《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》課件

1、2.3 2.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示問題提出問題提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對實(shí)數(shù)一對實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？設(shè)設(shè)i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個單位向軸同向的兩個單位向量，若量，若axiyj，則，則a(x(x，y).y).3.3.用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)用坐

2、標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新的途徑的途徑. .我們需要研究的問題是，向量我們需要研究的問題是，向量的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反運(yùn)算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反映等映等. .探究（一）：探究（一）：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 思考思考1 1：設(shè)設(shè)i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個軸同向的兩個單位向量，若單位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=

3、(x2 2，y y2 2),),則則ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，根據(jù)向量的線，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab，a（R）如何分別用基底）如何分別用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考思考2 2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ab，ab，a的坐標(biāo)分別如何？的坐標(biāo)分別如何？ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考

4、思考3 3：如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算？的坐標(biāo)運(yùn)算？ 兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). .ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).o ox xy yB BA AAB AB 思考思考4 4：如圖如圖, ,已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，那么向量那么向量 的坐標(biāo)如何？一般

5、地，一個的坐標(biāo)如何？一般地，一個任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？ (x2x1，y2y1). AB 任意一個向量的坐標(biāo)等于表示該向量任意一個向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo). .思考思考5 5：在上圖中，如何確定坐標(biāo)為在上圖中，如何確定坐標(biāo)為(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )的點(diǎn)的點(diǎn)P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP(xP(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，則，則| |a| |如何計(jì)如何計(jì)算？若點(diǎn)算？若點(diǎn)A

6、(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，則，則 如何計(jì)算？如何計(jì)算？ AB 222121AB(xx )(yy ) A Aax xy yO O22xya 探究（二）：探究（二）：平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共線（其中共線（其中b0），），那么那么a，b滿足什么關(guān)系？滿足什么關(guān)系？思考思考2 2：設(shè)設(shè)a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向若向量量a，b共線（其中共線（其中b0），則這兩個向量），則這兩個向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？ ab.向量向量a，b

7、（b0）共線共線 1221x yx yax xy yO ObA AB BC CD DA BC Dkk=思考思考3 3：如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)論？論？向量向量a，b（b0）共線共線 1221x yx y思考思考4 4：已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，若點(diǎn)若點(diǎn)P P分別是線段分別是線段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)，如何用向量方法求點(diǎn)如何用向量方法求點(diǎn)P P的坐標(biāo)？的坐標(biāo)？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P思考思考5 5：一般地，若點(diǎn)一

8、般地，若點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，點(diǎn)，點(diǎn)P P是直線是直線P P1 1P P2 2上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，且且 ，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P P的坐標(biāo)有何計(jì)算的坐標(biāo)有何計(jì)算公式？公式？12PPPP 1212(,)11xxyyPllll+1212(,)11xxyyPllll+1212xxyyP(,)11x xy yO OP P2 2P P1 1P P理論遷移理論遷移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐標(biāo)的坐標(biāo). . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19

9、). 例例2 2 如圖，已知如圖，已知 ABCDABCD的三個頂點(diǎn)的的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是A A（-2-2，1 1）、）、B B（-1,3-1,3）、）、C(3,4)C(3,4)，試求頂點(diǎn)，試求頂點(diǎn)D D的坐標(biāo)的坐標(biāo). .o ox xy yA AB BC CD D D D（2 2，2 2） 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(6=(6，y),y),且且ab，求，求y y的值的值. .y3 例例4 4 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，試判斷，試判斷A A、B B、C C三點(diǎn)是否共線？三點(diǎn)是否共線？，A A、B B、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. . 2ABAC3 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1. 1. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算是根據(jù)向量的坐標(biāo)表向量的坐標(biāo)運(yùn)算是根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和向量的線性運(yùn)算律得出的結(jié)論，它示和向量的線性運(yùn)算律得出的結(jié)論，它符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，并使得向量的運(yùn)符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，并使得向量的運(yùn)算完全代數(shù)化算完全代數(shù)化. . 2.2.對于兩個非零向量共線的坐標(biāo)表示，對于兩個非零向量共線的坐標(biāo)表示，可借助斜率相等來理解和記憶可借助斜率相等來理解和記憶. . 3.3.利用向量