第三節(jié)函數(shù)極限

1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)極限的定義和性質(zhì)函數(shù)極限的定義和性質(zhì)一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限當當|x|無限增大時，無限增大時，x1無限接近無限接近0;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx問題問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.XXAAoxy)(xfy A定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當當)(大于某一正數(shù)時有定義大于某一正數(shù)時有定義,若若,)(,0,0 AxfXxX有有時時當當則稱常則稱常時的極限時的極限,Axfx )(lim)()( xAxf當當或或幾何解釋幾何解釋: AxfA)(XxXx 或

2、或記作記作直線直線 y = A 為曲線為曲線)(xfy 的的水平漸近線水平漸近線. xxf當當)(數(shù)數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù)無論正數(shù)無論正數(shù)為何值，為何值，函數(shù)圖形在函數(shù)圖形在x=1/ 進入并留在進入并留在該帶形區(qū)域該帶形區(qū)域 無論正數(shù)無論正數(shù)為何值為何值 函數(shù)圖形在函數(shù)圖形在x=-1/ 進入并留在該帶形進入并留在該帶形區(qū)域區(qū)域xxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取時恒有時恒有則當則當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.sin0的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線xxyy 注注:直線直線 y

3、 = A 仍是曲線仍是曲線 y = f (x) 的漸近線的漸近線 .Axfx )(lim,0 ,0 X當當Xx 時時, 有有 Axf)(Axfx )(lim,0 ,0 X當當Xx 時時, 有有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，例如，xxxgxf21)(,21)( 都有水平漸近線都有水平漸近線.1 yoxyxy21 xy 21兩種特殊情況兩種特殊情況 :例例2.2arctanlim xx證證明明證證 2arctan)2(arctanxx要使要使),2,0( 故故),2tan( X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,)2(arctan x.2arctanlim xx故故),2tan( x只只要要注

4、注:.arctan2的的水水平平漸漸近近線線是是曲曲線線直直線線xyy Axfx)(lim.)(lim)(limAxfxfxx 定理定理二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限x越接近越接近1，(x2-1)/(x-1)越接近越接近2x取取1上下的值上下的值f(x), g(x)及及h(x) 當當x無限接近無限接近1時都無限接近時都無限接近2，但僅有，但僅有h(1)=2問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xx

5、xx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定義定義 ,0,0 Axfxx )(lim0定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,若若 00 xx當當.)( Axf時時, 有有則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限時的極限,記作記作或或)()(0 xxAxf當當稱作稱作注意：注意：;)(.10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2

6、,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直線線函函數(shù)數(shù)鄰鄰域域時時的的去去心心在在當當 Ayxfyxx 對此處所有不等于對此處所有不等于x0的的xf(x)落在此處落在此處A+A-AAxfxx )(lim0例例3.4lim22 xx證證明明證證,5, 1min 取取.52 x只只要要, 0 所所以以,20時時則則當當 x 42x有有. 4lim22 xx,12,2 xx所所以以不不妨妨限限制制由由于于.523,31 xx得得,252242 xxxx從從而而,42 x要要使使例例4. 211lim21 xxx證明證明證證,12112 xxx, 0 ,

7、 取取,1時時當當 x,2112 xx要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx,10時時當當 x.|1| x只只要要例例5.lim00 xxxx 證證0 xx , 0 ,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,0 xx要使要使.0 xx就就有有,00 xxx ,00 xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 時時當當證證明明且且.0 x而而0 x可用可用00 xxx 保證保證 .例例6 6.sinsinlim:00 xxxx 證證明明證證0sinsinxx 2cos2sin200 xxxx 1220 xx.0 xx , 0 , 取取,00時時當當

8、xx.sinsin0 xx有有.sinsinlim00 xxxx 可以證明，若可以證明，若 f (x) 是基本初等函數(shù)，是基本初等函數(shù)，x0 是其是其定義域內(nèi)一點，則定義域內(nèi)一點，則).()(lim00 xfxfxx 單側(cè)極限單側(cè)極限: 0, 10,)(2xxxxxf觀察觀察,0時時從從左左側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近當當x;0)(xf,0時時從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近當當x. 1)(xf左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當0:00000 xxxxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000A

9、xfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作A+A+A對此處所有不等于對此處所有不等于x0的的xf(x)落在此處落在此處Axfxx)(0limAxfxx)(0limA+AA+f(x)落在此處落在此處對此處所有不等于對此處所有不等于x0的的x.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx .lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例7證證1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x定理定理 0,10,00,1

10、)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 因為因為)(lim0 xfx )1(lim0 xx1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx1 顯然顯然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .例例 8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1. 局部有界性局部有界性2. 唯一性唯一性)(lim0 xfxx, 0 ),(0 xUx )(xf定理定理1 若極限若極限存在，則存在，則當當時，時，有界。有界。)(limxfx ,0 X),(),( XXx)(xf定理定理1 若極限若極限存在，則存

11、在，則當當時，時，有界。有界。定理定理2 若若)(limxf存在，則極限唯一。存在，則極限唯一。).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若 定理定理33. 局部保號性局部保號性,)(,),(, 0,)(lim,2, 0:000 AxfxUxAxfAAxx有有時時當當知知由由取取若若證證. 022)( AAAAxf 從從而而).0)(0)(,),(),(, 0),0(0,)(lim xfxfXXxXAAAxfx或或時時當當則則或或且且若若定理定理3類似地可以證明類似地可以證明).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(l

12、im000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論推論推論).0(0),0)(0)(,),(),(, 0,)(lim AAxfxfXXxXAxfx或或則則或或時時當當且且若若推論推論).()(,),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有時時當當則則且且設(shè)設(shè) 局部保序性局部保序性定理定理4 4.),()(,),(, 0,)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有時時當當若若設(shè)設(shè) ).()()(xgxfx 令令提示提示: :4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.)(lim

13、,)(,),(,)(lim000AxfxfxxnxxAxfnnnnnxx 且且收收斂斂則則數(shù)數(shù)列列時時當當又又數(shù)數(shù)列列若若定理定理5證證Axfxx )(lim0, 0, 0 .)(,00 Axfxx恒恒有有時時當當,lim00 xxxxnnn 且且又又.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時時使當使當對上述對上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故例如例如,1sinlim0 xxx重要極限重要極限, 11sinlim nnn從而從而11sin1lim22 nnnnn(在第五節(jié)證明）在第五節(jié)證明）說明說明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在不存在 .法

14、法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列 :nx,0 xxn , )(0 nxxn且且)(limnnxf 使使不存在不存在 .法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 x的不同數(shù)列的不同數(shù)列 nx及及 ,nx 使使)(limnnxf )(limnnxf xy1sin 例例9.1sinlim0不存在不存在證明證明xx nxn1 ,2121 nxn證證: 取兩個趨于取兩個趨于 0 的數(shù)列的數(shù)列及及有有 nxnnnsinlim1sinlim , 0 )212sin(lim1sinlim nxnnn, 1 二者不相等二者不相等,.1sinlim0不不存存在在故故xx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的或或X定義及應用定義及應用2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)思考與練習思考與練習1. 若極限若極限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf且且)(lim1xfx存在存在, 則則. a3是否一定有是否一定有1, 121,2xxxxa？例4.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時，時，取取，問當，問當時，時，、當、當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二