四年級(jí)奧數(shù)-容斥問題

1、 容斥問題容斥問題主講：劉文峰主講：劉文峰專題簡(jiǎn)析：專題簡(jiǎn)析：容斥問題涉及到一個(gè)重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=NaNbNab。NabNbNa例1 、一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。 分析 解答：完成語文作業(yè)的有37人，完成

2、數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，一共有：3742=79人人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：7948=31人。人。 練練 習(xí)習(xí) 一一1，五年級(jí)有，五年級(jí)有122名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績?nèi)酥辽儆幸婚T功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？都優(yōu)秀的有多少人？2，四年級(jí)一班有，四年級(jí)一班有54人，訂閱人，訂

3、閱小學(xué)生優(yōu)秀作文小學(xué)生優(yōu)秀作文和和數(shù)學(xué)大世界數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有兩種讀物的有13人，訂人，訂小學(xué)小學(xué)生優(yōu)秀作文生優(yōu)秀作文的有的有45人，每人至少訂一種讀物，人，每人至少訂一種讀物，訂訂數(shù)學(xué)大世界數(shù)學(xué)大世界的有多少人？的有多少人？3，學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知，學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有人，會(huì)彈電子琴的有17人，其人，其中兩種樂器都會(huì)演奏的有中兩種樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共人。這個(gè)文藝組一共有多少人？有多少人？例2 、某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人

4、。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？分析 與解答：已知答對(duì)第一題的有25人，兩題都答對(duì)的有15人，可以求出只答對(duì)第一題的有：2515=10人。人。又已知答對(duì)第二題的有23人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)：1023=33人。人。所以，兩題都答得不對(duì)的有：3633=3人。人。 練 習(xí) 二1，五（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加科技小組，有19人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？2，一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有32人，訂閱中國少年報(bào)的有29人，兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？3，某校選出50

5、名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了，有27人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人，問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？例例3、某班有某班有56人，參加語文人，參加語文競(jìng)賽的有競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)?cè)?，參加?shù)學(xué)競(jìng)賽的有賽的有27人，如果兩科都沒人，如果兩科都沒有參加的有有參加的有25人，那么同時(shí)人，那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？有多少人？分析分析 、要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)：5625=31人，人，再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：282731=24人。 練練 習(xí)習(xí) 三三1，一個(gè)旅行社有，一個(gè)旅行社有36人，

6、其中會(huì)英語的有人，其中會(huì)英語的有24人，會(huì)法人，會(huì)法語的有語的有18人，兩樣都不會(huì)的有人，兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多人。兩樣都會(huì)的有多少人？少人？2，一個(gè)俱樂部有，一個(gè)俱樂部有103人，其中會(huì)下中國象棋的有人，其中會(huì)下中國象棋的有69人，人，會(huì)下國際象棋的有會(huì)下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人。人。問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？3，三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有，三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有40人，參加舞蹈隊(duì)的人，參加舞蹈隊(duì)的有有20人，既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有人，既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人。這兩人。這兩隊(duì)都沒有參加的有

7、隊(duì)都沒有參加的有10人。請(qǐng)算一算，這個(gè)班共有多少人。請(qǐng)算一算，這個(gè)班共有多少人？人？例4、在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析：從1到100的自然數(shù)中，減去5或6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有1005=20個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)（1006=164），其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個(gè)（10030=310）。因此，是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16203=33個(gè)，既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：10033=67個(gè)。 練練 習(xí)習(xí) 四四1，在1到200的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？2，在1到130

8、的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3，五（1）班做廣播操，全班排成4行，每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個(gè)，從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？例5 、光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？分析 ：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。2422=46幅，這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的10

9、幅作品，即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)，再除以2，即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。（242210）2=18幅。 練練 習(xí)習(xí) 五五1，科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)，科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有學(xué)生的科技作品，其中有110件不是一年級(jí)的，有件不是一年級(jí)的，有100件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共有件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共有32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？2，六（，六（1）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有25幅畫不是三年級(jí)的，幅畫不是三年級(jí)的，有有19幅畫不是四年級(jí)的，三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫幅畫不是四年級(jí)的，三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫共有共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？3，實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展，學(xué)校的櫥窗里展出，實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展，學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有28幅不是五年級(jí)幅不是五年級(jí)的，有的，有24幅不是六年級(jí)的，