第二節(jié)多元函數(shù)的概念2013-4-026

1、8.2 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的：了解平面點(diǎn)集的相關(guān)概念；理解并掌握多元函數(shù)的概念，能正確求出所給函數(shù)的定義域，可以畫出簡(jiǎn)單的函數(shù)定義域的簡(jiǎn)圖. 掌握二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限，會(huì)證明簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限不存在問題.了解二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)以及二元初等函數(shù)連續(xù)的性質(zhì).重點(diǎn)：理解并掌握多元函數(shù)的概念，能正確求出二元函數(shù)的定義域. 理解并掌握多元函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限，會(huì)證明簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限不存在問題.會(huì)判斷函數(shù)的連續(xù)性.難點(diǎn)：畫二元函數(shù)的定義域的圖形. 二元函數(shù)的極限不存在問題的證明.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授教學(xué)過程：一、多維空間的點(diǎn)集 (區(qū)域)1、維歐氏空

2、間.2、中兩點(diǎn)與的距離 .3、鄰域(1) 點(diǎn)的的鄰域.簡(jiǎn)記為.(2) 點(diǎn)的的去心鄰域.簡(jiǎn)記為.4、特殊點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)：集合中的點(diǎn)為的內(nèi)點(diǎn)：. 的內(nèi)點(diǎn)集.（2）為的邊界點(diǎn)：, 且.的邊界為邊界點(diǎn).（3）為的聚點(diǎn)：,但不一定在內(nèi).例如： 點(diǎn)集，和0為點(diǎn)集的邊界，面上的每一個(gè)點(diǎn)都是聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）.5、特殊點(diǎn)集：(1) 開集:且，則為開集.，均為開集.(2) 閉集:. ，都是閉集.既不是開集也不是閉集.(3) 有界集:.，都是有界集.(4) 無(wú)界集:.，是無(wú)界集.(5) 連通集:中任意兩點(diǎn)均可用中折線連結(jié)起來(lái).，都是連通集.不具有連通性.6、區(qū)域(1) 開區(qū)域:連通開集,簡(jiǎn)稱區(qū)域.例如 為區(qū)域，它的邊界

3、，邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)，但邊界點(diǎn)都不是內(nèi)點(diǎn).(2) 閉區(qū)域:,其中為開區(qū)域.例如 為閉區(qū)域，邊界為，邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)且又都是內(nèi)點(diǎn).例如：點(diǎn)集為閉區(qū)域，為的點(diǎn)，但為邊界點(diǎn)，且不是聚點(diǎn).是無(wú)界區(qū)域. 是無(wú)界閉區(qū)域.是有界區(qū)域.二、多元函數(shù)的概念 前幾章所研究的函數(shù)都是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)于一個(gè)因變量，稱為一元函數(shù).但實(shí)際問題中往往還要研究一個(gè)因變量對(duì)應(yīng)于幾個(gè)自變量的函數(shù)關(guān)系.例如，某種商品的市場(chǎng)需求量不僅與市場(chǎng)價(jià)格有關(guān)，而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其他替代品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定商品需求量的因素不是一個(gè)而是多個(gè).要全面研究這類問題，就需要引入多元函數(shù)的概念.1.【定義8.1】設(shè)是一個(gè)非空的二元有序

4、數(shù)組的集合，為某一對(duì)應(yīng)法則，使之對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)，記作，其中為自變量；是因變量. 稱為函數(shù)的定義域記作.稱為函數(shù)的值域, 記作.對(duì)于給定的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或.類似地我們可以定義三元函數(shù)，以及一般的元函數(shù).【定義】設(shè)集合且非空，則映射為定義在上的一個(gè)n元實(shí)值函數(shù).記為.2.說(shuō)明：1.二元或二元以上的函數(shù)均稱為多元函數(shù).2.二元函數(shù)定義域?yàn)椋呵嬖?平面上的投影.3.實(shí)維空間，實(shí)2維空間.提問：（1）說(shuō)出函數(shù)的自變量，因變量，定義域，值域.（2）設(shè)有長(zhǎng)方體，高為 ，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則體積為指出函數(shù)的自變量，因變量，定義域，值域.（注意考

5、慮實(shí)際意義）（3）設(shè)表示居民人均消費(fèi)收入，表示國(guó)民收入總額，表示總?cè)丝跀?shù)，則有，其中是消費(fèi)率（國(guó)民收入總額中用于消費(fèi)的部分所占的比例），是居民消費(fèi)額率（消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)的部分所占的比率）（、均為常系數(shù)），此函數(shù)關(guān)系反映了一個(gè)國(guó)家中居民人均消費(fèi)收入依賴于國(guó)民收入總額和總?cè)丝?指出函數(shù)的自變量（答案：），因變量（答案：），定義域（答案：），值域（答案：.3.二元函數(shù)的定義域一般地，二元函數(shù)的定義域在幾何上表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)平面區(qū)域.平面區(qū)域可以是整個(gè)平面，也可能是平面上由幾條曲線所圍成的部分或平面上的點(diǎn)集.所圍曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn).平面區(qū)域的分類：包含邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為

6、閉區(qū)域；不包含邊界的區(qū)域成為開區(qū)域；包含部分邊界的區(qū)域稱為半開區(qū)域；若區(qū)域延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，稱為無(wú)界區(qū)域；否則稱為有界區(qū)域.有界區(qū)域中能包含于以原點(diǎn)為圓心的相當(dāng)大的圓域內(nèi).例如 提問中（2）設(shè)有長(zhǎng)方體，高為 ，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則體積為 的函數(shù)的定義域?yàn)槠矫娴牟话鴺?biāo)軸的第一象限部分，是無(wú)界開區(qū)域.又如 函數(shù)的定義域?yàn)?，是平面上直線的上方部分的無(wú)界區(qū)域.再如 函數(shù)的定義域是是平面上圓的內(nèi)部和邊界組成的有界閉區(qū)域.而函數(shù)與函數(shù)的定義域均是是平面上圓的內(nèi)部不包含邊界的有界開區(qū)域.例1(1 )求的定義域解：所以的定義域?yàn)?（半開半閉區(qū)域）（2）的定義域?yàn)?（3）的定義域?yàn)?(4)求的定義解：，所

7、求函數(shù)定義域?yàn)?）求函數(shù)的定域.提示：.（6）的定義域?yàn)檎f(shuō)明：）在未加說(shuō)明情況下，函數(shù)的定義域均指自然定義域如定義域是，定義域是2）一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性定義在多元函數(shù)中不再適用但有界性定義仍然成立多元函數(shù)有界定義：設(shè)有元函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，若存在正?shù)，則稱在上有界稱為在上的一個(gè)界提問：判斷正誤：函數(shù)的定義域是【 】.(A); (B); (C); (D)且答(D).且選(d).例2 由復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)，或由原函數(shù)求復(fù)合函數(shù)（1）已知?jiǎng)t？提示：.（2）已知，則？提示：.（3）已知，則.提示：.（4）已知?jiǎng)t.4.二元函數(shù)的幾何意義一元函數(shù)通常表示為平面上的一條曲線.二元函數(shù)，其定義域

8、是平面上的一個(gè)區(qū)域.對(duì)于中任意一點(diǎn)，必有唯一的數(shù)與其對(duì)應(yīng).即三元有序數(shù)組就確定了空間的一個(gè)點(diǎn)，所有這樣的點(diǎn)組成的集合就是函數(shù)的圖形，通常是一個(gè)三維空間的曲面，如圖所示.二元函數(shù)圖形.通常表現(xiàn)為空間中的一個(gè)曲面.例3 作二元函數(shù)的圖形.解 將已知函數(shù)兩邊平方得所以函數(shù)表示的圖形為：以為球心，以為半徑的上半球面.三、多元函數(shù)極限與一元函數(shù)的極限、連續(xù)類似，可以定義多元函數(shù)極限與連續(xù).注意：在一元函數(shù)中，點(diǎn)的鄰域在二元函數(shù)中，平面上的點(diǎn)的鄰域?yàn)榛蚱渲袨閯?dòng)點(diǎn)，是平面上的開圓域.1.【定義8.2】設(shè)為二元函數(shù)的定義域，是的聚點(diǎn)，為常數(shù).對(duì)于，使得當(dāng) 即 時(shí)，恒有 成立,則稱為當(dāng)時(shí)的極限. 記作 或 或.

9、或, 或 , . 其中.2.說(shuō)明：（1）時(shí),二元函數(shù)極限常稱為二重極限, （2）在多元函數(shù)極限的定義中，時(shí)，是指動(dòng)點(diǎn)以任何方式趨于定點(diǎn)時(shí)，均以為極限.因此，多元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限要比一元函數(shù)中的復(fù)雜得多.例1 證明： .證：對(duì)于 ，由于又因?yàn)?，所以?dāng) 時(shí) 于是只要取 ，則當(dāng)時(shí)，就有 恒成立，故 .練習(xí)：用極限定義證明證明：，對(duì)于,時(shí)恒有故例2 求證 .證明: 取當(dāng)時(shí), 恒有. 所以 .另證：因?yàn)樗?.3.前面學(xué)習(xí)知道：必需具有任意性. 多元函數(shù)極限的存在，是指在內(nèi)以任何方式趨近于時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于 如果當(dāng)以不同方式趨近于時(shí)，函數(shù)趨近于不同的值，那末就可以斷定這函數(shù)的極限不存在.換句話說(shuō)：要說(shuō)極

10、限不存在，只需舉一個(gè)反例就夠了.例3 討論 的收斂性.解:令 則，極限值隨的變化而變化所以極限是發(fā)散的練習(xí)： 證明下列極限不存在（）：結(jié)果隨變化（）：結(jié)果隨變化其極限值隨的不同而變化，故極限不存在4.二重極限計(jì)算須知多元函數(shù)極限同樣具有一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算法則和性質(zhì)（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限、兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小、夾逼原理仍成立）,但羅必達(dá)法則不再成立.例4 計(jì)算下列極限解：（） .（）因?yàn)樗裕ǎǎǎǎ?（7）又且， 故 .（根據(jù)：有界變量與無(wú)窮小量的積還是無(wú)窮小量）.為什么計(jì)算不正確？（因?yàn)橹豢紤]了一種方式向原點(diǎn)趨進(jìn).）（8）求 .解：因 , 由于 , 于是 由夾逼

11、原理 例5(06.7) 設(shè),求 () ; () .解() .() .四、多元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)【定義8.3】設(shè)二元函數(shù)滿足條件：（1）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義；（2）極限存在；（3），則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，否則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn). 解釋：上述三個(gè)條件只要一個(gè)不成立，函數(shù)必在該點(diǎn)間斷.函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的極限值就是該點(diǎn)的函數(shù)值.例如：在點(diǎn)處連續(xù).在點(diǎn)處不連續(xù).2.定義函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)：若函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù).例6 函數(shù) 在點(diǎn)連續(xù)例7 函數(shù) 在點(diǎn)間斷（函數(shù)在原點(diǎn)處的極限不存在）例8 函數(shù)在圓周上沒有定義,因此在此圓周上的每一點(diǎn)都間斷（注意：多元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以是一條曲線）顯然, 例6中的函數(shù)

12、在整個(gè)內(nèi)連續(xù)而函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)4結(jié)論：多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)均為連續(xù)函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的從而在定義區(qū)域內(nèi)有.如： ，五、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【性質(zhì)1】（有界性）設(shè)多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則 在上必有界【性質(zhì)2】（最大值和最小值定理）設(shè)多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值【性質(zhì)3】（介值定理）：設(shè)多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是取得的兩個(gè)不同的函數(shù)值,則在上取得介于之間的任何值證明 設(shè),連續(xù)折線 連接由于對(duì)于任一,因 ,故存在,使得，而六、初等函數(shù)1.多元初等函數(shù)(1) 多元多項(xiàng)式: 例如: (2) 多元初等函數(shù)

13、：多元多項(xiàng)式及六種（冪、指、對(duì)、三角、反三角函數(shù)）基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為多元初等函數(shù) 例如：2.性質(zhì)(1) 一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 即時(shí),有.(2) 設(shè)在區(qū)域內(nèi)為初等函數(shù), ,則.例8 求 解: 因?yàn)槌醯群瘮?shù), 而是的內(nèi)點(diǎn),所以有小結(jié)：1一元函數(shù)的無(wú)窮小性質(zhì)、重要極限、極限的四則運(yùn)算在多元函數(shù)求極限時(shí)仍成立，但洛必達(dá)法則不再成立2多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上仍具有有界性、最大值和最小值定理、介值定理仍成立3一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的4.多元函數(shù)證明極限存在時(shí)，一般應(yīng)該用定義證明；且證明的關(guān)鍵是對(duì)于任給的正數(shù)，找出用表示的表示式.5. 對(duì)于函數(shù)(1) 時(shí),函數(shù)稱為二元函數(shù).記為.二元函數(shù)圖形.通常表現(xiàn)為