彈性力學簡明教程(第四版)_習題解答

1、【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應精確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時，可求得固定端約束反

2、力分別為：由于為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有在x=l的小邊界上，可應用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故【2-10】試應用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】

3、由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)()應用圣維南原理，負面上的應力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的?！?-14】檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，?！窘獯稹吭趩芜B體中檢驗應力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應力表示的相容方程（2-21）；（3）應力邊

4、界條件（2-15）。（1）將應力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應力分量代入用應力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應力分量不滿足相容方程。因此，該組應力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：。試導出上述公式，并檢驗解答的正確性。【解答】（1）推導公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點的正應力和切應力分別為：。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。得： 根

5、據(jù)邊界條件得 故 將應力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應力分量代入相容方程（2-23）應力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-18】設有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎應力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學公式彎應力；該截面上的剪力為，剪應力為取擠壓應力（2）將應力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右

6、該應力分量滿足平衡微分方程。（3）將應力分量代入應力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界x=0上，列出三個積分的應力邊界條件，代入應力分量主矢主矩滿足應力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設，即面力的主矢、主矩，其次，將應力分量代入應力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。第一章 平面問題的直角坐標解答【3-4】試考察應力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)? 【解答】相容

7、條件:不論系數(shù)a取何值，應力函數(shù)總能滿足應力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應力分量當體力不計時，將應力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應力分布如圖所示，當時應用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當h的淺梁，修正項很小，可忽略不計?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為，高度為，在上邊界受均布荷載，試檢驗應力函

8、數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出應力分量?！窘獯稹坑冒肽娼夥ㄇ蠼?。（1）相容條件：將應力函數(shù)代入相容方程式（2-25），得要使?jié)M足相容方程，應使 （a）（2）求應力分量，代入式（2-24） （b）（3）考察邊界條件在主要邊界上，應精確到滿足應力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數(shù)代入應力分量表達式（b），得【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力F和力矩M的作用（圖3-15），不計體力，試用應力函數(shù)

9、求解其應力分量。【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容條件：將應力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。(2) 求應力分量：將代入（2-24） （a）(3) 考察邊界條件。在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件 滿足 （b）在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分應力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立（b）、（c）、（d）、（e）式得， （f）將各系數(shù)據(jù)（f）代入式（a），得應力分量解答【分析】本題題目中原教材給出的坐標軸有誤，無法計算。x，y坐標互換后可以計算，但計算結(jié)果與題目提示解答幾乎完全不同，又將y軸調(diào)為水平向左為正方向，才得到提示結(jié)果?？梢?，在求解問題時，坐標軸的方向及原點的位置與解答關系密切，坐標軸不同可得到完全不同的結(jié)果?！?-15】擋水墻的密度為，厚度為b(圖3-16)，水的密度為，試求應力分量?！窘獯稹浚?）假設應力分量的函數(shù)形式。因為在邊界上，；邊界上，所以可以假設在區(qū)域內(nèi)為（2）推求應力函數(shù)的形式。由推求的形式（3）由相容方程求應力函數(shù)。將代入，得要使上式在任意的x處都成立，必須代入即得應力函數(shù)的解答，其中已經(jīng)略去了與應