第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念濾波器：濾波器：模擬濾波器

2、：模擬濾波器：數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)：u 精度高精度高u 穩(wěn)定穩(wěn)定u 體積小、重量輕體積小、重量輕u 靈活靈活u 不存在阻抗匹配問(wèn)題不存在阻抗匹配問(wèn)題u 可實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能可實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能利用利用A/DC和和D/AC，可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。，可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念

3、 1. 1. 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi)（1） 根據(jù)有用信號(hào)與干擾的頻帶位置根據(jù)有用信號(hào)與干擾的頻帶位置 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器： 輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶各占有不同的頻帶，通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干，通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)。擾，得到純凈信號(hào)。 經(jīng)經(jīng)典典濾濾波波器器現(xiàn)現(xiàn)代代濾濾波波器器第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.1.1 用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取號(hào)用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取號(hào)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)

4、計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念1. 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi) （1） 根據(jù)有用信號(hào)與干擾的頻帶位置根據(jù)有用信號(hào)與干擾的頻帶位置 現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器： 如果信號(hào)和干擾頻譜相互重疊，就需要現(xiàn)代濾波器。如果信號(hào)和干擾頻譜相互重疊，就需要現(xiàn)代濾波器。它根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些它根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性，在某種，在某種最佳準(zhǔn)則最佳準(zhǔn)則下，下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地恢復(fù)信號(hào)。最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地恢復(fù)信號(hào)。 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等。維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等。 經(jīng)經(jīng)典典濾濾波波器器現(xiàn)現(xiàn)代代濾濾波波器器第第6章章 無(wú)限

5、脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 1. 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi) （2）根據(jù)濾波特性劃分）根據(jù)濾波特性劃分 由于它們的單位脈沖響應(yīng)均是非因果且無(wú)限長(zhǎng)的，由于它們的單位脈沖響應(yīng)均是非因果且無(wú)限長(zhǎng)的，設(shè)計(jì)時(shí)只能在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，無(wú)法實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)時(shí)只能在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，無(wú)法實(shí)現(xiàn)。 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)都以都以2為周期。為周期。 低通濾波器的通頻帶中心：低通濾波器的通頻帶中心：2的整數(shù)倍的整數(shù)倍處；處； 高通濾波器的通頻帶中心：高通濾波器的通頻帶中心： 的奇數(shù)倍的奇數(shù)倍處

6、。處。 一般在一般在-, 描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。 低低通通高高通通帶帶通通帶帶阻阻第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念1. 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi)（3） 根據(jù)單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度根據(jù)單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度 （實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）（實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)

7、結(jié)構(gòu)）N 階階IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)：濾波器系統(tǒng)函數(shù)：01( )1MrrrNkkkb zH za z 10( )( )NnnH zh n z IIRFIR 無(wú)無(wú)限限脈脈沖沖響響應(yīng)應(yīng)（）濾濾波波器器有有限限脈脈沖沖響響應(yīng)應(yīng)（）濾濾波波器器N-1階階FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)：濾波器系統(tǒng)函數(shù)：第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念1. 數(shù)字濾波器的分類(lèi)數(shù)字濾波器的分類(lèi) （4）根據(jù)濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用）根據(jù)濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用 選頻濾波器：選頻濾波器： 包含低通、高通、帶通、帶阻濾波器等。包含低通、高通、帶通、帶阻濾波器等。

8、其它濾波器：其它濾波器： 微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等 選選頻頻濾濾波波器器其其它它濾濾波波器器第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2. 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) 常用數(shù)字濾波器一般屬于常用數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。選頻濾波器。 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) 用下式表示：用下式表示： |H(ej)|：幅頻特性函數(shù)：幅頻特性函數(shù) 表示信號(hào)通過(guò)濾波器后各頻率成分振幅衰減情況。表示信號(hào)通過(guò)濾波器后各頻率成分振幅衰減情況。 ()：相頻特性函數(shù)：相頻特性函數(shù) 反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情

9、況。反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。 一般選頻濾波器的技術(shù)要求一般選頻濾波器的技術(shù)要求由由幅頻特性幅頻特性給出給出。()()()jjjH eH ee ()jH e 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.1.3 低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)p：通帶邊界頻率通帶邊界頻率 通帶頻率范圍為通帶頻率范圍為0|p，在通帶中，在通帶中(1-1)|H(ej)|1s：阻帶截止頻率。阻帶截止頻率。 阻帶頻率范圍為阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中，在阻帶中|H(ej)

10、|2。 過(guò)渡帶過(guò)渡帶：從：從p到到s ，過(guò)渡帶上的頻響一般單調(diào)下降。過(guò)渡帶上的頻響一般單調(diào)下降。 p與與s間距越小間距越小, 過(guò)渡帶就越窄。過(guò)渡帶就越窄。 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示：通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示： p：通帶內(nèi)允許的最大衰減通帶內(nèi)允許的最大衰減 p 越小越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小 s： 阻帶內(nèi)允許的最小衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減 s 越大越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越小阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越小第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由下列

11、指標(biāo)確定：數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由下列指標(biāo)確定：jppjmax|(e)|20lgdB , 0min|(e)|HH jsjmax|(e)|20lgdBmax|(e)|HH 通帶通帶阻帶阻帶 PPSS 通通帶帶邊邊界界頻頻率率通通帶帶最最大大衰衰減減阻阻帶帶截截止止頻頻率率阻阻帶帶最最小小衰衰減減第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)片段常數(shù)特性：片段常數(shù)特性： 對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通帶和阻帶對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通帶和阻帶內(nèi)內(nèi)的幅頻響應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒(méi)有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)。曲線形狀沒(méi)有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)。片段：

12、片段：通帶通帶 、阻帶、阻帶常數(shù)：常數(shù)：通帶波紋幅度通帶波紋幅度1 、阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2通帶最大衰減通帶最大衰減 p 1阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s 2 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)對(duì)于單調(diào)下降幅頻特性，對(duì)于單調(diào)下降幅頻特性， p 和和 s 可以表示為：可以表示為：如果將如果將|H(ej0)|歸一化為歸一化為1，上兩式則表示為：，上兩式則表示為： pj0pj|(e )|20lgdB|(e)|HH sj0sj|(e )|20lgdB|(e)|HH pjp20lg|(e)|dBH sjs20lg |(e)|dBH 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的

13、設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 時(shí)，標(biāo)記時(shí)，標(biāo)記 =c此時(shí)此時(shí)c ：3 dB通帶截止頻率通帶截止頻率。p、c、s統(tǒng)稱(chēng)為邊界頻率，是濾波器設(shè)計(jì)中很重要的統(tǒng)稱(chēng)為邊界頻率，是濾波器設(shè)計(jì)中很重要的參數(shù)。參數(shù)。22p20lg0.7073dB 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.1.3 低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述 IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法完全不同。濾波器的設(shè)計(jì)方法完全

14、不同。 IIR濾波器濾波器設(shè)計(jì)方法有設(shè)計(jì)方法有間接法間接法和和直接法直接法： 間接法間接法：借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。：借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。 設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟： （1）先設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)）先設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) （2）將）將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z) 直接法直接法：直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。：直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。 由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。 FIR濾波器濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有：不能采用間接法，

15、常用的設(shè)計(jì)方法有： 窗函數(shù)法窗函數(shù)法、頻率采樣法頻率采樣法、切比雪夫等波紋逼近法切比雪夫等波紋逼近法第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 線性相位濾波器，經(jīng)常采用線性相位濾波器，經(jīng)常采用FIR濾波器濾波器。 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足一定條件時(shí)，其相濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足一定條件時(shí)，其相位特性在整個(gè)頻帶是位特性在整個(gè)頻帶是嚴(yán)格線性嚴(yán)格線性的，這是模擬濾波器無(wú)法的，這是模擬濾波器無(wú)法達(dá)到的。達(dá)到的。 線性相位濾波器也可以采用線性相位濾波器也可以采用IIR濾波器，但必須使用濾波器，但必須使用全通網(wǎng)絡(luò)對(duì)其非線性相位特性進(jìn)行校正，增加了設(shè)計(jì)與全通網(wǎng)絡(luò)對(duì)其非線性相位

16、特性進(jìn)行校正，增加了設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：（1）先將希望設(shè)計(jì)的各種濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通）先將希望設(shè)計(jì)的各種濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通 濾波器技術(shù)指標(biāo)；濾波器技術(shù)指標(biāo)；（2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器；）設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器；（3）采用頻率轉(zhuǎn)換法將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所希望的各種）采用頻率轉(zhuǎn)換法將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所希望的各種 濾波器。濾波器。 本章只介紹本章只介紹IIR濾波器的濾波器的間接設(shè)計(jì)方法間接設(shè)計(jì)方法。 先介紹先介紹模擬低通濾波器模擬低

17、通濾波器的設(shè)計(jì)，因?yàn)榈屯V波器的的設(shè)計(jì)，因?yàn)榈屯V波器的設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)其他濾波器的基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)其他濾波器的基礎(chǔ)。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇：且有若干典型的模擬濾波器供選擇： 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。電路實(shí)現(xiàn)條件。 巴特沃斯（巴特沃斯（

18、Butterworth）濾波器）濾波器 切比雪夫（切比雪夫（ Chebyshev）濾波器）濾波器 橢圓（橢圓（ Ellipse）濾波器）濾波器 貝塞爾（貝塞爾（Bessel）濾波器）濾波器 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 典型濾波器的特點(diǎn)：典型濾波器的特點(diǎn)：（1）巴特沃斯濾波器具有）巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降單調(diào)下降的幅頻特性；的幅頻特性；（2）切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有）切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有 等波紋特性等波紋特性，可以提高選擇性；，可以提高選擇性；（3）貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的）貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性線

19、性相位特性； （4）橢圓濾波器的）橢圓濾波器的選擇性選擇性相對(duì)前三種是最好的，但相對(duì)前三種是最好的，但 通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特 性的非線性也稍嚴(yán)重。性的非線性也稍嚴(yán)重。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性各種理想濾波器的幅頻特性 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法用用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位沖激表示模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)、

20、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)、線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程描描述模擬濾波器。述模擬濾波器。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt模擬濾波器模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)幅頻響應(yīng)函數(shù)|Ha(j)|給出給出模擬濾波器設(shè)計(jì)就是模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)損耗函數(shù)損耗函數(shù)（衰減函數(shù)）（衰

21、減函數(shù)）A()： 用來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。用來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。 對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)，對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)，A()定義如下：定義如下： 2aa()20lg(j)10lg(j) dBAHH A()和和|Ha(j)|是濾波器幅頻響應(yīng)特性的是濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法兩種描述方法。 損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)： 對(duì)幅頻響應(yīng)對(duì)幅頻響應(yīng)|Ha(j)|的取值的取值非線性壓縮非線性壓縮，放大放大了小的幅了小的幅度，可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。度，可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。 注：直接畫(huà)出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線形狀注：直接畫(huà)出的損耗函數(shù)曲線圖正

22、好與幅頻特性曲線形狀相反，所以，習(xí)慣將相反，所以，習(xí)慣將A()曲線稱(chēng)為損耗函數(shù)。曲線稱(chēng)為損耗函數(shù)。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.2 幅頻響應(yīng)與損耗函數(shù)曲線的比較幅頻響應(yīng)與損耗函數(shù)曲線的比較第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)：模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)： p、s 、 p、 sp ：通帶邊界頻率通帶邊界頻率s ：阻帶截止頻率阻帶截止頻率 p ：通帶最大衰減（通帶通帶最大衰減（通帶0，p中允許中允許A()的最大值）的最大值） s ：阻帶最小衰減（阻帶阻帶最小衰減（阻帶s上允許上允許A()

23、的最小值）的最小值）第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.3 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成： c：3 dB截止頻率。截止頻率。1：通帶波紋幅度：通帶波紋幅度2 ：阻帶波紋幅度，容易得到關(guān)系式：阻帶波紋幅度，容易得到關(guān)系式： 2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H p120lg(1) s220lg 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)

24、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)。 一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此 如果能由如果能由 p、p、 s、s求出求出|Ha(j)|2，就可以求出，就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。 Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在s平面的平面的左半平面，相應(yīng)的左半平面，相應(yīng)的Ha(s)的極點(diǎn)必然落在右半平面。這的極點(diǎn)必然落在右半平

25、面。這就是由就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的求所需要的Ha(s)的具體原則，即模擬的具體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。低通濾波器的逼近方法。 2*aaaaaj|(j)|(j)(j)( )()|sHHHH s Hs 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)1 巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2： N： 濾波器的階數(shù)濾波器的階數(shù)= 0 ：|Ha(j)|=1 =c： ，c是是3 dB截止頻率。截止頻率

26、。在在=c附近，隨附近，隨加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 2a2c1|(j)|1NH |()| 1/2aHj 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.4 巴特沃斯低通濾波器幅度特性巴特沃斯低通濾波器幅度特性第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 幅度特性與幅度特性與和和N的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖6.2.4所示。所示。 幅度下降的速度與階數(shù)幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，有關(guān)，N愈大：愈大：（1）通帶愈平坦）通帶愈平坦（2）過(guò)渡帶愈窄）過(guò)渡帶愈窄（3）過(guò)渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快）過(guò)渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快（4）總的頻

27、響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。）總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。 以以 s 替換替換 j，將幅度平方函數(shù)，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫(xiě)成寫(xiě)成s的函數(shù)：的函數(shù)：aa2c1( )()1jNHs Hss 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 復(fù)變量復(fù)變量s =+j，上式表明幅度平方函數(shù)有，上式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：用下式表示： 式中，式中，k=0，1，2，2N-1。 2N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)等間隔等間隔分布在半徑為分布在半徑為c的圓上的圓上(巴特沃巴特沃斯圓斯圓)，間隔是，間隔是 /N rad。 例如例如N=3，極點(diǎn)間隔

28、為，極點(diǎn)間隔為/3 rad，如下圖所示。，如下圖所示。jcje1121()222( 1)()kNNkcs aa2c1( )()1jNHs Hss 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.5 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)為形成因果穩(wěn)定的濾波器，為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取個(gè)極點(diǎn)中只取s平面平面左半平面的左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表達(dá)式為：的表達(dá)式為： 設(shè)設(shè)N=3

29、，極點(diǎn)有，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為個(gè)，它們分別為ca10( )()NNkkHsss 22jj 330c1c2c11j j 333c4c5ce , , ee , , essssss 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)取取s平面左半平面的極點(diǎn)平面左半平面的極點(diǎn)s0、s1、s2組成系統(tǒng)函數(shù)組成系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，即，即 由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。特性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。 巴特沃斯濾波器采用巴特沃斯濾波器采用對(duì)對(duì)3dB截止頻率截止頻率c歸

30、一化歸一化，歸，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為一化后的系統(tǒng)函數(shù)為3ca22j j 33ccc( )()(e)(e)Hssss a1c0cc1NkksGss 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)令令 p =+j= s/c， p 稱(chēng)為歸一化復(fù)變量，稱(chēng)為歸一化復(fù)變量， =/c，稱(chēng)為歸一化頻率，稱(chēng)為歸一化頻率，巴特沃斯濾波器的歸一化巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：為：a1c0cc1NkksGss a101( )()NkkGppp 式中，式中，pk=sk/c, 為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：je 121220 11kNkpk, ,N

31、ckksp 顯然顯然第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)因此，設(shè)計(jì)步驟為：因此，設(shè)計(jì)步驟為：（1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N；（2）按照式）按照式 求出求出N個(gè)極點(diǎn)；個(gè)極點(diǎn)；（3）按照式）按照式 得到歸一化低通原型得到歸一化低通原型 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)；（4）若給定）若給定c，再，再去歸一化去歸一化，即將，即將p=s/c代入代入Ga(p)中中 (或由公式求出或由公式求出sk=cpk)，便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函，便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函 數(shù)數(shù)Ha(s)：je 12122kNkp a101( )()NkkGppp ca10( )()NNkkHs

32、ss 即：技術(shù)指標(biāo)即：技術(shù)指標(biāo)N N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)Ga(p)Ha(s)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)將極點(diǎn)表示式代入歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)式，得將極點(diǎn)表示式代入歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)式，得到到Ga(p)的另一種形式：分母是的另一種形式：分母是p的的N階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 系數(shù)系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點(diǎn)，以及極點(diǎn)pk，可以由，可以由表表6.2.1得到。得到。 表中還給出了表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)這樣只要求出階數(shù)N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各極點(diǎn)及各極點(diǎn), 而且而且可以選擇級(jí)聯(lián)型和

33、直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避可以選擇級(jí)聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運(yùn)算工作。免了因式分解運(yùn)算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)表表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率c，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函

34、數(shù)Ha(s)。 所以，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)就是：所以，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)就是： 根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù) N 和和3 dB截止頻率截止頻率c的過(guò)程的過(guò)程。階數(shù)階數(shù)N的大小主要影響的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度通帶幅頻特性的平坦程度和和過(guò)渡帶過(guò)渡帶、阻帶的幅度下降速度阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)，它由技術(shù)指標(biāo)p、 p、s和和 s確定。確定。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)將將=s代入幅度平方函數(shù)式中，代入幅度平方函數(shù)式中，再將幅度平方函數(shù)再將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2代入式：代入式：s2/10sc110N 將將=p代入幅度平方函數(shù)式：

35、代入幅度平方函數(shù)式：2a2c1|(j)|1NH 再將幅度平方函數(shù)再將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2代入式：代入式：2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H p2/10pc110N 得到：得到：得到：得到：(6.2.16)(6.2.17)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)令令 ssppsp/10sp/10101101k則則N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN sp/10s/10p101101N由由(6.2.16)和和(6.2.17)式得到：式得到：用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等于于N

36、的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)可以按照式可以按照式或式或式 求出。求出。(6.2.19) p10.12cp(101)N (6.2.20)s10.12cs(101)N s2/10sc110N p2/10pc110N 采用采用(6.2.19)式，通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余；式，通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余； 采用采用(6.2.20)式，阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。式，阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。3dB截止頻率截止頻率c：分別得到：分別得到：第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波

37、器的設(shè)計(jì)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、 p、s、 s，用式，用式 求求出濾波器的階數(shù)出濾波器的階數(shù)N。按照式按照式 ，求出歸一化極點(diǎn)，求出歸一化極點(diǎn)pk， 將將pk代入式代入式 ，得到歸一化低，得到歸一化低通原通原 型系統(tǒng)函數(shù)型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(1) 也可以根據(jù)階數(shù)也可以根據(jù)階數(shù)N 直接查表得到直接查表得到 pk 和和Ga(p)。spsplglgkN 綜上，模擬低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：綜上，模擬低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：je 12122kNkp a101( )()NkkGppp 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(3) 將將Ga(p)去歸一

38、化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到實(shí)際的，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里這里c為為3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒(méi)有給出截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒(méi)有給出c，可，可以按照下面二式求出：以按照下面二式求出：ca( )( )|spHsG p p10.12cp(101)N s10.12cs(101)N 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)【例【例6.2.1】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=30 dB，按照以

39、上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：解： (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。sp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(2) 按照式按照式 ，其極點(diǎn)為，其極點(diǎn)為 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 上式分母可以展開(kāi)成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)上式分母可以展開(kāi)成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解式。放在一起，形成因式分解式。 34j j j5501267j j 5534ee ee eppp

40、pp ，a401( )()kkGppp je 12122kNkp 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)極點(diǎn)：極點(diǎn)：0.3090j0.9511，0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。a5432432101( )Gppb pb pb pb pb a221( )(0.61801)(1.61801)(1)Gp

41、ppppp 本例直接查表更為簡(jiǎn)單，由本例直接查表更為簡(jiǎn)單，由N=5直接查表得到：直接查表得到： 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。按照式。按照式E10.12cp(101)25.2755 krad/sN s10.12sc(101)2 10.525 krad/sN p10.12cp(101)N 得到：得到：將將c代入式代入式 ，得到，得到:s10.12cs(101)N 算出的算出的比題目中給的比題目中給的s小，因此，過(guò)渡帶小小，因此，過(guò)渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f(shuō)，在于指標(biāo)要求。或者說(shuō)，在s=2

42、12 krad/s時(shí)衰減大于時(shí)衰減大于30 dB，所以說(shuō)阻帶指標(biāo)有富余量。，所以說(shuō)阻帶指標(biāo)有富余量。將將p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s caccccc( )55423324543210Hssbsbsbsbsb 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)作作 業(yè)業(yè)第六章第六章習(xí)題與上機(jī)題習(xí)題與上機(jī)題課本第課本第193頁(yè)頁(yè)1、第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2.6 頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)曲線及邊界頻高通、帶通、帶阻濾波

43、器的幅頻響應(yīng)曲線及邊界頻率分別如下圖所示。率分別如下圖所示。 p ：通帶最大衰減；通帶最大衰減； s ：阻帶最小衰減；阻帶最小衰減；ph ：表示高通濾波器的通帶邊界頻率表示高通濾波器的通帶邊界頻率; pl和和pu ：分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率率和通帶上邊界頻率; sl和和su ：分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。率和阻帶上邊界頻率。 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.2.12 各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖各種濾波器

44、幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)理論上，通過(guò)頻率變換公式，可以將模擬低通濾波理論上，通過(guò)頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換成希望設(shè)計(jì)的低通、高通、帶通和變換成希望設(shè)計(jì)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。 在模擬濾波器設(shè)計(jì)手冊(cè)中，各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)在模擬濾波器設(shè)計(jì)手冊(cè)中，各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)公式都是針對(duì)低通濾波器的，并提供從低通到其他各種公式都是針對(duì)低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。所以，設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的頻率變換公式。所以，設(shè)計(jì)高通、

45、帶通和帶阻濾波器的一般過(guò)程是濾波器的一般過(guò)程是: (1) 通過(guò)頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指通過(guò)頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)； (2) 設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)； (3) 對(duì)對(duì)Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)利用模擬濾波器的理論及其設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)利用模擬濾波器的理論及其設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：低通濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：（1） 按照數(shù)字濾

46、波器技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)一個(gè)按照數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)一個(gè)過(guò)渡過(guò)渡模擬低模擬低通濾波器通濾波器Ha(s)；（2）按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將）按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將Ha(s)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題：設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題：找到將找到將s平面上的平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成z平面上的平面上的H(z)的的轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器

47、 為了保證轉(zhuǎn)換后的為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。性關(guān)系。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s)，相應(yīng)的單位沖，相應(yīng)

48、的單位沖激響應(yīng)是激響應(yīng)是ha(t) aaHsLT h t ( )( ) 設(shè)模擬濾波器設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式階次，的階次高于分子多項(xiàng)式階次，Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示：1( )NiaiiAHsss 式中式中si為為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏進(jìn)行逆拉氏變換得到變換得到ha(t)：1( )( )iNs taiih tAe u t 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 對(duì)對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén)，得到：，得到：

49、1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT 對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez 1( )NiaiiAHsss 可見(jiàn)：可見(jiàn)： Ha(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn) si 映射到映射到 z 平面的極點(diǎn)為平面的極點(diǎn)為 ，系數(shù)，系數(shù)Ai不變。不變。is Te第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)推導(dǎo)推導(dǎo)s平面和平面和z平面之間的映射關(guān)系：平面之間的映射關(guān)系：設(shè)設(shè)ha(t)的理想采樣信號(hào)用的理想采樣信號(hào)用 表示表示, 即即對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到：對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到：式中式中

50、, ha(nT)是是ha(t)在采樣點(diǎn)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到：，因此得到： h ta( )nh th ttnT aa( )( ) ()h ta( )ststnsnTnHsh tdth ttnTth nT aaaa( )( )e( ) ()ed()e第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)即：理想采樣信號(hào)即：理想采樣信號(hào) 的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列h(n)的的Z變換之間的映射關(guān)系為：變換之間的映射關(guān)系為： 上式即脈沖響應(yīng)不變法對(duì)應(yīng)的上式即

51、脈沖響應(yīng)不變法對(duì)應(yīng)的s平面到平面到z平面的映射關(guān)系。平面的映射關(guān)系。 設(shè)設(shè)s =+j，z = rej，按照上式，按照上式, 得到得到rej=eTejT。由。由此得到：此得到：sTsTsnTnzznnHsh nh n zH z aee( )( )e( )|( )|h ta( )sTze TrT e010101rrr，可推出：可推出：第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)上面表明：上面表明： s平面的虛軸平面的虛軸(=0 )映射為映射為z平面的單位圓平面的單位圓(r=1)； s平面左半平面平面左半平面 (0 ) 映射為映射為z平面單位圓內(nèi)平面單位圓內(nèi)(r0 ) 映射為

52、映射為z平面單位圓外平面單位圓外(r1)。說(shuō)明說(shuō)明:如果如果Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)仍是因果穩(wěn)定的。仍是因果穩(wěn)定的。 另外，另外，z=esT 是一個(gè)是一個(gè)周期函數(shù)周期函數(shù)，可寫(xiě)成，可寫(xiě)成010101rrr，M TsTTTTT 2jjeeeeeM為任意整數(shù)為任意整數(shù)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)周期性表明：周期性表明： 當(dāng)當(dāng)不變，模擬頻率不變，模擬頻率變化變化2/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變。即：變。即： 將將s平面沿著平面沿著j軸分割成一條條寬為軸分割成一條條寬為2/T的的水平帶水平帶，每，每條水平面都

53、按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。平面。 此時(shí)此時(shí) 所在的所在的s平面與平面與H(z)所在的所在的z平面的映射關(guān)平面的映射關(guān)系如圖系如圖6.3.1所示。所示。 當(dāng)模擬頻率當(dāng)模擬頻率從從/T變化到變化到/T時(shí)，數(shù)字頻率時(shí)，數(shù)字頻率則從則從變化到變化到，且，且=T，即，即與與之間成線性關(guān)系。之間成線性關(guān)系。Hsa( )第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.3.1 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法s平面和平面和z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字

54、濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系：關(guān)系： 因?yàn)橐驗(yàn)閔(n)=ha(nT)， 由（由（2.4.2）和（）和（2.4.3）式得到：）式得到：j a12(e)(jj)TkHHkTTja12(e )(j)kkHHTT 上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：H(ejT)是是Ha(j)以以2/T為周期的周期延拓為周期的周期延拓函數(shù)（對(duì)數(shù)字頻率，則是以函數(shù)（對(duì)數(shù)字頻率，則是以2為周期）。為周期）。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 如果原如果原h(huán)a(t)的頻帶不是限于的頻帶不是限于/T之間，則會(huì)在奇數(shù)之間，則會(huì)在奇數(shù)/T附近產(chǎn)生

55、頻譜混疊，對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率在附近產(chǎn)生頻譜混疊，對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率在=附近產(chǎn)生附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象如圖頻率混疊。脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象如圖6.3.2 所所示。示。 這種頻譜混疊現(xiàn)象會(huì)使設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在這種頻譜混疊現(xiàn)象會(huì)使設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在=附近的頻率響應(yīng)特性程度不同地偏離模擬濾波在附近的頻率響應(yīng)特性程度不同地偏離模擬濾波在/T附近附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。 為此，希望設(shè)計(jì)的模擬濾波器是為此，希望設(shè)計(jì)的模擬濾波器是帶限濾波器帶限濾波器，如果不，如果不是帶限的，例如高通濾波器、帶阻濾波器，需

56、要在高通和是帶限的，例如高通濾波器、帶阻濾波器，需要在高通和帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率/T以以上的頻帶，以免產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。上的頻帶，以免產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象示意圖脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象示意圖第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)假設(shè)假設(shè) H(ejT) 沒(méi)有頻譜混疊現(xiàn)象，即滿足沒(méi)有頻譜混疊現(xiàn)象，即滿足而：而： 上式說(shuō)明：如果不考慮頻譜混疊現(xiàn)象，用脈沖響應(yīng)上式說(shuō)明：如果不考慮頻譜混疊現(xiàn)象，

57、用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好的重現(xiàn)原模擬濾波器不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。的頻響特性。 但是，但是，H(ej)的幅度與采樣間隔成反比，當(dāng)?shù)姆扰c采樣間隔成反比，當(dāng)T很小時(shí)，很小時(shí)，|H(ej)| 就會(huì)有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令就會(huì)有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令HT a(j)0 | /，HHTT ja1(e)j|，h(n)=Tha(nT)第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)h(n)=Tha(nT)那么那么 (6.3.11)(6.3.11)式稱(chēng)為實(shí)用公式，此時(shí)式稱(chēng)為實(shí)用公式，此時(shí) (6.3.12)iNis TiTA

58、H zz 11( )1eHHT ja(e)j|，第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) Ha(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn) si 一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，將式形式出現(xiàn)，將式 中一對(duì)對(duì)復(fù)數(shù)共軛中一對(duì)對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)極點(diǎn) si 和和 放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為：如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為： 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)只有實(shí)數(shù)乘法數(shù)乘法)的形式為的形式為 is22()iiiiisjs ，極極點(diǎn)點(diǎn)為為12121

59、ecos1 2ecoseiiiTiTTizTzTz1( )NiaiiAHsss 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為 利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，使實(shí)現(xiàn)結(jié)利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，使實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中無(wú)復(fù)數(shù)乘法器。構(gòu)中無(wú)復(fù)數(shù)乘法器。22 , j()iiiiis 極點(diǎn)為極點(diǎn)為1212esin12ecoseiiiTiTTizTzTz第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)：

60、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)：（1）頻率變換關(guān)系是線性的，即）頻率變換關(guān)系是線性的，即=T，如果不存在，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好地頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。（2）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)波形，時(shí)域特性逼近好。的單位沖激響應(yīng)波形，時(shí)域特性逼近好。 脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)：脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)： 有限階的模擬濾波器不可能是理想帶限的，所以，有限階的模擬濾波器不可能是理想帶限的，所以，脈沖響應(yīng)不變法會(huì)產(chǎn)生不同程度的頻率混疊失真