環(huán)境水利學(xué)第4章剪切流動(dòng)的分散(6)

1、第四章第四章 剪切流動(dòng)的分散剪切流動(dòng)的分散 在第三章中，當(dāng)求隨流擴(kuò)散方程和隨流紊動(dòng)擴(kuò)散方程的解在第三章中，當(dāng)求隨流擴(kuò)散方程和隨流紊動(dòng)擴(kuò)散方程的解析解時(shí)，為了能容易得解答，都假定析解時(shí)，為了能容易得解答，都假定時(shí)均流速是均勻分布時(shí)均流速是均勻分布的。的。 然而，在實(shí)際的水流中，由于固體邊界的滯水作用，導(dǎo)致然而，在實(shí)際的水流中，由于固體邊界的滯水作用，導(dǎo)致時(shí)均流速不均勻，從而有流速梯度的剪切力。時(shí)均流速不均勻，從而有流速梯度的剪切力。 v 剪切流動(dòng)：具有流速梯度的流動(dòng)。剪切流動(dòng)：具有流速梯度的流動(dòng)。v 分散：由于剪切流動(dòng)中時(shí)均流速分布不均勻而導(dǎo)致的分散：由于剪切流動(dòng)中時(shí)均流速分布不均勻而導(dǎo)致的隨流

2、擴(kuò)散，也稱為離散或彌散（隨流擴(kuò)散，也稱為離散或彌散（DispersionDispersion）。）。 v 由于分散只是一種特殊情況的隨流擴(kuò)散，所以在原則上由于分散只是一種特殊情況的隨流擴(kuò)散，所以在原則上可以通過隨流擴(kuò)散方程或隨流紊動(dòng)擴(kuò)散方程求解。前人可以通過隨流擴(kuò)散方程或隨流紊動(dòng)擴(kuò)散方程求解。前人在這方面已做過許多研究，但只有一些簡單的情況才能在這方面已做過許多研究，但只有一些簡單的情況才能得到解析解。得到解析解。v 人們?yōu)榱撕喕瘑栴}，常將三維剪切流動(dòng)簡化為一維流動(dòng)人們?yōu)榱撕喕瘑栴}，常將三維剪切流動(dòng)簡化為一維流動(dòng)或二維流動(dòng)，分別使用假想的斷面平均值和垂線平均值或二維流動(dòng)，分別使用假想的斷面平均

3、值和垂線平均值來表達(dá)一維和二維狀況，對其中由于時(shí)均流速不均勻所來表達(dá)一維和二維狀況，對其中由于時(shí)均流速不均勻所產(chǎn)生的分散則采用經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行處，從而建立以斷面平產(chǎn)生的分散則采用經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行處，從而建立以斷面平均值表達(dá)的一維擴(kuò)散方程或以垂直平均值表達(dá)的二維擴(kuò)均值表達(dá)的一維擴(kuò)散方程或以垂直平均值表達(dá)的二維擴(kuò)散方程，達(dá)到易于求解析解和數(shù)值解的目的。散方程，達(dá)到易于求解析解和數(shù)值解的目的。 v 在絕大多數(shù)剪切紊流中，流場中任意點(diǎn)的時(shí)均流速比脈動(dòng)在絕大多數(shù)剪切紊流中，流場中任意點(diǎn)的時(shí)均流速比脈動(dòng)流速絕對值至少大一個(gè)數(shù)量級。因此，剪切分散遠(yuǎn)大于紊流速絕對值至少大一個(gè)數(shù)量級。因此，剪切分散遠(yuǎn)大于紊流擴(kuò)散。流擴(kuò)

4、散。第一節(jié)第一節(jié) 一維縱向剪切流的分散一維縱向剪切流的分散 圖圖4-1 4-1 一維縱向分散一維縱向分散 應(yīng)用應(yīng)用物質(zhì)守恒定律物質(zhì)守恒定律來建立一維縱向分散方程。來建立一維縱向分散方程。 在圖在圖4-1所示的一維流動(dòng)中取一微分流段所示的一維流動(dòng)中取一微分流段 dx 進(jìn)行分析，進(jìn)行分析，設(shè)過水?dāng)嗝娴拿娣e為設(shè)過水?dāng)嗝娴拿娣e為A， u 和和 c分布為斷面上任一點(diǎn)的瞬時(shí)分布為斷面上任一點(diǎn)的瞬時(shí)流速和瞬時(shí)濃度。流速和瞬時(shí)濃度。在在dt 時(shí)段內(nèi)流入與流出該微分流段的污染物質(zhì)質(zhì)量之差為：時(shí)段內(nèi)流入與流出該微分流段的污染物質(zhì)質(zhì)量之差為： 圖圖4-1 4-1 一維縱向分散一維縱向分散dAdxdtucxdtdAd

5、xucxdAucdAdtucAAAA )( 在單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝嬖趩挝粫r(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝鎥的單位面積的污染物質(zhì)質(zhì)的單位面積的污染物質(zhì)質(zhì)量的時(shí)均值為：量的時(shí)均值為：uc 在單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝妫ㄔ趩挝粫r(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝妫▁ +dx）的單位面積的污）的單位面積的污染物質(zhì)質(zhì)量的時(shí)均值為：染物質(zhì)質(zhì)量的時(shí)均值為：dxucxuc)( 如果所考慮的污染物質(zhì)是示蹤物質(zhì)，在如果所考慮的污染物質(zhì)是示蹤物質(zhì)，在dt時(shí)段內(nèi)上述的質(zhì)時(shí)段內(nèi)上述的質(zhì)量差值應(yīng)與微分流段內(nèi)示蹤物質(zhì)的增量相等，即：量差值應(yīng)與微分流段內(nèi)示蹤物質(zhì)的增量相等，即：式中：式中：C Ca a為斷面平均濃度。為斷面平均濃度。dtAdxCtdAdxdt

6、ucxaA)( dAucxtACAa )( 4-1-1 )圖圖4-1 4-1 一維縱向分散一維縱向分散上式可簡化為：上式可簡化為：uuVuuub ccCcccba 對于對于紊流紊流： 任一點(diǎn)的瞬時(shí)流速任一點(diǎn)的瞬時(shí)流速 u 可表達(dá)為：可表達(dá)為：式中式中: V為斷面平均流速，為斷面平均流速， 為脈動(dòng)流速；為脈動(dòng)流速； ub為某點(diǎn)時(shí)均流速與斷面平均流速的差值（簡稱為某點(diǎn)時(shí)均流速與斷面平均流速的差值（簡稱偏離流偏離流速速），即），即 ； Ca為斷面平均濃度，為斷面平均濃度， 為脈動(dòng)濃度；為脈動(dòng)濃度； cb為某點(diǎn)時(shí)均濃度與斷面平均濃度的差值（簡稱為某點(diǎn)時(shí)均濃度與斷面平均濃度的差值（簡稱偏離濃偏離濃度度）

7、，即），即 。c uVuub abCcc ( 4-1-2 )( 4-1-3 )b圖圖4-2 4-2 紊流流速分布紊流流速分布 瞬時(shí)濃度瞬時(shí)濃度c 可表達(dá)為：可表達(dá)為：cucCuVccCuuVucbabbab )()(uc便有便有u = c =ub=cb=0 ，以及：，以及： ( 4-1-4 )( 4-1-5 )(1cucuVCcucCuVdAucAbbababA AdA)(A1dAucxtACAa )(代入代入uuVuuub ccCcccba 再將再將 對斷面對斷面A平均，并以符號平均，并以符號表示取斷面平均值，即：表示取斷面平均值，即：uc )()(cucuAAVCxtACbbaa )()(

8、cucuAxxCAVxAVCtACtCAbbaaaa 得：得：將上式展開有：將上式展開有：( 4-1-6 )xAVtA )(根據(jù)一維非恒定流連續(xù)方程：根據(jù)一維非恒定流連續(xù)方程：( 4-1-7 )(1cucuAxAxCVtCbbaa 0)(1cucuAxAxCVtCbbaa ( 4-1-8 )為了使方程中只包含一個(gè)未知函數(shù)為了使方程中只包含一個(gè)未知函數(shù)Ca，需要對這兩項(xiàng)采用經(jīng)，需要對這兩項(xiàng)采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ竭M(jìn)行處理。驗(yàn)?zāi)Ｊ竭M(jìn)行處理。由于時(shí)均流速和時(shí)均由于時(shí)均流速和時(shí)均濃度在斷面上分布不濃度在斷面上分布不均勻而導(dǎo)致的分散均勻而導(dǎo)致的分散由于紊流的脈動(dòng)由于紊流的脈動(dòng)而導(dǎo)致的擴(kuò)散而導(dǎo)致的擴(kuò)散xCKcualb

9、b 參照紊動(dòng)擴(kuò)散的模式，可令：參照紊動(dòng)擴(kuò)散的模式，可令： 式中：式中：Ex為縱向?yàn)榭v向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)。式中：式中： Kl 為縱向?yàn)榭v向剪切分散系數(shù)剪切分散系數(shù)。xCEcuax ( 4-1-9 )( 4-1-10 )參照上式，也可令：參照上式，也可令：)(1cucuAxAxCVtCbbaa 將將Ex和和Kl 合并為一個(gè)系數(shù)合并為一個(gè)系數(shù)K ，因?yàn)?，因?yàn)镋x值遠(yuǎn)小于值遠(yuǎn)小于Kl，便有：，便有：式中：式中：K稱為綜合擴(kuò)散系數(shù)，但更多的仍然稱為縱向分散系數(shù)。稱為綜合擴(kuò)散系數(shù)，但更多的仍然稱為縱向分散系數(shù)。llxKKEK xCKEAxAxCVtCalxaa1將式將式(4-1-9)(4-1-9)

10、和式和式(4-1-10)(4-1-10)代入式代入式(4-1-8)(4-1-8)，得：，得：( 4-1-11 )一維縱向分散方程一維縱向分散方程l除沒有脈動(dòng)值之外，其他分析方法均與上述相同；除沒有脈動(dòng)值之外，其他分析方法均與上述相同；lEx 應(yīng)改換為分子擴(kuò)散系數(shù)應(yīng)改換為分子擴(kuò)散系數(shù)D D，有：，有：K=D+KlKl；l式式(4-1-12)(4-1-12)和式和式(4-1-13)(4-1-13)仍然適用。仍然適用。)(1xCAKxAxCVtCaaa 22xCKxCVtCaaa 當(dāng)過水?dāng)嗝鏋楫?dāng)過水?dāng)嗝鏋槌?shù)（均勻流），常數(shù)（均勻流），上式簡化為：上式簡化為：式式(4-1-11)(4-1-11)可寫

11、為：可寫為：( 4-1-12 )( 4-1-13)一維縱向分散方程的常用形式一維縱向分散方程的常用形式對于層流：對于層流：一維縱向分散方程一維縱向分散方程與一維隨流擴(kuò)散方程在數(shù)學(xué)形式上是相與一維隨流擴(kuò)散方程在數(shù)學(xué)形式上是相同的，所以一維隨流擴(kuò)散方程的解析解可用于一維縱向分同的，所以一維隨流擴(kuò)散方程的解析解可用于一維縱向分散方程，散方程，關(guān)鍵是如何確定縱向分散系數(shù)關(guān)鍵是如何確定縱向分散系數(shù)K K值值 。一維縱向分散方程一維縱向分散方程22xCKxCVtCaaa 一維隨流擴(kuò)散方程一維隨流擴(kuò)散方程22xcDxcutc AbbadAcuxCAK/1由于縱向分散作用，在單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娣e由于縱向分

12、散作用，在單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娣e A 的示蹤的示蹤物質(zhì)質(zhì)量可表示為：物質(zhì)質(zhì)量可表示為：聯(lián)立上兩式，得聯(lián)立上兩式，得K值的基本計(jì)算式：值的基本計(jì)算式：以下將進(jìn)一步研究上式中的以下將進(jìn)一步研究上式中的cb分別在圓管均勻流、二度明渠均分別在圓管均勻流、二度明渠均勻流和天然河流中的計(jì)算式，從而得到各自的勻流和天然河流中的計(jì)算式，從而得到各自的 K 值計(jì)算式。值計(jì)算式。 AbbdAcuMxCAKMa ( 4-1-14)( 4-1-15)( 4-1-16)也可采用也可采用費(fèi)克定律費(fèi)克定律的形式，將的形式，將 表示為表示為M第二節(jié)第二節(jié) 圓管均勻流的縱向分散圓管均勻流的縱向分散 圖圖4-3 圓坐標(biāo)示意圖圓

13、坐標(biāo)示意圖設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間的一點(diǎn)，該點(diǎn)為空間的一點(diǎn)，該點(diǎn)在在XOY面上的投影為面上的投影為P，P點(diǎn)的點(diǎn)的極坐標(biāo)為極坐標(biāo)為(r,)，則，則r、z三個(gè)三個(gè)數(shù)稱作數(shù)稱作M點(diǎn)的柱面坐標(biāo)。點(diǎn)的柱面坐標(biāo)。點(diǎn)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式為：有關(guān)系式為：zzryrx sincos1)(122222xccrrcrrrDxccrrctcxr 用圓柱坐標(biāo)表示的隨流擴(kuò)散方程用圓柱坐標(biāo)表示的隨流擴(kuò)散方程: :圖圖4-4 圓坐標(biāo)示意圖圓坐標(biāo)示意圖oxr(r, x)(rcrrrDxcutc ( 4-2-1 )以以Vrurub )()(和和abCrcrc )()(代入上式，有：代

14、入上式，有：)()()()(rcrrrDCcxVuCctbabbab 1)(122222xccrrcrrrDxccrrctcxr 用圓柱坐標(biāo)表示的隨流擴(kuò)散方程用圓柱坐標(biāo)表示的隨流擴(kuò)散方程: :對本問題有對本問題有 ；因?yàn)榭v向分子擴(kuò)散項(xiàng)；因?yàn)榭v向分子擴(kuò)散項(xiàng) 比縱向隨流項(xiàng)比縱向隨流項(xiàng) 小得多，故可忽略縱向分子擴(kuò)散項(xiàng)，于是小得多，故可忽略縱向分子擴(kuò)散項(xiàng)，于是原方程簡化為原方程簡化為: :0 r0/ c；22/ xcD xcx /0 cuCbba )(rcrrrDCucuCcbabbbab 取坐標(biāo)變換：取坐標(biāo)變換：tVtx ,，亦即：，亦即：對上式取斷面平均，對上式取斷面平均，cb= ub= 0，有：

15、，有： Vt x( 4-2-2 )( 4-2-3 )()()()(rcrrrDCcxVuCctbabbab )(rcrrrDCucbabb 將將 代回式代回式: :( 4-2-4 ) 第第2項(xiàng)與第項(xiàng)與第3項(xiàng)之差比第項(xiàng)之差比第4項(xiàng)小很多，項(xiàng)小很多， 忽略第忽略第2、3項(xiàng)項(xiàng))(rcrrrDCucucucbabbbbbb 0 cuCbba )(rcrrrDCucuCcbabbbab 有：有：)(rcrrrDCubab )(rcrrrDCucbabb ( 4-2-4 ) 當(dāng)擴(kuò)散（即使是瞬時(shí)源）經(jīng)歷足夠長的時(shí)間之后，當(dāng)擴(kuò)散（即使是瞬時(shí)源）經(jīng)歷足夠長的時(shí)間之后， 從動(dòng)坐標(biāo)從動(dòng)坐標(biāo) 看，看，cb隨時(shí)間隨時(shí)間

16、 的變化很慢，可以近似認(rèn)為的變化很慢，可以近似認(rèn)為 與上式其與上式其他兩項(xiàng)相比，是可以忽略的，于是上式簡化為：他兩項(xiàng)相比，是可以忽略的，于是上式簡化為： /bc( 4-2-5 )上式的物理意義，圓管層流的擴(kuò)散有兩個(gè)因素在起作用上式的物理意義，圓管層流的擴(kuò)散有兩個(gè)因素在起作用: : 在擴(kuò)散初期，縱向分散的作用比徑向分子擴(kuò)散的作用大得在擴(kuò)散初期，縱向分散的作用比徑向分子擴(kuò)散的作用大得多；繼后隨著縱向濃度梯度的減少而使縱向分散的作用漸漸多；繼后隨著縱向濃度梯度的減少而使縱向分散的作用漸漸減弱，但因?yàn)榭v向分散維持著徑向的濃度梯度，從而使徑向減弱，但因?yàn)榭v向分散維持著徑向的濃度梯度，從而使徑向的分子擴(kuò)散

17、作用能夠始終保持。這樣當(dāng)擴(kuò)散經(jīng)歷足夠長的時(shí)的分子擴(kuò)散作用能夠始終保持。這樣當(dāng)擴(kuò)散經(jīng)歷足夠長的時(shí)間之后，間之后， 的值近似為零，這兩種作用近似于平衡。的值近似為零，這兩種作用近似于平衡。 /bcl斷面上縱向流速分布的不均勻而使示蹤物質(zhì)有斷面上縱向流速分布的不均勻而使示蹤物質(zhì)有縱向分散縱向分散；l徑向濃度梯度的存在而導(dǎo)致示蹤物質(zhì)徑向的徑向濃度梯度的存在而導(dǎo)致示蹤物質(zhì)徑向的分子擴(kuò)散分子擴(kuò)散。)(rcrrrDCubab rbabdrruxCDrrc01( 4-2-6 ) 對式對式 進(jìn)行第一次積分，進(jìn)行第一次積分，將將 寫成寫成 得：得： /x /)(rcrrrDCubab rcrrcrrdrruxCD

18、bbrrba )(100 rbabdrruxCDrrc01( 4-2-6 ) 00brbbcrcrc 0)1(100brrbacdrdrrurxCD 上式滿足邊界條件：當(dāng)上式滿足邊界條件：當(dāng)r r= =a （a為圓管半徑）為圓管半徑）, , c cb b/ /r r=0=0。 再將上式積分，得：再將上式積分，得：( 4-2-7 )式中：式中：c cb b(0)(0)值可由值可由c cb b( (r r) )的平均值為零的條件求得。的平均值為零的條件求得。 abbardrcuxCaK02/22)1(210222maAmurdrarauudAAV ( 4-2-8 )例例4-2 4-2 已知圓管層流

19、的流速分布為：已知圓管層流的流速分布為：)1()(22arurum ( 4-2-9 )式中：式中： um是斷面中點(diǎn)的流速（即最大流速），求是斷面中點(diǎn)的流速（即最大流速），求 K 值。值。解：斷面平均流速：解：斷面平均流速：根據(jù)式根據(jù)式 , ,對圓管水流有分散系數(shù)：對圓管水流有分散系數(shù)： AbbadAcuxCAK/1偏離流速：偏離流速： )21(22aruVuumb ( 4-2-10 )44()21(23022arrxCDurdrarxCDrurcamramb )0()168()0()44()(242023bambrambcarrxCDucdrarrxCDurc ( 4-2-11 )( 4-2-

20、12 )將式將式(4-2-10)(4-2-10)代入式代入式 ，得：，得： rbabdrruxCDrrc01將上式的結(jié)果代入式將上式的結(jié)果代入式 得：得： 0)(0brbbcdrrcrc DVaDuaKm481922222 圓管均勻流在層流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)：圓管均勻流在層流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)：( 4-2-13 ) abbardrcuxCaK02/20)2)(0()0(0230 abmabbdrarrcurdrcu)21(22aruVuumb )0()168()(242bambcarrxCDurc 對圓管均勻流在紊流狀態(tài)下也可以推導(dǎo)得相似的三個(gè)公對圓管均勻流在紊流狀態(tài)下也可以推導(dǎo)得相似的三

21、個(gè)公式，不同的只是將其中的分子擴(kuò)散系數(shù)式，不同的只是將其中的分子擴(kuò)散系數(shù)D代換為徑向紊動(dòng)擴(kuò)代換為徑向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)散系數(shù)Er ，故有：，故有：)(rcrrrECubrab rbarbdrruxCrErc01( 4-2-14 )( 4-2-15 )( 4-2-16 )式式(4-2-14)(4-2-14)表達(dá)了當(dāng)擴(kuò)散經(jīng)歷了一定時(shí)間之后，縱向分散作表達(dá)了當(dāng)擴(kuò)散經(jīng)歷了一定時(shí)間之后，縱向分散作用與徑向的紊動(dòng)擴(kuò)散作用相平衡用與徑向的紊動(dòng)擴(kuò)散作用相平衡, , c cb b的濃度場達(dá)到穩(wěn)定。的濃度場達(dá)到穩(wěn)定。 0)1(1)0()(000brrbarrbbbcdrdrrurxCEcdrrcrc 泰勒使用的圓管紊流

22、的流速分布為泰勒使用的圓管紊流的流速分布為: : )()( fuurum( 4-2-17 )式中：式中： f（）為經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，見圖）為經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，見圖4-5，其中，其中=r/au*為剪切流速，為剪切流速， 0為管壁切應(yīng)力，為管壁切應(yīng)力， r r為水的密度。為水的密度。，r r /0 u圖圖4-5 4-5 圓管均勻紊流的流速分布圓管均勻紊流的流速分布um為斷面中點(diǎn)的流速（即最大流速）；為斷面中點(diǎn)的流速（即最大流速）； adurdruaV0102221 1010)(2)(2 dfuudfuuVmm uuVm25.4 ）（ fuVuub 25. 4斷面平均流速：斷面平均流速：利用圖利用圖4-54-5給出

23、的給出的f（）數(shù)值，對上式中的積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)數(shù)值，對上式中的積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可得：算，可得：將圓管紊流的流速分布將圓管紊流的流速分布 代入上式，有：代入上式，有：繼有：繼有：( 4-2-18 )( 4-2-19 )()( fuurumdradurudrduarEr/20 r r drduEdrdurr r r r 0 ar根據(jù)水流內(nèi)部縱向切應(yīng)力根據(jù)水流內(nèi)部縱向切應(yīng)力 的定義及雷諾比擬（徑向紊動(dòng)擴(kuò)散的定義及雷諾比擬（徑向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)系數(shù)Er與動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)與動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù) 相等），有：相等），有：水流內(nèi)部切應(yīng)力與管壁切應(yīng)力水流內(nèi)部切應(yīng)力與管壁切應(yīng)力 0 0的關(guān)系為：的關(guān)系為：由上兩式有：由上兩式有

24、：( 4-2-20 )( 4-2-21 )( 4-2-22 ) ddfaudrdu)(由圓管紊流的流速分布有：由圓管紊流的流速分布有：( 4-2-23 ) ddfauEr/)( auK06.10將上式代入式將上式代入式(4-2-22)(4-2-22)，可得：，可得：利用以上兩式，通過數(shù)值積分計(jì)算利用以上兩式，通過數(shù)值積分計(jì)算c cb b：( 4-2-24 )( 4-2-25 ) 0)1(1)(00brrbarbcdrdrrurxCErc 繼續(xù)對圓管水流分散系公式繼續(xù)對圓管水流分散系公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到均勻紊流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)：進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到均勻紊流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)： ）（ fuu

25、b 25. 4 abbardrcuxCaK02/2 auK06.10( 4-2-25 ) auEx05. 0以上推證中未考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散。以上推證中未考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散。 根據(jù)泰勒求得的縱向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)為：根據(jù)泰勒求得的縱向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)為： ( 4-2-26) auauauK1 .1005.006.10 將縱向分散系數(shù)和縱向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)同時(shí)計(jì)入，縱向分散將縱向分散系數(shù)和縱向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)同時(shí)計(jì)入，縱向分散系數(shù)變?yōu)椋合禂?shù)變?yōu)椋? 4-2-27 )均勻紊流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)：均勻紊流狀態(tài)下的縱向分散系數(shù)：第三節(jié)第三節(jié) 明渠二度均勻流的縱向分散明渠二度均勻流的縱向分散 埃爾德埃爾德(Elder)195

26、9(Elder)1959年應(yīng)用泰勒分析方法對二維明渠均勻年應(yīng)用泰勒分析方法對二維明渠均勻流在紊流狀態(tài)下的縱向分散問題進(jìn)行了研究。流在紊流狀態(tài)下的縱向分散問題進(jìn)行了研究。)()()(zcEzycEyxcExxcutczyx )(zcEzxcutcz 式中：式中：x、y、z分別為縱向、橫向和豎向坐標(biāo)。分別為縱向、橫向和豎向坐標(biāo)。一維隨流紊流擴(kuò)散方程：一維隨流紊流擴(kuò)散方程：( 4-3-1 ) 對二度明渠流有對二度明渠流有 / y=0，因?yàn)榭v向的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)遠(yuǎn)小于，因?yàn)榭v向的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)遠(yuǎn)小于縱向隨流項(xiàng)，故可將縱向的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)忽略，于是上式簡化縱向隨流項(xiàng)，故可將縱向的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)忽略，于是上式簡化為：為：)

27、()(zcExxcVutczb cVctc cxc設(shè)設(shè) u = uu = ub b + V + V 代入式代入式 得：得：取坐標(biāo)變換：取坐標(biāo)變換： ，有：，有：tVtx ,)(zcEzcuczb ( 4-3-2 )( 4-3-3 )( 4-3-4 )將上兩式代入式將上兩式代入式(4-3-2)(4-3-2)，有：，有：( 4-3-5 )(zcEzxcutcz 上式是上式是ElderElder在研究二度均勻流的縱向分散問題時(shí)作為一個(gè)在研究二度均勻流的縱向分散問題時(shí)作為一個(gè)假設(shè)而直接給出的。假設(shè)而直接給出的。 當(dāng)擴(kuò)散（即使是瞬時(shí)源的擴(kuò)散）經(jīng)過足夠長的時(shí)間之后當(dāng)擴(kuò)散（即使是瞬時(shí)源的擴(kuò)散）經(jīng)過足夠長的時(shí)

28、間之后, ,站在動(dòng)坐標(biāo)看，站在動(dòng)坐標(biāo)看，c c 隨時(shí)間的變化很慢，有：隨時(shí)間的變化很慢，有：在在 情況下：情況下：0/ c0 cVtc( 4-3-6 )(zcEzcuczb 近似為近似為零零 cVctc)(zcEzcuzb )(zcEzcuczb cuhcEbz2)( abbzCuhcE2)(式中式中: : h h為明渠的水深為明渠的水深; ; z z從水面向下計(jì)算。從水面向下計(jì)算。則則 可變?yōu)椋嚎勺優(yōu)椋?令無量綱坐標(biāo)：令無量綱坐標(biāo)：hz ( 4-3-7 )( 4-3-8 )式式（4-3-84-3-8）表明了經(jīng)過足夠長的擴(kuò)散歷時(shí)之后表明了經(jīng)過足夠長的擴(kuò)散歷時(shí)之后 , 垂向的紊動(dòng)垂向的紊動(dòng)擴(kuò)散作

29、用與縱向的分散作用相平衡。擴(kuò)散作用與縱向的分散作用相平衡。)(zcEzcuzb 以以abCcc 代入上式代入上式, 因因, 并假設(shè)并假設(shè)，有：，有：0/ bc0/ aC上式滿足邊界條件：當(dāng)上式滿足邊界條件：當(dāng)h h =0=0或或1 1，均有，均有 。 對對 進(jìn)行積分進(jìn)行積分, 并將并將 改寫為改寫為 , 得：得：0 0/ /= =h hb bc c( 4-3-9 )對二維明渠均勻流對二維明渠均勻流( 4-3-10 )將式將式(4-3-9)(4-3-9)代入上式，得：代入上式，得：( 4-3-11 ) dduExChcbzab)(1002 dcuxCKbba 10/1對層流：對層流：dzdzdz

30、uuhDKzbzhb 0001 ddduEuhKbzb )(100102 /x / abbzCuhcE2)( AbbadAcuxCAK/1ElderElder對二度明渠均勻流采用如下的對數(shù)流速分布：對二度明渠均勻流采用如下的對數(shù)流速分布： ( 4-3-12 )式中：式中：k為卡門常數(shù)為卡門常數(shù); um為最大流速。為最大流速。 dduhudzhduzuEz/22 根據(jù)雷諾比擬，類似于式根據(jù)雷諾比擬，類似于式 ，有垂向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)：有垂向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)：( 4-3-13 )1ln(* kuuumdradurudrduarEr/20 r r )1( khuEz)1( kuddu( 4-3-14 ) 1

31、00)1ln(1 dkuuudzhVmhkuum 通過流速分布公式計(jì)算斷面平均流速：通過流速分布公式計(jì)算斷面平均流速：( 4-3-15 ) dduhudzhduzuEz/22 )1ln(* kuuum流速分布公式流速分布公式對上式右邊的積分按對上式右邊的積分按函數(shù)的級數(shù)計(jì)算，其值約為函數(shù)的級數(shù)計(jì)算，其值約為0.40410.4041；取取=0.41=0.41，便有，便有: : 偏離速度：偏離速度： huK865.( 4-3-16 )( 4-3-17 )( 4-3-18 )以上結(jié)果是在未考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散的情況下取得的以上結(jié)果是在未考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散的情況下取得的K K值。值。 1)1ln(* kuV

32、uub ddduEuhKbzb )(100102 )1( khuEz dhuKk210*3)1ln(1 在補(bǔ)充考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散情況下：在補(bǔ)充考慮縱向紊動(dòng)擴(kuò)散情況下：由垂向紊動(dòng)擴(kuò)散沿水深的平均值由垂向紊動(dòng)擴(kuò)散沿水深的平均值 。假設(shè)可按。假設(shè)可按各向同性紊動(dòng)處理，有：各向同性紊動(dòng)處理，有： huEz068. 0|縱向分散系數(shù)變?yōu)椋嚎v向分散系數(shù)變?yōu)椋?huhuhuK93. 5068. 086. 5( 4-3-19 )( 4-3-20 )以上對以上對E Ex x的估值可能偏低，的估值可能偏低， ElderElder在實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)得在實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)得E Ey y= =0.23huhu,(見第三章第六節(jié)見第三章第六節(jié))，按各向同性紊動(dòng)考慮有，按各向同性紊動(dòng)考慮有Ex=Ey，則：，則： huK1 . 6( 4-3-21 )*068. 0huEEEzxx ddduEuIbzb 00001001 對一些近似矩形斷面的寬淺河道，人們往往作為對一些近似矩形斷面的寬淺河道，人們往往作為二維流二維流看待。鑒于天然河流的復(fù)雜性，此時(shí)如能取得有關(guān)流速分布看