提升小學生數學思考力

1、成都市科華中路小學 蒲華良什么是數學思考？就是在面臨各種數學情境，特別是非數學問題時，就是在面臨各種數學情境，特別是非數學問題時，能夠從數學的角度，自覺運用數學的知識、方法、能夠從數學的角度，自覺運用數學的知識、方法、思想和觀念去發(fā)現其中存在的數學現象和數學規(guī)思想和觀念去發(fā)現其中存在的數學現象和數學規(guī)律，并運用數學知識和思想方法去解決問題。律，并運用數學知識和思想方法去解決問題。數學思考的內容包括：義務教育數學課程標準（2011版）何為數學思考力？l數學思考力不等同于數學思考力不等同于課標中的十課標中的十個核心數學素養(yǎng)。個核心數學素養(yǎng)。數學思考力不完全等同于數學思維能力。數學思考力不完全等同于

2、數學思維能力。數學思維能力表示的是一個人用數學的知識和方法去認識事物和解決問題的熟練數學思維能力表示的是一個人用數學的知識和方法去認識事物和解決問題的熟練程度，數學思維能力的形成具有階段性。程度，數學思維能力的形成具有階段性。數學思考力是指表現在認識事物或解決問題過程中調動數學知識、思想、觀念和數學思考力是指表現在認識事物或解決問題過程中調動數學知識、思想、觀念和方法的程度。表示的是一種數學思考過程狀態(tài)的客觀指標，不受評判人的主觀影響。方法的程度。表示的是一種數學思考過程狀態(tài)的客觀指標，不受評判人的主觀影響。數學思考力和數學思維能力如同學力與學歷的關系。數學思考力和數學思維能力如同學力與學歷的

3、關系。數學思考力的內容（1233+16式）感悟感悟意識意識觀念觀念思想思想方法方法能力能力數感數感符號意識符號意識創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識應用意識應用意識空間觀念空間觀念幾何直觀幾何直觀數據分析觀念數據分析觀念模型思想模型思想運算能力運算能力推理能力推理能力數感數感1 1種感悟種感悟符號意識符號意識創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識應用意識應用意識3 3個意識個意識空間觀念空間觀念幾何直觀幾何直觀數據分析觀念數據分析觀念3 3種觀念種觀念對應思想方法假設思想方法對應思想方法假設思想方法比較思想方法符號化思想方法比較思想方法符號化思想方法類比思想方法轉化思想方法類比思想方法轉化思想方法分類思想方法集合思想方法分類思想方法

4、集合思想方法統(tǒng)計思想方法統(tǒng)計思想方法 可逆思想方法可逆思想方法極限思想方法極限思想方法 整體思想方法整體思想方法化歸思想方法化歸思想方法數形結合思想方法數形結合思想方法數學模型思想方法數學模型思想方法變中抓不變的思想方法變中抓不變的思想方法1616種思想方法種思想方法運算能力運算能力推理能力推理能力（合情推理（合情推理和演繹推理）和演繹推理）2 2項能力項能力 數感建立數認識的教學范式。建立數認識的教學范式。實物直觀實物直觀 + + 反復操作反復操作 ，數量體驗才到位，數量體驗才到位。 如：長度單位認識。讓估算成為檢驗數運算的習慣。讓估算成為檢驗數運算的習慣。靈活多變的心算是培養(yǎng)數感的有效方法

5、。靈活多變的心算是培養(yǎng)數感的有效方法。找數找數引入數字符號引入數字符號說數說數畫數畫數組數組數對比數對比數數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。中的數量關系。把符號看成可以感知的物體。不同的個體或同一個體在不同時間解釋符號的方式各不相同。讓估算成為檢驗數運算的習慣。 學生交流學生交流 生：除以比小的數，商應大于生：除以比小的數，商應大于. . .所以錯。所以錯。 生：商生：商.

6、 .與除數與除數. .都比小，相乘后積應比小，不等于被除數，所以商不可能是都比小，相乘后積應比小，不等于被除數，所以商不可能是. . .生：把除法算式變成生：把除法算式變成/ /，商的最高位是十位。而，商的最高位是十位。而. .的商最高位是個位。生：變成除數是整數的除法后，十位商，商應是等的商最高位是個位。生：變成除數是整數的除法后，十位商，商應是等于十幾。所以錯了。于十幾。所以錯了。 生：除數乘商得到四位小數，僅管末位相乘是要去生：除數乘商得到四位小數，僅管末位相乘是要去掉，但不太可能連續(xù)去掉后面的三個，而變成被除的一位小數。所以基本可以掉，但不太可能連續(xù)去掉后面的三個，而變成被除的一位小數

7、。所以基本可以判斷得數錯了。判斷得數錯了。 生：如果把生：如果把. .改成的話，得到的商是改成的話，得到的商是. .。而。而除以除以. .的商應該比除以的商大一些，所以不可能等于的商應該比除以的商大一些，所以不可能等于. .。 符號意識適時表述符號的適時表述符號的“能指能指”與與“所指所指”。如：速度。如：速度。符號的規(guī)范表達與自主性表達。如：怎樣表示符號的規(guī)范表達與自主性表達。如：怎樣表示 ? ?用好在過程理解上的符號記錄功能。如：除法豎式。用好在過程理解上的符號記錄功能。如：除法豎式。完整揭示符號的本質意義。如完整揭示符號的本質意義。如“+”+”與與“- -”。213表示什么？表示什么？兩

8、個兩個18表示的表示的 有什么不同？有什么不同？創(chuàng)新意識人數金字塔人數金字塔財富與智慧金字塔財富與智慧金字塔人類文明的金字塔結構人類文明的金字塔結構越是試圖去復制別人的成功經越是試圖去復制別人的成功經驗，你失敗的可能性就越大。驗，你失敗的可能性就越大。如果你能從贏家提前為你設定如果你能從贏家提前為你設定的思維中跳出來，重點去分析的思維中跳出來，重點去分析贏家的思維方式和行動精神，贏家的思維方式和行動精神，你就能夠讓自己保持在一個清你就能夠讓自己保持在一個清醒的高度上，從容地看清事物醒的高度上，從容地看清事物背后的真正規(guī)律。背后的真正規(guī)律。創(chuàng)新意識“創(chuàng)新型教師創(chuàng)新型教師”才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識的學

9、生。才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識的學生。（欣賞創(chuàng)新、接納創(chuàng)新、發(fā)現創(chuàng)新、鼓勵創(chuàng)新、引導創(chuàng)新）欣賞創(chuàng)新、接納創(chuàng)新、發(fā)現創(chuàng)新、鼓勵創(chuàng)新、引導創(chuàng)新）強化強化“發(fā)現問題、提出問題發(fā)現問題、提出問題”兩個環(huán)節(jié)。兩個環(huán)節(jié)。 （提合適的數學問題；（提合適的數學問題； 可不可以增加條件來提問？）可不可以增加條件來提問？）尊重問題解決的多元化，放得開，收得回。尊重問題解決的多元化，放得開，收得回。五年級提問：五年級提問：買一個文具盒和一支鉛筆共多少元？買一個文具盒和一支鉛筆共多少元？ 先買先買1010支鉛筆后還可以買多少支鋼筆？支鉛筆后還可以買多少支鋼筆？應用意識教師要明確兩個指向：用數學解釋和解決現實問題；教師要明確

10、兩個指向：用數學解釋和解決現實問題；將現實問題數學化。將現實問題數學化。尋找有挑戰(zhàn)性的現實情境素材尋找有挑戰(zhàn)性的現實情境素材數學問題要生活化。數學問題要生活化。 如：尾巴能接上嗎？如：尾巴能接上嗎？讓學生帶著讓學生帶著“任務任務”去數學化現實問題。去數學化現實問題。 如：調查一個小住了多少戶人？如：調查一個小住了多少戶人？空間觀念要接觸實物，只靠課件學習不利于形成空間觀念。 如觀察物體 擺了畫、畫了擺效果最好。想象要細化，把抽象的過程拆分。精心設計習題，聚焦圖形本質屬性的認識。加強辨析，讓數學思考更有靈活性和深刻性。多做游戲，讓想象和理解變得可見。 如：感知1立方米的大小 空間觀念主要是指根據

11、物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。認識：平移前后形狀和大小不改變，位置改變；認識：平移前后形狀和大小不改變，位置改變； 物體平移時，每一個點移動的方向和距離是相同的。物體平移時，每一個點移動的方向和距離是相同的。方法：找對應點方法：找對應點找點的平移路徑找點的平移路徑數平移距離（格數）數平移距離（格數）難點：如何數對格數

12、？難點：如何數對格數？被圓紙片蓋住的是一個角嗎？（二年級）回答是與非都不重回答是與非都不重要，關鍵是診斷學要，關鍵是診斷學生是否用角的形狀生是否用角的形狀特征去想象。特征去想象。幾何直觀理解上避免誤區(qū)。幾何直觀不是指學習點、線、面、體的有關知識，而是用數形結合的思想方法去理解、分析和解決問題。在用幾何直觀解決問題過程中要根據具體的問題情境選擇恰當的數學思想方法。養(yǎng)成把想法畫出來的習慣：說不清楚畫出來，想不清楚畫出來。 熟練掌握一些典型問題的常規(guī)畫法。如：行程問題、分數問題一般畫線段圖，分數運算問題一般畫矩形圖或餅圖。教給一些畫圖的技巧。邊讀題邊補充數據和問題，邊分析邊完善圖形。主要是指利用圖形

13、描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀 地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。數據分析觀念高度重視：大數據時代到來。實現中國夢，需要數據先鋒。培養(yǎng)數據分析人才，教育任重而道遠。有七冊教材安排“統(tǒng)計與概率”知識，用心良苦。區(qū)分一二學段要求，不可降低，也不能撥高。多讓學生經歷調查、實驗、分析、猜測、合情推理的過程。

14、多給交流空間：你發(fā)現什么？你認為什么？你建議什么？這才是“統(tǒng)計與概率”教學的宗旨。只能用合情推理（歸納）不能用演繹推理，不能驗證，勿倒置 數據，這個數據，這個2121世紀人類探索的新連續(xù)，正在被云計算發(fā)現、征服。世紀人類探索的新連續(xù)，正在被云計算發(fā)現、征服。 （大數據分析）不再追求精確度，不再追求因果關系，而是承認混雜（大數據分析）不再追求精確度，不再追求因果關系，而是承認混雜性，探索相關關系。性，探索相關關系。 思維轉變過來，數據就能巧妙地用來激發(fā)新產品和新型服務。數據思維轉變過來，數據就能巧妙地用來激發(fā)新產品和新型服務。數據正成為巨大的經濟資產，成為新世紀的礦產和石油，將帶來全新的創(chuàng)業(yè)正成

15、為巨大的經濟資產，成為新世紀的礦產和石油，將帶來全新的創(chuàng)業(yè)方向、商業(yè)模式和投資機會方向、商業(yè)模式和投資機會 數據挖掘不僅能夠成為公司的競爭力，也將成為國家競爭力的一部數據挖掘不僅能夠成為公司的競爭力，也將成為國家競爭力的一部分。通過大數據，創(chuàng)建新的產業(yè)群，實現分。通過大數據，創(chuàng)建新的產業(yè)群，實現“中國制造到中國創(chuàng)造中國制造到中國創(chuàng)造”的改的改變，意義就更大。變，意義就更大。 寬帶資本董事長田溯寧：寬帶資本董事長田溯寧：大數據時代大數據時代序言序言 運算能力在具體的問題情境中理解算理。引導學生從數概念和運算意義的角度去思考算法。鼓勵算法多元化，但需要聚焦到基本算法的理解和掌握，以便達到運算的技能

16、。遵循運算技能形成的認知規(guī)律：懂會熟活。前一步沒過關，不要急于進入下一步。抓一次性正確率的診斷與補救，不可盲目追求練習強度。一定量欠的重復訓練是形成運算技能的必要手段。開展豐富多樣的趣味活動，激發(fā)孩子的運算興趣。運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。推理能力合情推理：合情推理： 已有事實已有事實_(_(經驗和直觀）經驗和直觀）( (歸納和類比歸納和類比) )結果即：由因索果結果即

17、：由因索果演繹推理：已有事實演繹推理：已有事實( (規(guī)則規(guī)則) )( (邏輯推理法則邏輯推理法則) )結果即：執(zhí)果索因結果即：執(zhí)果索因為什么小學強調得多的是合理推理能力？為什么小學強調得多的是合理推理能力？ 合情推理用于探索思路，發(fā)現結論。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更需要培養(yǎng)合情推理能力。合情推理用于探索思路，發(fā)現結論。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更需要培養(yǎng)合情推理能力。 史寧中教授認為：演繹推理的主要功能在于驗證結論，而不在于發(fā)現結論。我們缺史寧中教授認為：演繹推理的主要功能在于驗證結論，而不在于發(fā)現結論。我們缺少的是根據情況少的是根據情況“預測結果預測結果”的能力，根據結果的能力，根據結果“探索成因探索成因”的能力

18、。而這正是歸納的能力。而這正是歸納推理能力。推理能力。小學數學推理思想的應用表挖掘培養(yǎng)合情挖掘培養(yǎng)合情推理能力的教推理能力的教學資源。學資源。（三上）（三上） 在觀察中比較，在觀察中比較，在比較中概括。在比較中概括。積累積累“合情推合情推理理”的學習經的學習經驗驗掌握計算方法不是本課最重掌握計算方法不是本課最重要的教學目標，培養(yǎng)合情推要的教學目標，培養(yǎng)合情推理的能力才是本課的中心目理的能力才是本課的中心目標。標。難點在規(guī)納這一步。難點在規(guī)納這一步。重點是組織學生經歷重點是組織學生經歷“操作操作觀察觀察猜測猜測類比類比歸納歸納應用與拓展應用與拓展”這個數學思考的過程，積累這個數學思考的過程，積累

19、解決問題的學習活動經驗。解決問題的學習活動經驗。你怎樣處理你怎樣處理這個部分？這個部分？掌握一些合掌握一些合情推理情推理 的的步驟和方法步驟和方法觀察異同。觀察異同。猜測或發(fā)現。猜測或發(fā)現。舉例子分析發(fā)現或驗證發(fā)舉例子分析發(fā)現或驗證發(fā)現?，F。把發(fā)現用文字、符號、圖把發(fā)現用文字、符號、圖形、表格等表達出來。形、表格等表達出來。用你的發(fā)現解決相關的問用你的發(fā)現解決相關的問題。題。數學思想和方法數學思想是宏觀的，在解決問題中起方向性指導作用；數學數學思想是宏觀的，在解決問題中起方向性指導作用；數學方法是微觀的，是解決問題的具體策略。方法是微觀的，是解決問題的具體策略。數學思想方法不可獨立教學，要在解

20、決具體問題的過程中去數學思想方法不可獨立教學，要在解決具體問題的過程中去讓孩子們去感悟和體會。不要當成一種數學知識或一項數學讓孩子們去感悟和體會。不要當成一種數學知識或一項數學技能去教學。技能去教學。每一種數學思想和方法有各自獨立的意義，但也有交叉。有每一種數學思想和方法有各自獨立的意義，但也有交叉。有時會單用一種數學思想和方法，也有時同時用幾種思想方法時會單用一種數學思想和方法，也有時同時用幾種思想方法，教學時重點體會一種主流就行。，教學時重點體會一種主流就行。1、對應思想方法小學一般是一一對應。小學一般是一一對應。應用：在數軸（線）上表示數，比多少，三角形底與應用：在數軸（線）上表示數，比

21、多少，三角形底與高的對應，問題解決等高的對應，問題解決等建議：操作、畫圖或列表。建議：操作、畫圖或列表。例：（用對應思想理解數量關系例：（用對應思想理解數量關系) ) 一本書一本書300300頁，小林看了頁，小林看了5 5天，還剩下天，還剩下100100頁。平均每頁。平均每天看多少頁？天看多少頁？游戲破難點：找對應點游戲破難點：找對應點2、假設思想方法理解：改變原數據，原來的數量關系與邏輯關系不變，對比前后變化。屬一種轉化思想方法。策略：靈活假設數據。例：3、整體思想方法。整體思想方法的長期滲透。整體思想方法的長期滲透。如：結合具體問題情境從“上位的數量關系”到“特殊的數量關系”的引導上位數量

22、關系：“部分數、部分數與總數”，“部分數、部分數與相差數”，“每份數、份數與總數”。如從“每份數份數=總數”到“速度時間=路程”再到“每時行的千米數小時數=共行的千米數”對解題策略的選擇與思考對解題策略的選擇與思考。（例）（例）部分部分+部分部分=整體整體（不同）（不同）部分數部分數+ +部分數部分數= =總數總數加數加數+ +加數加數= =和和（相同）（相同）每份數每份數份數份數=總數總數因數因數因數因數=積積部分數、部分數與總數部分數、部分數與總數部分數、部分數部分數、部分數與相差數與相差數每份數每份數、份數與總數、份數與總數部分數、部分數與部分數、部分數與倍數（分率）倍數（分率）具體數量

23、關系式具體數量關系式具體數量關系式具體數量關系式具體數量關系式具體數量關系式具體數量關系式具體數量關系式生：生：. .* *20+1.220+1.2* *30-(22.5+0.86) 30-(22.5+0.86) 生解釋后生解釋后師追問：為什么要加小括號？師追問：為什么要加小括號？生：（生：（. . .）* *20+(1.2-20+(1.2-0.75)0.75)* *30 30 師追問：小括號里各算的什么？師追問：小括號里各算的什么？生：生：. . . .（元），（元），. .* *20=12.8(20=12.8(元），元），. . . .（元），（元），. .* *. .（元），（元），.

24、.+ +. . .（元）。師追問：（元）。師追問：你為什么分步列式不用綜合算式呢？生：綜你為什么分步列式不用綜合算式呢？生：綜合太長了。合太長了。生：（生：（1.51.50.860.86）* *. .（元）（元）（. . .）* *. .（元），（元），. .+ +. . .（元）。（元）。師：對后面三個同學的解答你有什么看法？師：對后面三個同學的解答你有什么看法？生：它們思路都一樣。但生生：它們思路都一樣。但生3 3分步寫的，容易看分步寫的，容易看懂。生懂。生2 2用綜合式，中途不用計算，思路容用綜合式，中途不用計算，思路容易連起來想。生用兩個綜合算式，每個算易連起來想。生用兩個綜合算式，每

25、個算式不長，比較合適。式不長，比較合適。4、分類思想方法。分類標準的必要性討論。分類標準的必要性討論。強化有序思考意識。強化有序思考意識。例：有序列舉。例：有序列舉。師：你準備怎樣找出能擺出的三角形？師：你準備怎樣找出能擺出的三角形？生：找三根，按任意兩邊之和大于第三生：找三根，按任意兩邊之和大于第三邊來判斷。邊來判斷。生：按順序全部排列，然后一個一個來生：按順序全部排列，然后一個一個來判斷，就能找出所有的三角形了。判斷，就能找出所有的三角形了。3cm,3cm,3cm(3cm,3cm,3cm(能）；能）；3cm,3cm,4cm(3cm,3cm,4cm(能）；能）；cm,3cm,6cm(cm,3

26、cm,6cm(不能）；不能）；3cm,4cm,6cm(3cm,4cm,6cm(能）。能）。師：我們從這一組數據中，還可以得到哪師：我們從這一組數據中，還可以得到哪些結論？些結論？生：能拼出一個等邊三角形，一個等腰三生：能拼出一個等邊三角形，一個等腰三角形，一個不等邊三角形，有三根小棒角形，一個不等邊三角形，有三根小棒不能擺成一個三角形。不能擺成一個三角形。 看似一道簡單的鞏固題，師這樣教學，充分發(fā)揮了這道題在培養(yǎng)學生思維能力方面的看似一道簡單的鞏固題，師這樣教學，充分發(fā)揮了這道題在培養(yǎng)學生思維能力方面的功能。其一，完成了本題的最低要求功能。其一，完成了本題的最低要求“擺出兩種擺出兩種”，達到了

27、運用知識解決實際問題的，達到了運用知識解決實際問題的最基礎要求最基礎要求保低；同時，讓學生列出所有的情況，再來判斷，撥高了要求，滿足保低；同時，讓學生列出所有的情況，再來判斷，撥高了要求，滿足了優(yōu)生的學習需求。其二，對五根小棒進行有序排列，強化了有序思維意識，培養(yǎng)了了優(yōu)生的學習需求。其二，對五根小棒進行有序排列，強化了有序思維意識，培養(yǎng)了學生思維能力。其三：最后追問還可得出什么結論，從另一個思維角度來認識同一問學生思維能力。其三：最后追問還可得出什么結論，從另一個思維角度來認識同一問題，培養(yǎng)了學生用數學概念來解釋現象的能力和求異思維能力。題，培養(yǎng)了學生用數學概念來解釋現象的能力和求異思維能力。

28、5、類比思想方法把主要精力放在找共同屬性上。把主要精力放在找共同屬性上。6、符號化思想方法（學生獨立完成后，匯報）（學生獨立完成后，匯報）生生1 1：3 3根小棒，只能擺一種，是等邊三角形。根小棒，只能擺一種，是等邊三角形。4 4根小棒也只能擺一種，等腰三角形。根小棒也只能擺一種，等腰三角形。5 5根小根小棒能擺一種等腰三角形，棒能擺一種等腰三角形，6 6根小棒能擺一根小棒能擺一種等邊三角形。種等邊三角形。師：你是怎么想的呢？師：你是怎么想的呢？生：用生：用1 1表示一根小棒的長，這樣就可以用數表示一根小棒的長，這樣就可以用數字來表示長度了。我們把擺的情況寫出字來表示長度了。我們把擺的情況寫出

29、來：來：3 3根：根：1 1，等邊三角形。，等邊三角形。4 4根：，等腰三角形。根：，等腰三角形。5 5根：，（不能）；，（能，根：，（不能）；，（能，等腰三角形）。等腰三角形）。根：，（不能）；，根：，（不能）；，（不能）；，（能，是等邊三（不能）；，（能，是等邊三角形）角形）師：這樣用數字表示有什么好處呢？師：這樣用數字表示有什么好處呢？生：用數字表示長度，簡單清楚。生：用數字表示長度，簡單清楚。師：你們發(fā)現擺成的三角形有什么特點師：你們發(fā)現擺成的三角形有什么特點? ?生：不是等邊三角形就是等腰三角形。生：不是等邊三角形就是等腰三角形。師：如果小棒的根數更多，比如師：如果小棒的根數更多，比

30、如7 7根、根、8 8根、根、9 9根，還有這樣的規(guī)律嗎？請你們試一試。根，還有這樣的規(guī)律嗎？請你們試一試。生：。我們發(fā)現到生：。我們發(fā)現到9 9根時，不是這樣。出根時，不是這樣。出現了現了2 2，3 3，4 4這種一般的三角形。這種一般的三角形。用符號記錄思維的過程。用符號記錄思維的過程。7、數學模型思想方法【理解理解】反映現實世界事物特征的數量關系或空間形反映現實世界事物特征的數量關系或空間形式都稱為數學模型。數學模型的主要表達形式是式都稱為數學模型。數學模型的主要表達形式是數學數學符號表達式和圖表。符號表達式和圖表?！痉秶秶孔匀粩盗?，數軸表示數，四則運算式，方程自然數列，數軸表示數，四則運算式，方程，數量關系，字母公式，統(tǒng)計圖表，用分數表示可能，數量關系，字母公式，統(tǒng)計圖表，用分數表示可能性等。性等?！窘虒W舉例教學舉例】如何構建方程的數學模