第13章動能定理

1、第十三章 動能定理動量和動量矩是描述物體作機械運動時與周圍物體進行機械運動交換的物理量，動能是描述物體作機械運動時所具有的能量。這一章我們要學習物體動能的變化與作用在物體上力的功之間的關(guān)系動能定理。§13.1 力的功一、常力作直線運動的功設(shè)物體在大小和方向都不變的力作用下，沿直線運動，其位移為，力對物體所作的功為 式中力與位移間的夾角。功是代數(shù)量，當0時，力作正功W120；當0時，力作負功W120；當時，力不作功W12=0。功的單位為焦耳（J），。二、變力在曲線運動中的功元功 力在全路程上作的功等于元功之和，即 用解析表達式 三、下面給出幾種常見力所作的功1、重力的功設(shè)質(zhì)點沿軌道由M

2、1 運動到M2，如圖所示。其重力P=mg在直角坐標軸上的投影為Fx=0， Fy=0， Fz=mg重力作功為 可見重力作功僅與質(zhì)點運動開始和末了位置的高度差（z1z2）有關(guān)，與運動軌跡的形狀無關(guān)。2、彈性力的功 上式是計算彈性力作功的普遍公式。可見，彈性力的功只與彈簧始末位置的變形量有關(guān)，與力作用點A的軌跡形狀無關(guān)。3、力對軸之矩的功在力F作用下，繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體。力F在作用點A處的微小位移中所作的元功為 于是力F在剛體從角到轉(zhuǎn)動過程中作的功為 若力對軸的矩不變，則有 4、平面運動剛體上力系的功設(shè)有多個力作用于平面運動剛體上。取剛體的質(zhì)心C為基點，當剛體有無限小位移時，任一力Fi作用點Mi的位移

3、為力Fi在點Mi位移上元功：力系所作元功之和為為力系主矢，MC為力系對質(zhì)心的主矩。剛體質(zhì)心C由C1移到C2，同時剛體又由轉(zhuǎn)到角度時，可見，平面運動剛體上力系的功就等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶做功之和。§13-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能動能是標量，恒取正值。單位：J（焦耳）二、質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各點動能的代數(shù)和稱為質(zhì)點系的動能，即（1）平移剛體的動能（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能是剛體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量。即繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半。（3）平面運動剛體的動能取剛體質(zhì)心C所在的平面圖形，設(shè)點P是某瞬時的瞬心，是平面圖形轉(zhuǎn)動的角速度，于是

4、作平面運動的剛體的動能為，JP是剛體對于瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量。將轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理代入，有 即作平面運動的剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和。例1 圖示系統(tǒng)是由均質(zhì)圓盤A、B以及重物D組成。A、B各重P，半徑均為R。圓盤A繞定軸轉(zhuǎn)動，圓盤B沿水平面作純滾動，且兩圓盤中心的連線OC為水平線。重物D重為Q，在圖示瞬時的速度為v。若繩的質(zhì)量不計，求此時系統(tǒng)的動能。解 系統(tǒng)中圓盤A作定軸轉(zhuǎn)動，圓盤B作平面運動，重物D作平動。圓盤A的角速度：；圓盤B的角速度：；圓盤B質(zhì)心C的速度：重物D的動能：T1圓盤A的動能： 圓盤B的動能：此時整個系統(tǒng)的動能為TT1T2T3§13-3 動

5、能定理動能變化與作用力所作功之間的關(guān)系，即動能定理。動能定理有微分型和積分型兩種。一、質(zhì)點的動能定理 質(zhì)點動能定理的微分形式積分上式得 質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點上的力作的功。二、質(zhì)點系的動能定理對每個質(zhì)點都可以列出：， 上式就是質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的變化，等于作用于質(zhì)點系上所有力的元功和。積分上式：質(zhì)點系在運動過程中，動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力所做的功的代數(shù)和。三、理想約束約束力做功等于零的約束稱為理想約束。（1）對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束，如光滑鉸支座、固定端等約束，顯然其約束反力也不做功。在理想約束條件下，質(zhì)點系動能的改變只與主動力做功有關(guān)，動能

6、定理中只需計算主動力所作的功。（2）光滑鉸鏈、剛性二力構(gòu)件以及不可伸長的細繩等作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時，其單個的約束力不一定不做功，但一對約束力做功之和等于零，也都是理想約束。（3）當輪子在固定面上只滾不滑時，接觸點為瞬心，滑動摩擦力作用點沒動，此時的滑動摩擦力也不做功。因此，不計滾動摩阻時，純滾動的接觸點也是理想約束。（4）必須注意的是，作用于質(zhì)點系的力既有外力，也有內(nèi)力，在某些情形下，內(nèi)力雖然等值反向，但所做功的和并不等于零。例如，由兩個相互吸引的質(zhì)點M1和M2組成的質(zhì)點系，兩質(zhì)點相互作用的力F12和F21是一對內(nèi)力。內(nèi)力所作的功的和一般不等于零。（5）剛體所有內(nèi)力做功的和等于零。不可伸長的柔繩

7、、鋼索等所有內(nèi)力做功的和也等于零。從以上分析可見，在應用質(zhì)點系的動能定理時，要根據(jù)具體情況仔細分析所有的作用力，以確定它是否做功；應注意：理想約束的約束反力不做功，而質(zhì)點系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。例2 物塊重P =200N，置于傾角 =30º 的斜面上，受水平推力F =500N的作用沿斜面向上移動的距離為S =5m，物塊與斜面間的摩擦系數(shù)為f =0.25。求力F對物塊所作的功及物塊動能的增量。解： 取物塊為研究對象 FN = 423.2N WF =FScos30º=2165JWP= -PS·sin30º=-500JW摩= -FfS= -f FN S

8、=-529J 例3、質(zhì)量為m =2kg的物塊M，放在傾角 =30º 的斜面上。彈簧一端固定，另一端連物塊，彈簧原長為AB，剛性系數(shù)c =3N/m。物塊與斜面間的摩擦系數(shù)為f = 0.1 。物塊由位置B從靜止開始下滑，不計彈簧質(zhì)量。求物塊沿斜面下滑的最大距離S 。 解： 取物塊為研究對象 FN =17.32N 摩由質(zhì)點動能定理摩 解得 例4、圖示為高爐上料卷揚系統(tǒng)，已知啟動時加在卷筒上的不變力矩為，料車及礦石的質(zhì)量為m1，斜橋傾斜角為，卷筒O的質(zhì)量為m2，半徑為，對轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑為。繩的質(zhì)量和摩擦都忽略不計，試用動能定理求料車由靜止開始沿軌道上升路程為S時的速度v。解： 取料車和卷筒為

9、質(zhì)點系初始位置時系統(tǒng)的動能為 設(shè)料車由靜止上升S路程時的速度為，卷筒的角速度為，轉(zhuǎn)角為，則系統(tǒng)的動能為 將代入得 各力做功代數(shù)和為 由動能定理 解得 例5 絞車的鼓輪質(zhì)量為m1，半徑為r，視為均質(zhì)圓柱，繩索另一端有一個質(zhì)量為m2的重物。鼓輪在不變轉(zhuǎn)矩M的作用下，通過繩索牽引重物沿傾角為的斜面上升，如圖所示。設(shè)開始時系統(tǒng)靜止，不計各處摩擦，求當鼓輪轉(zhuǎn)過角后的角速度和角加速度。解 取鼓輪和重物為研究對象，以鼓輪從靜止開始轉(zhuǎn)過角作為研究過程。在這個過程中，重物上升一段距離sr。起始瞬時系統(tǒng)的動能：T00設(shè)過程終了瞬時輪的角速度為，則重物的速度vr，此時系統(tǒng)的動能T1各力作功的和：由質(zhì)點系動能定理：

10、（1）于是得： 將式（1）兩端對時間t求導數(shù)，得：兩邊同時消去，即得鼓輪的角加速度§13-4 功率、功率方程、機械效率一、功率單位時間力所作的功稱為功率，以P表示。即功率等于力與速度的標積，或等于力在速度方向的投影與速度大小的乘積。當功率一定時，越大，則v越??；反之越小，則v越大。如1：機床加工時，如果切削力較大，必須選擇較小的切削速度。如2：汽車上坡時，駕駛員一般選取用低速檔。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為即作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。單位W（瓦特），1W=1J/S二、功率方程取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點系動能對

11、時間的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。對機器而言，上式右端包含輸入功率P輸入，即作用于機器的主動力的功率；輸出功率，即有用功率P有用；損耗功率，即無用功率P無用；后兩者應取負值。寫成P輸入-P有用-P無用即系統(tǒng)的輸入功率等于有用功率、無用功率和系統(tǒng)動能的變化率的和。三、機械效率工程實際中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率和使系統(tǒng)動能改變的功率）與輸入功率的比值稱為機器的機械效率，用表示，即其中，有效功率= P有用+。由上式可知，機械效率表明機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標之一。顯然一般情況下，<1。§13-5 勢力場.勢能.機械能守恒

12、定律一、勢力場如果物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為勢力場，或保守力場。在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力或保守力。重力、彈性力、萬有引力也是保守力。于是重力場、彈性力場、萬有引力場都是勢力場。二、勢能在勢力場中，質(zhì)點從點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能。以V表示為點M0的勢能等于零，我們稱它為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對于零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。幾種常見的勢能：（1）重力場中的勢能重力P在各軸

13、上的投影為 Fx=0, Fy=0, Fz=mg取M0為零勢能點，則點M的勢能為（2）彈性力場中的勢能設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接，彈簧的剛度系數(shù)為k。取點M0為零勢能點，則質(zhì)點的勢能計算式中，和0分別為彈簧端點在M和M0的變形量。取彈簧的自然位置為零勢能點，則0=0，則上式為（3）萬有引力場中的勢能設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點受質(zhì)量為m2物體的萬有引力F作用。取點A0為零勢能點，則質(zhì)點在點A的勢能計算式中f為引力常數(shù)，r0是質(zhì)點的矢量方向的單位矢量。r0·dr為矢徑增量dr在矢徑方向的投影，它等于矢徑長度的增量dr，即r0·dr0=dr。設(shè)r1是零勢能點的矢徑，有如果選取的零勢

14、能點在無窮遠處，即r1=，則上式為上述計算表明，萬有引力作功只決定于質(zhì)點運動的初始位置A和終了位置A0，與點的軌跡形狀無關(guān)，萬有引力場確為勢力場。勢力場中質(zhì)點系的勢能等于所有各質(zhì)點勢能的總和即 。例如質(zhì)點系在重力場中，取各質(zhì)點的z坐標分別等于z10，z20，zn0時為零勢能位置則質(zhì)點系各質(zhì)點z坐標為z1,z2,zn時的勢能為質(zhì)點系在勢力場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。當質(zhì)點系受數(shù)個有勢力作用在勢力場中運動時，各有勢力所作的功的代數(shù)和等于質(zhì)點系在運動過程中的初始與終了位置的勢能的差。三、機械能守恒定律質(zhì)點系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。設(shè)質(zhì)點系在運動過程的初始和終了瞬時的動能分別為

15、T1和T2，所受力在這過程中所作的功為W12，根據(jù)動能定理有T2-T1=W12如系統(tǒng)運動中，只有勢力作功，而有勢力的功可用勢能計算，即T2-T1=W12=V2-V1移項后得T1+V1=T2+V2 上式為機械能守恒定律的數(shù)學表達式，即質(zhì)點系在有勢力的作用下運動時，其機械能保持不變。這樣的質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)。如果質(zhì)點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機械能不守恒。從廣義的能量觀點來看，無論什么系統(tǒng)，總能量是不變的，這是能量守恒原理。質(zhì)點系運動過程中，機械能的增或減，說明機械能與其它形式的能量（如熱能、電能等）有相互轉(zhuǎn)化。例6 圖所示鼓輪D勻速轉(zhuǎn)動，鋼索的剛性系數(shù)k=3.35

16、15;106N/m，下端重物質(zhì)量為m=250kg，以v=0.5m/s勻速下降。求鼓輪突然被卡住時，鋼索的最大張力。解 鼓輪勻速轉(zhuǎn)動時，重物處于平衡狀態(tài)，卡住前瞬時鋼索的伸長量，鋼索的張力為： （a）鼓輪被卡住后，由于慣性，重物將繼續(xù)下降，鋼索繼續(xù)伸長，鋼索對重物作用的彈性力逐漸增大，重物的速度逐漸減小。當速度等于零時，彈性力達最大值，即為鋼索的最大張力。因重物只受重力和彈性力的作用，因此系統(tǒng)的機械能守恒。取重物平衡位置I為重力和彈性力的零勢能點，則在I、兩位置系統(tǒng)的動能、勢能分別為，；，根據(jù)機械能守恒定律，有注意到，上式可以改寫為解得 因max應大于st，因此上式應取正號。鋼索的最大張力為 (

17、b)比較（a）、（b）知，鼓輪被突然卡住后，鋼索的張力增大了5.9倍。例7 求第二宇宙速度。解 第二宇宙速度是使宇宙飛船能脫離地球引力場，從地面發(fā)射所需的最小速度。取宇宙飛船為研究的質(zhì)點，設(shè)飛船質(zhì)量為m1，地球質(zhì)量為m2。飛船僅受地球引力的作用，在引力場內(nèi)運動時機械能守恒。取離地球無限遠處為零勢能點，設(shè)在地球表面附近飛船的速度為v1，此后某一時刻的速度為v2，根據(jù)機械能守恒定律有欲使宇宙飛船脫離地球引力場飛向太空，應在r2處時，v2=0，又有r1=R=6370km（地球半徑），代入上式，可求得第二宇宙速度為：在地球表面，地球引力等于重力，即,所以代入上式，得：由以上各例可見，應用機械能守恒定律解題的步驟如下：（1）選取某質(zhì)點或質(zhì)點系為研究對象，分析研究對象所受的力，所有作功的力都應為有勢力；（2）確定運動過程的始、末位置；（3）確定零勢能位置，分別計算兩位置的動