1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析1、分式的定義：例：下列式子中，、8a2b、-、2-、 、中分式的個(gè)數(shù)為（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有 .； ；.（2）下列式子，哪些是分式？； ； ；.2、分式有，無(wú)意義，總有意義：（1）使分式有意義：令分母0按解方程的方法去求解；（2）使分式無(wú)意義：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（0）例1：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義； 例2：分式中，當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義例3：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義。 例4：當(dāng)x 時(shí)，分式有意義例5：，滿足關(guān)系 時(shí)，分式無(wú)意義；例6：無(wú)論x取什么數(shù)時(shí)，總是有意義的分
2、式是（ ）A B. C. D.例7：使分式 有意義的x的取值范圍為（）ABCD例8：要是分式?jīng)]有意義，則x的值為（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3同步練習(xí)題：3、分式的值為零：使分式值為零：令分子=0且分母0，注意：當(dāng)分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：當(dāng)x 時(shí)，分式的值為0 例2：當(dāng)x 時(shí)，分式的值為0例3：如果分式的值為為零,則a的值為( ) A. B.2 C. D.以上全不對(duì)例4：能使分式的值為零的所有的值是 （ ）A B C 或 D或例5：要使分式的值為0，則x的值為（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若,則a是( )A
3、.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.任意有理數(shù)4、分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。 例1： ； ；如果成立,則a的取值范圍是_；例2： 例3：如果把分式中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（ ）A、擴(kuò)大10倍 B、縮小10倍 C、是原來(lái)的20倍 D、不變例4：如果把分式中的x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（ ） A擴(kuò)大100倍 B擴(kuò)大10倍 C不變 D縮小到原來(lái)的例5：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小2倍例6：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍；
4、 B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小2倍例7：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小倍例8：若把分式的x、y同時(shí)縮小12倍，則分式的值（）A擴(kuò)大12倍B縮小12倍C不變D縮小6倍例9：若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）A、 B、 C、 D、例10：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）A B C D 例11：不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù)， ；例12：不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)， = 。5、分式的約分及最簡(jiǎn)分式：約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫
5、做分式的約分分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式約分的結(jié)果：最簡(jiǎn)分式（分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項(xiàng)式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項(xiàng)式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正確的是（ ）A 、1個(gè) B 、2 個(gè) C、 3 個(gè) D、 4 個(gè)例2：下列約分正確的是（ ）A、； B、； C、； D、例3：下列式子正確的是( )A B. C. D.例4：下列運(yùn)算正確的是（ ）A、 B、 C、
6、 D、例5：下列式子正確的是（ ）A B C D例6：化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A、 B、 C、 D、例7：約分： ；= ； 。例8：約分： ； ； ； ； ； _。例9：分式，中，最簡(jiǎn)分式有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6、分式的乘，除，乘方：分式的乘法：乘法法測(cè)：·=.分式的除法：除法法則：÷=·=分式的乘方：求n個(gè)相同分式的積的運(yùn)算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：()n=(n為正整數(shù))例題：計(jì)算：（1） （2） （3）計(jì)算：（4） （5） （6） 計(jì)算：（7） （8） （9）計(jì)算：（10） （11） （1
7、2） 計(jì)算：（13） （14）求值題：（1）已知：，求的值。 （2）已知：，求的值。 （3）已知：，求的值。例題：計(jì)算：（1） （2）= （3）= 計(jì)算：（4）= （5） （6）求值題：（1）已知： 求的值。（2）已知：求的值。例題：計(jì)算的結(jié)果是（ ）A B C D 例題：化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A. 1 B. xy C. D . 計(jì)算：（1）；（2） （3）(a21)·÷7、分式的通分及最簡(jiǎn)公分母：通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項(xiàng)式；第二類：分母是多項(xiàng)式（要先把分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸⑷毙停褐笌讉€(gè)分母之間沒(méi)有
8、關(guān)系，最簡(jiǎn)公分母就是它們的乘積。例如：最簡(jiǎn)公分母就是?！岸?、四”型：指其一個(gè)分母完全包括另一個(gè)分母，最簡(jiǎn)公分母就是其一的那個(gè)分母。例如：最簡(jiǎn)公分母就是“四、六”型：指幾個(gè)分母之間有相同的因式，同時(shí)也有獨(dú)特的因式，最簡(jiǎn)公分母要有獨(dú)特的；相同的都要有。例如：最簡(jiǎn)公分母是：這些類型自己要在做題過(guò)程中仔細(xì)地去了解和應(yīng)用，仔細(xì)的去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。例1：分式的最簡(jiǎn)公分母是（ ）A B C D例2：對(duì)分式，通分時(shí)， 最簡(jiǎn)公分母是（ ）Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最簡(jiǎn)分式有（ ）個(gè)。A. 4B. 3C. 2D. 1例4：分式，的最簡(jiǎn)公分母是 .例5：分式a與的最簡(jiǎn)公分母為_；例6：分式的最簡(jiǎn)公
9、分母為 。8、分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，如果是單項(xiàng)式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)行通分；如果是多項(xiàng)式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例1：= 例2：= 例3：= 例4：= 計(jì)算：（1） （2） （3） （4） . 例5：化簡(jiǎn)+等于（ ） A B C D例6： 例7： 例8： 例9： 例10： 例11： 例12： 練習(xí)題：（1） （2）
10、 （3） +. （4） （5） 例13：計(jì)算的結(jié)果是（ ）A B C D 例14：請(qǐng)先化簡(jiǎn)：，然后選擇一個(gè)使原式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.例15：已知： 求的值。9、分式的混合運(yùn)算：例1： 例2：例3： 例4： 例5： 例6： 例7 例8： 例9： 練習(xí)題：10、分式求值問(wèn)題：例1：已知x為整數(shù)，且+為整數(shù)，求所有符合條件的x值的和.例2：已知x2，y，求÷的值.例3：已知實(shí)數(shù)x滿足4x2-4x+l=O，則代數(shù)式2x+的值為_例4：已知實(shí)數(shù)a滿足a22a8=0，求的值.例5：若 求的值是（ ）A B C D例6：已知，求代數(shù)式的值例7：先化簡(jiǎn)，再對(duì)取一個(gè)合適的數(shù)，代入求值練習(xí)題：（
11、1），其中x=5. （2）,其中a=5 （3）,其中a=-3，b=2（4） ；其中a=85； （5），其中x= -1（6）先化簡(jiǎn)，再求值：÷(x+2).其中x2.（7）（8）先化簡(jiǎn)，再選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值11、分式其他類型試題：例1：觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，根據(jù)其規(guī)律可知第個(gè)數(shù)應(yīng)是（n為正整數(shù)）例2： 觀察下面一列分式：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項(xiàng)是 ，第n項(xiàng)是 。例3：按圖示的程序計(jì)算，若開始輸入的n值為4，則最后輸出的結(jié)果m是 （ ）A 10 B 20 C 55 D 50例4：當(dāng)x=_時(shí),分式與互為相反數(shù).例5：在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算，其規(guī)則為，根據(jù)這個(gè)規(guī)則的解為（） AB
12、C或1D或例6：已知，則；例7： 已知，則（）AB C D例8：已知，求的值；例9：設(shè),則的值是( ) A. B.0 C.1 D.例10：請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式44 4 2例11：先填空后計(jì)算：= 。= 。= 。（3分）（本小題4分）計(jì)算：解：= 12、化為一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。（2）解分式方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式（最簡(jiǎn)公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。（3）解分式方程的步驟 ：（1
13、）能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)； (2)方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程； (3)解整式方程； (4)驗(yàn)根例1：如果分式的值為1，則x的值是 ；例2：要使的值相等，則x=_。例3：當(dāng)m=_時(shí)，方程=2的根為.例4：如果方程 的解是x5，則a 。例5：(1) (2) 例6:解方程：例7：已知：關(guān)于x的方程無(wú)解，求a的值。例8：已知關(guān)于x的方程的根是正數(shù)，求a的取值范圍。例9：若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為_；例10：當(dāng)m為何值時(shí)間？關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？例11：解關(guān)于的方程例12：解關(guān)于x的方程:例13：當(dāng)a為何值時(shí), 的解是負(fù)數(shù)?例14：先化簡(jiǎn),再求值:,其中x,y滿足方程組例15知關(guān)于x的方
14、程的解為負(fù)值，求m的取值范圍。練習(xí)題： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8） （9） 13、分式方程的增根問(wèn)題：（1）增根應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，則m= 例2：當(dāng)k的值等于 時(shí)，關(guān)于x的方程不會(huì)產(chǎn)生增根；例3：若解關(guān)于x的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，求m的值。例4：取 時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根；例5：若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為_。例6：當(dāng)k取什么
15、值時(shí)？分式方程有增根.例7：若方程有增根，則m的值是（ ）A4 B3 C-3 D1例8：若方程有增根，則增根可能為（ ）A、0 B、2 C、0或2 D、114、分式的求值問(wèn)題：例1：已知，分式的值為 ；例2：若ab=1，則的值為 。例3：已知 ，那么_ ；例4：已知，則的值為（ ）A B C D 例5：已知，求的值；例6：如果=2，則= 例7：已知與的和等于，則a= , b = 。例8：若，則分式（ ）A、 B、 C、1 D、1例9：有一道題“先化簡(jiǎn)，再求值：，其中?！毙×嶙鲱}時(shí)把“”錯(cuò)抄成了“”，但她的計(jì)算結(jié)果也是正確的，請(qǐng)你解釋這是怎么回事？例10：有這樣一道數(shù)學(xué)題:“己知:a=2005,
16、求代數(shù)式a(1+)的值”,王東在計(jì)算時(shí)錯(cuò)把“a=2005”抄成了“a=2050”，但他的計(jì)算結(jié)果仍然正確，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)這是怎么回事。例11：有這樣一道題：“計(jì)算：的值，其中”，某同學(xué)把錯(cuò)抄成，但它的結(jié)果與正確答案相同，你說(shuō)這是怎么回事？例題：已知，求的值。15、分式的應(yīng)用題：（1）列方程應(yīng)用題的步驟是什么？ (1)審；(2)設(shè)；(3)列；(4)解；(5)答（2）應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有四種：a.行程問(wèn)題：基本公式：路程=速度×時(shí)間而行程問(wèn)題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題b.數(shù)字問(wèn)題： 在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法c.工程問(wèn)題： 基本公式：工作量=工時(shí)×工效d.
17、順?biāo)嫠畣?wèn)題: v順?biāo)?v靜水+v水 v逆水=v靜水-v水工程問(wèn)題：例1：一項(xiàng)工程，甲需x小時(shí)完成，乙需y小時(shí)完成，則兩人一起完成這項(xiàng)工程需要_ 小時(shí)。例2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個(gè)字，小明打120個(gè)字所用的時(shí)間和小張打180個(gè)字所用的時(shí)間相等。設(shè)小明打字速度為x個(gè)/分鐘，則列方程正確的是（ ）A B C D 例3：某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成,如果甲工程隊(duì)獨(dú)做,恰好如期完成; 如果乙工作隊(duì)獨(dú)做,則超過(guò)規(guī)定日期3天,現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作2天,剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做,恰好在規(guī)定日期完成,求規(guī)定日期.如果設(shè)規(guī)定日期為x天,下面所列方程中錯(cuò)誤的是( )A.; B.; C.; D.例
18、4：一件工程甲單獨(dú)做小時(shí)完成，乙單獨(dú)做小時(shí)完成，甲、乙二人合作完成此項(xiàng)工作需要的小時(shí)數(shù)是（）（A） （B） （C） （D）例5：趙強(qiáng)同學(xué)借了一本書，共280頁(yè)，要在兩周借期內(nèi)讀完，當(dāng)他讀了一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)平時(shí)每天要多讀21頁(yè)才能在借期內(nèi)讀完.他讀了前一半時(shí),平均每天讀多少頁(yè)?如果設(shè)讀前一半時(shí),平均每天讀x頁(yè),則下列方程中,正確的是（ ）A、 B、 B、 D、例6：某煤廠原計(jì)劃天生產(chǎn)120噸煤，由于采用新的技術(shù)，每天增加生產(chǎn)3噸，因此提前2天完成任務(wù)，列出方程為（ ）A B C D 例7：某工地調(diào)來(lái)72人參加挖土和運(yùn)土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部運(yùn)走，問(wèn)怎樣調(diào)配勞動(dòng)力才使挖出來(lái)的土能及時(shí)運(yùn)走
19、且不窩工？要解決此問(wèn)題，可設(shè)派人挖土列方程；例8：八（1）、八（2）兩班同學(xué)參加綠化祖國(guó)植樹活動(dòng)，已知八（1）班每小時(shí)比八（2）班多種2棵樹，八（1）班種66棵樹所用時(shí)間與八（2）班種60棵樹所用時(shí)間相同，求：八（1）、八（2）兩班每小時(shí)各種幾棵樹？例9：某一一項(xiàng)工程預(yù)計(jì)在規(guī)定的日期內(nèi)完成，如果甲獨(dú)做剛好能完成，如果乙獨(dú)做就要超過(guò)日期3天，現(xiàn)在甲、乙兩人合做2天，剩下的工程由乙獨(dú)做，剛剛好在規(guī)定的日期完成，問(wèn)規(guī)定日期是幾天？例10：服裝廠接到加工720件衣服的訂單，預(yù)計(jì)每天做48件，正好可以按時(shí)完成，后因客戶要求提前5天交貨，則每天應(yīng)比原計(jì)劃多做多少件？例11：為加快西部大開發(fā)的步伐，決定新修
20、一條公路，甲、乙兩工程隊(duì)承包此項(xiàng)工程。如果甲工程隊(duì)單獨(dú)施工，則剛好可以按期完成；如果乙工程隊(duì)單獨(dú)施工就要超過(guò)6個(gè)月才能完成?，F(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)先共同施工4個(gè)月，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)施工，則也剛好可以按期完成。問(wèn)師宗縣原來(lái)規(guī)定修好這條公路需多長(zhǎng)時(shí)間？例12：某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共4350元；乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共4750元；甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共2750元。（1）求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過(guò)20天完成全部工程，問(wèn)可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說(shuō)明理由。價(jià)格價(jià)錢問(wèn)題：例1：“五
21、一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了3元錢車費(fèi)，設(shè)參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（）A B C D例2：用價(jià)值100元的甲種涂料與價(jià)值240元的乙種涂料配制成一種新涂料，其每千克售價(jià)比甲種涂料每千克售價(jià)少3元，比乙種涂料每千克的售價(jià)多1元，求這種新涂料每千克的售價(jià)是多少元？若設(shè)這種新涂料每千克的售價(jià)為x元，則根據(jù)題意可列方程為_例3：某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問(wèn)甲、乙同種工種各
22、招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？例4：為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次捐款人數(shù)多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人進(jìn)行捐款？例5：隨著IT技術(shù)的普及，越來(lái)越多的學(xué)校開設(shè)了微機(jī)課.某初中計(jì)劃拿出72萬(wàn)元購(gòu)買電腦，由于團(tuán)體購(gòu)買，結(jié)果每臺(tái)電腦的價(jià)格比計(jì)劃降低了500元，因此實(shí)際支出了64萬(wàn)元.學(xué)校共買了多少臺(tái)電腦？若每臺(tái)電腦每天最多可使用4節(jié)課，這些電腦每天最多可供多少學(xué)生上微機(jī)課？(該校上微機(jī)課時(shí)規(guī)定為單人單機(jī))例6：光明中學(xué)兩名教師帶領(lǐng)若干名三好學(xué)生去參加
23、夏令營(yíng)活動(dòng)，聯(lián)系了甲、乙兩家旅游公司，甲公司提供的優(yōu)惠條件是：1名教師收行業(yè)統(tǒng)一規(guī)定的全票，其余的人按折收費(fèi)，乙公司則是：所有人全部按8折收費(fèi)經(jīng)核算甲公司的優(yōu)惠價(jià)比乙公司的優(yōu)惠價(jià)便宜，那么參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)是多少人？例7：北京奧運(yùn)“祥云”火炬2008年5月7日在羊城傳遞，熊熊燃燒的奧運(yùn)圣火將在羊城傳遞和平、友誼、進(jìn)步的“和平之旅”，廣州市民萬(wàn)眾喜迎奧運(yùn)。某商廈用8萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)紀(jì)念運(yùn)動(dòng)休閑衫，面市后供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價(jià)貴了4元，商廈銷售這種運(yùn)動(dòng)休閑衫時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，請(qǐng)問(wèn)在這兩筆生意
24、中，商廈共贏利多少元？順?biāo)嫠畣?wèn)題：例1：A、B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時(shí)，已知水流速度為4千米/時(shí)，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，則可列方程（ ）A、 B、 C、 D、例2：一只船順流航行90km與逆流航行60km所用的時(shí)間相等，若水流速度是2km/h，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中速度為xkm/h，則可列方程（ ）A、= B、= C、+3= D、+3=例3：輪船順流航行66千米所需時(shí)間和逆流航行48千米所需時(shí)間相同，已知水流速度是每小時(shí)3千米，求輪船在靜水中的速度。行程問(wèn)題：例1：在一段坡路，小明騎自行車上坡的速度為每小時(shí)V1千米，下坡時(shí)的速度為每小時(shí)V2千米，則他在這段路上、下坡的平均速度是每小時(shí)（ ）A、千米 B、千米 C、千米
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