3-2-9_接送問題題庫教師版

1、接送問題 教學(xué)目標(biāo) 1、準(zhǔn)確畫出接送問題的過程圖標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)量在相同時(shí)間所走的路程要分清 2、理解運(yùn)動(dòng)過程，抓住變化規(guī)律 3、運(yùn)用行程中的比例關(guān)系進(jìn)行解題 知識精講 一、 校車問題行走過程描述 隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地，即到達(dá)目的地的最 短時(shí)間，不要求證明。 二、常見接送問題類型 根據(jù)校車速度（來回不同） 、班級速度（不同班不同速） 、班數(shù)是否變化分類為四種常見題型： （ 1）車速不變 -班速不變 -班數(shù) 2 個(gè)（最常見） （ 2）車速不變 - 班速不變 -班數(shù)多個(gè) （3）車速不變 -班速變 - 班數(shù) 2 個(gè) （4）車速變 - 班速不變 -班數(shù) 2 個(gè)

2、 三、標(biāo)準(zhǔn)解法： 畫圖列 3 個(gè)式子 1、總時(shí)間 =一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間 +這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間； 2、班車走的總路程； 3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間 =班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。 模塊一、汽車接送問題接一個(gè)人 【例 1 】 某校和某工廠之間有一條公路， 該校下午 2 時(shí)派車去該廠接某勞模來做報(bào)告， 往返需用 1 小時(shí)這 位勞模在下午 1 時(shí)便離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的汽車，便立刻上車駛向?qū)W校，在下 午 2 時(shí) 40 分到達(dá)問：汽車速度是勞模步行速度的幾倍？ 【分析】車下午 2 時(shí)從學(xué)校出發(fā)，如圖, 在 C 點(diǎn)與勞模相遇，再返回 B點(diǎn)，共用時(shí) 40 分鐘，由此可知，在從 B到 C 用了 40

3、 2 20 分鐘， 也就是 2 時(shí) 20 分在 C 點(diǎn)與勞模相遇.此時(shí)勞模走了 1 小時(shí) 20 分，也就是 80 分鐘. 另一方面，汽車走兩個(gè)AB需要 1 小時(shí)，也就是從B點(diǎn)走到A點(diǎn)需要 30 分鐘，而前面說走完 BC 需要 20 分鐘，所以走完 AC 要 10 分鐘，也就是說 BC 2AC .走完 AC，勞模用了 80 分鐘；走 完 BC，汽車用了 20 分鐘勞模用時(shí)是汽車的 4 倍，而汽車行駛距離是勞模的 2 倍，所以汽車 的速度是勞模速度的 4 2 8 倍. 【點(diǎn)撥】復(fù)雜的行程問題總要先分析清楚過程我們不把本題看作是一道相遇問題，因?yàn)樵诼烦毯退俣榷?不知道的情況下，解相遇問題需要初中代數(shù)

4、的知識. 直接求出相遇點(diǎn) C 到兩端A、B的長度關(guān)系， 再通過時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系，就可以解出本題解這道題，最重要的就是找出勞模和汽車間路程及所 有時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系通過汽車的用時(shí)推出 AC 與 BC 的倍數(shù)關(guān)系，再得出答案. 如何避開運(yùn)用分?jǐn)?shù)和比例，方法有很多對于這道題， 如果認(rèn)為學(xué)校與工廠間相距為 3000 米，則 做出這道題就更容易了 ：汽車 1 分鐘走 3000 30 100 米.AB相距 1000 米，勞模走了 80 分鐘， 所以勞模的速度是每分鐘走 1000 80 12.5 米，汽車速度是勞模的 100 12.5 8 倍.而實(shí)際上，3000 米這個(gè)附加條件對結(jié)果并不起作用，只是使解題人的思路

5、更加清晰. 【鞏固】（2008 年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學(xué)邀請賽 ）張工程師每天早上 8 點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)被司機(jī)從家接到廠 里。一天，張工程師早上 7 點(diǎn)就出了門，開始步行去廠里，在路上遇到了接他的汽車，于是，他 就上車行完了剩下的路程，到廠時(shí)提前 20 分鐘。這天，張工程師還是早上 7 點(diǎn)出門，但 15 分鐘 后他發(fā)現(xiàn)有東西沒有帶，于是回家去取，再出門后在路上遇到了接他的汽車，那么這次他比平 常要提前 _ 分鐘到廠。 【解析】第一次提前 20 分鐘是因?yàn)閺埞こ處熥约鹤吡艘欢温?，從而?dǎo)致汽車不需要走那段路的來回，所 以汽車開那段路的來回應(yīng)該是 20 分鐘，走一個(gè)單程是 10 分鐘，而汽車每天 8 點(diǎn)到

6、張工程師家里， 所以那天早上汽車是 7 點(diǎn) 50 接到工程師的，張工程師走了 50 分鐘，這段路如果是汽車開需要 10 分 鐘，所以汽車速度是張工程師步行速度的 5 倍，第二次，實(shí)際上相當(dāng)于張工程師提前半小時(shí)出發(fā)， 時(shí)間是遇到汽車之后的 5 倍，則張工程師走了 25 分鐘時(shí)遇到司機(jī)，此時(shí)提前（30 25） 2 10 （分 鐘）。 模塊二、汽車接送問題接兩個(gè)人或多人 （一）、車速不變、人速不變 【例 2 】 （難度級別 ） A、B 兩個(gè)連隊(duì)同時(shí)分別從兩個(gè)營地出發(fā)前往一個(gè)目的地進(jìn)行演習(xí)， A 連有 卡車可以裝載正好一個(gè)連的人員，為了讓兩個(gè)連隊(duì)的士兵同時(shí)盡快到達(dá)目的地， A 連士兵坐車 出發(fā)一定時(shí)間

7、后下車讓卡車回去接 B 連的士兵，兩營的士兵恰好同時(shí)到達(dá)目的地，已知營地與 目的地之間的距離為 32 千米，士兵行軍速度為 8 千米/小時(shí)，卡車行駛速度為 40 千米每小時(shí)， 求兩營士兵到達(dá)目的地一共要多少時(shí)間？ 【解析】由于卡車的速度為士兵行軍速度的 5 倍，因此卡車折回時(shí)已走的路程是 B 連士兵遇到卡車時(shí)已走 路程的 3 倍，而卡車折回所走的路程是 B 連士兵遇到卡車時(shí)已走路程的 2 倍，卡車接到 B 連士兵 后，還要行走 3 倍 B 連士兵遇到卡車時(shí)已走路程才能追上 A 連士兵，此時(shí)他們已經(jīng)到達(dá)了目的地， 因此總路程相當(dāng)于 4 倍 B 連士兵遇到卡車時(shí)已走路程， 所以 B 連士兵遇到卡車

8、時(shí)已走路程為 8 千 米，而卡車的總行程為（3+2+3）X 8=64 千米，這一段路，卡車行駛了 64 十 40=8/5 小時(shí)，即 1 小時(shí) 36 分鐘這也是兩營士兵到達(dá)目的地所花的時(shí)間 . 【鞏固】 甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去公園，兩班的步行速度相等都是 4千米/小時(shí)，學(xué)校有一輛汽 車，它的速度是每小時(shí) 48 千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間 內(nèi)到達(dá)公園，設(shè)兩地相距 150 千米，那么各個(gè)班的步行距離是多少？ 【解析】由于汽車速度是甲乙兩班步行速度的 12倍，設(shè)乙班步行 1 份，汽車載甲班到 A點(diǎn)開始返回到B點(diǎn) 相遇，這樣得出 BD:BA 1:（12 1） 2

9、1:5.5，汽車從A點(diǎn)返回最終與乙班同時(shí)到達(dá) C 點(diǎn)，汽 車又行走了 12份，所以總路程分成 1 5.5 1 7.5 份，所以每份 150 7.5 20 千米，所以各個(gè)班 的步行距離為 20 千米 【例 3】（難度級別 探）甲、乙、丙三個(gè)班的學(xué)生一起去郊外活動(dòng)，他們租了一輛大巴，但大巴只夠 一個(gè)班的學(xué)生坐，于是他們計(jì)劃先讓甲班的學(xué)生步行，乙丙兩班的學(xué)生步行，甲班學(xué)生搭乘大 巴一段路后，下車步行，然后大巴車回頭去接乙班學(xué)生，并追趕上步行的甲班學(xué)生，再回頭載 上丙班學(xué)生后一直駛到終點(diǎn)，此時(shí)甲、乙兩班也恰好趕到終點(diǎn)，已知學(xué)生步行的速度為 5 千米/ 小時(shí)，大巴車的行駛速度為 55 千米 / 小時(shí)，出

10、發(fā)地到終點(diǎn)之間的距離為 8 千米，求這些學(xué)生到 達(dá)終點(diǎn)一共所花的時(shí)間 . 解析】 如 圖所示： 虛線為學(xué)生步行部分，實(shí)線為大巴車行駛路段，由于大巴車的速度是學(xué)生的 11 倍，所以大巴車 第一次折返點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離是乙班學(xué)生搭車前步行距離的 6 倍，如果將乙班學(xué)生搭車前步行距 離看作是一份的話，大巴車第一次折返點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)的距離為 6 份，大巴車第一次折返到接到乙班 學(xué)生又行駛了 5 分距離，如此大巴車一共行駛了 6+5+6+5+6=28 份距離，而 A 到 F 的總距離 為 8 份，所以大巴車共行駛了 28 千米，所花的總時(shí)間為 28/55 小時(shí) . 例 4 】 海淀區(qū)勞動(dòng)技術(shù)學(xué)校有 100 名

11、學(xué)生到離學(xué)校 33 千米的郊區(qū)參加采摘活動(dòng)， 學(xué)校只有一輛限乘 25 人的中型面包車為了讓全體學(xué)生盡快地到達(dá)目的地決定采取步行與乘車相結(jié)合的辦法已 知學(xué)生步行的速度是每小時(shí) 5 千米，汽車行駛的速度是每小時(shí) 55 千米請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使 全體學(xué)生都能到達(dá)目的地的最短時(shí)間是多少小時(shí) ? 解析】 由于 100 名學(xué)生要分 4次乘車， 分別命名為甲、 乙、丙、丁四組， 且汽車的速度是步行速度的 11倍， 乙組步行 1 份路程，則汽車載甲組行駛 6 份，放下甲組開始返回與乙組的學(xué)生相遇，汽車載乙組 追上甲組，把乙組放下再返回，甲組也步行了 1 份，丙組、丁組步行的路程和乙組相同，如圖所 示，所以全程

12、為 6 1 1 1 9 份，恰好是 33 千米，其中汽車行駛了 33 9 6 22 千米，共步行 了 33 22 11 千米，所以全體學(xué)生到達(dá)目的地的最短時(shí)間為 22 55 11 5 2.6 （小時(shí)） 例 5】 甲、乙兩班學(xué)生到離校 39 千米的博物館參觀， 但只有一輛汽車， 一次只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生 為 了盡快到達(dá)博物館，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某 地下車后步行去博物館，汽車則從某地立即返回去接在途中步行的乙班學(xué)生如果甲、乙兩班 學(xué)生步行速度相同， 汽車速度是他們步行速度的 10 倍，那么汽車應(yīng)在距博物館多少千米處返回 接乙班學(xué)生，才能使兩班同時(shí)到達(dá)博物

13、館？ 解析】 如圖所示，當(dāng)甲班乘車至 C 處后下車，然后步行至博物館，車則返回去接乙班，至 乙班相遇，然后載著乙班直接到博物館 由于甲、乙兩班學(xué)生要同時(shí)到達(dá)，他們所用的時(shí)間是相同的，而總路程也相同，那么他們乘車的 路程和步行的路程也分別相同，也就是說圖中 AB與 CD 相等又乙班走完 AB時(shí)，汽車行駛了從 B 處時(shí)恰好與 A到 C 再從 C 到B這一段路程，由于汽車速度是他們步行速度的 10 倍，所以汽車走的這段路程 是 AB 的 10 倍，可得 BC 是 AB 的 10 1 2 4.5 倍，那么全程 AD 是 AB 的 6.5 倍，也是 CD 的 6.5 倍，所以 CD 為 39 6.5 6

14、 千米，即汽車應(yīng)在距博物館 6 千米處返回接乙班. 【例 6】（難度級別 甲、乙兩班學(xué)生到離校 24 千米的飛機(jī)場參觀，但只有一輛汽車，一次 只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生.為了盡快到達(dá)飛機(jī)場，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同 時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某地下車后步行去飛機(jī)場，汽車則從某地立即返回接在途中步行的乙 班學(xué)生.如果甲、乙兩班學(xué)生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的 7 倍，那么汽車應(yīng)在 距飛機(jī)場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場 ? 【解析】設(shè)學(xué)生步行時(shí)速度為“ 1”，那么汽車的速度為“ 7”，有如下示意圖. 我們讓甲班先乘車，那么當(dāng)乙班步行至距學(xué)校 I處，甲班已乘車至

15、距學(xué)校 71 處此時(shí)甲班下車 步行，汽車往回行駛接乙班，汽車、乙班將相遇汽車、乙班的距離為 71-1=61 ，兩者的速度和 為 7+仁 8,所需時(shí)間為 61+ 8=0.751，這段時(shí)間乙班學(xué)生又步行 0.75I的路程，所以乙班學(xué)生共 步行 1+0.751=1.751 后乘車而行應(yīng)要求甲、乙班同時(shí)出發(fā)、同時(shí)到達(dá)，且甲、乙兩班步行的速 度相等，所以甲班也應(yīng)在步行 1.75I 路程后達(dá)到飛機(jī)場，有甲班經(jīng)過的全程為 7I+1.75I=8.75 I， 應(yīng)為全程所以有 71=24 + X 7=19.2 千米，即在距學(xué)校 19.2 千米的地方甲班學(xué)生下車步行，此 地距飛機(jī)場=4.8 千米.即汽車應(yīng)在距飛機(jī)場

16、 4.8 千米的地方返回接乙班學(xué)生， 才能使兩班同時(shí)到 達(dá)飛機(jī)場. 【例 7】（2008 年“迎春杯”六年級初賽 ）A、B兩地相距 22.4 千米.有一支游行隊(duì)伍從 A出發(fā)，向B勻 速前進(jìn)；當(dāng)游行隊(duì)伍隊(duì)尾離開 A時(shí)，甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)乙向 A步行；甲 騎車先追向隊(duì)頭，追上隊(duì)頭后又立即騎向隊(duì)尾，到達(dá)隊(duì)尾后再立即追向隊(duì)頭，追上隊(duì)頭后又立 即騎向隊(duì)尾當(dāng)甲第 5 次追上隊(duì)頭時(shí)恰與乙相遇在距 B地 5.6 千米處；當(dāng)甲第 7 次追上隊(duì)頭 時(shí)，甲恰好第一次到達(dá) B地，那么此時(shí)乙距 A地還有 _ 千米. 解析】 整 個(gè)行程如圖所示設(shè)甲第一次追上隊(duì)頭與第二次追上隊(duì)頭時(shí)隊(duì)伍所行的距離為 從隊(duì)頭

17、到隊(duì)尾時(shí)甲所行距離為 y 千米由于每一次甲都是從隊(duì)尾追上隊(duì)頭，再從隊(duì)頭回到隊(duì)尾， 追上隊(duì)頭是一個(gè)追及過程，回到隊(duì)尾是一個(gè)相遇過程，而追及、相遇的路程都是隊(duì)伍的長度，隊(duì) 伍的長度是不變的，所以每一次追及、相遇的時(shí)間也是不變的，所以每一次甲追上隊(duì)頭到下一次 甲追上隊(duì)頭這段時(shí)間內(nèi)隊(duì)伍所行的路程 （即圖中相鄰兩條虛線之間的距離 ） 都是相同的， 而每一次 從隊(duì)頭到隊(duì)尾時(shí)甲所行的路程也都是相同的 根據(jù)題意，甲第 5 次追上隊(duì)頭時(shí)距 B地 5.6 千米，第 7 次追上隊(duì)頭時(shí)恰好到達(dá) B地，所以 2x 5.6 ; 甲第 5 次追上隊(duì)頭時(shí)恰與乙相遇在距 B地 5.6 千米處，甲第 5 次追上隊(duì)頭時(shí)共行了 2.

18、8 2.8 5 2.8 4 39.2 千米，根據(jù)時(shí)間一定，速度比等于路程之比，可得 v甲：v乙 39.2 : 5.6 7:1 . 從甲第 5 次追上隊(duì)頭到甲第 7 次追上隊(duì)頭，甲共行了 2.8 2.8 2 2.8 2 16.8 千米，所以這段 時(shí)間內(nèi)乙行了 16.8 7 2.4 千米，所以此時(shí)乙距 A地還有 22.4 5.6 2.4 14.4 （千米）. 二）車速不變、人速變 【例 8】（難度級別 探）甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去公園，甲班步行的速度是每小時(shí) 4 千米， 乙班步行的速度是每小時(shí) 3 千米。學(xué)校有一輛汽車， 它的速度是每小時(shí) 48 千米，這輛汽車恰好 能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩

19、班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步 行的距離之比是多少千米？ 【解析】方法一：不妨設(shè)乙班學(xué)生先步行，汽車將甲班學(xué)生送至 A 地后返回，在 B 處接到乙班學(xué)生，最后 汽車與乙班學(xué)生同時(shí)到達(dá)公園，如圖： V甲：V車=1: 12, V乙: V車=1: 16。 乙班從 C 至 B 時(shí)， 汽車從 CAB 則兩者路程之比為 1: 16, 不妨設(shè) CB=1,貝 U CAB=16 CA=（ 1+ 16）+ 2=,則有 CB BA=1:;類似設(shè) AD=1,分析可得 AD BA=1:,綜合得 CB: BA AD=22 165: 30，說明甲乙兩班步行的距離之比是 15: 11。 方法二：如圖

20、,假設(shè)實(shí)線代表汽車行駛的路線,虛線代表甲班和乙班行走的路線,假設(shè)乙班行駛 x千米，第一次 從圖中可以看出， 7x y 22.4 ，所以： 2x 7x 5.6 ，解得 x y 22.4 y 2.8 2.8 1 份到達(dá) C 點(diǎn)，則汽車行駛 16 份到達(dá)E點(diǎn)，汽車與乙班共行駛 15 份在D點(diǎn)相遇，其中乙班步行了1 方法三：由于汽車速度是甲班速度的 12倍，是乙班速度的 16 倍，設(shè)乙班步行 1 份，則汽車載甲班 學(xué)生到E點(diǎn)返回與乙班相遇，共行 16 份，所以 AD:DE 1:(16 1) 2 1:7.5 2:15，類似的設(shè) 甲班步行 1 份，則汽車從E點(diǎn)返回到D點(diǎn)又與甲班同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，所 以，DE:

21、EB (12 1) 2:1 5.5:1 11:2，所以 AD : DE : EB 22: (15 11):30,所以甲班與乙班步 行的路程比為 30: 22 15:11 (三)、車速變、人速不變 【例 9】 甲、乙兩班同學(xué)到 42 千米外的少年宮參加活動(dòng)， 但只有一輛汽車，且一次只能坐一個(gè)班的同學(xué)， 已知學(xué)生步行速度相同為 5 千米/小時(shí)，汽車載人速度是 45 千米/小時(shí)，空車速度是 75 千米/ 小時(shí)如果要使兩班同學(xué)同時(shí)到達(dá)，且到達(dá)時(shí)間最短，那么這個(gè)最短時(shí)間是多少？ 【解析】 行車路線如圖所示，設(shè)甲、乙兩班步行的路程為 1,車開出x后返回接乙班. 由車與乙相遇的過程可知： 1 x 山，解得

22、x 6 , 5 475 因此，車開出 42 6 36 千米后， 放下甲班回去接乙班，甲班需步行 42 1 6 千米， 共用 6 1 6 1 36 6 2 小時(shí). 45 5 【例 10】(難度級別 探)有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送，第一班 的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行， 車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮，學(xué)生步行速度為每小時(shí) 4 公里，載學(xué)生時(shí)車 速每小時(shí) 40 公里，空車時(shí)車速為每小時(shí) 50 公里問：要使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，第一班 學(xué)生要步行全程的幾分之幾？ 【解析】由于兩個(gè)班的同學(xué)都是一段路步行一段路

23、乘車，而乘車的速度比步行快，中間又沒有停留，因此 要同時(shí)到達(dá)少年宮，兩個(gè)班的同學(xué)步行的路程一定要一樣長如圖所示, 15 1 16 17 15 15 4 20 15 20 5 15份，同時(shí)甲班步行了 15 4 巳份，此時(shí)汽車與甲班相差 16 1 15 仝 15 上份, 3 17 17 17 17 5 1 (15 )份，所以甲班與乙班步行的路程比為 17 11 17 這樣甲班還需步行1磅 (48 4) 4 20 11 15 1 蘭 17 11 17 15 17 5 11 15 11 圖中 A 是學(xué)校，B 是少年宮，C 是第一班學(xué)生下車的地點(diǎn)， D 是第二班學(xué)生上車的地點(diǎn)由上所述 AD 和 CB 一

24、樣長，設(shè)第一班同學(xué)下車時(shí)，第二班同學(xué)走到 E 處.由于載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí) 40 公里，而步行的速度為每小時(shí) 4 公里，是車速的 1/10，因而 AE 是 AC 的 1/10 .在第一班學(xué)生下 車后，汽車從 C 處迎著第二班學(xué)生開，車速是每小時(shí) 50 公里，而第二班學(xué)生從 E 處以每小時(shí) 4 公里的速度向前走，汽車和第二班學(xué)生在 D 點(diǎn)相遇.這是普通的行程問題，不難算出 ED 是 EC 的 4 1 9 4 9 1 1 1 1 .由于 EC 是 AC 的 1- = ，可見 ED 是 AC 的 .這樣 AD 就是 AC 的 .又 54 10 10 54 10 15 10 15 6 1 11 1 A

25、D=CB AD 就是 AB 的1 （1丄）1，故第一班學(xué)生步行了全程的 -. 6 6 7 7 【例 11】某學(xué)校學(xué)生計(jì)劃乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照計(jì)劃，旅行社的大巴準(zhǔn)時(shí)從車站出發(fā)后 能在約定時(shí)間到達(dá)學(xué)校，搭載滿學(xué)生在預(yù)定時(shí)間到達(dá)目的地，已知學(xué)校的位置在車站和目的地 之間，大巴車空載的時(shí)候的速度為 60 千米/小時(shí)，滿載的時(shí)候速度為 40 千米/小時(shí)，由于某種 原因大巴車晚出發(fā)了 56 分鐘，學(xué)生在約定時(shí)間沒有等到大巴車的情況下，步行前往目的地，在 途中搭載上趕上來的大巴車，最后比預(yù)定時(shí)間晚了 54 分鐘到達(dá)目的地，求學(xué)生們的步行速度. 【解析】大巴車空載的路程每多 60 千米，滿載的路

26、程就會少 60 千米，全程所花的時(shí)間就會少 色 60 05 40 60 小時(shí) 30 分鐘，現(xiàn)在大巴車比原計(jì)劃全程所花時(shí)間少了 56 54 2 分鐘，所以，所以大巴車空載 的路程比原計(jì)劃多了 60 4 千米，也就是說，大巴車抵達(dá)學(xué)校后又行駛了 4千米才接到學(xué)生， 30 此時(shí)學(xué)生們已經(jīng)出發(fā)了 56 60 60 分鐘即 1 小時(shí)，所以學(xué)生們的步行速度為 4千米/小時(shí). 60 （四）、車速變、人速變 【例 12】（2008 年臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽決賽）甲、乙二人由 A地同時(shí)出發(fā)朝向B地前進(jìn)，A、B兩 地之距離為 36 千米.甲步行之速度為每小時(shí) 4千米，乙步行之速度為每小時(shí) 5 千米.現(xiàn)有一輛 自行

27、車，甲騎車速度為每小時(shí) 10 千米，乙騎車的速度為每小時(shí) 8 千米.出發(fā)時(shí)由甲先騎車，乙 步行，為了要使兩人都盡快抵達(dá)目的地，騎自行車在前面的人可以將自行車留置在途中供后面 的人繼續(xù)騎.請問他們從出發(fā)到最后一人抵達(dá)目的地最少需要多少小時(shí)？ 【解析】設(shè)甲騎車至離 A地x千米處后停車，且剩余 （36 x）千米改為步行，則乙步行了 x千米后，剩余 （36 x）千米改為騎車.因要求同時(shí)出發(fā)且盡速抵達(dá)目的地，故花費(fèi)的時(shí)間應(yīng)該相同， 因此可得：- 36 x，解得 x 20. 10 4 5 8 故共花費(fèi)了 20 36 20 6 小時(shí). 10 4 模塊三、汽車接送問題一一借車趕路問題 【例 13】（難度級別

28、探）三個(gè)人同時(shí)前往相距 30 千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都 是 5 千米每小時(shí)；現(xiàn)在還有一輛自行車，但只能一個(gè)人騎，已知騎車的速度為 10 千米每小時(shí)。 現(xiàn)先讓其中一人先騎車，到中途某地后放車放下，繼續(xù)前進(jìn)；第二個(gè)人到達(dá)后騎上再行駛一段 后有放下讓最后那人騎行，自己繼續(xù)前進(jìn)，這樣三人同時(shí)到達(dá)甲地。問，三人花的時(shí)間各為多 少？ 【解析】由于每人的速度相同，所以每人行走的路程相同，騎車的路程也要相同，這樣每人騎車的距離都 是 1/3，所以時(shí)間就是 20* 5+10* 10=5 小時(shí) 【例 14】（第八屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽 ）A、B兩地相距 120 千米，已知人的步行速度是

29、每小時(shí) 5 千米，摩托車的行駛速度是每小時(shí) 50 千米，摩托車后座可帶一人.問：有三人并配備 一輛摩托車從 A地到B地最少需要多少小時(shí)？（保留一位小數(shù)） 【解析】 本題實(shí)際上是一個(gè)接送問題，要想使所用的時(shí)間最少，三人應(yīng)同時(shí)到達(dá)假設(shè)這三人分別為甲、 乙、丙由于摩托車只可同時(shí)帶兩個(gè)人，所以可安排甲一直騎摩托車，甲先帶乙到某一處，丙則 先步行，甲將乙?guī)У胶笤僬刍厝ソ颖?，乙開始步行，最后三人同時(shí)到達(dá).要想同時(shí)到達(dá)，則乙與 丙步行的路程和乘車的路程都應(yīng)相等.如下圖所示. 由于丙從A從走到D的時(shí)間內(nèi)甲從 A到 C 再回到D，相同的時(shí)間內(nèi)二者所行的路程之比等于速 度的比，而兩者的速度比為 50:5 10:1

30、 ,所以 DC 2AD 4 5AD，全程 2 AB 4.5 1 1 AD 6.5AD，所以從A地到B地所用的時(shí)間為： 1 5.5 372 z 120 5 120 50 5.7（小時(shí)）. 6.5 6.5 65 【例 15】兄弟兩人騎馬進(jìn)城，全程 51 千米。馬每時(shí)行 12 千米，但只能由一個(gè)人騎。哥哥每時(shí)步行 5 千 米，弟弟每時(shí)步行 4 千米。兩人輪換騎馬和步行，騎馬者走過一段距離就下鞍拴馬（下鞍拴馬 的時(shí)間忽略不計(jì)），然后獨(dú)自步行。而步行者到達(dá)此地，再上馬前進(jìn)。若他們早晨 6 點(diǎn)動(dòng)身，則 何時(shí)能同時(shí)到達(dá)城里？ 【解析】設(shè)哥哥步行了 x千米，則騎馬行了（ 51 -x）千米。而弟弟正好相反，步行

31、了（ 51 -x）千米，騎 馬行 x千米。由哥哥騎馬與步行所用的時(shí)間之和與弟弟相等，可列出方程 X空必空必解得 x=30,所以兩人用的時(shí)間同為 30 5 21 12 73 （小時(shí)）， 5 12 4 12 4 早晨 6 點(diǎn)動(dòng)身，下午 1 點(diǎn) 45 分到達(dá)。 【鞏固】 （難度級別 探）甲乙兩人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去距離 33 千米外的公園，甲步行的速度是每小時(shí) 4 千米，乙步行的速度是每小時(shí) 3 千米。他們有一輛自行車，它的速度是每小時(shí) 5 千米，這輛車 只能載一個(gè)人，所以先讓其中一人先騎車到中途，然后把車放下之后繼續(xù)前進(jìn)，等另一個(gè)人趕 到放車的位置后再騎車趕去，這樣使兩人同時(shí)到達(dá)公園。那么放車的位置距

32、出發(fā)點(diǎn)多少千米？ 【解析】根據(jù)兩人到達(dá)公園所花時(shí)間相等這一等量關(guān)系可列出方程，設(shè)放車的位置距出發(fā)點(diǎn) x 千米，如果 x 33 x 33 x x x 33 x 33 x x 甲先騎車，萬程為： ，如果乙先騎車，方程為：一 3 5 4 5 4 5 3 5 兩條方程分別解得 x=9 和 x=24,所以有 9 千米和 24 千米兩種答案 【鞏固】 A、B兩人同時(shí)自甲地出發(fā)去乙地， A、B步行的速度分別為 100 米/分、120 米/分，兩人騎車 的速度都是 200 米/分，A先騎車到途中某地下車把車放下，立即步行前進(jìn)； B走到車處，立即 騎車前進(jìn)，當(dāng)超過 A一段路程后，把車放下，立即步行前進(jìn)，兩人如此

33、繼續(xù)交替用車，最后兩 人同時(shí)到達(dá)乙地，那么 A從甲地到乙地的平均速度是 _ 米/分. 【解析】在整個(gè)行程中，車是從甲地到乙地，恰好過了一個(gè)全程，所以 A、B兩人步行的路程合起來也恰 好是一個(gè)全程.而A步行的路程加上 A騎車的路程也是一個(gè)全程， 所以A步行的路程等于 B騎車 的路程，A騎車的路程等于 B步行的路程. 設(shè)A步行x米，騎車y米，那么B步行y米，騎車x米.由于兩人同時(shí)到達(dá)，故所用時(shí)間相同, 得： y y ，可得 x: y 2:3 . 100 200 120 200 不妨設(shè)A步行了 200 米，那么騎車的路程為 300 米，所以A從甲地到乙地的平均速度是 200 300 1000（米/

34、分） 100 200 7 【例 16】A、B 兩地相距 30 千米，甲乙丙三人同時(shí)從 A 到 B,而且要求同時(shí)到達(dá)?，F(xiàn)在有兩輛自行車，但 不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度為 200 300 每小時(shí) 20 千米，甲步行的速度是每小時(shí) 5 千米，乙和丙每小時(shí) 4 千米，那么三人需要多少小時(shí) 可以同時(shí)到達(dá)？ 【解析】因?yàn)橐冶叫兴俣认嗟?，所以他們兩人步行路程和騎車路程應(yīng)該是相等的。對于甲因?yàn)樗叫兴?度快一些，所以騎車路程少一點(diǎn)，步行路程多一些?，F(xiàn)在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步 行 1 千米要用 1 小時(shí)， 乙多騎車 1 千米用丄小時(shí)，甲多用 1

35、 1 3 小時(shí)。甲步行 1 千米比乙 5 20 5 20 20 少用11丄小時(shí)， 所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的 : 1 3 1 4 5 20 20 20 3 這樣設(shè)乙丙步行路程為 3 份，甲步行 4 份。如下圖安排： 3 這樣甲騎車行騎車的 3 2 3 ，步行2 .所以時(shí)間為：30 - 20 30 2 5 3.3 小時(shí)。 5 5 5 5 【例 17】設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度是步行速度的 3 倍.現(xiàn) 甲從A地去B地，乙、丙從B地去A地，雙方同時(shí)出發(fā).出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車.途 中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原

36、有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、 乙相遇時(shí)，甲將車給乙騎，自己重又步行， 三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)問： 三人之中誰 最先達(dá)到自己的目的地？誰最后到達(dá)目的地？ 【解析】由于每人的步行速度和騎車速度都相同，所以，要知道誰先到、誰后到，只要計(jì)算一下各人誰騎 行最長，誰騎行最短將整個(gè)路程分成 4份，甲、丙最先相遇，丙騎行 3 份；甲先步行了 1 份，然 后騎車與乙相遇，騎行 2 份；乙步行 1 （2 ）份，騎行 4 份，可知，丙騎行的 4 2 2 2 2 2 最長，甲騎行的最短，所以，丙最先到，甲最后到. 模塊四、汽車接送問題一一策略問題 【例 18】兩輛同一型號的汽車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， 沿同一方向同速直

37、線前進(jìn)， 每車最多能帶 20 桶汽油 （連同油箱內(nèi)的油）。每桶汽油可以使一輛汽車前進(jìn) 60 千米，兩車都必須返回出發(fā)地點(diǎn)，兩輛 車均可借對方的油，為了使一輛車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)，那么這輛車最遠(yuǎn)可達(dá)到離出發(fā)點(diǎn)多少 千米遠(yuǎn)的地方？ 【解析】甲乙兩車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿同一方向同速直線前進(jìn), 內(nèi)的油）。每桶汽油可以使一輛汽車前進(jìn) 60 千米，兩車都必須返回出發(fā)地點(diǎn)。為了使一輛車（例 如甲車）盡每車最多能帶 20 桶汽油（連同油箱 可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)，則甲、乙車同行，各耗掉 a 桶油時(shí)，乙車停下，并把甲車加滿油 （恰好加 a 桶），還需留下 2a 桶油供甲車返回到此地時(shí)補(bǔ)給甲（ a 桶）和自己（ a

38、桶）供返回原 地時(shí)用所以乙車 20 桶=4a, a=5桶即甲車共向乙車最多借 2a=10 桶油 所以甲車最遠(yuǎn)可達(dá)到離出發(fā) 點(diǎn)（ 10+20） *60/2=900 千米遠(yuǎn)的地方必須返回 【鞏固】 （難度等級 在一個(gè)沙漠地帶，汽車每天行駛 200 千米，每輛汽車載運(yùn)可行駛 24 天 的汽油現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時(shí)從某地出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回為了讓甲車盡 可能開出更遠(yuǎn)的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他的油給 甲車求甲車所能開行的最遠(yuǎn)距離 解析】 3200 例 19】 （難度級別 ） 一個(gè)旅游者于是 10 時(shí) 15 分從旅游基地乘小艇出發(fā)， 務(wù)必在不遲于當(dāng)日 13

39、 時(shí)返回。已知河水速度為 1.4 千米/小時(shí)，小艇在靜水中的速度為 3 千米/小時(shí)，如果旅游者 每過 30 分鐘就休息 15分鐘，不靠岸，只能在某次休息后才返回，那么他從旅游基地出發(fā)乘艇 走過的最大距離是 千米。 解析】 先逆水行 30 分， 行 （） *30/60=0.8 千米。 休息 1 5 分。 艇退 *15/60=0.35 千米。 再逆水行 30 分， 行 （） *30/60=0.8 千米。 休息 15 分。艇退 *15/60=0.35 千米。艇距基地 1.35 千米。 （3+=小時(shí) =19 分。共用時(shí)：（30+15） *3+19=154 分。是 12 時(shí) 49 分。共行路程： （+）

40、 *3+4.8 千米 。 例 20】 （難度級別 ） 某沙漠通訊班接到緊急命令，讓他們火速將一份情報(bào)送過沙漠?，F(xiàn)在 已知沙漠通訊班成員只有靠步行穿過沙漠， 每個(gè)人步行穿過沙漠的時(shí)間均為 12 天，而每個(gè)人最 多只能帶 8 天的食物，請問，在假定每個(gè)人飯量大小相同，且所能帶的食物相同的情況下，沙 漠通訊班能否完成任務(wù)？如果能，那么最少需要幾人才能將情報(bào)送過沙漠，怎么送？ 解析】 能，最少需要 3 人。送法如下： 3 人同時(shí)出發(fā)，同吃第一個(gè)人的食物，共同走 2 天后，第一人只 剩 2 天的食物，正好夠他返回時(shí)吃；第二人和第三人再共同前進(jìn) 2 天，吃第二人的食物，這樣第 二人只剩 4 天的食物，又正

41、好夠他返回時(shí)吃這樣，第三人還有 8 天的路程，正好他還有 8 天的食 物，因此便可以突起沙漠，完成送情報(bào)的任務(wù)。 模塊三、汽車接送問題策略問題 例 21 】 甲 、乙兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走 20 千米，已知每人最多可攜帶一個(gè)人 24 天的食物和水 如果不準(zhǔn)將部分食物存放在途中， 問其中一人最遠(yuǎn)可以深人沙漠多少千米 （當(dāng) 然要求二人最后返回出發(fā)點(diǎn)） 孑 如果可以將部分食物存放于途中以備返回時(shí)取用， 情況又怎 樣呢？ 解析】 怎么才能讓其中一人走得最遠(yuǎn)呢？只能是另一人在某個(gè)地方將自己的部分食物和水（注意必 須留足自己返回所需）補(bǔ)給第一個(gè)人，讓他仍然有 24 天的食物和水，這樣才能

42、走得最遠(yuǎn) 如圖所示，不妨設(shè)甲從 A點(diǎn)出發(fā)，走了 x天后到達(dá)B點(diǎn)處返回，甲在 B點(diǎn)處留足返回時(shí)所需 x天 食物和水后，將其余食物與水全部給乙補(bǔ)足為 24 天此時(shí)相當(dāng)于甲的 24 天的食物和水供甲走 2 個(gè)x天和乙走 1 個(gè)x天，故有 x 24 （2 1） 8 （天）.所以甲應(yīng)在第 8 天從B點(diǎn)處返回 A.因?yàn)?乙在B點(diǎn)已經(jīng)消耗了 8 天的食物和水，但同時(shí)在 B點(diǎn)甲又給乙補(bǔ)充了 8 天的食物和水，所以此時(shí) 乙身上仍然攜帶有 24天的食物和水. 由于乙也要返回， 所以乙最多只能往前走 （24 8） 2 8（天） 的路程到達(dá)C處，就必須返回所以其中的一人最遠(yuǎn)只能深入沙漠 20 （8 8） 320 （千

43、米）. （2） 如果允許存放部分食物和水于途中，則同上面分析類似，甲走了 y 天后不僅要補(bǔ)足乙的食 物和水，還要存足 y 天的供乙返回時(shí)消耗的食物和水. 即甲的 24 天的食物和水供甲、乙各走 2 個(gè)y天，所以 y 24 4 6 （天）.此時(shí)的乙不僅補(bǔ)足了 24 天的食物和水，而且甲還給他預(yù)留了返回的食物和水所以乙就可以帶著身上 24 天的食物和 水繼續(xù)往沙漠深處走 12 天后再返回，取得甲事先存放的食物和水后，然后再返回出發(fā)地因此， 乙共可深入沙漠 20（6 12） 360（千米） 例 22】有 5 位探險(xiǎn)家計(jì)劃橫穿沙漠 他們每人駕駛一輛吉普車， 每輛車最多能攜帶可供一輛車行駛 312 千米

44、的汽油顯然， 5 個(gè)人不可能共同穿越 500 千米以上的沙漠于是，他們計(jì)劃在保證其余 車完全返回出發(fā)點(diǎn)的前提下，讓一輛車穿越沙漠，當(dāng)然實(shí)現(xiàn)這一計(jì)劃需要幾輛車相互借用汽 油問：穿越沙漠的那輛車最多能穿越多寬的沙漠？ 解析】 首先得給這 5 輛吉普車設(shè)計(jì)一套行駛方案，而這個(gè)方案的核心就在于：其中的 4 輛車只是燃料供 給車，它們的作用就是在保證自己能夠返回的前提下，為第 如圖所示，5 輛車一起從 A點(diǎn)出發(fā)，設(shè)第 1 輛車到B點(diǎn)時(shí)留下足夠自己返回 A點(diǎn)的汽油，剩下的 汽油全部轉(zhuǎn)給其余 4 輛車.注意，B點(diǎn)的最佳選擇應(yīng)該滿足剛好使這 4 輛車全部加滿汽油. 剩下的 4 輛車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到 C點(diǎn)時(shí)第 2

45、輛車留下夠自己返回 A點(diǎn)的汽油，剩下的汽油全部轉(zhuǎn)給其 余 3 輛車，使它們剛好加滿汽油. 剩下的 3 輛車?yán)^續(xù)前進(jìn)到 E點(diǎn)時(shí)，第 4 輛車留下返回A點(diǎn)的汽油，剩下的汽油轉(zhuǎn)給第 5 輛車.此 時(shí)，第5 輛車是加滿汽油的，還能向前行駛 312 千米. 以這種方式，第 5 輛車能走多遠(yuǎn)呢？我們來算算. 5 輛車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，第 1 輛車要把另外 4 輛車消耗掉的汽油補(bǔ)上， 加上自己往返 AB的汽油，所以 應(yīng)把行駛312 千米的汽油分成 6 份，2 份自己往返 AB 4 份給另外 4 輛車每輛加 1 份，剛好使這 4 輛車都加滿汽油.因此 AB的長為：312 6 52 （千米）. 接下來，就把 5 輛車的問題轉(zhuǎn)化為 4 輛