非線性方程和簡(jiǎn)化的模型來將行波轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的常微分方程求解，獲得孤立波解并討論解的有關(guān)性質(zhì)。下一步，我們將介紹一種求解KdV方程的普遍方法-反散射法，并演示利用這種方法來求解KdV方程來獲得單孤立子解的過程。【關(guān)鍵詞】 可積系統(tǒng) KdV方程 橢圓函數(shù) 孤立波解 反散射法【Abstract】In the thesis,we firstly introduce some basic concept

2、s of integrability. After that we introduce the knowledge of the elliptic function in detail and demonstrate the derivation of the KdV equation,and then use simple non-linear equations and simplified models to simplify the traveling wave to simple ordinary differential equation.then we get the solit

3、ary wave solutions and discuss the nature of the solution.Next,we will introduce a method for solving general KdV equation,named the inverse scattering method,and demonstrate the use of this method to solve the KdV equation for the single-soliton solutions.【Keywords】integrability KdV equation ellipt

4、ic function solitary wave solutions the inverse scattering method 目錄1 可積系統(tǒng)與孤立波1.1 廣義的可積系統(tǒng)1.2 劉維爾可積系統(tǒng)2 KdV方程與孤立波解2.1 孤立子的歷史背景2.2 KdV方程的推導(dǎo)2.2.1 KdV方程關(guān)于孤立波的解釋2.2.2 KdV方程的導(dǎo)出2.3 預(yù)備知識(shí)：橢圓函數(shù)和橢圓方程2.4 KdV方程及其孤立波解3 反散射法3.1 反散射法求解KdV方程3.2 KdV方程的單孤立子解參考文獻(xiàn)謝辭1 可積系統(tǒng)1.1 廣義的可積系統(tǒng)一般地可積系統(tǒng)，我們沒有辦法給出非常明確的定義，但是我們可以通過一些說明來解釋

5、可積系統(tǒng)的一些相關(guān)知識(shí)和性質(zhì)，以助于我們更多地了解可積系統(tǒng)和KdV方程。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性模型已經(jīng)不足以反映客觀世界的變化規(guī)律。20世紀(jì)50年代以來，人們從對(duì)非線性現(xiàn)象的研究中提出了“孤子”的概念，并由此產(chǎn)生了孤子理論。在孤子理論中，通常將帶時(shí)間變量t及一維空間變量x的孤子方程稱為“1+1維的方程”。它可從對(duì)空間x與時(shí)間t的聯(lián)立譜問題中導(dǎo)出。設(shè) x=M， （1.1.1）t=N。 （1.1.2）這里是x，t的n維向量函數(shù)，M，N是n×n矩陣，其元素中包含有譜參數(shù)及以x，t為自變量的m維向量函數(shù)u(x，t)及其各階導(dǎo)數(shù)。為了使方程（1.1.1）和（1.1.2）同時(shí)有解，必需滿足協(xié)調(diào)

6、性條件, xt=tx。由此，得， xt.=Mt+Mt=Mt+MN=tx=Nx+NM。即Mt-Nx+M,N=0.其中M,NMN-NM。 （1.1.3）這個(gè)方程在微分幾何中稱為零曲率方程。適當(dāng)選取M、N，可以導(dǎo)出許多孤子方程，例如KdV方程（KdV），廣義的KdV方程（MKdV），非線性薛定諤方程(NLS)，伯格方程（BG）等等。例：取M=-iqri，N=ABC-A，其中A=j=03ajj，B=j=03bjj，C=j=03cjj ，并假設(shè)a0=a1=a2=0，a3=-4i，得到孤子方程qt+6qqx+qxxx=0，這就是我們要討論的KdV方程。還有一種導(dǎo)出孤子方程的方法是由Lax最早指出的：.給定

7、一個(gè)線性算子，滿足以下譜方程：L=；（其中是譜參數(shù)） （1.1.4）.設(shè)參數(shù)與t無關(guān)，譜不變，t=0； （1.1.5）.還滿足以下線性方程：t=A，（A也是一個(gè)算子） （1.1.6）若要求同時(shí)滿足（1.1.4）和（1.1.6），則L，A滿足一下算子方程：Lt=ALLAA，L. （1.1.7）（1.1.7）稱為L(zhǎng)ax方程，L，A稱為L(zhǎng)ax對(duì)。由Lax對(duì)能推導(dǎo)出一些重要的孤子方程。例：取L=x2+u（x，t）為薛定諤算子，A=（x3+2ax+axa）為反對(duì)稱算子，其中是常數(shù)，a=a（x，t）?？赏茖?dǎo)出ut+6uux+uxxx=0，這和我們利用零曲率方程推導(dǎo)出的方程一樣，也是一種KdV方程。一般意義

8、上的可積系統(tǒng)就是從孤子方程的定義中推廣而來的。1.2 劉維爾可積系統(tǒng)可積系統(tǒng)中還有一類十分特殊的類別，我們稱之為有限維可積系統(tǒng)。設(shè)qi、pi（其中i=1，n）是力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量。如存在哈密頓函數(shù)H=H（qi,pi）,使qi、pi的演化滿足以下方程dqidt=Hpi，dpidt=-Hqi，（i=1,2，n） （1.2.1）引進(jìn)泊松括號(hào)F，G=j=1n（FqjGpj-FpjGqj） （1.2.2）則（1.2.1）可改寫為qi=（qi，H），pi=（pi，H），qi=dqidt，pi=dpidt （1.2.3）而且，qi、pi滿足以下基本關(guān)系式:qi,qj=pi、pj=0，qi，pj=i

9、j. （1.2.4）在引進(jìn)泊松括號(hào)，且qi、pi滿足（1.2.4）時(shí)，方程（1.2.1）稱為哈密頓系統(tǒng)。qi、pi也稱為動(dòng)力學(xué)變量。顯然，它是2n維的一階方程組。如果存在I=I（qi，pi），使得當(dāng)qi、pi是（1.2.1）的解時(shí)，有dIdt=0， （1.2.5）則稱I是“（1.2.1）的一個(gè)守恒量”。如果兩個(gè)互相獨(dú)立的守恒量I1、I2滿足I1，I2=0. （1.2.6）便稱I1、I2是對(duì)合的。由此我們可以給出有限維劉維爾意義下的可積系統(tǒng)。定義 如果哈密頓系統(tǒng)（1.2.1）存在n個(gè)互相獨(dú)立的守恒量Ii（i=1,2，,n）,它們兩兩對(duì)合，則稱（1.2.1）是“在劉維爾意義下的可積系統(tǒng)”。2 Kd

10、V方程及其孤立波解2.1 孤立子的歷史背景孤立子理論是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的一個(gè)重要的組成部分。近幾十年來引起國(guó)際上數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界的充分關(guān)注，得到迅速發(fā)展，孤立子往往也稱為孤立波，它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的解以及與之對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象。用物理的語言來說，這些性質(zhì)是：（1）能量集中在一個(gè)較狹小的區(qū)域；（2）孤立子之間相互作用時(shí)會(huì)出現(xiàn)彈性子和波的許多性能。這些特殊的性質(zhì)使得它在許多的科學(xué)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，如流體力學(xué)、等離子體物理、超導(dǎo)物理、非線性光學(xué)、經(jīng)典場(chǎng)論和量子場(chǎng)論等等都存在著孤立子以及與孤立子理論密切相關(guān)的重要現(xiàn)象。近年來，人們也在更廣泛的意義下理解孤立子這一術(shù)語，比如具有性

11、質(zhì)（1）的一些穩(wěn)定解有時(shí)也稱為孤子解。孤立子的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1834年，英國(guó)數(shù)學(xué)家Scott Russel于1834年8月在一次偶然的機(jī)會(huì)中觀察到的。他在1844年英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議報(bào)告文集中發(fā)表波動(dòng)論一文，文中講述他在運(yùn)河里發(fā)現(xiàn)一個(gè)波形不變的水團(tuán)，該水團(tuán)在一兩英里之外的河道轉(zhuǎn)彎處逐漸消失的奇觀。Russel本人當(dāng)時(shí)未能從理論上對(duì)此作出論證，致使有關(guān)孤立波的問題在物理學(xué)家中引起了長(zhǎng)期而廣泛的爭(zhēng)論。直到1895年，Korteweg和他的學(xué)生de Vries提出了一個(gè)非線性演化方程（即著名的KdV方程），他們用該方程的行波解成功解釋了Russel所觀察到的孤立波現(xiàn)象。歷史跨越了70年，1

12、965年，美國(guó)物理學(xué)家Kruskal和Zabusky通過數(shù)值模擬方法詳細(xì)研究了KdV方程兩波相互作用的全過程。他們對(duì)作用前后所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)孤波的形狀和速度保持不變而具有彈性散射的性質(zhì)，所以Kruskal和Zabusky又將這種穩(wěn)定的孤波稱為孤子。從此一個(gè)研究非線性發(fā)展方程與孤子的熱潮在學(xué)術(shù)界蓬勃發(fā)展起來，隨著研究的不斷深入，孤立波現(xiàn)象在分子生物等多個(gè)領(lǐng)域不斷被實(shí)驗(yàn)觀察到，孤子已經(jīng)被人們看做是解釋復(fù)雜非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)?，F(xiàn)在孤子已經(jīng)形成了自己獨(dú)特的理論和研究方法，并且在科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域中尋覓到它應(yīng)用的蹤跡，其他相關(guān)學(xué)科的發(fā)展也不斷補(bǔ)充和豐富著孤子理論。2.2 KdV方程的推導(dǎo)

13、2.2.1 KdV方程關(guān)于孤立波的解釋波動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)兩種常見的現(xiàn)象，一種是非線性的會(huì)聚現(xiàn)象，還有一種是色散現(xiàn)象。當(dāng)這兩種效應(yīng)之間達(dá)到相互間的巧妙平衡時(shí)，就產(chǎn)生了孤立波。下面我們進(jìn)行稍微詳細(xì)一點(diǎn)的說明。首先對(duì)不可壓縮介質(zhì)，在用 nt+nxxt=0 （2.2.1）所表示的粒子隨時(shí)間與坐標(biāo)變化的關(guān)系中，粒子密度n應(yīng)該可以用粒子的速度v來代替（這是因?yàn)関=v（n）而n=n（v）=v+k1v2+k2v3+,取一階近似）。將速度看成是常數(shù)，則總加速度dvdt=vt+vvx=0，即有 vt+vvx=0 （2.2.2）其中vvx為非線性項(xiàng)?，F(xiàn)在考慮水面波動(dòng)的色散關(guān)系，可以證明，若忽略表面張力，在重力作用下，水波

14、的色散關(guān)系為 （k）=gktanh（kh） （2.2.3）其中h為水深，g為重力加速度。對(duì)式（2.2.3）進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，并略去高階項(xiàng)后，有 （k）=k-k3 （2.2.4）式中=gh，=16h2gh。由對(duì)應(yīng)關(guān)系寫t-i，xik出對(duì)應(yīng)的方程應(yīng)為 vt+vx+3vx3=0 （2.2.5）現(xiàn)在將導(dǎo)致波形坍塌的非線性效應(yīng)的方程（2.2.2）和色散效應(yīng)的方程包含到一個(gè)方程中，就得到KdV方程 vt+(+v)vx+3vx3=0 （2.2.6）KdV方程一個(gè)重要的特點(diǎn)就是同事包含色散項(xiàng)vxxx和非線性項(xiàng)vvx，但方程的解卻沒有色散，這時(shí)由于色散和非線性兩種效應(yīng)所產(chǎn)生的結(jié)果相互抵消，所形成的解才以孤立波的形式

15、出現(xiàn)，在傳播過程中保持不變。接下來我們將詳細(xì)推導(dǎo)KdV方程并且討論它的孤立波解，由于KdV方程的孤立波解是由一類橢圓函數(shù)來說明的，所以接下來我們先介紹一下橢圓函數(shù)和橢圓方程的有關(guān)知識(shí)。2.2.2 KdV方程的導(dǎo)出考慮在三維空間某確定區(qū)域中的流體的運(yùn)動(dòng)。設(shè)在時(shí)刻t，點(diǎn)（x，y，z）出流體的速度為v=v（x，y，z，t）。以=（x，y，z，t）表示流體的密度，F(xiàn)=F（x，y，z，t）表示作用在單位流體質(zhì)量上的體力，p=p（x，y，z，t）是流體內(nèi)部的壓強(qiáng)，則流體的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程分別為 t+·v=0， (2.2.7) vt+（v·）v=-1p+F， (2.2.8)其中=（x

16、，y，z）是Hamilton算子（或稱梯度算子）。假設(shè)流體不可壓縮（=常數(shù)）且在重力作用下做無旋運(yùn)動(dòng)，即rotv=×v=0，對(duì)單連通區(qū)域無旋運(yùn)動(dòng)必有一個(gè)勢(shì)函數(shù)，使 v=， (2.2.9)此時(shí)由公式（a·b）=b×（×a）+（b·）a+a×（×b）+（a·）b，有（12v·v）=（12|v|2）=（12|2）=（v·）v-v×（×v）=（v·）v，由此并適當(dāng)選取坐標(biāo)系，使重力加速度g的方向?yàn)閦軸的負(fù)方向，則方程（2.2.7）和方程（2.2.8）化為 ·v=0

17、， （2.2.10） vt+12|v|2=-1p-gk. （2.2.11）將速度勢(shì)（2.2.9）帶入方程（2.2.10）和方程（2.2.11），并對(duì)式（2.2.11）的空間部分進(jìn)行積分得 2=0 （2.2.12） t+12（）2+gz+p=C(t). （2.2.13）為了避免任意函數(shù)C（t）的出現(xiàn)，可取=-0tC（t）dt+p0pt來代替速度勢(shì)而不受影響，即仍有 v= （2.2.14）于是方程（2.2.12）和方程（2.2.13）化為 2=0 （2.2.15） t+12（）2+gz+p-p0=0. （2.2.16）其中p0表示流體自由表面上的大氣壓力。方程（2.2.15）是Laplace方程。

18、所以實(shí)質(zhì)上我們要求的是滿足Laplace方程還要依賴于t的解，解出以后，從式（2.2.16）便可以計(jì)算出壓強(qiáng)p，再?gòu)氖剑?.2.14）得出速度v。此時(shí)動(dòng)量方程（2.2.11）自動(dòng)滿足?，F(xiàn)在假設(shè)流體在固壁容器中運(yùn)動(dòng)，但流體的表面和空氣接觸。設(shè)流體表面的方程為 f（x，y，z，t）=0 （2.2.17）若用x=x（t），y=y（t），z=z（t）表示此表面上一條流線的方程，它們也應(yīng)該同時(shí)滿足流體表面的方程，即 f（x（t），y（t），z（t），t）0 (2.2.18)沿著這條流線，流體速度向量v的分量為u=dxdt，v=dydt，w=dzdt （2.2.19）將式（2.2.18）對(duì)t求導(dǎo)，并注意式

19、（2.2.19），有fxu+fyv+fzw+ft=0.用速度勢(shì)表示，上式就是 fxx+fyy+fzz+ft=0 （2.2.20）這就是流體表面的一個(gè)邊界條件，特別地，如果流體表面的方程可表示為顯式z=（x，y，t），那么此時(shí)表面上的邊界條件（2.2.20）就可以寫成 xx+yy+t=z （2.2.21）同樣，在運(yùn)動(dòng)的剛性底面z=h（x，y）上，流線的法向速度為零，即有 hxx+hyy-z=0 （2.2.22）若底面為一平面z=-h（h為常數(shù)），則得剛性邊界條件 z=0 （2.2.23）此外，流體表面上的壓強(qiáng)應(yīng)和大氣壓強(qiáng)相等，設(shè)大氣壓強(qiáng)為常數(shù)，那么由式（2.2.16）可以得到流體表面上的另一個(gè)邊

20、界條件。這樣，就得到了不可壓縮流體在無限大剛性河床上的流動(dòng)所滿足的定解問題，即Laplace方程（2.2.15）和自由表面及剛性底面條件： （xx+yy+t-z）z=（x，y，t） =0， （2.2.24a） t+12（x2+y2+z2）+gzz=（x，y，t） =0， （2.2.24b） zz=-h=0. （2.2.24c）現(xiàn)在考慮平面波的情形。假設(shè)在與一豎直平面平行的各平面內(nèi)流體具有完全相同的運(yùn)動(dòng)，取這豎直平面為xOz坐標(biāo)面，且Ox軸位于流體靜止時(shí)的水平面上，這時(shí)只需考慮處在坐標(biāo)面xOz上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。從而上述定解問題化為 xx+zz=0， （2.2.25a） （xx+t-z）z=（x，

21、t）=0， （2.2.25b） t+12（x2+z2）+gzz=（x，t） =0， （2.2.25c） zz=-h=0. （2.2.25d）式中z=（x，t）是流體自由表面與坐標(biāo)平面的交線。引入?yún)?數(shù) =ah，=h2l2 （2.2.26）其中a為平面波德振幅，l為波長(zhǎng)，因此當(dāng)取最小值時(shí)表示波長(zhǎng)較長(zhǎng)，取最小值時(shí)表示振幅較小。再取為水平剛性底面測(cè)量的流體高度，在變換z=+h，t=lct，x=lx，z=hz =a，=glac，c2=gh （2.2.27）下，定解問題（2.2.25）變?yōu)椋ㄊ÷宰兞孔帜干系钠蔡?hào)）xx+zz=0（0<z<1+ ）， （2.2.28a）zz=0=0， （2.2.

22、28b）（xx+t-1z）z=1+=0， （2.2.28c）t+12x2+12y2+ z=1+=0. (2.2.28d)式（2.2.28a）和式（2.2.28b）的通解可以表示為=m=0（-1）m1（2m）!2mfx2mmz2m， （2.2.29）這里f=f（x，t）是x的解析函數(shù)。將解（2.2.29）代入到邊界條件（2.2.28c）和式（2.2.28d），得到t+（1+）fxx-16（1+）3fxxx+12（1+）2fxxxx +O( 2)=0， （2.2.30）+ft+12fx2-12（1+）2(fxxt+fxfxxx-fxx2) +O（ 2）=0. （2.2.31）在以上兩式中忽略一次以

23、上的項(xiàng)，又令=fx，并將式（2.2.31）對(duì)x求導(dǎo)一次，得到t+（1+） x=0， （2.2.32）t+t+x=0. （2.2.33）在式中（2.2.30）和式（2.2.31）中，保留的一次項(xiàng)，忽略2以上的項(xiàng)，得到t+（1+） x-16xxx=0， （2.2.34）t+t+x-2xxt=0. （2.2.35）由式（2.2.32）和式（2.2.33）可設(shè) =+A+B， （2.2.36）其中A,B是及其導(dǎo)數(shù)的待定函數(shù)。將式（2.2.36）代入到式（2.2.34）和式（2.2.35）中，得到t+x+（Ax+2x）+（Bx-16xxx）=0， （2.2.37）t+x+（At+x）+（Bt-16xxt）

24、=0. （2.2.38）若取A=-142，B=13xx，則式（2.2.37）和式（2.2.38）分別成為t+x+ 32x+ 16xxx=0， （2.2.39）t+x-（12t-x）-16xxt=0. （2.2.40）在式（2.2.39）中再做變換t=（6）1/2t，x=（6）1/2x，=14（+23）， （2.2.41）且將t，x和仍記為t，x，就得到了KdV方程t+6x+xxx=0. （2.2.42）而方程（2.2.40）稱為BBM方程。如果在式（2.2.39）和式（2.2.40）中只保留和的零次項(xiàng)，則有t=-x，這時(shí)BBM方程也變成KdV方程。需要指出的是，我們推導(dǎo)出的KdV方程（2.2.

25、42）只是常見的標(biāo)準(zhǔn)型式之一。KdV方程的一般形式可以表示為ut+auux+buxxx=0， （2.2.43）其中u=u（u，t）是動(dòng)力學(xué)量，而a和b是不為零的常數(shù)。我們可以通過標(biāo)度變換使uxxx項(xiàng)或uux項(xiàng)前得系數(shù)有常數(shù)倍的改變，這并不會(huì)改變方程的基本性質(zhì)。KdV方程的常見形式有ut+6uux+ uxxx=0ut-6uux+ uxxx=0ut+uux+ uxxx=0ut+uux+uxxx=0等等。2.3 預(yù)備知識(shí)：橢圓函數(shù)和橢圓方程（1）橢圓積分：形如R（x，y）dx的積分稱之為一般橢圓積分，其中R(x，y)是x和y的有理函數(shù)，而y2是x的四次或三次多項(xiàng)式，即y2=P（x）=ax4+bx3+

26、cx2+dx+e. （2.3.1）當(dāng)a=0時(shí)，y2是x的三次多項(xiàng)式，即P（x）是x的三次多項(xiàng)式，此時(shí)做變換x=1，則y2=P（x）=P（1）= b（1）3+c（1）2+d（1）+e=P1()4=14（e4+d3+c2+b）， （2.3.2）即P1()是的四次多項(xiàng)式。反之，若已知函數(shù)（2.3.1）的一個(gè)零點(diǎn)x1，做變換x=x1+1，則有y2=P（x）=P（x1+1）=a（x1+1）4+b（x1+1）3+c（x1+1）2+d（x1+1）+e=P2()4 =14（4ax13+3bx12+2cx1+d）3+（6ax12+3bx1+c）2+（4ax1+b）+a， （2.3.3）可見P2()是的三次多項(xiàng)式

27、。由于三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式情形可以簡(jiǎn)單地相互變換，它們相應(yīng)的積分的性質(zhì)是一樣的，都是橢圓積分。普通橢圓積分可以歸結(jié)為幾個(gè)基本橢圓積分的組合，由于我們行波解中利用到的只是第一類Legendre橢圓積分所誘導(dǎo)的橢圓函數(shù)，所以在此我們只做一下簡(jiǎn)單的說明：定理1：由y2=P（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e我們可以把R(x,y)表示為R(x,y)=R1（x）+R2（x）y，其中R1（x），R2（x）為x的有理函數(shù)。積分R1（x）dx可以用初等函數(shù)表達(dá)，只剩下R2（x）ydx是橢圓積分。R2（x）可表示為R2（x）=m=0namxm+p=1qk-1pbpk(x-hp)k。其中am，bpk為常數(shù)。

28、由此可見橢圓函數(shù)歸結(jié)為下面兩種類型Im=xmydx，Jk=dx（x-h）ky （2.3.4）在P（x）是三次多項(xiàng)式的情形下，可以證明Im和Jk能用三個(gè)基本橢圓積分I0,I1,J1表達(dá)。證明過程如下:求微商ddx(xmP(x)=mxm-1P(x)+xm2P（x）P(x)=1y mxm-1（ax4+bx3+cx2+dx+e）+12xm（4ax3+3bx2+2cx+d） =1y（m+2）axm+3+（m+32）bxm+2+（m+1）cxm+1+（m+12）dxm+mexm-1. （2.3.5）求積分，得，(m+2)aIm+3+（m+32）bIm+2+（m+1）cIm+1+（m+12）dIm+meIm

29、-1=xmP(x)+C，其中C為積分常數(shù)。 （2.3.6）當(dāng)P（x）為三次多項(xiàng)式時(shí)，a=0，上式中依次令m=0,1，時(shí)，給出Im用兩個(gè)基本橢圓積分I0,I1表達(dá)。同樣求微商有ddxP(x)（x-h）k=1（x-h）k+1yx-h2Px-kP(x)=1y-kP(h)（x-h）k+1+(12-k)Ph（x-h）k+1-kP（h）2（x-h）k-1+（14-k6）P（h）（x-h）k-2， （2.3.7）求積分，得，-kP(h) Jk+1+（12-k）PhJk+（1-k）2P（h）Jk-1+（14-k6）P（h）Jk-2=P(x)（x-h）k+C. （2.3.8）很顯然有J0=I0，J-1=I1-h

30、I0。上式中依次令k=1,2，我們求出Jk由I0,I1,J1表達(dá)。接下來我們討論P(yáng)（x）為四次多項(xiàng)式時(shí)，如何得到第一類Legendre橢圓積分的標(biāo)準(zhǔn)型.1.根據(jù)代數(shù)學(xué)基本定理，實(shí)系數(shù)四次多項(xiàng)式可以表示為兩個(gè)實(shí)系數(shù)二次三項(xiàng)式的形狀，ax4+bx3+cx2+dx+e=a（x2+px+q）（x2+px+q）。利用分式線性替換x=ut+vt+1，選取合適的u與v，我們得到R（x，P(x)）dx=R（ut+vt+1，M+Nt2（M'+N't2）（t+1）2）u-v（t+1）2dt，這樣可以改寫成如下形狀R（t，A1+mt2（1+mt2）dt，當(dāng)A，m與m異于0時(shí).2.仿照定理1的證明過程

31、，可以把這么積分在相差一個(gè)有理函數(shù)積分的范圍內(nèi)化為R（t）A1+mt2（1+mt2）dt.然后分解有理函數(shù)R（t）成為兩項(xiàng)R（t）=R（t）+R（-t）2+R（t）-R（-t）2.第一項(xiàng)當(dāng)以-t代替t時(shí)不改變自己的值，所以，可化為t2的有理函數(shù)：R1（t2）；第二項(xiàng)在前述的代換時(shí)改變符號(hào)，因此有R2（t2）t的形狀。所考慮的積分可表示為積分的和R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt+R2（t2）tA1+mt2（1+mt2）dt的形式。但是，它們中的第二項(xiàng)可用過替換u=t2立即化成初等積分并在有限形狀中求得，所以只需進(jìn)一步研究積分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt就夠了。3.我們要說

32、明積分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt的每一種可能性都可以表示為下面形式R（z2）1-z2（1-k2z2）dz其中k是某一正真分?jǐn)?shù)：0<k<1.我們把這個(gè)形式叫做標(biāo)準(zhǔn)形式。為了簡(jiǎn)明起見，令y=A1+mt2（1+mt2）。不減普通性，這里認(rèn)定A=±1是可以的，此外，為了明確起見，限制t是正值?，F(xiàn)在考慮A，m與m的符號(hào)的可能組合并對(duì)每種情況指出把積分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt直接化成標(biāo)準(zhǔn)型的替換。.A=+1，m=-h2，m=-h2（h>h>0）。為了使根式有實(shí)值，必須使t<1h或t>1h。我們令ht=z，這里0<z<

33、;1或z>hh。在這種情況下dty=dzh1-z2（1-h2h2z2）于是這里應(yīng)該取k=hh。.A=+1，m=-h2，m=h2（h，h>0）。為了使根式有實(shí)值，必須使t<1h。令ht=1-z2，這里0<z1。在這種情況下dty=-1h2+h2dz1-z21-h2h2+h2z2，于是可以取k=h'h2+h2.A=+1，m=h2，m=h2（h>h>0）.t的變換不受任何限制。令ht=z1-z2，這里0z<1。在這種情況下dty=dzh1-z21-h2-h2h2z2，于是k=h2-h2h。.A=-1，m=-h2，m=h2（h，h>0）。t的變化

34、受不等式t>1h所限制。取ht=11-z2，這里0<z<1，在這種情況下dty=1h2+h2dz1-z21-h2h2+h2z2，于是k=hh2+h2.。.A=-1，m=-h2，m=-h2（h>h>0）。為了使根式有實(shí)值，必須使1h<t<1h。令ht=1-h2-h2h2z2，這里0<z<1，在這種情況下dty=-1hdz1-z21-h2-h2h2z2，于是k= k=h2-h2h。這就解決了所有的可能性。當(dāng)P（x）為三次多項(xiàng)式時(shí)，Rx，ydx可以化成下面三種標(biāo)準(zhǔn)式：1=dx4x3-g2x-g3，2=xdx4x3-g2x-g3， 3=dx（x-c

35、）4x3-g2x-g3，其中g(shù)2，g3，c均為常數(shù)，1，2，3稱為第一，二，三類Wereistrass橢圓積分。當(dāng)P（x）為四次多項(xiàng)式時(shí)，R（x，y）dx可以化成下面三種標(biāo)準(zhǔn)式： L1=0xdx1-x2（1-k2x2），L2=0x1-k2x21-x2dx， L3=0xdx（1+nx2）1-x2（1-k2x2），其中k為常數(shù)，稱為模數(shù)。L1，L2，L3稱為第一，二，三類Legendre橢圓積分。（2）橢圓函數(shù)：由于Wereistrass橢圓積分和Legendre橢圓積分可以通過變量代換相互轉(zhuǎn)化，所以我們只討論Legendre橢圓積分。當(dāng)k=0時(shí)，u（x） =0xdx1-x2（1-k2x2）=0x

36、dx1-x2=arcsinx，即x=sinu；當(dāng)k0時(shí)，定義u（z）=0zdx1-x2（1-k2x2）的反函數(shù)為橢圓函數(shù)，記為z=snu，稱為Jacobi橢圓正弦函數(shù)。作變換z=sin，即=arcsinz，橢圓積分化為u（）=0d（1-k2sin2），則u（）的反函數(shù)稱為u的輻角，記為=amu。合并以上兩個(gè)定義，z=snu=sin，=arcsin（snu）。Jacobi橢圓余弦函數(shù)定義為cnu = 1-sn2u =1-z2 =1-sin2 =cos，將dnu=1-k2sn2u =1-k2z2 =1-k2sin2叫做第三類Jacobi橢圓函數(shù)。橢圓函數(shù)具有六個(gè)很重要的性質(zhì)：.奇偶性sn（-u）

37、=-sn（u）；cn（-u）=cnu；dn（-u）=dnu.零點(diǎn)的值sn0 = 0,；cn0 = 1；dn0 = 1.恒等式sn2u+cn2u=1；dn2u+k2sn2u=1；k2cn2u+k2=dn2u；cn2u+k2sn2u=dn2u。其中k=1-k2.微商公式d（snu）du=cnu·dnu；d（cnu）du=-snu·dnu；d（dnu）du=-k2snu·cnu.積分公式（cnu·dnu）du=snu+c；（snu·dnu）du=-cnu+c；（cnu·snu）du=-1k2dnu+c；snudu=1kln（dnu-kcnu

38、）+c；cnudu=1karcsin（ksinu）+c；dnudu=arcsin(snu)+c.橢圓函數(shù)的極限（退化）函數(shù)當(dāng)k0時(shí)，snusinu，cnucosu，dnu1.當(dāng)k1時(shí)，snutanhu，cnusechu，dnusechu.（3）橢圓方程：在微分方程理論中，將形如y2=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4或y=A0+A1y+A2y2+A3y3的方程稱為橢圓方程。有之前的知識(shí)我們知道。橢圓函數(shù)并不是用微分方程的解來定義的，但是上述橢圓方程確實(shí)存在橢圓函數(shù)形解。1.直接微分可證y=snx，y=cnx，y=dnx分別滿足微分方程：y2=（1-y2）（1-k2y2）， y2=（1-

39、y2）（k2+k2y2）， y2=（1-y2）（y2-k2），k=1-k2. 2. y=Asnx，y=Acnx，y=Adnx分別滿足微分方程： y2=1A2（A2-y2）（A2-k2y2） y2=1A2（A2-y2）（k2A2+k2y2）， y2=1A2（A2-y2）（y2-k2A2），k=1-k2.3. y=sn2x，y=cn2x，y=dn2x 分別滿足微分方程：y2=4y（1-y）（1-k2y） y2=4y（1-y）（k2+k2y） y2=4y（1-y）（y-k2），k=1-k2.對(duì)于一般地橢圓方程y2=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4，其中y=y（x），對(duì)x求導(dǎo)，得2yy=a1

40、y+2a2yy+3a3y2y+4a4y3y，即y=A0+A1y+A2y2+A3y3，可以分為以下四種。第一種橢圓方程y2=a+by2+cy4，a，b，c0第二種橢圓方程y2=ay+by2+cy3，a，b，c0第三種橢圓方程y2=a+by+cy2+dy3，a，b，d0第四種橢圓方程將形如y2= ay+by2+cy3+dy4或y2=a+by+cy2+dy3的方程中?？梢灾苯臃e分的方程稱為第四種橢圓方程。這些方程的解都可以用橢圓函數(shù)及其極限形式來表示。2.4 KdV方程及其孤立波解 我們知道，KdV方程是1895年由Korteweg和de Vries推導(dǎo)出來的，而求解KdV方程初值問題的有效方法-逆

41、散射方法是1967年提出的，那么當(dāng)時(shí)Korteweg和de Vries是怎么求出這個(gè)方程的孤立波解，從而證明了Russel所看到和描述的奇妙現(xiàn)象呢？下面就來介紹這個(gè)問題。首先，我們來進(jìn)一步明確一個(gè)偏微分方程孤立波解的含義。一個(gè)偏微分方程P（x，t，u，ux，ut，uxx，uxt，utt，）=0 （2.4.1）中的時(shí)間變量t和空間變量x都是實(shí)數(shù)，而動(dòng)力學(xué)變量u是有界的實(shí)函數(shù)，如果它具有形如u（x，t）=u（x-ct）=u（） （2.4.2）的行波解，并且當(dāng)±時(shí)，u（）0（或趨于某一特定值），則稱這個(gè)行波解為偏微分方程（2.4.1）的孤立波解。現(xiàn)在我們來討論KdV方程ut+uux+uxx

42、x=0 （2.4.3）的孤立波解。將式（2.4.2）帶入方程（2,4,3），由ux=ux=dxd和ut=ut=-cdxd等，得到以為變量的常微分方程udxd-cdxd+d3ud3=0， （2.4.4）或?qū)懗桑╱-c）dxd+d3ud3=0， （2.4.5）將式（2.4.5）對(duì)積分一次得到d2ud2+12u2-cu=A，A為積分常數(shù)。 （2.4.6）將上式乘以u(píng)再積分得12u2+16u3-12cu2-Au=B，B為積分常數(shù)。 （2.4.7）積分常數(shù)B可以看成體系的Hamilon量。方程（2.4.7）可以寫成 12u2+V（u）=0 （2.4.8）其中第一項(xiàng)為動(dòng)能，第二項(xiàng)為勢(shì)能V（u）=16（u3-3cu2-6Au-6B）， （2.4.9）2.4.1Oub1b3b2VV（