理論力學(xué)第三章——摩擦

1、5.1 滑動(dòng)摩擦5.2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象5.3 考慮摩擦的平衡問(wèn)題5.4 滾動(dòng)摩擦第五章 摩 擦摩擦的類別：摩擦的類別：干摩擦固體對(duì)固體的摩擦。流體摩擦流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力?；瑒?dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滾動(dòng)或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。若僅有滑動(dòng)趨勢(shì)而沒(méi)有

2、滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。5.1 滑動(dòng)摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力N的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力Q，當(dāng)拉力Q由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止。可見(jiàn)支承面對(duì)物體除法向約束反力N外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力，以F表示，方向向左，如圖。5.1.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力NPNPFQ靜摩擦力的大小隨水平力Q的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力Q的增大而無(wú)限度地

3、增大。當(dāng)力Q的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開(kāi)始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，只要力Q再增大一點(diǎn)，物塊即開(kāi)始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱最大靜摩擦力最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果Q再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。這就是靜摩擦力的特點(diǎn)；5.1.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力NPFQ0:0XQFFQmax0FF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即 由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：maxsFf N這就是靜滑動(dòng)

4、摩擦定律/庫(kù)侖定律。式中fs稱為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)。靜摩擦定律（庫(kù)侖摩擦定律）靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。5.1.2 動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力Q再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力動(dòng)摩擦力，以F表示。實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即Ff N式中f是動(dòng)摩擦系數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒(méi)有變化范圍。一般情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，

5、即 fs f。5.1.2 動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律 實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)。對(duì)于不同材料的物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)的速度變化規(guī)律也不同。 多數(shù)情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而稍減小，但當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似地認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。5.2.1 摩擦角 當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)平衡物體的反力包含法向反力N和切向摩擦力F ,這兩個(gè)力的合力稱為支承面的約束全反力，即R= N + F ，它與支承面間的夾角將隨主動(dòng)力的變化而變化，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，角達(dá)到一最大值j。約束全反力與法線間的夾角的最大值j 稱為摩擦角。5.2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象NFRNFmaxRj由圖可知

6、，角j與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f的關(guān)系為：maxtanssFf NfNNj5.2.1 摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)?？梢?jiàn)，摩擦角與摩擦系數(shù)一樣，都是表示材料的表面性質(zhì)的量。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，R的作用線將畫(huà)出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2j的圓錐。NFmaxRjR 5.2.2 自鎖現(xiàn)象物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以約束全反力與法線間的夾角也在零與摩擦角j之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過(guò)最大值，因

7、此約束全反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即約束全反力必在摩擦角之內(nèi)。0jNFmaxRjqjjjWRA (1)如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力W的作用線在摩擦角j之內(nèi)，則無(wú)論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力W與法線間的夾角q j，因此， W和全約束反力R必能滿足二力平衡條件，且q j ，而j ，支承面的全約束反力R和主動(dòng)力的合力W不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。5.3 考慮摩擦的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問(wèn)題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力F

8、，通常增加了未知量的數(shù)目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即F fsN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0FfsN)，所以有摩擦?xí)r平衡問(wèn)題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。工程中有不少問(wèn)題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時(shí)靜摩擦力等于其最大值，補(bǔ)充方程只取等號(hào)。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。 PQ 解解1：（解析法）：（解析法） 以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。圖坐標(biāo)。

9、minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minPFQX0cossin:01minPNQY1max1fNF例例1 將重為將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾的物塊放在斜面上，斜面傾角角 大于接觸面的摩擦角大于接觸面的摩擦角 （如圖），（如圖），已知靜摩擦系數(shù)為已知靜摩擦系數(shù)為 f ，若加一水平力，若加一水平力 使使物塊平衡，求力物塊平衡，求力 的范圍。的范圍。mjQQ聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQsincoscossinminPxymaxQmax2F2N 當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。0sinc

10、os:0max2maxPFQX0cossin:02maxPNQY2max2fNF聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQsincoscossinmax故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：QPffQPffsincoscossinsincoscossinminQP1RmjminQ1RPmjPmaxQmj2R2RmaxQPmj 解解2：（幾何法）：（幾何法） 當(dāng)物體處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀當(dāng)物體處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：由力三角形可得：)(minmPtgQj 當(dāng)物體處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀當(dāng)物體處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)

11、時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：由力三角形可得：)(maxmPtgQj故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：Q)()(mmPtgQPtgjj將上式展開(kāi)亦可得同上結(jié)果。將上式展開(kāi)亦可得同上結(jié)果。PAB例例2 梯子梯子AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為2a，重為，重為P，其一端置于水，其一端置于水平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設(shè)梯平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設(shè)梯子與地和墻的靜摩擦系數(shù)均為子與地和墻的靜摩擦系數(shù)均為 ，問(wèn)梯子與，問(wèn)梯子與水平線的夾角水平線的夾角 多大時(shí)，梯子能處于平衡？多大時(shí)，梯子能處于平衡？fPABANBNAFBFxymin解解1：（解析法

12、）以梯子為研究對(duì)象，當(dāng)梯：（解析法）以梯子為研究對(duì)象，當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，此時(shí)如圖，此時(shí) 角取最小值角取最小值 。建立如圖坐。建立如圖坐標(biāo)。標(biāo)。min0:0ABFNX（1）0:0PFNYBA（2）:0)(FmA0sin2cos2cosminminminaNaFPaBB（3）由摩擦定律：由摩擦定律：AAfNF （4）BBfNF （5）將式（將式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：ABfNN BAfNPN即可解出：即可解出：21fPNA21ffPNBPABANBNAFBFxymin故故 應(yīng)滿足的條件是：應(yīng)滿足的條件是：mj222此條件即為梯子的自鎖條件。此條件即為梯子的自鎖條件。將將 代入（代入（2）求出）求出 ，將，將 和和 代入（代入（3），得：），得：ANBFBFBN0sin2coscosminmin2minff將將 代入上式，解出：