對(duì)IYPT2015部分題目的研究(深圳中學(xué)高二11班)

1、SHENZHEN MIDDLE SCHOOL研究性學(xué)習(xí)論文對(duì)IYPT2015部分題目的研究徐文樂(lè) 余浩民 鐘瀝文 陳悅琳論文在線閱讀鏈接指導(dǎo)教師黃睿年級(jí)2013級(jí)班級(jí)高二 11 班電子郵箱965844855聯(lián)系電要：國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)賽簡(jiǎn)稱IYPT,由前蘇聯(lián)在1988年發(fā)起，每年舉辦一屆。它和國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽、國(guó)際青年學(xué)生科學(xué)論文競(jìng)賽并稱為三大頂級(jí)國(guó)際中學(xué)生物理競(jìng)賽。IYPT2015共有17道題目，我們對(duì)其中的第6題（Magnus glider），第16題（Wet and dark），第17題（Coffee cup）進(jìn)行了研究。在第6題上，建立了含有重力、空氣阻力

2、、馬格努斯力的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行了較詳細(xì)的定量計(jì)算，并發(fā)展出了一套能較好解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果的物理模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)合了高速攝影技術(shù)和視頻分析技術(shù)，能較精確地測(cè)定滑翔機(jī)的各種飛行參數(shù)。在第16、17題上僅進(jìn)行了驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，得出了淺顯的定性解釋。1.問(wèn)題回顧與題目分析1.1問(wèn)題回顧IYPT2015第6題：馬格努斯滑翔機(jī)（Magnus Glider）將兩個(gè)杯子的底部粘在一起，將一根彈性帶子纏繞在滑翔機(jī)的中心，并抓住余下的自由端，拉伸后釋放滑翔機(jī)。研究它的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)僅由兩個(gè)杯子組成的所謂“滑翔機(jī)”外形十分獨(dú)特（圖1.1-1），和一般人們心中的滑翔機(jī)形象相去甚遠(yuǎn)（圖1.1-2），甚至不禁令人產(chǎn)生懷疑：這東西也能飛？通

3、過(guò)查閱資料我們得知，此“馬格努斯滑翔機(jī)”能夠飛行靠的是“馬格努斯效應(yīng)”，即在空氣中，“當(dāng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時(shí)，在與旋轉(zhuǎn)角速度矢量和平動(dòng)速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個(gè)力，在這個(gè)力的作用下物體飛行軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象”。在1852年德國(guó)物理學(xué)家海因里希·馬格努斯（Heinrich Magnus）描述并研究了這種效應(yīng)。1一般的解釋是，旋轉(zhuǎn)物體之所以能在橫向產(chǎn)生力的作用，是由于物體旋轉(zhuǎn)可以帶動(dòng)周?chē)黧w旋轉(zhuǎn)，使得物體一側(cè)的流體速度增加，另一側(cè)流體速度減小。根據(jù)伯努利定理，流體速度增加將導(dǎo)致壓強(qiáng)減小，流體速度減小將導(dǎo)致壓強(qiáng)增加，這樣就導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)物體在橫向

4、上的氣壓差，并形成橫向力。同時(shí)由于橫向力與物體運(yùn)動(dòng)方向相垂直，因此這個(gè)力只改變飛行速度的方向。圖1.1-1 IYPT官方給出的“馬格努斯滑翔機(jī)”示例 圖1.1-2普通的滑翔機(jī)1.2題目分析 我們先對(duì)題目中的一些概念進(jìn)行辨析。滑翔機(jī)的定義：滑翔機(jī)是指不依靠動(dòng)力裝置飛行的重于空氣的航空器。起飛（彈射或高空釋放）后僅依靠空氣提供的升力進(jìn)行自由飛行。2也就是說(shuō)滑翔機(jī)的飛行過(guò)程可分為兩個(gè)部分：1.獲得能量：彈射（能量來(lái)源于彈性勢(shì)能）或高空釋放（能量來(lái)源于重力勢(shì)能）2.自由飛行因此，一個(gè)理想的分析過(guò)程也就有這樣兩個(gè)部分：1.得到起飛時(shí)的初始運(yùn)動(dòng)情況2.每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況決定下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況（根據(jù)動(dòng)力學(xué)方

5、程）再進(jìn)一步提煉，這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)也就是： 1.得到初始條件2.得出微分方程（組）因?yàn)槊恳粫r(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況決定下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況，因此知道了起飛時(shí)的初始運(yùn)動(dòng)情況，后來(lái)的運(yùn)動(dòng)就完全確定了。但很顯然，以這樣一生二，二生三的方式計(jì)算，需要無(wú)窮的步驟，怎樣化無(wú)窮為有窮呢？微積分就是專門(mén)解決這類問(wèn)題的工具。至此，這一物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)已經(jīng)很清晰了，即“求滿足初始條件的微分方程的特解”（或者說(shuō)，求出通解后代入初始條件得出特解）。2.理論計(jì)算2.1建立物理模型想要用理論精確預(yù)測(cè)整個(gè)物理過(guò)程，就要先知道這個(gè)過(guò)程涉及到的一切參量。因此第一步的工作就是建立完整的物理模型。2.1.1杯子 圖1.2.2.1-1 一個(gè)

6、典型的杯子圖1.2.2.1-1是一個(gè)典型的杯子，它是一個(gè)很對(duì)稱的幾何體（圓臺(tái)），上下兩個(gè)面都是正圓（它的杯沿有小小的突出來(lái)的一圈，我們?cè)诮⒛Ｐ蜁r(shí)可以忽略這一點(diǎn)）。在杯子身上我們可以找到的參量如下：1.質(zhì)量2.幾何參數(shù)（包括：杯口半徑，杯底半徑，高度）當(dāng)然，杯子的材質(zhì)種類繁多，但在本題的條件下，根據(jù)流體力學(xué)的一大基本假設(shè)無(wú)滑移邊界條件（和物體表面接觸的一層流體分子，與物體之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)），材質(zhì)表面性質(zhì)的不同造成的空氣動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的差異完全可以忽略不計(jì)。因此在參量中不考慮杯子的材質(zhì)。2.1.2初始運(yùn)動(dòng)情況圖1.2.2.2-1 “后旋球”示意圖圖1.2.2.2-2“前旋”形成的馬格努斯力的方向向下

7、我們假設(shè)馬格努斯滑翔機(jī)在飛行的全過(guò)程中，飛行姿態(tài)都是水平的。馬格努斯滑翔機(jī)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，很明顯是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。在轉(zhuǎn)動(dòng)方面，本文僅討論“后旋”的情況（圖1.2.2.2-1）。因?yàn)轳R格努斯力具有方向性（這一點(diǎn)稍后解釋），而只有在后旋的情況下，向前飛行產(chǎn)生的馬格努斯力方向才是向上的，才能作為升力。否則，受到的馬格努斯力向下（圖1.2.2.2-2）。在初始運(yùn)動(dòng)情況方面的參量有：1.初始速度（矢量，包含大小和方向） 2.初始角速度（本文中默認(rèn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)椤昂笮保?.1.3運(yùn)動(dòng)環(huán)境同一個(gè)滑翔機(jī)在地球上和在月球上的表現(xiàn)迥然不同，因此規(guī)定一些有關(guān)運(yùn)動(dòng)環(huán)境的參量也是有必要的。本文設(shè)定的環(huán)境為美麗的地球表

8、面（圖1.2.2.3-1），相關(guān)參量有：1.重力加速度（g=9.8m/s2，方向豎直向下）2.空氣密度（=1.2kg/m3）圖1.2.2.3-1 美麗的地球2.2空氣阻力的計(jì)算空氣阻力是流體力學(xué)的重要研究課題，但由于人們對(duì)流體現(xiàn)象本質(zhì)的不了解，至今都沒(méi)有空氣阻力的理論計(jì)算公式，而只有實(shí)驗(yàn)公式。在一般的速率區(qū)間內(nèi)，流體阻力近似滿足下式3：在上式中：Cd 是阻力系數(shù)（與速度、物體形狀等有關(guān)，需要實(shí)驗(yàn)測(cè)定） 是流體密度 A 是迎風(fēng)面積v 是速率 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)速率與流體阻力的關(guān)系是非線性的。物體在空氣中運(yùn)動(dòng)受到的阻力，與物體運(yùn)動(dòng)速度的大小有密切關(guān)系：物體的速度很低時(shí)，阻力與物體速度大小的一次方成正比。物體

9、的速度低于200m/s時(shí)，可認(rèn)為阻力與物體速度大小的平方成正比；速度達(dá)到400600m/s時(shí)，空氣阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情況下，阻力與速度大小的高次方成正比。42.3馬格努斯力的計(jì)算馬格努斯效應(yīng)被發(fā)現(xiàn)后，前人已經(jīng)對(duì)定量計(jì)算馬格努斯力進(jìn)行過(guò)許多嘗試，主要途徑有兩個(gè)。2.3.1通過(guò)無(wú)滑移邊界條件和伯努利原理推導(dǎo)：簡(jiǎn)單介紹一下這種方法5。根據(jù)無(wú)滑移邊界條件，可以得知物體表面某處的氣體的運(yùn)動(dòng)速度，就等于物體表面那一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度（圖2.3.1-1）。將這一速度和吹來(lái)的氣流速度相加，再根據(jù)伯努利方程計(jì)算出壓強(qiáng)，進(jìn)而計(jì)算出壓力大小，通過(guò)積分便能知道整個(gè)物體所受的馬格努斯力的大小。圖2.3

10、.1-1圓柱體的橫截面（圖中氣流速度為-v）通過(guò)這種方法可以證明馬格努斯力的方向垂直于氣流方向。得出的靜止旋轉(zhuǎn)圓柱體在“氣流的方向與圓柱體的軸垂直的氣流”中受到的馬格努斯力的大小為：在上式中：r 是圓柱體的半徑 是空氣密度 是圓柱體旋轉(zhuǎn)的角速度大小v 是氣流的速率（或者是靜止空氣中圓柱體平動(dòng)的速率，二者等價(jià)）L 是圓柱體的高然而在試驗(yàn)中我們測(cè)得的馬格努斯力的大小與這一結(jié)果嚴(yán)重不符。究其原因，很可能是因?yàn)檫@一方法僅考慮了和物體直接接觸的一層氣體，而事實(shí)上物體會(huì)帶動(dòng)外部很厚的一層氣體一起旋轉(zhuǎn)，而這被遺漏的部分也會(huì)貢獻(xiàn)一部分馬格努斯力。2.3.2通過(guò)庫(kù)塔-儒科夫斯基升力定理與位勢(shì)流理論推導(dǎo)67：由于

11、篇幅有限，無(wú)法對(duì)庫(kù)塔-儒科夫斯基升力定理和位勢(shì)流理論下的推導(dǎo)進(jìn)行詳細(xì)解釋。采用這種方法也可以證明馬格努斯力的方向垂直于氣流方向。但是推得的馬格努斯力大小的表達(dá)式為：這是上一種方法結(jié)果的兩倍！根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們認(rèn)為這個(gè)表達(dá)式才是正確的。2.4飛行軌跡解析式的推導(dǎo)2.4.1設(shè)定初始條件如圖，將滑翔機(jī)視為質(zhì)點(diǎn)，以初始位置為原點(diǎn)，以水平向前為x軸正方向，以豎直向上作為y軸正方向，初始速度vo的方向x軸正方向形成的仰角為（向下的俯角記為負(fù)角）。由此可以設(shè)定初始條件，即t=0時(shí)：x=0y=0vx=v0cosvy=v0sin2.4.2建立微分方程組 如圖，只要有速度，滑翔機(jī)就必然受到重力、空氣阻力、馬格努斯

12、力。三種力的表達(dá)式如下：因?yàn)楸磉_(dá)式中很多參量在運(yùn)動(dòng)中都可視為常數(shù)，所以為了書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)便我們將其提取出來(lái)設(shè)為參數(shù)：如圖，為了規(guī)定馬格努斯力的方向，我們?cè)偌右粋€(gè)z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且規(guī)定x,y,z方向上的單位向量分別為i,j,k，這樣一來(lái)就可以用z方向上的單位向量叉乘速度矢量確定馬格努斯力了。受力分析可得：由此可得微分方程方程組：然而咨詢老師和查閱數(shù)學(xué)手冊(cè)后我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程是二階非線性常微分方程，目前解不出通解。主要原因是因?yàn)槠渲邪钠椒胶透?hào)。難道一切就要在這里止步了嗎？并不！這時(shí)我們靈機(jī)一動(dòng)，若空氣阻力和速率的一次方成正比，不就沒(méi)有平方和根號(hào)了嗎？在這種假設(shè)下求得的微分方程組為： 而且我們

13、發(fā)現(xiàn)這種形式的微分方程早有通解8，文獻(xiàn)中忽略了空氣阻力，也沒(méi)有初速度，但微分方程的基本形式是相同的。仿照文獻(xiàn)中的方法就可以求出運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。 求解結(jié)果如下：上式中的唯一參數(shù)是時(shí)間t，是初始角速度的大小。上式中的A1,A2,B1,B2,C,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都是常量。D,E,F都是時(shí)間t的函數(shù)。具體關(guān)系如下： 3.實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析3.1實(shí)驗(yàn)材料1.原料： 杯子（不同大小、形狀、質(zhì)量）若干對(duì) 白紙2.手工制作工具： 剪刀、膠帶、膠水、刻度尺、筆3.數(shù)據(jù)采集與分析工具：高速攝影機(jī)(iPhone6)、Tracker（視頻分析軟件）Excel、Mathematica、Origin（數(shù)據(jù)處理與畫(huà)圖軟件）圖3

14、.1-1我們制作的6種機(jī)型3.2實(shí)驗(yàn)步驟1.拍攝實(shí)驗(yàn)視頻（圖3.2-1）。2.獲得視頻每一幀中標(biāo)記的坐標(biāo)(圖3.2-2)。3.計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)、質(zhì)心速率、旋轉(zhuǎn)角速度等。圖3.2-1實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地照片圖3.2-2在Tracker中標(biāo)記坐標(biāo)3.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果為了確保馬格努斯滑翔機(jī)平穩(wěn)飛行（無(wú)傾斜、無(wú)機(jī)翼晃動(dòng)、飛行路徑不偏離設(shè)定的平面），我們進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)。以下是其中的典型圖像。3.3.1軌跡圖3.3.1-1三大飛行軌跡3.3.2 vt 圖像：質(zhì)心速率隨時(shí)間如何變化這是典型的vt圖像，可以明顯看到質(zhì)心速率的最低時(shí)刻總是在飛行高度最大時(shí)刻附近。3.3.3 t 圖像：角速度隨時(shí)間如何變化圖3.3.3-1實(shí)驗(yàn)t圖像 圖

15、中擬合出的直線斜率的物理意義是角加速度?？梢?jiàn)在飛行初期，馬格努斯滑翔機(jī)旋轉(zhuǎn)的角速度只和飛行時(shí)間有關(guān)，呈現(xiàn)出以恒定角加速度衰減的規(guī)律。4.誤差分析4.1不理想的飛行狀態(tài) 首先是z方向上的偏移。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)滑翔機(jī)是在一個(gè)豎直平面xOy內(nèi)運(yùn)動(dòng)的，但由于是手動(dòng)發(fā)射，難免產(chǎn)生z方向上的偏移。這對(duì)角速度測(cè)量值應(yīng)無(wú)較大影響，但由于物體距離拍攝點(diǎn)更近，質(zhì)心速率測(cè)量值會(huì)偏大。 第二，滑翔機(jī)有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)不水平的飛行姿態(tài)（圖4.1-1），由于視角的差異，角速度測(cè)量值會(huì)出現(xiàn)微弱的周期性波動(dòng)（圖4.1-2）。 第三，轉(zhuǎn)軸不穩(wěn)定。有時(shí)發(fā)射得不好，會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)動(dòng)。這對(duì)角速度測(cè)量值影響有限，但會(huì)使質(zhì)心速率測(cè)

16、量值在飛行初期出現(xiàn)劇烈波動(dòng)（圖4.1-2）。圖4.1-1左為理想飛行姿態(tài)，右為不水平的飛行姿態(tài)圖4.1-2同一次飛行的vt和t圖像4.2不理想的拍攝條件由于分辨率的限制，要有足夠的清晰度用于視頻中的坐標(biāo)分析（圖3.2-2），拍攝距離就不能太遠(yuǎn)。然而太近也會(huì)出問(wèn)題，比如有的滑翔機(jī)飛行軌跡很平（圖3.3.1-1），很快就飛出視野，可獲得的vt數(shù)據(jù)就較少。4.3視角差異從面前經(jīng)過(guò)的物體看起來(lái)更快，這就是視角差異的影響。但在本例中，理論分析可知視角差異造成的測(cè)量相對(duì)誤差小于5%，可以忽略。5.理論修正 之前提到，空氣阻力正比于速率的二次方的情況，我們沒(méi)有求出軌跡的解析解，但是利用分割時(shí)間的方法，利用計(jì)

17、算機(jī)也可以求出某特定參數(shù)下的軌跡。這樣就可以對(duì)比空氣阻力正比于速率的一次方和空氣阻力正比于速率的二次方兩種情況下的理論預(yù)測(cè)情況。 可見(jiàn)不論是哪一種假設(shè)，預(yù)測(cè)結(jié)果都不是完美的。另外我們之前假定飛行的角速度不會(huì)衰減，從實(shí)驗(yàn)中可看出這一假設(shè)是錯(cuò)誤的（圖3.3.3-1）。于是在修正理論的過(guò)程中重新考慮了這兩個(gè)因素（角速度的線性衰減規(guī)律，空氣阻力和速率的關(guān)系），解決方案是：1.對(duì)每一特定機(jī)型角速度的衰減速度（即角加速度）先進(jìn)行測(cè)定，視為該機(jī)型的重要參數(shù)（常數(shù)），并用于理論預(yù)測(cè)中。2.通過(guò)嘗試與擬合測(cè)出對(duì)每特定一機(jī)型適用的“空氣阻力速率閾值”，其實(shí)就是一特定速率值，高于此值時(shí)采用二次方方法計(jì)算空氣阻力，低

18、于此值時(shí)采用一次方方法計(jì)算空氣阻力。 修正后理論的預(yù)測(cè)精度得到了提升。雖然我們的修正理論在預(yù)測(cè)馬格努斯滑翔機(jī)的運(yùn)動(dòng)上有一定的準(zhǔn)確性，但過(guò)分簡(jiǎn)單地 將 與兩種情況用一速度值分割開(kāi)還是略顯粗糙。并且一些重要的參數(shù)都不能直接從理論推出，而要根據(jù)若干次實(shí)驗(yàn)估值得到。 根據(jù)流體力學(xué)中的雷諾數(shù)、粘滯系數(shù)等知識(shí)是有可能解決這些問(wèn)題的，未來(lái)若能解決了上述幾大問(wèn)題，相信這一模型將會(huì)更加精確，更加普適。6.對(duì)第16、17題的研究在這兩道題目上我們也進(jìn)行了理論分析的嘗試，但由于涉及到較復(fù)雜的液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)和波動(dòng)光學(xué)，最終未能成功。只能做出淺顯的定性解釋6.1濕而暗IYPT2015第16題：潮濕且黑暗(Wet and

19、 dark)衣服受潮時(shí)會(huì)看起來(lái)更暗或者改變顏色。研究這一現(xiàn)象。這是個(gè)很普遍的生活中的物理現(xiàn)象，也早有許多人進(jìn)行過(guò)討論。但主流的聲音都認(rèn)為變暗是由于吸收的光更多9?？墒悄孓D(zhuǎn)思維，這也可以是因?yàn)榭椢镒兊酶该髁耍▓D6.1-1）！圖6.1-1濕的衣物更透明有一個(gè)更明顯的例子。如果打濕窗簾，從明亮的室外和從昏暗的室內(nèi)觀察，現(xiàn)象完全相反（圖6.1-2）。從室外看，濕的部分確實(shí)更暗。但從室內(nèi)看，反倒是更亮。由此可以得出結(jié)論，織物在濕時(shí)更透明。而我們常常只認(rèn)為濕的衣物更暗，是因?yàn)閺奈从腥讼氲娇梢詮囊路?nèi)部觀察！圖6.1-2同一處濕的部分，從室內(nèi)、外看起來(lái)效果不同綜上所述，“衣物受潮時(shí)看起來(lái)更暗”很大程度上是

20、因?yàn)橐路该髁耍愿嗟墓狻奥绷诉M(jìn)去，但為什么會(huì)這樣我們也不懂。至于吸收的光是不是變多了我們不清楚，目前的文獻(xiàn)也都不能給出確定的回答。6.2咖啡杯IYPT2015第17題：咖啡杯（Coffee cup）物理學(xué)家們喜歡喝咖啡，但端著一杯咖啡在實(shí)驗(yàn)室間行走會(huì)很麻煩。研究杯子的形狀、步行速度和其他參量如何影響走路時(shí)咖啡濺出的可能性。換句話說(shuō)，為什么咖啡會(huì)灑出來(lái)呢？這聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)像廢話，但液體晃動(dòng)的機(jī)制其實(shí)非常復(fù)雜。實(shí)驗(yàn)方面，我們仿照2012年搞笑諾貝爾獎(jiǎng)獲得者的方法10，得到了很相似的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（杯子的vt圖像，at圖像等）。圖6.2-1相似的實(shí)驗(yàn)方法至少我們較成功地驗(yàn)證了前人的實(shí)驗(yàn)。而且從附錄的

21、實(shí)驗(yàn)圖像中也可以很清楚的看出速度、加速度、傾斜角度和步伐的密切關(guān)系?？梢?jiàn)杯子在橫向上的加速度是來(lái)回變化的，采用相對(duì)性原理可知，如果以杯子自身作為參考系，則杯子內(nèi)的液體收到來(lái)回的慣性力做功。如果慣性力來(lái)回的頻率適當(dāng)，慣性力做正功，杯子內(nèi)液體的機(jī)械能就會(huì)越來(lái)越大，直到液體溢出。參考文獻(xiàn)1百度百科編者.馬格努斯效應(yīng)G/OL .百度百科，2015-05-062百度百科編者.滑翔機(jī)G/OL.百度百科，2015-05-273百度百科編者.滑翔機(jī)G/OL.百度百科，2015-05-064張懷華.空氣阻力與速度關(guān)系EB.新浪博客，2013-10-125潘慧炬.馬格努斯效應(yīng)的力學(xué)模型J.浙江體育科學(xué)，1995,

22、17（3）:16-196盧俊，錢(qián)作勤，嚴(yán)新平.轉(zhuǎn)筒帆空氣動(dòng)力性能的數(shù)值研究J.航海工程，2010,39（6）：135-1377馬格努斯涵道飛行器動(dòng)力學(xué)分析及控制仿真8于鳳軍.馬格努斯效應(yīng)與空竹的下落運(yùn)動(dòng)J.大學(xué)物理，2012,31（9）:19-219John Lekner & Michael C.Dorf. Why some things are darker when wet.Applied Optics,1988,27(7):1278-128010 H. C. Mayer and R. Krechetnikov.Walking with coffee: Why does it sp

23、ill?J. Physical Review E,2012,85(046117):1-2附錄：本文使用的Mathematica程序：1.空氣阻力和速率的一次方成正比時(shí)，計(jì)算速度-時(shí)間圖像和軌跡圖像。m = 0.012;(*質(zhì)量*)L = 0.175;(*兩個(gè)杯子的總高度*)Rmin = 0.02568;(*杯底半徑*)Rmax = 0.035;(*杯口半徑*)l = L/2;(*一個(gè)杯子的高度*)r = (Rmin + Rmax)/2;(*平均半徑*)A = 2*L*r ; (*投影面積*)rho = 1.2;(*空氣密度*) g = 9.8;(*重力加速度*) omega0 = 50*2*P

24、i; (*初始角速度*)omega = omega0;(*后來(lái)的角速度*)v0x = 10.2694;(*初速度x方向*)v0y = 3.942*0.6;(*初速度y方向*)gap = 1/1000;n = 2/gap;i = 1;vx = v0x;vy = v0y;x = 0;y = 0;data = Table0, 0, n;v = Table0, 0, n;Ax = 2*(Rmax2)*L/6 + (Rmin2)/6 + Rmin*Rmax*L/6);Cl = 0.1Cd = 2.2While i <= n, vx -= gap*Ax*(Cl*rho*vy*Pi*omega/m);

25、 vy += gap*Ax*(Cl*rho*vx*Pi*omega/m); vx -= (Absvx/vx)*gap*0.5*Cd*rho*(vx)*A/m; vy -= (Absvy/vy)*gap*0.5*Cd*rho*(vy)*A/m; vy -= gap*g; x += gap*vx; y += gap*vy; datai = Nx, Ny; vi = i*gap, Sqrtvx2 + vy2; i+; ListPlotv, PlotRange -> 0, 10ListPlotdata, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> -1, 32. 分段計(jì)算空氣阻力時(shí)，計(jì)算速度-時(shí)間圖像和軌跡圖像。m = 0.012;(*質(zhì)量*)L = 0.175;(*兩個(gè)杯子的總高度*)Rmin = 0.02568;(*杯底半徑*)Rmax = 0.035;(*杯口半徑*)l = L/2;(*一個(gè)杯子的高度*)r = (Rmin + Rmax)/2;(*平均半徑*)A = 2*L*r ; (*投影面積*)rho = 1.2;(*空氣密度*) g = 9.8;(*重力加速度*) omega0