3-3-1-比例解行程問題.題庫教師版

1、比例解行程問題教學(xué)目標1. 會解一些簡單的方程.2. 掌握尋找等量關(guān)系的方法來構(gòu)建方程知識精講比例的知識是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學(xué)“壓軸知識點”的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應(yīng)用題時有著“得天獨厚”的優(yōu)勢，往往體現(xiàn)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數(shù)百分數(shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會應(yīng)用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：1. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經(jīng)過

2、同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因為時間相同，即,所以由得到，甲乙在同一段時間t內(nèi)的路程之比等于速度比2. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比。，這里因為路程相同，即，由得，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。模塊一：比例初步利用簡單倍比關(guān)系進行解題【例 1】 （難度等級 ）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【解析】 畫一張簡單的

3、示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.所以這時是8點32分。注意：小明第2個4千米，也就是從到的過程中，爸爸一共走12千米，這一點是本題的關(guān)鍵對時間相同或距離相同，但運動速度、方式不同的兩種狀態(tài)

4、，是一大類行程問題的關(guān)鍵本題的解答就巧妙地運用了這一點【鞏固】 （難度等級 ）歡歡和貝貝是同班同學(xué)，并且住在同一棟樓里早晨 7 : 40 ，歡歡從家出發(fā)騎車去學(xué)校， 7 : 46 追上了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學(xué)校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度提高到原來的 2倍，回家換好校服，再趕往學(xué)校；歡歡 8 : 00趕到學(xué)校時，貝貝也恰好到學(xué)校如果歡歡在家換校服用去 6分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里出發(fā)時是幾點幾分【解析】 歡歡從出發(fā)到追上貝貝用了 6分鐘，她調(diào)頭后速度提高到原來的 2倍，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，她回到家所用的時間為 3 分鐘，換衣服用時 6 分鐘，所

5、以她再從家里出發(fā)到到達學(xué)校用了 20- 6-3- 6 =5分鐘，故她以原速度到達學(xué)校需要 10 分鐘，最開始她追上貝貝用了 6分鐘，還剩下 4 分鐘的路程，而這 4 分鐘的路程貝貝走了 14 分鐘，所以歡歡的 6 分鐘路程貝貝要走 14 ×（6÷ 4）= 21分鐘，也就是說歡歡追上貝貝時貝貝已走了 21 分鐘，所以貝貝是 7 點 25 分出發(fā)的【例 2】 難度等級 ）甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離？【解析】 畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表

6、示乙車行進的路線)：可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95×3=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)【鞏固】 （難度等級 ）地鐵有 A，B 兩站，甲、乙二人都要在兩站間往返行走.兩人分別從 A，B 兩站同時出發(fā)，他們第一次相遇時距 A 站 800 米，第二次相遇時距 B 站 500 米.問：兩站相距多遠？

7、【解析】 從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成 1 個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成 3 個全長，一個全程中甲走 1 段 800 米，3 個全程甲走的路程為 3 段 800 米. 畫圖可知，由 3 倍關(guān)系得到：A，B 兩站的距離為 800×3500=1900 米 【鞏固】 （難度等級 ）如右圖，A，B 是圓的直徑的兩端，甲在 A 點，乙在 B 點同時出發(fā)反向而行，兩人在 C 點第一次相遇，在 D 點第二次相遇.已知 C 離 A 有 80 米，D 離 B 有 60 米，求這個圓的周長. 【解析】 根據(jù)總結(jié)可知，第二次相遇時，乙一共走了 80×3=240 米

8、，兩人的總路程和為一周半，又甲所走路程比一周少 60 米，說明乙的路程比半周多 60 米，那么圓形場地的半周長為 240-60=180 米，周長為 180×2=360 米. 【例 3】 （難度等級 ）甲、乙兩人從相距 490 米的 A、 B 兩地同時步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時從 A出發(fā)，在甲、乙二人之間來回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)已知丙每分鐘跑 240 米，甲每分鐘走 40 米，當丙第一次折返回來并與甲相遇時，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分鐘走_米；甲下一次遇到丙時，甲、乙相距_米【解析】 如圖所示：假設(shè)乙、丙在處相遇，然后丙返回，并在處與甲相遇，此時乙則

9、從走處到處根據(jù)題意可知米由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同時間內(nèi)丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是從到再到的長度是的6倍，那么，可見那么丙從到所用的時間是從到所用時間的，那么這段時間內(nèi)乙、丙所走的路程之和(加)是前一段時間內(nèi)乙、丙所走的路程之和(加，即全程)的，所以，而，可得，相同時間內(nèi)丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度為(米/分)，即乙每分鐘走60米當這一次丙與甲相遇后，三人的位置關(guān)系和運動方向都與最開始時相同，只是甲、乙之間的距離改變了，變?yōu)樵瓉淼?，但三人的速度不變，可知運動過程中的比例關(guān)系都不改變，那么當下一次甲、丙相遇時，甲、乙之間的距離也是此

10、時距離的，為米【鞏固】 （難度等級 ）甲、乙兩車同時從 A地出發(fā)，不停地往返行駛于 A、B 兩地之間已知甲車的速度比乙車快，并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中 C 地甲車的速度是乙車速度的多少倍？【解析】 第一次相遇時兩車合走了兩個全程，而乙車走了 AC 這一段路；第二次相遇兩車又合走了兩個全程，而乙車走了從 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 個 BC 段由于兩次的總行程相等，所以每次乙車走的路程也相等，所以 AC 的長等于 2 倍 BC 的長而從第一次相遇到第二次相遇之間，甲車走了 2 個 AC 段，根據(jù)時間一定，速度比等于路程的比，甲車、乙車的速度比為 2 AC : 2 BC

11、 =2 :1 ，所以甲車的速度是乙車速度的 2 倍【例 4】 （難度等級 ）甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，在 A、 B 兩地之間勻速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到達 A地、B 地或遇到乙都會調(diào)頭往回走，除此以外，兩人在 A、B 之間行走方向不會改變，已知兩人第一次相遇點距離 B 地1800 米，第三次相遇點距離 B 地 800米，那么第二次相遇的地點距離B 地多少米？ 【解析】 設(shè)甲、乙兩人的速度分別為、，全程為 s，第二次相遇的地點距離 B 地 x米由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到達 B 地并調(diào)頭往回走時遇到乙的，這時甲、乙合走了兩個全程，第一次相遇的地點與 B 地的

12、距離為，那么第一次相遇的地點到 B 地的距離與全程的比為；兩人第一次相遇后，甲調(diào)頭向 B 地走，乙則繼續(xù)向 B 地走，這樣一個過程與第一次相遇前相似，只是這次的“全程”為第一次相遇的地點到 B 地的距離，即1800 米根據(jù)上面的分析可知第二次相遇的地點到 B 地的距離與第一次相遇的地點到 B 地的距離的比為；類似分析可知，第三次相遇的地點到 B 地的距離與第二次相遇的地點到 B 地的距離的比為；那么，得到 ，故第二次相遇的地點距離 B 地1200 米【例 5】 （難度等級 ）每天早晨，小剛定時離家步行上學(xué)，張大爺也定時出家門散步，他們相向而行，并且準時在途中相遇有一天，小剛提早出門，因此比平時

13、早 7 分鐘與張大爺相遇已知小剛步行速度是每分鐘70 米，張大爺步行速度是每分鐘 40 米，那么這一天小剛比平時早出門多少分鐘？【解析】 比平時早 7 分鐘相遇，那么小剛因提早出門而比平時多走的路程為小剛和張大爺 7 分鐘合走的路程，所以當張大爺出門時小剛已經(jīng)比平時多走了 （70 +40 ）×7 =770 米，因此小剛比平時早出門770 ÷70 =11分鐘模塊二：時間相同速度比等于路程比【例 6】 （難度等級 ）A、 B 兩地相距 7200 米，甲、乙分別從 A， B 兩地同時出發(fā)，結(jié)果在距 B 地 2400 米處相遇如果乙的速度提高到原來的 3倍，那么兩人可提前10分鐘相

14、遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【解析】 第一種情況中相遇時乙走了 2400 米，根據(jù)時間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情況中相遇時甲走了全程的2/3乙的速度提高 3倍后，兩人速度比為 2 : 3，根據(jù)時間一定，路程比等于速度之比，所以第二種情況中相遇時甲走了全程的兩種情況相比，甲的速度沒有變化，只是第二種情況比第一種情況少走 10 分鐘，所以甲的速度為 (米/分)【例 7】 （難度等級 ）甲、乙二人分別從 A、 B 兩地同時出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后繼續(xù)行進，甲到達 B 地和乙到達 A

15、地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點 30千米，則 A、 B 兩地相距多少千米？【解析】 兩個人同時出發(fā)相向而行，相遇時時間相等，路程比等于速度之比，即兩個人相遇時所走過的路程比為 4 : 3第一次相遇時甲走了全程的4/7；第二次相遇時甲、乙兩個人共走了 3個全程，三個全程中甲走了個全程，與第一次相遇地點的距離為個全程所以 A、 B兩地相距 (千米)【鞏固】 （難度等級 ）甲、乙兩車分別從 A、B 兩地出發(fā)，在 A、B 之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是乙車的速度的，并且甲、乙兩車第 2007 次相遇（這里特指面對面的相遇）的地點與第 2008 次相遇的地點恰好相距

16、 120 千米，那么，A、B 兩地之間的距離等于多少 千米？ 【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我們可以設(shè)整個路程為 3+7=10 份，這樣一個全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇時甲總共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇時甲總共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以總長為 120÷12045-12040-（12040-12039）×10=300 米. 【例 8】 （難度等級 ）B地在A，C兩地之間甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后1

17、0分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過來已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過來后返回B地至少要用多少時間?！窘馕觥?根據(jù)題意當丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時甲、乙位置如下：因為丙的速度是甲、乙的3倍，分步討論如下：（1） 若丙先去追及乙，因時間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時間為：10÷（31）=5（分鐘）此時拿上乙拿錯的信當丙再回到B點用5分鐘，此時甲已經(jīng)距B地有10105530（分鐘），同理丙追及時間為30÷（31）=15（分鐘），此時給甲應(yīng)該送的信，換

18、回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時乙已經(jīng)距B地：10551515=50（分鐘），此時追及乙需要：50÷（31）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時間為5515152525=90（分鐘）（2） 同理先追及甲需要時間為120分鐘【例 9】 （難度等級 ）甲、乙兩人同時從 A、 B 兩點出發(fā)，甲每分鐘行 80米，乙每分鐘行 60米，出發(fā)一段時間后，兩人在距中點的 C 處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了 7分鐘，兩人將在距中點的 D 處相遇，且中點距 C 、 D 距離相等，問 A、 B 兩點相距多少米？【解析】 甲、乙兩人速度比為，相遇的時候時間相等，路程比等于速度之比，相遇時甲走

19、了全程的，乙走了全程的第二次甲停留，乙沒有停留，且前后兩次相遇地點距離中點相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的由于甲、乙速度比為 4 : 3，根據(jù)時間一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了，所以 A、B 兩點的距離為 (米)【例 10】 （難度等級 ）甲、乙兩車分別從 A、 B 兩地同時出發(fā)，相向而行出發(fā)時，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度減少 20%，乙的速度增加 20%這樣當甲到達 B 地時，乙離 A地還有 10 千米那么 A、B 兩地相距多少千米？【解析】 兩車相遇時甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度減少 20%，乙的速度增加 20

20、%，此時甲、乙的速度比為 ，所以甲到達 B 地時，乙又走了，距離 A地，所以 A、 B 兩地的距離為 (千米)【例 11】 （難度等級 ）早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地下午 1 點，小王開車也從甲地出發(fā)，前往乙地下午 2 點時兩人之間的距離是 15 千米下午 3 點時，兩人之間的距離還是 l5 千米下午 4 點時小王到達乙地，晚上 7 點小張到達乙地小張是早晨幾點出發(fā)？【解析】 從題中可以看出小王的速度比小張塊下午 2 點時兩人之間的距離是 l5 千米下午 3 點時，兩人之間的距離還是 l5 千米，所以下午 2 點時小王距小張 15 千米，下午 3 點時小王超過小張 15千米，可知兩人的速度差

21、是每小時 30 千米由下午 3 點開始計算，小王再有 1 小時就可走完全程，在這 1 小時當中，小王比小張多走 30 千米，那小張 3 小時走了15 30 45= + 千米，故小張的速度是 45 ÷3 =15千米/時，小王的速度是15 30 =45千米/時全程是 45 ×3 =135千米，小張走完全程用了135 15= 9小時，所以他是上午 10 點出發(fā)的?！纠?12】 （難度等級 ）從甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路與上坡路的距離相等。陳明開車從甲地到乙地共用了 3 小時，其中第一小時比第二小時多走 15 千米，第二小時比第三小時

22、多走 25 千米。如果汽車走上坡路比走平路每小時慢 30 千米，走下坡路比走平路每小時快 15 千米。那么甲乙兩地相距多少千米？ 【解析】 由于3個小時中每個小時各走的什么路不明確，所以需要先予以確定從甲地到乙地共用3小時，如果最后一小時先走了一段平路再走上坡路，也就是說走上坡路的路程不需要1小時，那么由于下坡路與上坡路距離相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小時，這說明第一小時既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小時則是全在走平路這樣的話，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小時走的路程小于以下坡的速度走1小時的路程，而這個路程恰好比以平路的速度走1小時的路程(即第二小時走的路程)多走1

23、5千米，所以這樣的話第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，不合題意，所以假設(shè)不成立，即第三小時全部在走上坡路如果第一小時全部在走下坡路，那么第二小時走了一段下坡路后又走了一段平路，這樣第二小時走的路程將大于以平路的速度走1小時的路程，而第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，也不合題意，所以假設(shè)也不成立，故第一小時已走完下坡路，還走了一段平路所以整個行程為：第一小時已走完下坡路，還走了一段平路；第二小時走完平路，還走了一段上坡路；第三小時全部在走上坡路由于第二小時比第三小時多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小時30千米所以第二小時內(nèi)用在走平路上的時間為小時

24、，其余的小時在走上坡路；因為第一小時比第二小時多走了15千米，而小時的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小時余下的下坡路所用的時間為小時，所以在第一小時中，有小時是在下坡路上走的，剩余的小時是在平路上走的因此，陳明走下坡路用了小時，走平路用了小時，走上坡路用了小時因為下坡路與上坡路的距離相等，所以上坡路與下坡路的速度比是那么下坡路的速度為千米/時，平路的速度是每小時千米，上坡路的速度是每小時千米那么甲、乙兩地相距(千米)模塊三：路程相同速度比等于時間的反比【例 13】 （難度等級 ）在一圓形跑道上，甲從 A 點、乙從 B 點同時出發(fā)反向而行，6 分后兩人相遇，再過4 分甲到達 B 點，又過 8

25、 分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析】 由題意知，甲行 4 分相當于乙行 6 分.（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系） 從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相當于甲行 8 分，所以甲環(huán)行一周需 12820（分），乙需 20÷4×630（分）.【例 14】 （難度等級 ）上午 8 點整，甲從 A地出發(fā)勻速去 B 地，8 點 20 分甲與從 B 地出發(fā)勻速去 A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的 3 倍，乙速度不變；8 點 30 分，甲、乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從 B 地出發(fā)時是 8 點幾分【解析】 甲、乙相遇

26、時甲走了 20 分鐘，之后甲的速度提高到原來的 3 倍，又走了 10 分鐘到達目的地，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分鐘，所以前后兩段路程的比為 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分鐘的路程乙要走 10 分鐘，所以甲走 30 分鐘的路程乙要走 15 分鐘，也就是說與甲相遇時乙已出發(fā)了 15 分鐘，所以乙從 B 地出發(fā)時是 8 點5 分【例 15】 （難度等級 ）小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路小芳上學(xué)走這兩條路所用的時間一樣多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度

27、是平路速度的多少倍？【解析】 設(shè)小芳上學(xué)路上所用時間為 2，那么走一半平路所需時間是1由于下坡路與一半平路的長度相同，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是，因此，走上坡路需要的時間是，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為，所以，上坡速度是平路速度的倍【例 16】 （難度等級 ）一列火車出發(fā) 1 小時后因故停車 0.5 小時，然后以原速的前進，最終到達目的地晚1.5 小時若出發(fā) 1 小時后又前進 90 公里再因故停車 0.5 小時，然后同樣以原速的前進，則到達目的地僅晚1 小時，那么整個路程為多少公里？【解析】 出發(fā) 1 小時后因故停車 0.5 小時，然后以原速的

28、前進，最終到達目的地晚1.5 小時，所以后面以原速的前進的時間比原定時間多用小時，而速度為原來的，所用時間為原來的，所以后面的一段路程原定時間為小時，原定全程為 4 小時；出發(fā) 1 小時后又前進 90 公里再因故停車 0.5 小時，然后同樣以原速的前進，則到達目的地僅晚1 小時，所以后面以原速的前進的時間比原定時間多用小時所以后面的一段路程原定時間為小時， 類似分析可知又前進 90 公里后的那段路程需要：小時而原定全程為 4 小時，所以整個路程為 公里【例 17】 （難度等級 ）王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個半小時到達；返回時，按原計劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，于是提前1 小時 40 分到達北京北京、上海兩市間的路程是多少千米？【解析】 從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了1/9，即車速為原計劃的10/9，則所用時間為原計劃的1÷10/9=9/10，即比原計劃少用1/10的時間，所以一個半小時等于原計劃時間的1/10，原計劃時間為：1.5÷1/10=15(小時)；按原計劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原來的7/6，則此后所用時間為原計劃的1÷7/6=6/7，即此后比原計劃少用1/7的時間，所以1 小時 40 分等于按原計劃的