自動控制原理第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、 第二章第二章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2-1 微分方程 2-2 傳遞函數(shù) 2-3 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 2-4 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換 2-5 信號流圖與梅遜公式 2-6 典型傳遞函數(shù)與典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 2-1 系統(tǒng)的微分方程 在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述。用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為： 1、根據(jù)實際工作情況，確定系數(shù)和各元件的輸入、輸出變量。 2、從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理化學(xué)定理，列寫出動態(tài)方程。一般為微分方程。 3、消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。 4、標(biāo)準(zhǔn)化。 例例2-12-1 設(shè)一

2、彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。 kF(t)mfy(t)一、系統(tǒng)微分方程的建立2221)()()()(dttydmtFtFtFdttdyftF)()(1解：解：在外力作用下，如果彈簧恢復(fù)力和阻尼器阻力與F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:式中，F(xiàn)1(t)為阻尼器的阻力，F(xiàn)2(t)為彈簧恢復(fù)力，它們的方向均與位移的方向相反。由彈簧、阻尼器的特性可得： F2(t)=ky(t) 式中 f 阻尼系數(shù), k 彈性系數(shù) 由以上所列方程中消去中間變量得：)(

3、1)()()(22tFktydttdykfdttydkm則有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT 式中，T為時間常數(shù)，為阻尼比，K為比例系數(shù)。例例2-22-2 設(shè)RC電路如圖所示，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試寫出該電路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1 解：設(shè)回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號傳遞順序?qū)懗龈髯兞块g的微分方程式如下：2222121111111)(1iCdtduuiRuiiCdtduuiRucccccrrcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211urR1R2ucC2i

4、1i2C1由所得方程組消去中間變量得：rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221令 T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2則有： 注意：整個電路雖然是由兩個RC電路所組成，但不能把它看作是兩個獨立的RC電路的連接。因為第二級電路的i2要影響第一級電路的uc1，列寫方程式應(yīng)考慮這個影響。這種后一級對前一級的影響叫做負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時，必須把全部元件作為整體來加以考慮。本例若不考慮負(fù)載效應(yīng)時，有： 1221111cccrccuudtduCRuudtduCR第二級第一級rcccuudtduCRCR

5、dtudCRCR)(2211222211rcccuudtduTTdtudTT)(212221或顯然，與前面得到的結(jié)果不同。消去中間變量得：例例2-3 2-3 設(shè)在下圖所示R-L-C電路中，R、L、C均為常值，ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路(或負(fù)載阻抗很大，可以忽略)。要求列出uc(t)與ur(t)的關(guān)系方程式。解：（1）根據(jù)克希霍夫定律可寫出原始方程式：)(1tuidtCRidtdiLridtCtuc1)(（2）式中i 是中間變量，它與輸出uc(t)有如下關(guān)系： （3）消去中間變量i后，便得輸入輸出微分方程式 式中T1=L/R，T2=RC為該電路的兩個時間常數(shù)。當(dāng)t的單

6、位為秒時，它們的單位也為秒。 或分析： 一、以上元件或系統(tǒng)的運動方程式都屬于線性微分一、以上元件或系統(tǒng)的運動方程式都屬于線性微分方程式；方程式； 二、滿足疊加原理；二、滿足疊加原理； 三、可應(yīng)用線性理論進(jìn)行分析和設(shè)計；三、可應(yīng)用線性理論進(jìn)行分析和設(shè)計； 四、實際情況中，系統(tǒng)中的元件都具有一定的非線四、實際情況中，系統(tǒng)中的元件都具有一定的非線性；性； 五、對于非線性因素較弱的系統(tǒng)，一般將非線性元五、對于非線性因素較弱的系統(tǒng)，一般將非線性元件在合理的條件下簡化為線性元件；件在合理的條件下簡化為線性元件；二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化小偏差法，是常用的線性化方法之一。小偏差法，是常用的線性化方法之一。概

7、念：只假定控制系統(tǒng)有一個額定工作狀態(tài)及與其概念：只假定控制系統(tǒng)有一個額定工作狀態(tài)及與其相應(yīng)的平衡工作點，在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程相應(yīng)的平衡工作點，在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，所有變量離平衡工作點的偏差量都很小。中，所有變量離平衡工作點的偏差量都很小。數(shù)學(xué)方法：將非線性函數(shù)數(shù)學(xué)方法：將非線性函數(shù)y=f(x)在其工作點在其工作點（x0,y0)展開成泰勒級數(shù)，然后忽略二次以上的展開成泰勒級數(shù)，然后忽略二次以上的高階項，可得到用來代替原來非線性函數(shù)的線高階項，可得到用來代替原來非線性函數(shù)的線性化增量方程。性化增量方程。y= x例例2-4 （流體過程（流體過程 ） 下圖中流入流量為q1，流出流量q2，它

8、們受相應(yīng)的閥門控制。設(shè)該系統(tǒng)的輸入量為q1，輸出量為液面高度h，寫出它們之間的微分方程式： 解：（1）設(shè)流體是不可壓縮的，根據(jù)物質(zhì)守恒定律，可得： Cqqdttdh21)(（2）求出中間變量q2與其它變量的關(guān)系。由于通過節(jié)流閥的流體是紊流，按流量公式可得 式中： C 液罐截面積(米2)； h 液面高度(米)； q1、q2 流入、流出流量(米3 /秒)。dtqqtCdh)()(21)()(2thatq式中a為節(jié)流閥的流量系數(shù)(2.5米/秒)，當(dāng)液體變化不大時，可近似認(rèn)為只與節(jié)流閥的開度有關(guān)，現(xiàn)在設(shè)節(jié)流閥開度保持一定，則a為常數(shù)。（3）消去中間變量q2 ，就得輸入輸出關(guān)系式它是一階非線性微分方程式

9、。 )(1)()(1tqCthCadttdh)()(2thatqCqqdttdh21)(假設(shè)在正常生產(chǎn)過程中，水位能夠經(jīng)常保持在h0（對應(yīng)的流出量為q20）附近并在較小范圍內(nèi)變化，則可以利用小偏差線性化方法寫出此過程的增量方程式q2(t)= （1/R）h(t)式中R為出水管路的阻力系數(shù)，可認(rèn)為是在a點處斜率的倒數(shù)。021hhdhdqR根據(jù)公式求出a點處的斜率0200020222100hqhhqdhhaddhtdqhhhh）（）（)()(21tqtqdttdhC）（線性微分方程可寫成增量的形式)()(2thatq)()(21tqtqdttdhC）（q2(t)= （1/R）h(t)消除中間變量，省

10、略增量符號，得到)()(1tRqthdttdhRC）（這就是線性化的微分方程式。例例2-5 （熱力系統(tǒng)（熱力系統(tǒng) ） 下圖表示一個熱水供應(yīng)系統(tǒng)，為了保證一定的熱水溫度0 ，由電熱器提供熱流量i(瓦特)。在本系統(tǒng)中，輸入量為 i ，輸出量為0 。假定環(huán)境溫度為i ，進(jìn)水溫度也是i ，并且水箱中各處溫度相同(即用集中參數(shù)代替分布參數(shù))， 寫出系統(tǒng)微分方程和表示系統(tǒng)熱水溫升的微分方程式。解：設(shè)C 水箱中水的熱容量(焦耳/）； 0 水箱中水的溫度()。 Q 出水流量(千克/秒)； Cp 水的比熱(焦耳/千克)。 R 由水箱內(nèi)壁通過熱絕緣擴散到周圍環(huán)境的等效熱值(/瓦特)。 t 供給水箱中水的熱流量(瓦

11、特)； 0 出水帶走的熱流量(瓦特)； c 進(jìn)水帶入的熱流量(瓦特)； s 通過熱絕緣耗散的熱流量(瓦特)。（1）按能量守恒定律可寫出熱流量平衡方程 （2）找出中間變量與其它因素關(guān)系 （3）將以上各式代入熱平衡方程，便得系統(tǒng)的微分方程式 或：式中T=RC為熱時間常數(shù)(秒)。 上式是一個一階非線性微分方程式。影響熱水溫度0的擾動有出水流量Q和進(jìn)水溫度i。當(dāng)出水流量Q一定，環(huán)境溫度和進(jìn)水溫度i也為常值時，可令 上式為一階線性定常微分方程式。 為溫升，系統(tǒng)輸出為溫升時的微分方程式為列寫微分方程要注意：)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtca

12、dttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn返回確切反映系統(tǒng)的動態(tài)性能，忽略次要因素，簡化分析計算。 在一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為C(t)為輸出量，r(t)為輸入量，所有系數(shù)為實常數(shù)。對實際系統(tǒng)有nm。2-2 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的微分方程，是時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，求解微分方程可以得到在給定外界作用及初始條件下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，并可通過響應(yīng)曲線直觀地反映出系統(tǒng)的動態(tài)過程。但系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)形式有變化，微分方程及其解都會同時變化，不便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析與研究。 以RC電路為例，引入傳遞函數(shù)的定義根據(jù)求解微分方程的拉氏變換法，可以得到系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模

13、型傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以方便地研究系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)的變化對系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響。在經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來的。 一、傳遞函數(shù)的定義 )492()()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn若線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時，對（2-49）進(jìn)行拉氏變換，得線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為

14、該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)502()()()(01110111asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 可見，傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)微分方程經(jīng)拉氏變換而引出的。)()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 系統(tǒng)輸入、輸出及傳遞函數(shù)之間的相互關(guān)系可用下圖表示，輸出是由輸入經(jīng)過G(s)的傳遞而得到的，因此稱G(s)為傳遞函數(shù)。因為傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，故在初始條件為零時，它才能完全表征系統(tǒng)的動態(tài)性能。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì) 從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1.1.傳遞函

15、數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號和初始條件無關(guān)。 2.2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m低于或等于分母多項式的次數(shù)n，即mn。且系數(shù)均為實數(shù)。3.3.在同一系統(tǒng)中，當(dāng)選取不同的物理量作為輸入、輸出時，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。 4.4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.5.為了方便，常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積， 式（2-51）中的K常稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。式（2-52）中zj(j=1.2.m)為分子多項式的根

16、，稱為傳遞函數(shù)的零點。Pi(1.2.n)為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點。)522()()()()()()()()512() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()(112121112121niimjjrnmrniimjjnmpszsKpspspszszszsKsGsTsKsTsTsTsssKsG或傳遞函數(shù)的零、極點可以是實數(shù)或零，也可以是復(fù)數(shù)，由于傳遞函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)都是實數(shù)，故若有復(fù)數(shù)零極點時，它們必是成對共軛的。 傳遞函數(shù)的分母多項式就是相應(yīng)微分方程式（2-49）的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。在特征方程中，s的最高階

17、次等于輸出量最高階導(dǎo)數(shù)的階次，如果s的最高階次等于n，這種系統(tǒng)就稱為n階系統(tǒng)。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 一個物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣，但若考察其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯后環(huán)節(jié)。1.比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)方程為)532()()(tKrtc)542()()()(KsRsCsG式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數(shù)（或增益）。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化，下圖給出比例環(huán)節(jié)的實例。-+Ai

18、0R0R1i1uruc 在上圖中，運算放大器具有很大的開環(huán)放大系數(shù)，且其輸入電流很小，可以忽略，因此A點對地電位近似為零，于是有i0=i1=ur/R0，而電壓uc又近似等于R1兩端電壓，故有式中uc為輸出電壓，ur為輸入電壓，K=R1/R0為比例系數(shù)。 rrccrKuuRRuRuRu0110或u 下圖為一測速發(fā)電機，在不計所接負(fù)載的影響時，其輸出端電壓u與輸入轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為 u=Kn式中K為測速發(fā)電機的比例系數(shù) 2.慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為)562(1)()()()552()()()(TsKsRsCsGtKrtcdttdcT傳遞函數(shù)為式中T為時間常數(shù)，K為比

19、例系數(shù) 慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，時間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。 若在零初始條件下對慣性環(huán)節(jié)輸入單位階躍信號，則有)111(11)()()(TssKsTsKsRsGsC)1()(TteKtC由拉氏變換得 可見，在單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)t=3T4T時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。如下圖所示慣性環(huán)節(jié)的實例如下圖所示。rccuudtduTRCur(a)uc 在圖(a)所示的電路中，輸出電壓uc與輸入電壓ur間的微分方程為式中T=RC，為電路的時間常數(shù)。 3.積分環(huán)節(jié))582()(1)()()572()()(

20、dttrTdttrtctKrdttdc或)592(1)()()(TssKsRsCsG傳遞函數(shù)為 式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，而T稱為積分時間常數(shù)。 積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由式（2-58）求得積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為 c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為 K，如下圖所示。 下圖給出了積分環(huán)節(jié)的實例。 在圖(a)中，因為 而輸出電壓uc近似等于電容兩端電壓，所以有 RuiircdtuRCdticurcc11dttnTt)(1)(-+Ruruc(a)iicC(b)nur 在圖(b)中，以電動機的轉(zhuǎn)速n(轉(zhuǎn)/分)為輸入量，以減速齒輪帶動負(fù)載運動的軸的

21、角位移為輸出量，可得微分方程式中T為計及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角單位關(guān)系的常數(shù)。4.振蕩環(huán)節(jié))()()()()(6022222tKrtcdttdcTdttcdT)()()()(6121222TssTKsRsCsG傳遞函數(shù)為式中T為時間常數(shù)，為阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有 0 1振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，可用拉氏變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如下圖所示 下面給出了振蕩環(huán)節(jié)的實例。圖(a)中，輸出電壓uc和輸入電壓ur之間的微分方程為rcccuudtduRCdtudLC22RLCuruc(a)圖(b)中，輸出位移y(t)與輸入作用力F(t)之間的微分方程為)(1)()()(22tFktydttdykfdtt

22、ydkmF(t)Kmfy(t)(b)可見它們都是典型的振蕩環(huán)節(jié)。5.微分環(huán)節(jié))622()()(dttdrtc)632()()()(ssRsCsG傳遞函數(shù)為式中為微分時間常數(shù)。 理想微分環(huán)節(jié)在瞬態(tài)過程中其輸出量是輸入量的微商，該環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)運算是微分運算。 理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為)()()(tdttdrtc這是一個強度為的理想脈沖。 在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。 下圖給出了微分環(huán)節(jié)的實例。dttduRCtudttduRCrcc)()()(。式中傳遞函數(shù)為RCsssssususGrc111)()()(RCur(a)uci 在圖(a)的電路中，輸出電壓uc與輸

23、入電壓ur間的微分方程為 在圖(b)中，輸出電流i(t)與輸入電壓ur(t)間的微分方程為 CRi1i2uri(b)tudttduRtirr)()(1)(RsRsRsUsIsG1) 1(1)()()(其傳遞函數(shù)為RC。式中6.純滯后環(huán)節(jié)式中為純滯后時間。 當(dāng)輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時間后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號，在時間0到的時間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為)642()()(trtc)652()()()( sesRsCsG傳遞函數(shù)為式中為純滯后時間。當(dāng)輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。(a)(b) 上述

24、各典型環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最基本的構(gòu)成因子。在和實際元件相聯(lián)系時，應(yīng)注意以下幾點： 系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的，他與系統(tǒng)中使用的元件并非都是一一對應(yīng)的，一個元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型的組合。而若干個元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是一個典型的數(shù)學(xué)模型。 在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，將被控對象（或系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)所組成的。因而，掌握典型環(huán)節(jié)的動態(tài)特性將有助于對系統(tǒng)動態(tài)特性的分析研究。 典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。 同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典

25、型環(huán)節(jié)。如直流電動機以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時，它是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。但若以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時，它卻是一個積分環(huán)節(jié)。式中 都是微分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的組合，稱為一階微分環(huán) 節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。由于它們在控制系統(tǒng)中較常用，所以也可以把他們當(dāng)作典型環(huán)節(jié)對待。) 12() 1(2,222sssnvrKmqbibibiai和 既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié)，那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般形式)662() 12() 1() 12() 1()(111221221 viKiridididiciiibibibiqiaisTsTsTssssKsG四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 對于簡單

26、的控制系統(tǒng)，在求取它的傳遞函數(shù)時，可以采用直接計算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再經(jīng)過拉氏變換來求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 例例2-9 設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式)682()(02dtuudCir)672()(1011uuRir消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式rrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCRCRCRdtudCRCR)()(22112222110021221120222111)702(220idtCiRu)692(21iii)(02dtuudCir)(1011uuRir由此

27、得出該電路的傳遞函數(shù)為rrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCRCRCRdtudCRCR)()(2211222211002122112022211)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉氏變換，得 在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。)702(1)692(22021idtCiRuiii)(1)()()()()()()()()(

28、)(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr 在零初始條件下，對方程組取拉氏變換，得到)682()()672()(102011dtuudCiuuRirr)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG傳遞函數(shù)為消去中間變量可得 由以上

29、計算可看出，系統(tǒng)越復(fù)雜方程越多，消去中間變量的過程也就越復(fù)雜。因此，復(fù)雜的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取主要采用圖解法，即首先畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，然后利用圖形簡化規(guī)則或直接應(yīng)用計算公式就可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第三節(jié) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。采用結(jié)構(gòu)圖，不僅能方便地求取復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且能形象直觀地表明信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。一、結(jié)構(gòu)圖的組成 把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖，這

30、種圖形既說明了信號之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，又描述了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)，因此稱之為系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖簡稱為結(jié)構(gòu)圖。舉例：以RC網(wǎng)絡(luò)說明結(jié)構(gòu)圖的概念 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的基本組成應(yīng)注意：只有具有相同因次或量綱的量才能進(jìn)行加減運算。 nkrkcsXsX1)()(“+”可省略不寫。信號比較點的運算關(guān)系為二、結(jié)構(gòu)圖的畫法 繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。2.在零初始條件下，對各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并將變換式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。3.由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。4.按照系統(tǒng)中信號的傳遞順

31、序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 例例2-112-11 在圖2-28的濾波電路中，輸入電壓為ur，輸出電壓為uc，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。 221icdtduc221uiRucc2111)(1iicdtduc111uiRucr.1 列寫各元件的微分方程解 2.對上述方程進(jìn)行拉氏變換，并整理成標(biāo)準(zhǔn)式。)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr得)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccc

32、cr由3.按標(biāo)準(zhǔn)變換式畫出各元件的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-29所示。 例2-12 在圖2-31所示電路中，輸入電壓為ur，輸出電壓為uc，試畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 第四節(jié) 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 結(jié)構(gòu)圖變換應(yīng)按等效原理進(jìn)行，所謂等效，就是對結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前、后其輸入、輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。1.串聯(lián)連接方式的等效變換前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示，各環(huán)節(jié)的傳遞關(guān)系為 這表明環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)去取代，如下圖所示，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為串聯(lián)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。寫成一般形式為)()()()()()(32114sGsGsGsRsRsG串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)

33、為)()()()()()()()()()()()()(1123334223112sRsGsGsGsRsGsRsRsGsRsRsGsR 這表明環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)去取代，如下圖所示，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為串聯(lián)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。寫成一般形式為)712()()(1niisGsG 在考慮兩環(huán)節(jié)是否為串聯(lián)時要注意以下兩點： 環(huán)節(jié)之間應(yīng)無負(fù)載效應(yīng)。否則要考慮將它們作為一個整體，而不能分為兩個獨立的部分。 串聯(lián)連接的環(huán)節(jié)之間應(yīng)無分支點和綜合點，否則它們就不是串聯(lián)。2.并聯(lián)連接方式的等效變換 輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示，三個環(huán)節(jié)的輸入部分都為r(t)，而輸出分別為)()(

34、)()()()()()()()()()()()()()()(321321332211sRsGsGsGsCsCsCsCsRsGsCsRsGsCsRsGsC 故并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為niisGsG1)()( 這表明幾個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，可以用一個等效環(huán)節(jié)去取代，如下圖所示。等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。寫成一般形式為3.反饋連接方式的等效變換 如果將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進(jìn)行比較，就構(gòu)成了反饋連接，如下圖所示。其中G1(s)和G2(s)可以是等效方塊圖，即它們可以是由若干元件方塊串、并聯(lián)組成。按圖中的傳遞關(guān)系有按圖中的傳遞關(guān)系有)()()()()()()()()()()()(

35、)()()()()()(2112112sCsGsGsRsGsCsGsRsGsEsGsCsBsRsEsCsGsB 可見，反饋連接可以等效為一個環(huán)節(jié)，如下圖所示。等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如上式所示。)()(1)()(211sGsGsGsG由此得)()()()(1)(121sRsGsGsGsC所以4.分支點的移動規(guī)則 將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則。如下圖所示，分支點在元件方塊圖的輸入端A 處時，兩個分支端的輸出分別為)()(2sRsC)()()(1sRsGsC將分支點越過元件方塊圖移動到B點，此時第一個支路的信號保持不變，而第二條分支信號將為C1(s)，比

36、變換前增大了G(s)倍，為此，可在移動后的分支中串入一個元件方塊圖，其傳遞函數(shù)為1/G(s)，如下圖所示，于是，移動后的兩個分支的輸出分別為 顯然移動前后的分支輸出信號不變，達(dá)到了等效變換的目的。1)()()()(12sRsCsGsC)()()(1sRsGsC 類似的，如下圖所示，分支點在輸出端B處，兩個輸出分別為)()()()()()(21sRsGsCsRsGsC 將分支點越過元件方塊圖移到A點，則第一條分支的信號不變，而第二條支路的信號為R(s)，比原分支信號縮小G(s)倍。 因此，若在該分支中串入一個元件方塊圖，其傳遞函數(shù)為G(s)，如下圖所示，則移動后兩分支的輸出分別為)()()()(

37、)()(21sRsGsCsRsGsC顯然，移動前后的分支信號保持不變，達(dá)到等效變換的目的。 分支點移動的規(guī)則為：若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。5.綜合點（比較點）的移動規(guī)則 將綜合點跨越元件方塊圖移動時，應(yīng)遵循移動前后總輸出量保持不變的等效原則。如下圖(a)所示，當(dāng)綜合點在A處時，總輸出量為 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s) 當(dāng)綜合點移到B處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖

38、后再相加，如下圖(b)所示，此時 C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s) 它和移動前是相等的，因而兩圖是等效的。 類似地，如下圖(a)所示，綜合點在A 處時，總輸出為 當(dāng)綜合點移到B點，從總輸出量看，這相當(dāng)于使R2(s)增大了G(s)倍，因此，必須在移動后的R2(s)支路中串入一個方塊圖，其傳遞函數(shù)為1/G(s)，如下圖(b)所示。 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s)()()()()(1)()()(2121sRsRsGsRsGsRsGsC它和移動前是等效的，故兩圖也是等效的。這樣，移動后的總輸出為綜合點（比較點）移動的規(guī)則為： 若綜合點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移

39、動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越方塊圖的傳遞函數(shù)。若綜合點從一個方塊圖輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。 當(dāng)綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為 C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s) 故它們都是等效的?？梢?，互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。四、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化 利用結(jié)構(gòu)圖的變換規(guī)則簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖時，可根據(jù)具體情況采取不同的簡化方法。如果結(jié)構(gòu)圖只有簡單的串、并聯(lián)和反饋連接時，可先計算簡單的串、并聯(lián)和反饋連接部分，然后再逐步簡化整個結(jié)構(gòu)圖。如果結(jié)構(gòu)圖中存在交叉連接或交叉反饋時

40、，則先應(yīng)作分支點或綜合點的移動，消去交叉現(xiàn)象后，再按簡單連接方式逐步簡化。 例2-14 簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，里面的回路稱為局部反饋回路，外面的回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未⒉⒙?lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。 首先將局部反饋回路的前向通路按串聯(lián)規(guī)則簡化，反饋通路按并聯(lián)規(guī)則簡化，如下圖(a)所示。 然后按反饋連接規(guī)則簡化局部反饋回路，并進(jìn)一步將主反饋回路化為最基本的反饋形式，如下圖(b)(c)所示。最后求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。)()()()(1)()(5432

41、32sGsGsGsGsGsG)()()()(1)()(543232sGsGsGsGsGsG)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsG)()()()()()()()(1)()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsG 例2-15 簡化下圖所示結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)U Uc c(s)/U(s)/Ur r(s)(s)。1/R11/C1S1/R21/C2SUr(s)-B-AUc(s) 解：該結(jié)構(gòu)圖存在交叉反饋，因此應(yīng)先作分支點、綜合點的移動，將結(jié)構(gòu)圖簡

42、化為簡單的串、并聯(lián)和反饋連接形式，再作進(jìn)一步的簡化。 首先將分支點A和綜合點B作移動，如下圖(a)所示。根據(jù)移動規(guī)則，分支點移動時應(yīng)在分支線上串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所越過的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。綜合點B移動時，應(yīng)在被移動的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所越過的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)，然后交換綜合點。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-(a)1/R11/C1S1/R21/C2SUr(s)-B-AUc(s)按串聯(lián)連接和反饋連接的規(guī)則將圖(a)化為圖(b)，1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-(a)(b)1111sC

43、R1122sCRR1C2sUr(s)Uc(s)1)(121221122211sCRCRCRsCRCRUr(s)Uc(s)(c)(b)1111sCR1122sCRR1C2sUr(s)Uc(s)1)(121221122211sCRCRCRsCRCRUr(s)Uc(s)(c)1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsRsCsG 由此可見，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中出現(xiàn)交叉連接和交叉反饋時，簡化過程中就需要移動分支點或綜合點。至于在簡化時是前移還是后移，移分支點還是綜合點，有時都是可行的，但繁簡程度卻不相同。因此必須注意選擇適當(dāng)?shù)囊苿臃椒ā?應(yīng)該注意的是，對于有多個輸入的系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地

44、應(yīng)用上面的規(guī)則去簡化結(jié)構(gòu)圖。這是因為傳遞函數(shù)是定義為某個輸入和其相應(yīng)的輸出在零初始條件下拉氏變換之比。對多個輸入就有多個相應(yīng)的傳遞函數(shù)，故簡化時必須分別對每個輸入逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換，以求得各自的傳遞函數(shù)。同樣，對于有多個輸出的情況也應(yīng)分別變換。方塊圖是一種很有用的圖示法。對于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，方塊圖的簡化過程仍較復(fù)雜，且易出錯。Mason提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能直接應(yīng)用梅遜公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，信號流圖在控制工程中也被廣泛地應(yīng)用。因果增益節(jié)點 輸出方向2x1x1122xax 12a1.信號流圖中的術(shù)語第五節(jié) 信號流圖與梅遜公式一、信號流圖1Mixed nodei

45、nput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a1x5x432,xxx輸入節(jié)點：具有輸出支路的節(jié)點。圖中的輸出節(jié)點（阱，坑）：僅有輸入支路的節(jié)點。有時信號流圖中沒有一個節(jié)點是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量，然后從該節(jié)點變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點，如圖中的混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。圖中的前向通路：開始于輸入節(jié)點，沿支路箭頭方向，每個節(jié)點只經(jīng)過一次，最終到達(dá)輸出節(jié)點的通路稱之前向通路。54321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452

46、412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘積，稱為前向通路總增益 用 表示。 kp回路（閉通路）:起點和終點在同一節(jié)點，并 與其它節(jié)點相遇僅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aaL 3243242aaaL 43343aaL 2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 54321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘積，為前向通路總增益 用 表示。 kp1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23

47、a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a回路（閉通路）回路（閉通路）: :起點和終點在同一節(jié)點，并起點和終點在同一節(jié)點，并 與其它節(jié)點相遇僅一次的通路。與其它節(jié)點相遇僅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aaL 3243242aaaL43343aaL2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a回路中所有支路的乘積稱為回路增益，用 表示 。aL不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時

48、，這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中，可以有兩個或兩個以上不接觸回路。232xxx和44xx2352xxxx和44xx 例如： 信號流圖的性質(zhì)信號流圖適用于線性系統(tǒng)；支路表示一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系，信號只能沿支路上的箭頭指向傳遞；在節(jié)點上可以把所有輸入支路的信號疊加，并把相加后的信號送到所有的輸出支路；具有輸入和輸出節(jié)點的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位增益的支路把它作為輸出節(jié)點來處理；對于一個給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的，由于描述同一個系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式。二、二、 信號流圖的繪制信號流圖的繪制 由微分方程繪制 方程，這與畫方塊圖差不多。由系統(tǒng)方塊圖繪制。 s畫出圖2-3

49、1所示系統(tǒng)方塊圖的信號流圖。HRBC1G2G3G4G1A2A圖2-31系統(tǒng)方塊圖 解：用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點21,AA只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)點一個節(jié)點便可。也即可以與它前面的比較點共用一個節(jié)點。 例2-12在比較點之后的引出點在比較點之后的引出點 HRBC1G2G3G4G1A2A圖2-31系統(tǒng)方塊圖 解：用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點在比較點之后的引出點在比較點之后的引出點 21,AA只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)一個節(jié)點點便可。也即可以與它前面的比較點共用一個節(jié)點。 在比較點之前的引出點在比較點之前的引出點B，需設(shè)置兩個節(jié)點兩個節(jié)點，分別表示引出點和比較點，注意圖中的 1e2eR1e1-H2

50、G1G3G4G1e2e前向通路及前向通路傳遞函數(shù)：信號從輸入端開始，沿著箭頭方向傳遞到輸出端時，每個方塊和綜合點只經(jīng)過一次的通路，稱為前向通路。前向通路上所有傳遞函數(shù)的乘積，稱為前向通路傳遞函數(shù)。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-二、用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)回路及回路傳遞函數(shù)：信號傳遞的起點就是其終點，而且每個方塊和綜合點只通過一次的閉合通路，稱為回路。回路中所有傳遞函數(shù)的乘積（包括代表回路反饋極性的正、負(fù)號），稱為回路傳遞函數(shù)。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-梅遜公式一般形式為KjijiiLLLLLLs1

51、)(稱為特征式，且為待求的總傳遞函數(shù)。式中nKKKPs1)(式。條前向通路的特征余子下的部分，稱為第所在項除去后所余條前向通路接觸的回路中，將與第在條前向通路傳遞函數(shù)。第KKKPKK之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有三個互不接觸回之和。路的回路傳遞函數(shù)乘積所有兩兩互不接觸回數(shù)之和。所有不同回路傳遞函其中KjijiiKjijiiLLLLLLLLLLLL1的求法。，下面以實例說明KKP 例2-16 用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-44343543232216543211HGGLHGGLHGGLHGGGGGGL解 圖2-48中共有四個不同回路，其回路傳遞

52、函數(shù)分別為故 Li=L1+L2+L3+L4 由于L1、L2、L4均為負(fù)反饋回路，故它們的回路傳遞函數(shù)前面置以負(fù)號。 在上述四個回路中，只有L2、L3為互不接觸回路，它們之間沒有重合的部分，因此有 圖中沒有三個互不接觸回路，故 LiLjLK=0 LiLj= L2L3=(-G2G3H2)(G4G5H3)=G2G3G4G5H2H332543244335423216543213243211)(11HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLLLLLjii于是可得特征式圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以116543211GGGGGGP注意 ：應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)

53、的傳遞函數(shù)，而不必進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖變換。但當(dāng)結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特別注意。3254324433542321654321654321111)(HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGPs傳遞函數(shù)為由梅遜公式求得系統(tǒng)的 例2-17 用梅遜公式求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2Rx1-x2x3x4Cx6x5+253422151642531214165342121316531221642111xxxxxGGLxxxxxxxGGLxxxxxxxGGLxxxxxGLxxxxxGL00KjijiLLLLL觸，故上述五個回路均互相接的路線分別為其回路傳

54、遞函數(shù)和經(jīng)過路圖中共有五個不同的回解,212121215432131)3(1)(11GGGGGGGGLLLLLLi求得特征式為CxxxxxxRGGPCxxxxxxRGGPCxxxxRGPCxxxxRGP642531214653421213653122642111經(jīng)過的線路分別為其前向通路傳遞函數(shù)和圖中有四條前向通路，2121212121212121214131231)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGPsKKK傳遞函數(shù)為由梅遜公式求得系統(tǒng)的14321五個回路相接觸，所以上述四條前向通路均與 例2-18 用梅遜公式求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1/R1/Cs1/R1/Cs1/R1/CsUrUc-

55、。，回路，它們是出六組兩兩互不接觸的這五個回路中，可以找故，即其回路傳遞函數(shù)均相同圖中有五個不同回路，解RCsLRCsLLLLLi515432116511,11651112223331113331333222333RCssCRsCRPUUsCRPsCRsCRRCsLLLLsCRLLLrcKjiiKji傳遞函數(shù)為由梅遜公式求得系統(tǒng)的路均接觸，故，該前向通路與所有回圖中只有一條前向通路，故個互不接觸的回路，即五個回路中，有一組三22222254433251312161sCRLLsCRLLLLLLLLLLLLji故同，即回路傳遞函數(shù)乘積均相各兩兩互不接觸回路的 由上述例題可見，用梅遜公式直接求出系統(tǒng)

56、的傳遞函數(shù)比用結(jié)構(gòu)圖簡化的方法要方便得多。特別是對復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)更顯出其優(yōu)越性。不過，初學(xué)者往往在計算，Pk和k時容易少算回路或算錯互不接觸回路，對，Pk和k的含義也容易混淆。因此，初學(xué)者應(yīng)反復(fù)實踐，并可用結(jié)構(gòu)圖簡化的方法來驗算計算的結(jié)果。2.6 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 反饋控制系統(tǒng)在工作過程中通常會受到給定輸入和擾動輸入的作用，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是由這兩類輸入共同作用的結(jié)果。由傳遞函數(shù)的定義可知，我們得不出一個既考慮給定輸入又考慮干擾輸入的傳遞函數(shù)，但是，對于線性定常系統(tǒng)，卻可以通過給定輸入與其相應(yīng)輸出間的傳遞函數(shù)和擾動輸入與其相應(yīng)輸出間的傳遞函數(shù)來分別計算它們單獨作用時的輸出，然后利用疊加原理，就

57、可以得到既考慮給定輸入又考慮擾動輸入的輸出響應(yīng)。下面我們根據(jù)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖來討論系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)的概念。前向通道：前向通道：R(s)到C(s)的信號傳遞通路反饋通道：反饋通道：C C(s)到B(s)的信號傳遞通路系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋回路接通后， 輸出量與輸 入量的比值。單獨處理線性疊加系統(tǒng)對控制量控制量R(s)R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)對擾動量動量N(s)N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 在下圖所示的反饋控制系統(tǒng)中，偏差信號為 e(t)=r(t)-b(t)或 E(s)=R(s)-B(s) G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)-A 說明：開環(huán)傳遞函數(shù)并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。這相當(dāng)于反饋回路的A點，求反饋信號與輸入信號的傳遞函數(shù)。 開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積。對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1，此時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通路傳遞函數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋回路接通后，