大學(xué)物理課后答案匯總

1、第十一章機(jī)械振動(dòng)一、基本要求1 .掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征，學(xué)會(huì)由牛頓定律建立一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，并判斷其是否諧振動(dòng)。2 .掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程x=Acost+中0),理解振動(dòng)位移，振幅，初位相，位相，圓頻率，頻率，周期的物理意義。能根據(jù)給出的初始條件求振幅和初位相。3 .掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。4 .理解同方向、同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律，以及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件。二、基本內(nèi)容1 .振動(dòng)物體在某一平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)叫做機(jī)械振動(dòng)。如果物體振動(dòng)的位置滿足x(t)=x(t+T),則該物體的運(yùn)動(dòng)稱為周期性運(yùn)動(dòng)。否則稱為非周期運(yùn)動(dòng)。但是一切復(fù)雜的非周期性的運(yùn)動(dòng)，都可以分解成許多不同頻率的簡(jiǎn)

2、諧振動(dòng)(周期性運(yùn)動(dòng))的疊加。振動(dòng)不僅限于機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的振動(dòng)過程，分子熱運(yùn)動(dòng)，電磁運(yùn)動(dòng)，晶體中原子的運(yùn)動(dòng)等雖屬不同運(yùn)動(dòng)形式，各自遵循不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但是就其中的振動(dòng)過程講，都具有共同的物理特征。一個(gè)物理量，例如電量、電流、電壓等圍繞平衡值隨時(shí)間作周期性(或準(zhǔn)周期性)的變化，也是一種振動(dòng)。2 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種周期性的振動(dòng)過程。它可以是機(jī)械振動(dòng)中的位移、速度、加速度，也可以是電流、電量、電壓等其它物理量。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單，最基本的周期性運(yùn)動(dòng)，它是組成復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基本要素，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的研究是本章一個(gè)重點(diǎn)。(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式x=Acost+Q)反映了作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體位移隨時(shí)間的變化遵循余弦規(guī)律，

3、這也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義，即判斷一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)根據(jù)。但是簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式更多地用來揭示描述一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)必須涉及到的物理量A、切、外(或稱描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)參量)，顯然三個(gè)參量確定后，任一時(shí)刻作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的位移、速度、加速度都可以由t對(duì)應(yīng)地得到。v-Asin(to)-Acos(t0)222a-Acos(t0)=Acost0二)(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征為：物體受到的力的大小總是與物體對(duì)其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即F=kx,它是判定一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)根據(jù)，只要受力分析滿足動(dòng)力學(xué)特征的，毫無(wú)疑問地系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這里應(yīng)該注意，F(xiàn)系指合力，它可以是彈

4、性力或準(zhǔn)彈(3)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征相一致的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：作簡(jiǎn)諧dt運(yùn)動(dòng)物體的加速度大小總是與其位移大小成正比、而方向相反，即吟=抬2x,出LC它也是物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判據(jù)之一。只要加速度與位移大小成正比、而方向恒相反，則該物理量的變化過程就是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過程。在非力學(xué)量，例如電量、電流和電壓等電學(xué)量，就不易用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征去判定，而LC電路中的電量q就滿足I?=_1q,故電量q的變化過程就是一個(gè)簡(jiǎn)諧振蕩的過程，顯然用運(yùn)動(dòng)學(xué)的特征來判定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)更具有廣泛的意義。3 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅A是指最大位移的絕對(duì)值。A是由初始條件來決定的，即(2)周期T是

5、指完成一次完整的振動(dòng)所用時(shí)間。T=,式中缶是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率，它是由諧振動(dòng)系統(tǒng)的構(gòu)造來決定的，即*戶也稱為固有圓頻率。對(duì)應(yīng)的T稱為固有周期。T=1,式中v稱為頻率(即固有頻率)，它與圓頻率的關(guān)系2=27rv,是由系統(tǒng)本身決定的（3）相位（M十久）和初相位中0是決定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體t時(shí)刻和t=0時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。即在A、確定后，任一時(shí)刻的x、v、a都是由（cot十50）來確定的。一個(gè)周期內(nèi)，每一時(shí)刻的相位（H+平）不同，則對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也不相同。對(duì)不同的兩個(gè)或更多的幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相位還用來區(qū)分它們之間“步調(diào)”的一致與否。初相位中決定于初始條件：即由，X0-ACOS*0共同決定。或由v0=-oA

6、sin中0中0=arctan（-B-）計(jì)算，但由此式算得的中。在0,2元或【-冗,江】范圍內(nèi)有兩個(gè)可,X0能的取值，必須根據(jù)t=0時(shí)刻的速度方向進(jìn)行合理的取舍。如能配合使用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法，則會(huì)使九的確定更加簡(jiǎn)捷、方便。4 .旋轉(zhuǎn)矢量法簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x=Acost+平0）中有三個(gè)特征量A、6、%,旋轉(zhuǎn)矢量法把描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量更直觀、更形象地表示在圖示中。作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量，其長(zhǎng)度等于諧振動(dòng)的振幅A,其角速度等于諧振動(dòng)的角頻率。，且t=0時(shí)，它與X軸正向的夾角為諧振動(dòng)的初位相50,t=t時(shí)刻它與X軸正向的夾角為諧振動(dòng)的位相（所十九）。旋轉(zhuǎn)矢量A的末端在X軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表質(zhì)點(diǎn)的諧振動(dòng)。

7、5 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能Ek=lms2A2sin.t+Q）2勢(shì)能Ep-1kA2coS（t：0）21c機(jī)械能E=EkEpkA2P26.同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成%=Acos（t+?0）和X2=A2coSt+%價(jià)成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)x/x2=Acost0其中A=YAi2弋A+2AiA2cos（520-Q0）（合振幅）.AsinioA2sin20tg%=-（合振動(dòng)的初相）Acos:10A2cos20三、習(xí)題選解11-1質(zhì)量為10g的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x=0.5cos（8nt+fm的規(guī)律振動(dòng)（式中x以m計(jì)，t以s計(jì)），試求：（1）振動(dòng)的角頻率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）t=1s

8、、2s、10s各時(shí)刻的相位；（3）分別畫出位移、速度、加速度與時(shí)間t的關(guān)系曲線。冗解：（1）x=0.5cos（8nt十二）m與振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式x=Acos（cot十中0）相比可3知：圓頻率.二8二s振幅A=0.5m初相位=-3周期T=-=0.25s最大速度vA=8二0.5ms,=12.56msmax最大加速度amax=2A=（8二）20.5ms=3.16102ms（2）相位為（8兀t+2），將t=1s、2s、10s代入相位分別為3J“1”18一二、16二、80二333一、1.冗、（3）由x=0.5cos（8兀t+）m有3dx-一二.v=一=4二sin（8-t）msdt3dv2,1-2a=二-32

9、二cos9_：t）msdt311-2有一個(gè)和輕彈簧相連的小球，沿x軸作振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，具表達(dá)式用余弦函數(shù)表示。若t=0時(shí)，球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為（1）x0=-A;（2）過平衡位AA置向x軸正向運(yùn)動(dòng)；(3)x=處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；(4)x=-處向x軸正22方向運(yùn)動(dòng)；試用矢量圖示法確定相應(yīng)的初相的值，并寫出振動(dòng)表達(dá)式解：四種情況對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示：(1)初相位中0=冗，振動(dòng)方程為x=Acos(t,二)(2)初相位外=-,振動(dòng)2方程為x=Acos(t)2(3)初相位為平。=土,3振動(dòng)方程為x=Acos(t)3(4)初相位中o=-土，振動(dòng)方程為4nx=Acos(t-)4題11-2圖11-3質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧

10、振動(dòng)的曲線x-t如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程式解:.A.t=0時(shí)，x0=Acos中2所以1cos0,再由V0=-Aosin邛00,t=1s時(shí)，x1A一二Acos1210(注意1sin0：二冗Jl=_3再由V1=-Asin;：1si已0所以91=：1一02=ji3振動(dòng)方程為x=Acost22)=0.04cosJti-m33J11-4兩質(zhì)點(diǎn)沿同一直線作同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)它們每次沿相反方向互相通過時(shí)，它們的位移均為其振幅的一半，求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差。解：設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為x1=Acos(t1)x2=Acos(t2)速度為dx1vi=-A；.-：sn(t71)dtdx2v2二二-Asin

11、(t2)dt依題意，兩質(zhì)點(diǎn)在t=t相遇時(shí)Axi(t)=x2(t)；2.1cos(t1)=cos(t2)=2-t+q、-t：2=2n二1 23此時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向相反，這分兩種情況。(1)質(zhì)點(diǎn)1向x軸正向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)2向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，這時(shí)nJTt1=2n-：-t:2=2n二33位相差：:=(t:1)-(-t-2)=3(2)質(zhì)點(diǎn)1向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)2向x軸正向運(yùn)動(dòng)，這時(shí)t:1=2n二一-t;：2=2n二-33位相差：=(l)-(t2)=3兩種情況都說明其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)比另處一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)超前或落后2n/3。兩質(zhì)點(diǎn)在-A，2處相向相遇時(shí)有同樣的結(jié)論。11-5在一平板上放質(zhì)量m=1.0kg的物體，平板

12、在豎直方向上下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T=0.5s,振幅A=0.02m,試求：ME題11-5圖(1)在位移最大時(shí)，物體對(duì)平板的壓力；(2)平板應(yīng)以多大振幅作振動(dòng)，才能使重物開始跳離木板。解：(1)選擇物體平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上的方向?yàn)閤軸正向。由牛頓第二定律有N-mg=ma當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到最高位置時(shí)，加速度為負(fù)的最大值。即a=-amax=-A,止匕時(shí)N=mg-mamax=m(g-A，2)=mg-(-)2A=6,6N當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)a=amax=A.2止匕時(shí)N=mgmamax=m(gA2)=1.0(9.83.2)N=13N(2)物體跳離木板，應(yīng)在最高位置時(shí)受木板的力2、N=mg-mamax二m(g

13、-A，)=0A=92=2=0.062m4二11-6如圖所示，一質(zhì)量為M的盤子系于豎直懸掛的輕彈簧的下端，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k0現(xiàn)有一質(zhì)量m的物體自離盤h高處自由落下掉在盤中，沒有反彈，以物體掉在盤上的瞬時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。求盤子的振動(dòng)表達(dá)式。（取物體掉在盤子后的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，位移取向下為正）解：取物體掉在盤子里的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),y軸向下建立坐標(biāo)系。這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)九2為(mM)g=k,2當(dāng)t=0時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)為Mg-k111=所以，t=0時(shí)系統(tǒng)的位移為（Mm）g嗎.y。-一（2-1）,一，-kk題11-6圖mgk設(shè)此時(shí)系統(tǒng)的速度為V0,由動(dòng)量守恒定律有m2gh=(Mm)v0Vom2ghMm且速

14、度向下與y軸方向相同，v0取正值。當(dāng)物體落入盤中，且系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)至坐標(biāo)y處時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為(Mm)g-T=(Mm)嗎dt此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)為y+%,因而T=k(y+%)(Mm)g-k(y2)=(Mm段dt由于k%=(M+m)g有d2yk2y=0出Mm方程解為y=Acos(to)由初始條件k=0時(shí)，義=一吧。=正kMmA,/,)2m22gh(Mm)2k(Mm)2kh=71(Mm)g0=arctanyoarctarmmM2gh(mgk二arctan2kh)、g(Mm)所以盤子的振動(dòng)表達(dá)式為2khy=mg.k(Mm)gc0S(.Mmktarctan2kh),g(Mm)11-7如圖所示，一彈簧振子由倔強(qiáng)系數(shù)k

15、的彈簧和質(zhì)量M的物塊組成,將彈簧一端與頂板相連。開始時(shí)物塊靜止，一顆質(zhì)量為速度Uo的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。求：(1)振子以后的振幅和周期；引nt(2)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)所需的時(shí)間。題11-7圖解：(1)以子彈射入物塊后的平衡位置為原點(diǎn)，y軸向下，建立坐標(biāo)系，這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)Mmy2gk子彈未射入物塊時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)為y1=她。此時(shí)物體在坐標(biāo)系中的位置kMmMgmgyo=-(y2-y1)=-(lg-)=kkk物塊和子彈共同運(yùn)動(dòng)的速度v0(M+m)vo=-mu0vo=5Uo(負(fù)號(hào)表示方向向上)Mm當(dāng)子彈射入物塊，并且運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)處時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為(Mm)g-T=(Mm)d2ydt2此

16、時(shí)彈簧伸長(zhǎng)為y2+y,故T=k(y2+y)于是有(Mm)g-k(y2y)=(Mm)dvdt2ky2=(Mm)g-ky=(Mm)d-ydtd22yky=o出Mm系統(tǒng)的振動(dòng)方程為y=Acos(to)_.Mm由初始條件t=0時(shí)，y=yomg,V0=U0kMm2zVo2A0(.)（*）2k-mI2-u0M十m故系統(tǒng)振幅為22mg)2mu0k(Mm)k;:0=arctan(-v-)=arctan(y。mu0Mm)k(一mg)Mmk周期為T=2二（2）系統(tǒng)的振動(dòng)方程為22(mg)2.mu0.k(Mm)kcos|JMtarctan(一mu。、I,一）g物塊從初始位置運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，y=-AI；k,costa

17、rctan(-|L；Mmku0)Mmg第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)tarctanU0)=二Mkm),M+mr_,/t=Varctan(飛11-8一水平放置的彈簧振子，已知物體經(jīng)過平衡位置向右運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v=1.0ms,周期T=1.0s,求再經(jīng)過【s時(shí)間，物體的動(dòng)能是原來的多少倍,3設(shè)彈簧的質(zhì)量不計(jì)。解：取向右的方向?yàn)閤軸的正向，設(shè)物體平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體的振動(dòng)方程為x=Acos(t%)2二由于T=1.0s,=2：,二T故x=Aco2：t0)將物體經(jīng)過平衡位置向右運(yùn)動(dòng)時(shí)取為t=0時(shí)刻則x0=Acos0=0v0=1.0ms,=A=2A.1-：有A=,cos0=00=一一2二2因而物體振動(dòng)方程為x=cos2

18、t-)2二2物體的振動(dòng)速度為v=dx=-sin(2二t一一)dt21 rr2二二11當(dāng)1=s時(shí)v=sin(-)=-sin(n)=-ms3 32621c1此時(shí)物體動(dòng)能為Emv2mJ初始時(shí)刻物體動(dòng)能為E=mv2E1即1/3秒后物體動(dòng)能是原來的1/4。11-9一質(zhì)量10g的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，具振幅為24cm,周期為4.0s,當(dāng)t=0時(shí)，位移為+24cm,求：(1)t=0.5s時(shí)，物體所在的位置；(2)t=0.5s時(shí)，物體所受力的大小與方向；(3)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=12cm處所需的最少時(shí)間；(4)在x=12cm處，物體的速度、動(dòng)能以及系統(tǒng)的勢(shì)能與總能量。解：令振動(dòng)方程為x=Acos(+Q)2二二由題思

19、有A=24cm,T=4.0s,8=一=一且t=0時(shí)，Xo=A,cos%=1初相位邛0=0振動(dòng)方程為x=(24costcn)2所以(1)t=0.5s時(shí)，x=24cos()=12*氏cm=17.0cm4d2x2/.、(2) F=ma=m2-m，Acos(，t+0)dt3223t=0.5s時(shí)，F(xiàn)=10黑10X24X10x(-)2黑cosN=-4.1910N24負(fù)號(hào)表示力的方向沿x軸負(fù)向。.1一一(3)當(dāng)x=12cm時(shí)，cos(1)=,包相一t取值為2nn士一,(n=0,1,2,.)2223最少的時(shí)間-t=l,t-s233(4)x=12cm時(shí)，v=x=-12冗sin2t=12ncms,=32.6cms

20、,dt22正負(fù)號(hào)表示物體可能向x軸正向或負(fù)向運(yùn)動(dòng)。此時(shí)動(dòng)能：Ek=1mv2=-1010*(32.610)2J=5.33104J22勢(shì)能：Ep=；kx2,由co=，有k=mw2_1221_工二2_22.4.Epmx=-1010(-)(1210)J=1.7810J222題11-10圖總能量：E-EpEk-7.11104Jp11-10如圖所示，一個(gè)水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,所系物體的質(zhì)量為M,振幅為A,有一質(zhì)量m的物體從高度h處自由下落。當(dāng)振子在最大位移處，物體正好題落在M上并粘在一起，這時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期、振幅和振動(dòng)能量有何變化？如果物體m是在振子到達(dá)平衡位置時(shí)落在M上，這些量又如

21、何？解：粘土未落在M上時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)周期為MTo=k粘土落在M上時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)周期為丁=2、M+mkTTo當(dāng)M正好處于最大位移處，即x=A時(shí)，止匕時(shí)v=0,粘土落下后，x方向速度仍為零，此時(shí)振子仍處于最大位移處，振幅不變。系統(tǒng)能量為kA2/2也小變。當(dāng)M處于平衡位置時(shí)，系統(tǒng)在平衡位置x=0,此時(shí)kV=Vmax=A0。=A，A為系統(tǒng)原來的振幅,M粘土落下與M碰撞后的速度v可由動(dòng)量守恒定律求出(Mm)v=MvMMAk、kMv=vA若粘土落下后M的振幅A,由初始條件x0=0,v0=vkMA.有A=.x0(v0)2=Mm_.；-MAkMmMmA，：A此時(shí)系統(tǒng)能量為E=1kAkA21kA2-E22MmMm

22、2MmE=1kA2為粘土未落下時(shí)系統(tǒng)的能量，211-11在光滑的桌面上，有倔強(qiáng)系數(shù)分別為ki與k2的兩個(gè)彈簧以及質(zhì)量為m的物體，構(gòu)成兩種彈簧振子，如圖所示，試求這兩種系統(tǒng)的固有角頻率kk，1,77777777777777777777777/解：(1)由圖(b)所示，設(shè)彈簧原長(zhǎng)分別為li、%,平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量分別為A11和Al2,如不計(jì)物體尺寸。則111122=Lkili=k212以平衡點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向右建立坐標(biāo)系，當(dāng)小球向x軸正向移動(dòng)x時(shí)，物體受力f=f1f2-*1alix)k2ai2-x)由于kAl1=k2Al2,因而f=-(k1k2)xd2x物體運(yùn)動(dòng)方程為-(k1+k2)x=mdt

23、2題11-11圖2dxk1k22x=0dtm物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)角頻率為.二K巾其周期為m:k1k2(2)由圖(c)所示，以物體不受力，彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)，物體位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。當(dāng)物體在位移x處時(shí)，若彈簧匕的伸長(zhǎng)為彈簧k2的伸長(zhǎng)為此,則x1x2=xk1x1=k2x2解得：x1二一xk1k2x2=k1k1k2物體受力f=k2；：x2k1k2物體的運(yùn)動(dòng)方程為k1k2d2xx=m-2(kk2)dtd2xkk2x二0dtm(k1k2)物體同樣作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振動(dòng)角頻率為k1k2；m(k1k2)2一振動(dòng)周期為T=2二m(k1k2)k1k211-12如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端系一輕純，輕繩繞過滑輪連

24、接一質(zhì)量m的物體,純?cè)谳喩喜淮蚧?，使物體上下自由振動(dòng)，已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,滑輪的半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J(1)證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)(2)求物體的振動(dòng)周期題(3)設(shè)t=0,彈簧無(wú)伸縮，物體也無(wú)初速度，寫出物體的振動(dòng)表達(dá)式。解：(1)以系統(tǒng)靜止時(shí)，物體m的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸垂直向下建立坐標(biāo)系，設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)為x1,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有題11-12圖mg-T1=0T1R-T2R=0可得mg=kx1mg*一k當(dāng)物體在x處時(shí)，物體和滑輪的運(yùn)動(dòng)方程為d2xmg-T1=m-pT1R-T2R=/T2=k(x1x)d2xdt2解方程-，可得(乂+m)R2=mg-k(xx)由于mg=kx1d2xm)-2二-kxd

25、tdt22x=0mJR2由此證明物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。(2)振動(dòng)圓頻率為物體振動(dòng)周期為T二2二co=2兀(3)設(shè)振動(dòng)方程為x=Acos(t0)mJR2由初始條件，t=0時(shí)，v0=0,x0=x1=mk22.V0x0+=xcos0-1；：0二物體振動(dòng)表達(dá)式為mg/k,、xcos(2t二)k,mJR11-13如圖所示，一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，用兩根長(zhǎng)L的細(xì)繩分別拴在棒的兩端，把棒懸掛起來，若棒繞通過中心的豎直軸OO作小角度的擺動(dòng)，試確定其周期解：細(xì)棒受力分析如圖所示。將純中張力分解，在豎直方向上有2Fcos-mg在水平方向上的分力構(gòu)成一對(duì)力偶，力矩的大小為M=Flsin11.結(jié)合式有M=mgltan

26、?2題11-13圖1.-mgltand2;dt2在小角度近似下有tanu代入式有-mgl22Ld2:=J2dt細(xì)棒繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=12ml21ml122d2：122二mgl2:dt24L振動(dòng)角頻率為=、3g,L振動(dòng)周期為T=2二031g力矩的方向與細(xì)棒角位移方向相反，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律11-14在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，當(dāng)位移為振幅的一半時(shí)，總能量中有多大一部分為動(dòng)能，多大一部分為勢(shì)能？在多大位移處動(dòng)能與勢(shì)能相等?解：在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中物體總能量121,212E=mvkx=kA222其中A為振幅當(dāng)x=A時(shí)2Ep-22kA2E4Ek12123=E-EpkA-kA工p24412kA2即總能量中有3/4為動(dòng)能，1/4

27、為勢(shì)能若Ek=Ep,由于Ek+Ep=E一1112故Ep=EkEkAp222這時(shí)若物體位移為x1,則1kxi2=1kA2,x1=土2A2222即在位移土亙處，動(dòng)能和勢(shì)能相等。211-15兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期相同，振幅分別為A=0.05m,A2=0.07m,合成后組成一個(gè)振幅為0.09m的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求兩個(gè)分振動(dòng)的相位解：由同方向、同頻率振動(dòng)合成公式A=.A2A2A1A2cos：:有8s中=a22-N=(609)2-。05)2-。07)2=012AA220.050.07=二841611-16一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng):二5二x1=0.04cos(2t)x2=0.03coS2J)66試求合振動(dòng)的振幅與初相位(式中x以m計(jì)，t以s計(jì)),解：由3TXi=0.04cos2t)m6一一一5二.x2=0.03cos(2t