《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：§2.1.1橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 鹿城中學(xué) 劉龍 王霞一、教案背景：1.面向?qū)ο螅焊咧卸昙?jí)學(xué)生2.學(xué)科：數(shù)學(xué)3.課時(shí)：2課時(shí)4.教學(xué)內(nèi)容：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方程§2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二. 教材分析本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)，它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。 1. 教法分析結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究

2、合作。在學(xué)生的生活體驗(yàn)、直觀感知、知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒體課件,精心構(gòu)建學(xué)生自主探究的教學(xué)平臺(tái),啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察,想象,思考,實(shí)踐,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題解決的思維過(guò)程，獲得知識(shí),體驗(yàn)成功。主要采用探究實(shí)踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。2. 學(xué)法分析從知識(shí)上看，學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實(shí)物與實(shí)例，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題有了初步的認(rèn)識(shí)。從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過(guò)一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。

3、從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實(shí)物實(shí)例，但并沒(méi)有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述?如何“定性”“定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問(wèn)題，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問(wèn)題。他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化，渴望通過(guò)自己動(dòng)手作圖、觀察來(lái)辨析和完善概念，通過(guò)對(duì)比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。3.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。過(guò)程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法

4、坐標(biāo)法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)課堂活動(dòng)參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。4.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法 5.教學(xué)準(zhǔn)備通過(guò)百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學(xué)資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩。三、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景引入新課情景1：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形當(dāng)端起水杯喝水時(shí)，水杯傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓形（演示）問(wèn)題1：聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？情景

5、2：?jiǎn)栴}2：（1）圓是怎么畫(huà)出來(lái)的？（2）圓的定義是什么？（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式的？猜想：1、橢圓是怎么畫(huà)出來(lái)的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式？學(xué)生觀察學(xué)生舉例學(xué)生思考后回答。引入生活情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，自然引入新課，同時(shí)與其實(shí)際相聯(lián)系，拓寬學(xué)生思維，發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力。使學(xué)生在感嘆祖國(guó)科技輝煌發(fā)展的氛圍中認(rèn)識(shí)橢圓。用類比的思想，通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)猜想橢圓，開(kāi)展后續(xù)教學(xué)?；?dòng)探究形成概念探究1將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，給你兩個(gè)圖釘，一根無(wú)彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫(huà)出橢圓嗎？讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，使其探究性學(xué)習(xí)，再提出以下問(wèn)題：思考1：在紙板上作圖說(shuō)明什

6、么？思考2：在作圖過(guò)程中，有哪些物體的位置沒(méi)變？有哪些量沒(méi)有變？思考3：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置，所得到的圖形有何變化？根據(jù)橢圓畫(huà)法，從中歸納橢圓定義與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)（繩長(zhǎng)）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過(guò)程，印證猜想同桌同學(xué)按照老師的要求合作畫(huà)圖，并思考軌跡上的點(diǎn)具備什么特點(diǎn)。展示學(xué)生成果。請(qǐng)學(xué)生代表本小組交流探究結(jié)論：給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作，合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去探究“滿足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓”；讓每個(gè)人都動(dòng)手畫(huà)圖，自己思考問(wèn)題，由此培養(yǎng)學(xué)生的自信心。  互動(dòng)探究深化概念探究2在繩長(zhǎng)不變的情況下，改變兩個(gè)圖釘

7、之間的距離，畫(huà)出的橢圓有何變化？當(dāng)兩個(gè)圖釘重合在一起時(shí)，畫(huà)出的圖形是什么？當(dāng)兩個(gè)圖釘之間的距離等于繩長(zhǎng)時(shí)，畫(huà)出的圖形是什么？當(dāng)兩個(gè)圖釘之間固定，能使繩長(zhǎng)小于兩個(gè)圖釘之間的距離嗎？定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。教師指出：這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。思考1：焦點(diǎn)為的橢圓上任一點(diǎn)M，有什么性質(zhì)？令橢圓上任一點(diǎn)M，則有，補(bǔ)充：若時(shí)，軌跡是線段；若時(shí)，無(wú)軌跡。思考2：剛才在畫(huà)圖時(shí)，大家的繩長(zhǎng)是一樣的，但是畫(huà)出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有關(guān)？F1F2MF1 、F2位置越近橢圓愈圓，F(xiàn)1 、F2位置越遠(yuǎn)橢圓越扁利用動(dòng)畫(huà)顯示結(jié)果學(xué)生通過(guò)課件觀察變

8、化情況請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過(guò)修改的橢圓定義學(xué)生思考后回答使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過(guò)程，提高其歸納概括能力，加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)研討探究推導(dǎo)方程前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢圓定義，我們能不能推導(dǎo)出橢圓的方程。問(wèn)題3：求曲線方程的一般步驟是什么？建系、取點(diǎn)；列式；代換；化簡(jiǎn)；證明下面由同學(xué)根據(jù)這兩個(gè)問(wèn)題分組討論橢圓方程的求法。（1）要建立橢圓方程應(yīng)該如何建立坐標(biāo)系？ （2）橢圓上動(dòng)點(diǎn)M滿足什么條件？尤其在化簡(jiǎn)過(guò)程中，對(duì)于根式的處理，學(xué)生會(huì)感到困難，教師進(jìn)行提示。（把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法，在實(shí)物展臺(tái)上投影。）問(wèn)題：通過(guò)對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程，你能

9、發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡(jiǎn)潔？方程（）（）叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它表示焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中（），它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。問(wèn)：觀察一下焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上？(看分母大小，哪個(gè)分母大焦點(diǎn)就在哪一條軸上)說(shuō)明：(1)在兩個(gè)方程中，總有a>b>0 (2)橢圓的三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足：即 ，a最大(3)要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。學(xué)生回答學(xué)生先獨(dú)立思考，之后全班交流，確定最

10、后的解決方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。學(xué)生思考后主動(dòng)發(fā)言回答。以上三條，盡量由學(xué)生總結(jié)出充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。通過(guò)坐標(biāo)系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過(guò)比較體會(huì)曲線的方程的不確定性，理解曲線與方程的關(guān)系，感受恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系的優(yōu)越性，感受標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧之美，并在實(shí)踐中通過(guò)對(duì)比提高決策能力、計(jì)算能力、培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)約的思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析歸納能力。例題研討變式精析例1.適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在 x 軸(2) a =4，c= ，焦點(diǎn)在 y 軸上(3)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ -1.

11、5 ，2.5）解: (1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以設(shè)所求方程為 a=4, b=1 所求方程為(2) 因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,所以設(shè)所求方程為 a=4, b=1 所求方程為(3) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知,所以所求橢圓方程為例2.我國(guó)發(fā)射的神舟八號(hào)飛船變軌前，是在以地心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行，已知它的近地點(diǎn)B距地面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371km，求軌道方程（精確到1km）。學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)生討論培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力解決情景設(shè)置中的問(wèn)題練習(xí)檢測(cè)當(dāng)堂鞏固1、如果橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1距離是6，則點(diǎn)

12、P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2距離是 。2、 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，2），（0，-2），橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2)a+b=10,c=學(xué)生練習(xí)檢測(cè)學(xué)習(xí)成果總結(jié)概括課后提升最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小組討論，再個(gè)別提問(wèn)，然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完善。師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法。這一節(jié)課你收獲到了什么？布置作業(yè)層次1 1.教材練習(xí)A 3.4題  練習(xí)B  第二題2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎？層次2 課后利用【百度搜索】深入的對(duì)橢圓的相關(guān)知

13、識(shí)進(jìn)行了解。學(xué)生總結(jié)出在知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法，以表格形式出現(xiàn)，讓學(xué)生自己總結(jié)，加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識(shí)  層次1的目的是強(qiáng)化鞏固本節(jié)內(nèi)容層次2的目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)文化品位。六、板書(shū)設(shè)計(jì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓的定義2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）、焦點(diǎn)在軸上（2）、焦點(diǎn)在軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程書(shū)寫(xiě)例1：例2：（1）詳寫(xiě)（2）寫(xiě)關(guān)鍵步驟七、教學(xué)反思本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過(guò)程為：提出問(wèn)題探索解決問(wèn)題歸納反思提高。在問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，從多角度探究，縱向挖掘知識(shí)深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更使難點(diǎn)的突破水到渠成。本節(jié)課以問(wèn)題為紐帶，以探究活動(dòng)為載體，學(xué)生在自覺(jué)進(jìn)入問(wèn)題情境后，在問(wèn)題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過(guò)實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開(kāi)、步步深入，親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程。使學(xué)生在知識(shí)的形成過(guò)程中，獲