數(shù)字圖像處理第5章圖像復(fù)原北郵出版社200810

1、12v5.1 5.1 圖像降質(zhì)的數(shù)學(xué)模型圖像降質(zhì)的數(shù)學(xué)模型v5.2 5.2 無約束圖像復(fù)原無約束圖像復(fù)原v5.3 5.3 有約束圖像復(fù)原有約束圖像復(fù)原3高斯噪聲引起模糊高斯噪聲引起模糊4運動引起的模糊運動引起的模糊光學(xué)聚焦引起的模糊光學(xué)聚焦引起的模糊5 圖像復(fù)原的關(guān)鍵：建立退化模型。圖像復(fù)原的關(guān)鍵：建立退化模型。 常用圖像退化和復(fù)原的模型：僅限于討論線性、空不變系統(tǒng)常用圖像退化和復(fù)原的模型：僅限于討論線性、空不變系統(tǒng) f(x,y)是原始圖像，是原始圖像，h(x,y) 是退化函數(shù)，是退化函數(shù)， n(x,y) 是加性噪聲，是加性噪聲，(x,y) 是復(fù)原是復(fù)原函數(shù)，函數(shù)， 是復(fù)原后的圖像是復(fù)原后的圖

2、像。 退化模型的關(guān)鍵：對退化系統(tǒng)退化模型的關(guān)鍵：對退化系統(tǒng) h(x,y) 的了解。的了解。圖圖5.1 5.1 圖像的退化及復(fù)原模型圖像的退化及復(fù)原模型),(yxf6v5.1.1 5.1.1 連續(xù)圖像退化的數(shù)學(xué)模型連續(xù)圖像退化的數(shù)學(xué)模型 一幅連續(xù)圖像一幅連續(xù)圖像 f(x,y) 可以通過點源函數(shù)的卷積來表示可以通過點源函數(shù)的卷積來表示 對于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后為對于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后為 其中其中h(x-,y-)稱為該退化系統(tǒng)的點擴展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。稱為該退化系統(tǒng)的點擴展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。( , )( ,) (,)f x yfxyd d ( , ) (

3、 , )( ,) (,)( ,)(,)( ,) (,)g x yH f x yHfxyd dfHxyd dfh xyd d （5.15.1）（5.65.6）7 加性白噪聲加性白噪聲n(x,y)引起引起圖像退化：圖像退化： 頻域表達(dá)：頻域表達(dá)： 圖像復(fù)原的實質(zhì)：已知圖像復(fù)原的實質(zhì)：已知g(x,y)、h(x,y)，求求f(x,y)， 或或 已知已知G(u,v)、H(u,v)，求求F(u,v)。 關(guān)鍵是降質(zhì)模型：時域的沖激響應(yīng)函數(shù)關(guān)鍵是降質(zhì)模型：時域的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y) ， 或頻域的傳遞函數(shù)或頻域的傳遞函數(shù)H(u,v) 。( , )( ,) (,)( , )( , )( , )( , )g x

4、 yfh xyd dn x yf x yh x yn x y ( , )( , )( , )( , )G u vF u v H u vN u v（5.85.8）（5.95.9）8v5.1.2 5.1.2 幾個典型的退化模型幾個典型的退化模型 1. 1. 受到孔徑衍射造成的圖像退化受到孔徑衍射造成的圖像退化l 光學(xué)孔徑衍射效應(yīng)是造成圖像模糊的主要原因之一。光學(xué)孔徑衍射效應(yīng)是造成圖像模糊的主要原因之一。l 相干光的光學(xué)成像系統(tǒng)的遞函數(shù)由下式給出：相干光的光學(xué)成像系統(tǒng)的遞函數(shù)由下式給出：l 圓形孔徑的點擴展函數(shù)為圓形孔徑的點擴展函數(shù)為圖圖5.2 5.2 小孔衍射造成的模糊小孔衍射造成的模糊22( ,

5、 )(,)H u vpd ud v( , ) ( , )h x yF p 92. 2. 目標(biāo)相對運動造成的圖像模糊目標(biāo)相對運動造成的圖像模糊l 在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間的相對運動，造成圖像的模糊。在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間的相對運動，造成圖像的模糊。l 設(shè)物體設(shè)物體f(x,y)在一平面作在一平面作勻速直線勻速直線運動，令運動，令x(t)和和y(t)分別是物體在分別是物體在x、y方向方向上的分量，上的分量，t 表示運動的時間，表示運動的時間，l 記錄介質(zhì)的總曝光量在快門打開到關(guān)閉這曝光瞬間內(nèi)的積分，記錄介質(zhì)的總曝光量在快門打開到關(guān)閉這曝光瞬間內(nèi)的積分，l 設(shè)設(shè)T為曝光時間，則曝

6、光成像后的降質(zhì)圖像為：為曝光時間，則曝光成像后的降質(zhì)圖像為： 圖圖5.5 5.5 目標(biāo)相對運動造成的圖像模糊目標(biāo)相對運動造成的圖像模糊 dttyytxxfyxgT000,（5.175.17）10l 對式（對式（5.175.17）兩邊進(jìn)行傅立葉變換，得）兩邊進(jìn)行傅立葉變換，得 dxdyvyuxjdttyytxxfdxdyvyuxjyxgvuGT)(2exp,)(2exp,000dtdxdyvyuxjtyytxxfvuGT 000)(2exp)(),(),(dttvytuxjvuFdttvytuxjvuFvuGTT000000)()(2exp,)()(2exp,dttvytuxjvuHT000)(

7、)(2exp,交換積分次序FT位移性質(zhì)（5.185.18）（5.195.19）（5.215.21）),(),(,vuHvuFvuH（5.205.20）11l 如果只有如果只有x方向的勻速運動，即方向的勻速運動，即y0(t)=0，則模糊后圖像，則模糊后圖像g(x,y)可以簡化為：可以簡化為：l 如果在如果在T時間里物體運動的總位移量為時間里物體運動的總位移量為a，則在任意，則在任意t時間里物體在時間里物體在x方向上方向上的分量：的分量： 于是，于是，模糊系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：模糊系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：0002( , )exp2( )exp2(1)2TTjuaH u vjuxtdtatjudtTjTeuadt

8、ytxxfyxgT00),(),(（5.235.23）Tattx)(0（5.245.24）12 3. 3. 大氣湍流造成的圖像降質(zhì)大氣湍流造成的圖像降質(zhì)l 航空、衛(wèi)星、天文圖像中，由于受大氣湍流的影響，使圖像產(chǎn)生退化。航空、衛(wèi)星、天文圖像中，由于受大氣湍流的影響，使圖像產(chǎn)生退化。l 長時間作用的情況下，大氣湍流降質(zhì)圖像的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：長時間作用的情況下，大氣湍流降質(zhì)圖像的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 式中式中C為與湍流性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。為與湍流性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。22( , )exp()H u vC uv（5.265.26）13v5.1.3 5.1.3 離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型 1. 1.

9、 一維離散情況退化模型一維離散情況退化模型 設(shè)：離散輸入函數(shù)設(shè)：離散輸入函數(shù)f(x)，有有A個采樣，退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)個采樣，退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(x) ，有有B個個采樣，則：經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)采樣，則：經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)： 分別對分別對f(x)和和h(x)用添零延伸的方法擴展成周期為用添零延伸的方法擴展成周期為M M= =A A+ +B B-1-1的周期函數(shù)：的周期函數(shù)： 此時輸出為：此時輸出為： ( )( )( )g xf xh x（5.275.27） 1010MxAAxxfxfe 1010MxBBxxhxhe10( )( )( )( )()Meeeeemgxfxh

10、 xf m h xm（5.285.28）（5.295.29）14矩陣表示矩陣表示因為因為he(x)的周期為的周期為M，所以，所以he(x)=he(x+M) ，MM 階矩陣階矩陣H為：為：H是循環(huán)矩陣：每一行元素相同，每行以循環(huán)方式右移一位，是循環(huán)矩陣：每一行元素相同，每行以循環(huán)方式右移一位，循環(huán)矩陣相加還是循環(huán)矩陣，循環(huán)矩陣相乘還是循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣相加還是循環(huán)矩陣，循環(huán)矩陣相乘還是循環(huán)矩陣。 （5.315.31）（5.305.30）) 1()2() 1 ()0()0()2() 1()3() 1 ()2()2()0() 1 () 1() 1()0() 1()2() 1 ()0(MffffhMh

11、MhMhhhMhhhMhhhMggggeeeeeeeeeeeeeeeefhg)0()2()1()3()1 ()2()2()0()1 ()1()1()0(eeeeeeeeeeeehMhMhMhhhMhhhMhhhH15 2. 2. 二維離散模型二維離散模型推廣到二維，設(shè)輸入的數(shù)字圖像推廣到二維，設(shè)輸入的數(shù)字圖像f(x,y)大小為大小為AB，點擴展函數(shù)點擴展函數(shù)h(x,y)被均勻采樣為被均勻采樣為CD。用添零的方法將它們擴展成用添零的方法將它們擴展成M=A+C-1和和N=B+D-1的周期函數(shù)的周期函數(shù)。 輸出降質(zhì)數(shù)字圖像輸出降質(zhì)數(shù)字圖像其它且01010,ByAxyxfyxfe其它且01010,Dy

12、Cxyxhyxhe（5.335.33）（5.345.34） 1100,MNeeeeemngx yfm n hxm ynfx yhx y 16矩陣形式為：矩陣形式為： 式中式中g(shù)、f是是MN1維列向量，維列向量，H是是MNMN維矩陣。維矩陣。將將f(x,y)中的元素排成的列向量：中的元素排成的列向量： 將將g(x,y)中的元素排成的列向量：中的元素排成的列向量：fhg（5.355.35）（5.365.36）TM 1 (0,0), (0,1),(0,1), (1,0), (1,1),(1,1),(1,0)(1,1)fffNfffNf Mf MNf 第一行元素第二行元素第 行元素， ，T1 (0,0

13、), (0,1), (0,1), (1,0), (1,1), (1,1), (1,0), (1,1)MgggNgggNg Mg MNg 第一行元素第二行元素第行元素，17Hj (j=0,1,M-1)為子矩陣，大小為為子矩陣，大小為NN，H矩陣是由矩陣是由MM個大小為個大小為NN的子矩陣組成分塊循環(huán)矩陣，的子矩陣組成分塊循環(huán)矩陣，每個子矩陣每個子矩陣Hj是由延拓函數(shù)的第是由延拓函數(shù)的第 j 行構(gòu)成的，構(gòu)成方法如下：行構(gòu)成的，構(gòu)成方法如下：032121011210HHHHHHHHHHHHHMMMMMM( ,0)( ,1)( ,2)( ,1)( ,1)( ,0)( ,1)( ,2)( ,1)( ,2

14、)( ,3)( ,0)eeeeeeeejeeeehjhj Nhj Nhjhjhjhj Nhjhj Nhj Nhj NhjH （5.385.38）（5.375.37）18加上噪聲影響，一個更加完整的離散圖像退化模型加上噪聲影響，一個更加完整的離散圖像退化模型寫成矩陣形式寫成矩陣形式 1100( ,)(,)(,) +( ,)MNeeeemngx yfm n hxm ynnx y g = H f + n （5.395.39）（5.405.40）19v5.1.4 5.1.4 循環(huán)矩陣的對角化循環(huán)矩陣的對角化 1. 1. 循環(huán)矩陣的對角化循環(huán)矩陣的對角化對于循環(huán)矩陣對于循環(huán)矩陣H，標(biāo)量函數(shù)，標(biāo)量函數(shù)(k

15、)和和w(k)分別是它的特征值和特征向量分別是它的特征值和特征向量，由矩陣乘法可得由矩陣乘法可得( )( ) ( )0,1,1kkkkMH ww222( )(0)(1)exp(2)exp2(1)exp1eeeekhh Mjkh MjkhjMkMMM222( )1expexp2exp1TkjkjkjMkMMMw（5.425.42）（5.415.41）（5.435.43）20H的的M個特征向量組成一個個特征向量組成一個MM的矩陣的矩陣W ：把把H寫成：寫成： D是一個對角矩陣，其對角元素正是是一個對角矩陣，其對角元素正是H的特征值，的特征值，D(k,k)= (k)， 1H = WDW（5.455.

16、45）(0)000(1)000000(1)MD（5.465.46）T (0),(1),(1)MWwww（5.445.44）21 2. 2. 分塊循環(huán)矩陣的對角化分塊循環(huán)矩陣的對角化 推廣到二維離散退化模型，可以使得塊循環(huán)矩陣對角化。推廣到二維離散退化模型，可以使得塊循環(huán)矩陣對角化。 定義一個定義一個MNMN（包含（包含MM個個NN的塊）的矩陣的塊）的矩陣W ，W的第的第i行第行第m列列個子塊為：個子塊為： 其其中子塊中子塊WN為為NN矩陣，第矩陣，第k行第行第n列位置列位置的元素為：的元素為：2( ,)expNi mjimMWW 2( , )expNwk njknN （5.485.48）（5.

17、495.49）22 由上可知，由上可知，矩陣矩陣W是由分塊循環(huán)矩陣是由分塊循環(huán)矩陣H的特征向量組成，必定有逆矩陣的特征向量組成，必定有逆矩陣W-1，逆矩陣，逆矩陣W-1的的MN個特征向量是線性無關(guān)的，個特征向量是線性無關(guān)的，逆矩陣逆矩陣W-1的與的與W相似，是分塊循環(huán)矩陣，第相似，是分塊循環(huán)矩陣，第i行第行第m列個子塊為：列個子塊為：子塊子塊WN-1仍為仍為NN的矩陣，的矩陣，第第k行行n列元素為列元素為：-1-1H = WDWD = W HW或1112,expNi mjimMMWW112,expNwk njknNN（5.505.50） （5.535.53）(5.52)(5.52)（5.515

18、.51）分塊循環(huán)矩陣分塊循環(huán)矩陣H可以寫成可以寫成：23上式中矩陣上式中矩陣D是一個是一個MNMN維的矩陣，它是由維的矩陣，它是由MM個對角子矩陣組成的個對角子矩陣組成的分塊循環(huán)矩陣，它的分塊循環(huán)矩陣，它的MN個對角元素是個對角元素是H的特征值。即：的特征值。即：子矩陣子矩陣Dk是是NN的對角陣，對角元素是對應(yīng)的特征值的對角陣，對角元素是對應(yīng)的特征值：實際上，實際上，H的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣HT 可用可用D的復(fù)共扼的復(fù)共扼D* 來表示，即來表示，即0M 1M 2110M 12M 1M 2M 30DDDDDDDDDDDDD T1*H = WD W(k)0000(k)00000(k)kD(5.54)

19、(5.54)24v5.1.5 5.1.5 對角化在降質(zhì)模型中的應(yīng)用對角化在降質(zhì)模型中的應(yīng)用先考慮一維情況。把式先考慮一維情況。把式(5.42)(5.42)中的中的 代入到式代入到式(5.29)(5.29)可得：可得：用用 左乘上式兩邊，得左乘上式兩邊，得1H =WDW-1g = WDW f1W-1-1-1-1W g = W WDW f = DW f111112221expexp2exp(1)12221exp2exp4exp(1)22221 exp(1) exp(1)2exp(1)(1)jjjMMMMjjjMMMMMjMjMjMMMMMW(5.55)(5.55)(5.56)(5.56)(5.57

20、)(5.57)25g是是M維的列向量，乘積維的列向量，乘積W-1g也是一個也是一個M維列向量，其第維列向量，其第k項為項為G(k)， 同理，同理，W-1 f的第的第k項記為項記為F（k）：它們分別是擴展序列它們分別是擴展序列g(shù)e(x)和和fe(x)的傅立葉變換，的傅立葉變換，D矩陣的主對角線元素是矩陣的主對角線元素是H矩陣的特征值矩陣的特征值(k)，將將(k)記為記為MH(k)，根據(jù)式，根據(jù)式（5.415.41）有：有： 1012( )( )expMeiG kg ijikMM1012( )( )expMeiF kf ijikMM 102( )expMeikh ijikMH kM(5.58)(5

21、.58)(5.59)(5.59)(5.60)(5.60)26其中其中H(k)便是擴展序列便是擴展序列he(x)的傅立葉變換。的傅立葉變換。綜合上述分析，可將式綜合上述分析，可將式（5.515.51）簡化成一維傅立葉變換序列的對應(yīng)項之積，簡化成一維傅立葉變換序列的對應(yīng)項之積，即：將上式簡化成一維傅立葉變換序列的對應(yīng)項之積即：將上式簡化成一維傅立葉變換序列的對應(yīng)項之積推廣到二維退化情況?？紤]到噪聲項，有推廣到二維退化情況?？紤]到噪聲項，有g(shù)=H f+n，用，用W-1 左乘得左乘得 W-1 g可用下式表示：可用下式表示：( )( ) ( )0,1,2,1G kMH k F kkM-1-1-1-1-1

22、-1-1-1-1W g = W (Hf +n) = W Hf +W n= W WDW f +W n= DW f +W n(5.61)(5.61)(5.62)(5.62)(5.63)(5.63)TT0,00,11,01,11,01,1GGNGGNG MG MN -1W gW-1 27對于任一對變量對于任一對變量（u,v），G(u,v)可表示成：可表示成： 此式即為此式即為 的傅立葉變換。的傅立葉變換。F(u,v)、N(u,v) 和和H(u,v)對應(yīng)于對應(yīng)于 的傅立葉變換。的傅立葉變換。MNMN維的對角矩陣維的對角矩陣D，其，其MN個對角元素可用下式表示：個對角元素可用下式表示：綜合利用上述關(guān)系，

23、可得綜合利用上述關(guān)系，可得可見：退化模型的龐大方程組可簡化為計算大小為可見：退化模型的龐大方程組可簡化為計算大小為MN的離散傅立葉變換，的離散傅立葉變換，如用如用FFT算法，可方便地實現(xiàn)。算法，可方便地實現(xiàn)。11001( , )( , )exp2MNexyuxvyG u vgx yjMNMN( , )egx y( , ),( , ),( , )eeefx y n x y h x yD = MNH( , )( , ) ( , )( , )G u vH u v F u vN u v(5.64)(5.64)28v5.2.1 5.2.1 逆濾波逆濾波由退化模型可知：由退化模型可知： 最優(yōu)化：尋找一個最

24、優(yōu)化：尋找一個 ，使得，使得g與與 之偏差之偏差 在最小二乘方意義上最在最小二乘方意義上最小，即使得小，即使得 的范數(shù)的平方最小，這等效于噪聲項的范數(shù)最小。的范數(shù)的平方最小，這等效于噪聲項的范數(shù)最小。 準(zhǔn)則函數(shù)用準(zhǔn)則函數(shù)用 表示：表示： 根據(jù)范數(shù)的定義可知：根據(jù)范數(shù)的定義可知： 為使得準(zhǔn)則函數(shù)為使得準(zhǔn)則函數(shù) 最小，實際上就是求它的極小值。最小，實際上就是求它的極小值。 在求極小值時，不受任何其它條件的約束，因此也稱為無約束復(fù)原。在求極小值時，不受任何其它條件的約束，因此也稱為無約束復(fù)原。n=g-HffHfg - Hf(fJ)22(fng-HfJ)=22TTn= n n,g-Hf= (g-Hf)

25、 (g-Hf)(fJ)(5.65)(5.65)g-Hf(5.66)(5.66)(5.67)(5.67)29根據(jù)向量微分的性質(zhì)：根據(jù)向量微分的性質(zhì)： 內(nèi)積內(nèi)積TX對對X的偏導(dǎo)的偏導(dǎo) 內(nèi)積內(nèi)積XT對對X的偏導(dǎo)的偏導(dǎo) 二次型二次型XTAX對對X的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)可得：可得：TXXTXX2TX AXAXX(5.70)(5.70)(5.69)(5.69)(5.68)(5.68) 20TTTTTTTJ fg gg Hff H gf H HfHgHfff(5.71)(5.71)30 即：即： 可以解出：可以解出： 兩邊乘上兩邊乘上 ，可得：可得： 上二式表明在最小二乘方準(zhǔn)則下尋找出的最優(yōu)估計圖像上二式表明在最小二

26、乘方準(zhǔn)則下尋找出的最優(yōu)估計圖像 ，可由降質(zhì)圖像，可由降質(zhì)圖像g和和降質(zhì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的逆矩陣降質(zhì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的逆矩陣 或者其對角化矩陣或者其對角化矩陣D得出。得出。T-1T-1-1-1-1-1f = (H H) H g = H g = (WDW ) g = WD W g(5.72)(5.72)-1DW-1-1DW f = W gf-1HTTH Hf = H g 31 由前可知，由前可知，W-1g的各元素可表示成的各元素可表示成G(u,v)， 的各元素可表示成的各元素可表示成 ，而，而 D(u,v) = MNH(u,v)， 于是可以得到對應(yīng)的元素之間的關(guān)系為：于是可以得到對應(yīng)的元素之間的關(guān)系為

27、： MNH(u,v)是濾波函數(shù)，則它與是濾波函數(shù)，則它與 的乘積是退化圖像的乘積是退化圖像g(x,y)的傅立葉變換。的傅立葉變換。 復(fù)原后的圖像復(fù)原后的圖像 在考慮噪聲的情況下，上式可寫成：在考慮噪聲的情況下，上式可寫成：11( , )( , ) ( , )( , )N u vf x ysF u vsMNH u vfW1(,)F u v( , )( , ) ( , )G u vMNH u v F u v11( , )( , )( , )( , )G u vf x yF u vMNH u v ( , )F u v(5.74)(5.74)(5.76)(5.76)(5.77)(5.77)-1-1DW

28、 f = W g32v5.2.2 5.2.2 無約束圖像復(fù)原的病態(tài)性質(zhì)無約束圖像復(fù)原的病態(tài)性質(zhì) 病態(tài)性質(zhì)：逆濾波函數(shù)中分母病態(tài)性質(zhì)：逆濾波函數(shù)中分母H(u,v)有可能有可能出現(xiàn)零點，就會導(dǎo)致不定解。出現(xiàn)零點，就會導(dǎo)致不定解。l 即使沒有噪聲，一般也不可能精確地復(fù)原即使沒有噪聲，一般也不可能精確地復(fù)原f(x,y)；l 如果考慮噪聲項如果考慮噪聲項N(u,v) ，則出現(xiàn)零點時，噪聲項將被放大，零點的影響將會，則出現(xiàn)零點時，噪聲項將被放大，零點的影響將會更大，對復(fù)原的結(jié)果起主導(dǎo)地位。更大，對復(fù)原的結(jié)果起主導(dǎo)地位。 解決辦法：解決辦法：l （1 1）采用的有約束圖像復(fù)原（下一節(jié)）；）采用的有約束圖像復(fù)

29、原（下一節(jié)）；l （2 2）利用利用噪聲一般在高頻范圍且衰減速度較慢，而信號一般在低頻且衰減較噪聲一般在高頻范圍且衰減速度較慢，而信號一般在低頻且衰減較快的性質(zhì)快的性質(zhì)，在復(fù)原時，只限制在頻譜坐標(biāo)離原點不太遠(yuǎn)的有限區(qū)域內(nèi)運行；，在復(fù)原時，只限制在頻譜坐標(biāo)離原點不太遠(yuǎn)的有限區(qū)域內(nèi)運行；33l （3 3）為了避免為了避免H(u,v)的值太小，一種改進(jìn)方法是在的值太小，一種改進(jìn)方法是在H(u,v)=0的那些頻譜點及其附近，的那些頻譜點及其附近，人為地設(shè)置人為地設(shè)置 的值；（見后圖）的值；（見后圖）l （4 4）考慮）考慮到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u,v)的帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，

30、其頻率特性的帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質(zhì)，取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)具有低通性質(zhì)，取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)為：為：l （5 5）其中）其中 的選取原則是將的選取原則是將H(u,v)為零的點除去。這種方法的缺點是復(fù)原后圖像為零的點除去。這種方法的缺點是復(fù)原后圖像的振鈴效果較明顯。的振鈴效果較明顯。1( , )Hu v222022201( , )( , )1uvH u vM u vuv0(5.78)(5.78)34 例：人為地設(shè)置例：人為地設(shè)置 的零點（極點）值的零點（極點）值(a) 退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u,v)頻率(b) 逆濾波器傳遞函數(shù)(c) 改進(jìn)的逆濾波器傳遞函數(shù)圖圖 5.7 5

31、.7 逆濾波器零點的影響及其改進(jìn)逆濾波器零點的影響及其改進(jìn)H-1(u,v)頻率M(u,v)頻率1( , )Hu v35v5.2.3 5.2.3 勻速直線運動引起的圖像模糊的復(fù)原勻速直線運動引起的圖像模糊的復(fù)原 假設(shè)：對平面勻速運動的景物拍攝一幅圖像照片假設(shè)：對平面勻速運動的景物拍攝一幅圖像照片f(x,y)， x0(t) 和和y0(t) 分別是景物在分別是景物在x和和y方向的運動分量，方向的運動分量，T為曝光時間，為曝光時間， 忽略其它因素，則實際所采集的模糊圖像忽略其它因素，則實際所采集的模糊圖像g(x,y) ： 如只在如只在x方向上運動，則該退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：方向上運動，則該退化系統(tǒng)的

32、傳遞函數(shù)如下： 問題：當(dāng)問題：當(dāng)n為整數(shù)時，為整數(shù)時，H(u,v)=0出現(xiàn)零點，出現(xiàn)零點，u=n/a 解決：避免零點，在解決：避免零點，在 1/u 范圍內(nèi)進(jìn)行復(fù)原運算，對復(fù)原結(jié)果影響不大。范圍內(nèi)進(jìn)行復(fù)原運算，對復(fù)原結(jié)果影響不大。 000( ,)( ),( )Tg x yf xxtyytdt2( , )(1)sin ()2j uaj uajTH u veTecuaua(5.80)(5.80)36用遞推的方法復(fù)原圖像用遞推的方法復(fù)原圖像f(x,y) ：在只有在只有x方向上（方向上（0 xL ）的運動：）的運動：令令 代入上式，（代入上式，（0 xL），得：），得：為簡單起見，忽略前面的系數(shù)，并對為

33、簡單起見，忽略前面的系數(shù)，并對x求導(dǎo)數(shù)，得到：求導(dǎo)數(shù)，得到：設(shè)設(shè)L=Ka，K為正整數(shù)。設(shè)為正整數(shù)。設(shè)m為為L/a的整數(shù)部分，其值為的整數(shù)部分，其值為0，1，2，K-1，余，余數(shù)用數(shù)用z表示，用表示，用a表示圖像內(nèi)景物移動的總距離。則：表示圖像內(nèi)景物移動的總距離。則： x=z+ma 當(dāng)當(dāng)x=L時，時，m=K-1，z = a。0( )Tatg xfxdtTatxT( )( )xxaTg xfda( )( )()f xgxf xa(5.83)(5.83)(5.82)(5.82)(5.81)(5.81)(5.84)(5.84)37 把式（把式（5.84）代入式（）代入式（5.83）得：）得： 設(shè)設(shè)(z

34、)=f(z-a) 0z(z)代表了在曝光期間景物移入代表了在曝光期間景物移入0za的部分。此時，的部分。此時，式（式（5.85）可通過）可通過(z) 用遞推的方式表示為另一種形式。用遞推的方式表示為另一種形式。 當(dāng)當(dāng)m=0，有，有 當(dāng)當(dāng)m=1，有，有 當(dāng)當(dāng)m=2，有，有 1fzmagzmafzma(5.85)(5.85) f zgzf zagzzfzagzafz22fzagzafza38 以此類推，可以得到：以此類推，可以得到： 即：即： 其中其中 為正整數(shù)，為正整數(shù)，g(x)是已知的，要求是已知的，要求f(x)，就只需要估計，就只需要估計(x)。0( )()()mkf xg xkaxma 0

35、mjfzmagzjaz(5.86)(5.86)modxma 39 從模糊圖像直接估計從模糊圖像直接估計(x)的方法的方法: 當(dāng)當(dāng)x從從0變化到變化到L時，時，m從從0變化到變化到K-1， 的自變量為的自變量為x-ma，該變量總是在，該變量總是在0到到a之間變化，即之間變化，即0 x-maa， 因此，在因此，在0 xL 區(qū)間內(nèi)計算區(qū)間內(nèi)計算f(x)。 由于由于重復(fù)了重復(fù)了k次，定義次，定義 代入到式（代入到式（5.86），可寫成），可寫成 如果對每個如果對每個kax(k+1)a進(jìn)行計算，并把進(jìn)行計算，并把k=0,1,2，,k-1的結(jié)果加起來，得到的結(jié)果加起來，得到0()()mjfxgxja xm

36、afxfx(5.88)(5.88) 110011KKkkxf xkaf xkaKK(5.87)(5.87)40 上式右邊第一項為未知項，但當(dāng)上式右邊第一項為未知項，但當(dāng)K很大時接近很大時接近f(x)的平均值，設(shè)它為常數(shù)的平均值，設(shè)它為常數(shù)A， 將式（將式（5.87）代入到上式，得到在）代入到上式，得到在0 xL 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi) 將上式將上式重新代入（重新代入（5.86）,得出只有得出只有x方向勻速直線運動模糊圖像復(fù)原后圖像表方向勻速直線運動模糊圖像復(fù)原后圖像表達(dá)式達(dá)式 0 xL 把變量把變量y加入，即可得到最終復(fù)原圖像加入，即可得到最終復(fù)原圖像 0 xL1010011KkKkkjxmaAfxka

37、maKAgxkamajaK 10001KkmkjjfxAgxmakj agxjaK10001,Kkmkjjf x yAgxmakj a ygxja yK(5.91)(5.91)(5.90)(5.90)(5.89)(5.89)41 無約束圖像復(fù)原：無約束圖像復(fù)原：（如逆濾波）滿足最優(yōu)準(zhǔn)則（如逆濾波）滿足最優(yōu)準(zhǔn)則 ， 只要了解退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，無其它約束；只要了解退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，無其它約束； 有約束圖像復(fù)原有約束圖像復(fù)原： 還需知道某些噪聲的統(tǒng)計特性，或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。還需知道某些噪聲的統(tǒng)計特性，或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。 根據(jù)不同的先驗知識，采用不同的約束條件，得到不同的復(fù)原技

38、術(shù)。根據(jù)不同的先驗知識，采用不同的約束條件，得到不同的復(fù)原技術(shù)。 最常見的是有約束的最常見的是有約束的最小二乘方最小二乘方圖像復(fù)原技術(shù)，圖像復(fù)原技術(shù)， 此外還有：功率譜均衡復(fù)原、幾何均值濾波器復(fù)原等方法。此外還有：功率譜均衡復(fù)原、幾何均值濾波器復(fù)原等方法。22(fng-HfJ)=42 有約束最小二乘方復(fù)原問題：有約束最小二乘方復(fù)原問題：l 令令Q為為 的線性算子，要設(shè)法尋找一個最優(yōu)估計的線性算子，要設(shè)法尋找一個最優(yōu)估計 ，使形式為，使形式為 、 服從約束條件服從約束條件 的準(zhǔn)則函數(shù)最小化。的準(zhǔn)則函數(shù)最小化。 l 采用拉格朗日乘子算法，使得準(zhǔn)則函數(shù)最?。翰捎美窭嗜粘俗铀惴ǎ沟脺?zhǔn)則函數(shù)最?。簂

39、 對上式求導(dǎo)并使其為零，求解得到：對上式求導(dǎo)并使其為零，求解得到：l 選擇不同的選擇不同的Q，就可得到不同類型的有約束的最小二乘方圖像復(fù)原方法。，就可得到不同類型的有約束的最小二乘方圖像復(fù)原方法。 222JfQfg - HfngHQQHHfT1TTf2fQ22nfHgf(5.92)(5.92)(5.93)(5.93)43當(dāng)當(dāng)QI（MNMN單位陣），即單位陣），即Q不起作用，這時：不起作用，這時：如如=0，上式退化為無約束情況的圖像復(fù)原。，上式退化為無約束情況的圖像復(fù)原。注意：是一個在空間域上進(jìn)行圖像復(fù)原的理論方法。注意：是一個在空間域上進(jìn)行圖像復(fù)原的理論方法。由于矩陣或向量的維數(shù)巨大，實際上很

40、難直接用上述方法求解。由于矩陣或向量的維數(shù)巨大，實際上很難直接用上述方法求解。通常都需要轉(zhuǎn)換到頻率域上進(jìn)行處理，類似于逆濾波方法，通常都需要轉(zhuǎn)換到頻率域上進(jìn)行處理，類似于逆濾波方法，在有約束條件下稱為維納濾波復(fù)原方法。在有約束條件下稱為維納濾波復(fù)原方法。 r-1TTf = H H + IH g(5.94)(5.94)44v5.3.1 5.3.1 維納濾波維納濾波 條件：圖像為平穩(wěn)隨機過程，獨立于噪聲；噪聲為加性噪聲，是平穩(wěn)過程。條件：圖像為平穩(wěn)隨機過程，獨立于噪聲；噪聲為加性噪聲，是平穩(wěn)過程。 準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：使使f(x,y) 和和 之間的均方誤差達(dá)到最?。褐g的均方誤差達(dá)到最?。?維納濾波選用的

41、變換矩陣：維納濾波選用的變換矩陣： 其中其中Rf圖像圖像f的相關(guān)矩陣，的相關(guān)矩陣，Rn是噪聲是噪聲n的相關(guān)矩陣，且是實對稱矩陣：的相關(guān)矩陣，且是實對稱矩陣：T-1fnQ Q = R REETTfnR =ffR=nn( , )f x y22min( , )( , )eEf x yf x y(5.97)(5.97)(5.96)(5.96)(5.95)(5.95)(5.98)(5.98)45l 像素點越近相關(guān)度越高，自相關(guān)函數(shù)隨著與遠(yuǎn)點距離增加而下降；像素點越近相關(guān)度越高，自相關(guān)函數(shù)隨著與遠(yuǎn)點距離增加而下降；l 功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，圖像功率譜隨著頻率的升高而下降；功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的

42、傅立葉變換，圖像功率譜隨著頻率的升高而下降；l 圖像的平穩(wěn)性：像素的相關(guān)性只是相互距離的函數(shù)，和位置無關(guān)；圖像的平穩(wěn)性：像素的相關(guān)性只是相互距離的函數(shù)，和位置無關(guān)；l 可將可將Rf 和和Rn 都用塊循環(huán)矩陣表示，利用循環(huán)矩陣的對角化，可以寫成：都用塊循環(huán)矩陣表示，利用循環(huán)矩陣的對角化，可以寫成： Rf = W A W-1Rn = W B W-1 l 其中其中A和和B為對角矩陣，為對角矩陣，根據(jù)循環(huán)矩陣對角化的性質(zhì)可知，根據(jù)循環(huán)矩陣對角化的性質(zhì)可知，A和和B中的諸元素中的諸元素分別為分別為Rf 和和Rn 中諸元素的傅立葉變換，并用中諸元素的傅立葉變換，并用Sf(u,v)和和Sn(u,v)表示。表

43、示。l 由由（5.895.89）式可得：式可得： 上式兩邊乘以上式兩邊乘以W-1，得到：，得到： gWWDBWWADWWDf*11111gWDBADDfW*1111(5.99)(5.99)(5.100)(5.100)(5.101)(5.101)(5.102)(5.102)46對應(yīng)的頻域表達(dá)式：對應(yīng)的頻域表達(dá)式：(1)(1) 如果如果 ，方括號內(nèi)的項被稱為維納濾波器；，方括號內(nèi)的項被稱為維納濾波器；(2)(2)無噪聲時，無噪聲時， ，上式退化成逆濾波器；，上式退化成逆濾波器；(3)(3)如果不知道噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)，即當(dāng)如果不知道噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)，即當(dāng) 和和 未知時，上式可未知時，上式可近似（近似（K

44、為噪聲對信號頻譜密度之比）：為噪聲對信號頻譜密度之比）：222( , )( , )( , )( , )( , )/( , )( , )1( , )( , )( , )( , )/( , )nfnfHu vF u vG u vH u vS u vSu vH u vG u vH u vH u vS u vSu v1( , )0nS u v ( , )nS u v( , )fSu v2( , )( , )( , )( , )Hu vF u vG u vH u vK (5.103)(5.103)(5.104)(5.104)47v5.3.2 5.3.2 功率譜均衡復(fù)原功率譜均衡復(fù)原 另設(shè)準(zhǔn)則函數(shù)，如使估

45、計圖像另設(shè)準(zhǔn)則函數(shù)，如使估計圖像 的功率譜的功率譜 與原圖像與原圖像f(x,y)功功率譜率譜 相等來導(dǎo)出功率譜均衡復(fù)原濾波器。相等來導(dǎo)出功率譜均衡復(fù)原濾波器。 復(fù)原濾波器復(fù)原濾波器M(u,v)、估計圖像的功率譜、估計圖像的功率譜 、退化圖像的功率譜、退化圖像的功率譜Sg(u,v)之間關(guān)系之間關(guān)系： 根據(jù)圖像退化的降質(zhì)模型和功率譜的定義可知：根據(jù)圖像退化的降質(zhì)模型和功率譜的定義可知： ( , )( , )ffSu vSu v( , )f x y( , )fSu v( , )fSu v( , )fSu v2( , )( , )( , )gfSu vM u vSu v*2,gfnSu vE G u

46、v Gu vEH u v F u vN u vH u v F u vN u vH u vSu vSu v(5.107)(5.107)(5.106)(5.106)(5.105)(5.105)48把上式代入到式把上式代入到式（5.1065.106），），可得可得根據(jù)功率均衡濾波器的要求根據(jù)功率均衡濾波器的要求功率譜均衡復(fù)原圖像的頻域表達(dá)式可以寫成：功率譜均衡復(fù)原圖像的頻域表達(dá)式可以寫成：1221( , )( , )( , )( , )/( , )nfF u vG u vH u vS u vSu v ( , )( , )ffSu vSu v(5.110)(5.110)(5.109)(5.109)(5

47、.108)(5.108)1221( , )( , )( , )( , )nfM u vH u vSu vSu v11222,ffgfnSu vSu vM u vSu vH u vSu vSu v49 維納濾波器和功率均衡濾波器比較：維納濾波器和功率均衡濾波器比較：兩者基本相似，分子相差一項兩者基本相似，分子相差一項H*(u,v)；都要預(yù)先知道功率譜都要預(yù)先知道功率譜Sf(u,v)和和Sn(u,v)；無噪聲時，兩者都簡化為逆濾波器；無信號時，兩者都完全截止；無噪聲時，兩者都簡化為逆濾波器；無信號時，兩者都完全截止； 不同在不同在H(u,v)0處，維納濾波器的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)強迫響應(yīng)為零，處，維納濾波

48、器的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)強迫響應(yīng)為零， 功率譜均衡濾波器的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)則不等于零；功率譜均衡濾波器的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)則不等于零；功率譜均衡濾波器復(fù)原能力強，在某些情況下其性能優(yōu)于維納濾波器。功率譜均衡濾波器復(fù)原能力強，在某些情況下其性能優(yōu)于維納濾波器。圖圖5.8 5.8 維納濾波器和功率譜均衡濾波器比較維納濾波器和功率譜均衡濾波器比較50v5.3.3 5.3.3 有約束最小平方復(fù)原有約束最小平方復(fù)原 維納濾波維納濾波和和功率譜均衡濾波功率譜均衡濾波基于統(tǒng)計特性的圖像復(fù)原方法，以圖像和噪基于統(tǒng)計特性的圖像復(fù)原方法，以圖像和噪聲的相關(guān)矩陣為基礎(chǔ)，是平均的意義上的最佳；聲的相關(guān)矩陣為基礎(chǔ)，是平均的意義上的最佳；

49、 維納濾波要求圖像和噪聲為平穩(wěn)隨機場，相互獨立，已知它們的頻譜密度，維納濾波要求圖像和噪聲為平穩(wěn)隨機場，相互獨立，已知它們的頻譜密度，但是在實際中，往往很難得到這方面的先驗知識。但是在實際中，往往很難得到這方面的先驗知識。 有約束最小平方復(fù)原有約束最小平方復(fù)原以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法，以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法，如使得某個函數(shù)如使得某個函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為最??；的二階導(dǎo)數(shù)為最??； 采用該方法復(fù)原，對每個給定的圖像都是最佳的；采用該方法復(fù)原，對每個給定的圖像都是最佳的； 只需要知道有關(guān)噪聲的均值和方差的先驗知識，就可對每個給定的圖像得到只需要知道有關(guān)噪聲的均值和方差的先驗知識，就可對每個給定的

50、圖像得到最優(yōu)結(jié)果。最優(yōu)結(jié)果。51 最小二乘方濾波復(fù)原以式最小二乘方濾波復(fù)原以式(5.89)(5.89)為基礎(chǔ)，關(guān)鍵是選擇變換矩陣為基礎(chǔ)，關(guān)鍵是選擇變換矩陣Q Q； 一維情況：一維情況：給定一維離散函數(shù)給定一維離散函數(shù)f(x)，該函數(shù)在某一點，該函數(shù)在某一點x處的二階導(dǎo)數(shù)可近似表示為：處的二階導(dǎo)數(shù)可近似表示為： 有約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則是使有約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則是使 在所有的在所有的x處的和為最小，即處的和為最小，即 或用矩陣形式表示為：或用矩陣形式表示為：min fT CT C f 式中：式中：C為平滑矩陣，為平滑矩陣，f 為圖像向量為圖像向量22(1)2 ( )(1)ff xf x

51、f xx222fx 2min121xf xf xf x121121121121121121C(5.113)(5.113)(5.112)(5.112)(5.111)(5.111)(5.114)(5.114)52 二維情況，二維情況，f(x,y)在在(x,y)處的二階導(dǎo)數(shù)可用下式近似處的二階導(dǎo)數(shù)可用下式近似上式可用上式可用f(x,y)與下面的與下面的p(x,y)算子卷積得到：算子卷積得到：有約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則：有約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則：f(x,y)與與p(x,y)卷積的平方和的最小卷積的平方和的最小22224,1,1,1,1fff x yf xyf xyf x yf x yxy010,

52、141010p x y 22222,minx yffxy(5.117)(5.117)(5.116)(5.116)(5.115)(5.115)53 離散卷積計算過程中，用添零的方法擴展離散卷積計算過程中，用添零的方法擴展f(x,y)與與p(x,y)。 如果如果f(x,y)為為AB，而，而p(x,y)為為33，擴展后，擴展后 MA+3-1=A+2，NB+3-1=B+2，即，即 擴展后的卷積為擴展后的卷積為 由二維離散退化模型可知，式（由二維離散退化模型可知，式（5.119）可以寫成矩陣形式）可以寫成矩陣形式 g = C f 其中其中f是是MN維的列矢量，維的列矢量，C是是MNMN維的分塊循環(huán)矩陣。

53、維的分塊循環(huán)矩陣。,01,01,01,1ef x yxAyBfx yAxMByN ,02,02,031,31ep x yxyp x yxMyN1100,MNeeemngx yfm n pxm yn(5.118)(5.118)(5.119)(5.119)(5.120)(5.120)54 平滑矩陣平滑矩陣C重寫：重寫： 其中每個子矩陣其中每個子矩陣Cj是由是由pe(x,y)的第的第j行組成的行組成的NN維的循環(huán)矩陣，即維的循環(huán)矩陣，即0M-1M-2110M-122103M-1M-2M-30CCCCCCCCCCCCCCCCC,0,1,2,1,1,0,1,2C,2,1,0,3,1,2,3,0eeeee

54、eeejeeeeeeeepjpj Npj Npjpjpjpj Npjpjpjpjpjpj Npj Npj Npj(5.122)(5.122)(5.121)(5.121)55根據(jù)循環(huán)矩陣的對角化性質(zhì)，利用式（根據(jù)循環(huán)矩陣的對角化性質(zhì)，利用式（5.44）的矩陣）的矩陣W對對C進(jìn)行對角化：進(jìn)行對角化： E = W-1 C W 式中式中E為對角矩陣，其元素是為對角矩陣，其元素是C中元素的二維傅立葉變換。中元素的二維傅立葉變換。約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則就是式（約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則就是式（5.119）卷積平方和最小，表示成矩陣形式：）卷積平方和最小，表示成矩陣形式： min fT CT C f 變

55、換矩陣變換矩陣Q相當(dāng)于相當(dāng)于有約束最小平方復(fù)原有約束最小平方復(fù)原中的平滑矩陣中的平滑矩陣C，由此可得：，由此可得：利用（利用（5.45）（）（5.123）代入上式：）代入上式： 兩邊左乘以兩邊左乘以W-1：gHCCHHfT1TTgWWDEWWEDWWDf*1111gWDEEDDfW*111(5.127)(5.127)(5.124)(5.124)(5.125)(5.125)(5.126)(5.126)(5.123)(5.123)56 對應(yīng)的有約束最小平方復(fù)原濾波器對應(yīng)的有約束最小平方復(fù)原濾波器 在形式上與維納濾波器相似，在形式上與維納濾波器相似， 主要區(qū)別：只要知道噪聲均值和方差，不需其它統(tǒng)計參

56、數(shù)，主要區(qū)別：只要知道噪聲均值和方差，不需其它統(tǒng)計參數(shù)， 與維納濾波器一樣，與維納濾波器一樣，是一個調(diào)節(jié)參數(shù)，是一個調(diào)節(jié)參數(shù)， 當(dāng)當(dāng)滿足滿足 時，才能達(dá)到最優(yōu)。時，才能達(dá)到最優(yōu)。*22,eHu vF u vG u vH u vpu v22nfHg(5.128)(5.128)57 估計估計的方法：把估計圖像代回到退化系統(tǒng)中，得到的輸出會和已退化的圖像有差異，的方法：把估計圖像代回到退化系統(tǒng)中，得到的輸出會和已退化的圖像有差異，該差異定義為殘差該差異定義為殘差r: 由于噪聲存在，殘差不會等于零，因此殘差的范數(shù)應(yīng)該反映出噪聲的特征，一般它是由于噪聲存在，殘差不會等于零，因此殘差的范數(shù)應(yīng)該反映出噪聲的

57、特征，一般它是的函數(shù)，當(dāng)調(diào)整的函數(shù)，當(dāng)調(diào)整以達(dá)到以達(dá)到 時，即為所求的時，即為所求的。 如，對于如，對于NN圖像，圖像，Sawchuck導(dǎo)出了：導(dǎo)出了： 式中式中 和和 分別表示噪聲的方差和均值。分別表示噪聲的方差和均值。 可見，圖像復(fù)原最后可歸結(jié)為在滿足約束的前提下，使得以平滑度為基礎(chǔ)的最佳準(zhǔn)則可見，圖像復(fù)原最后可歸結(jié)為在滿足約束的前提下，使得以平滑度為基礎(chǔ)的最佳準(zhǔn)則達(dá)到最優(yōu)。達(dá)到最優(yōu)。gHCCHHHgfHgrTTT122nr2n2n22mNn2nnm(5.129)(5.129)(5.130)(5.130)58 有約束最小平方復(fù)原過程：有約束最小平方復(fù)原過程： (1)(1)選一個初始值賦給選一個初始值賦給 ，算得算得 的估計；的估計； (2)(2)計算計算 ； (3)(3)計算殘差矢量，并計算殘差矢量，并 ； (4)(4)根據(jù)根據(jù) 的差值決定進(jìn)一步調(diào)整的差值決定進(jìn)一步調(diào)整 ，直到直到 ； (5)(5)此時，將此時，將 代入，得到復(fù)原的圖像代入，得到復(fù)原的圖像 。 重申：上