第三節(jié)函數(shù)極限

1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)極限的定義和性質(zhì)函數(shù)極限的定義和性質(zhì)一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，x1無(wú)限接近無(wú)限接近0;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx問(wèn)題問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.XXAAoxy)(xfy A定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng)當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若若,)(,0,0 AxfXxX有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則稱常則稱常時(shí)的極限時(shí)的極限,Axfx )(lim)()( xAxf當(dāng)當(dāng)或或幾何解釋幾何解釋: AxfA)(XxXx 或

2、或記作記作直線直線 y = A 為曲線為曲線)(xfy 的的水平漸近線水平漸近線. xxf當(dāng)當(dāng))(數(shù)數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù)無(wú)論正數(shù)無(wú)論正數(shù)為何值，為何值，函數(shù)圖形在函數(shù)圖形在x=1/ 進(jìn)入并留在進(jìn)入并留在該帶形區(qū)域該帶形區(qū)域 無(wú)論正數(shù)無(wú)論正數(shù)為何值為何值 函數(shù)圖形在函數(shù)圖形在x=-1/ 進(jìn)入并留在該帶形進(jìn)入并留在該帶形區(qū)域區(qū)域xxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.sin0的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線xxyy 注注:直線直線 y

3、 = A 仍是曲線仍是曲線 y = f (x) 的漸近線的漸近線 .Axfx )(lim,0 ,0 X當(dāng)當(dāng)Xx 時(shí)時(shí), 有有 Axf)(Axfx )(lim,0 ,0 X當(dāng)當(dāng)Xx 時(shí)時(shí), 有有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，例如，xxxgxf21)(,21)( 都有水平漸近線都有水平漸近線.1 yoxyxy21 xy 21兩種特殊情況兩種特殊情況 :例例2.2arctanlim xx證證明明證證 2arctan)2(arctanxx要使要使),2,0( 故故),2tan( X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,)2(arctan x.2arctanlim xx故故),2tan( x只只要要注

4、注:.arctan2的的水水平平漸漸近近線線是是曲曲線線直直線線xyy Axfx)(lim.)(lim)(limAxfxfxx 定理定理二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限x越接近越接近1，(x2-1)/(x-1)越接近越接近2x取取1上下的值上下的值f(x), g(x)及及h(x) 當(dāng)當(dāng)x無(wú)限接近無(wú)限接近1時(shí)都無(wú)限接近時(shí)都無(wú)限接近2，但僅有，但僅有h(1)=2問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xx

5、xx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定義定義 ,0,0 Axfxx )(lim0定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,若若 00 xx當(dāng)當(dāng).)( Axf時(shí)時(shí), 有有則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限,記作記作或或)()(0 xxAxf當(dāng)當(dāng)稱作稱作注意：注意：;)(.10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2

6、,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直線線函函數(shù)數(shù)鄰鄰域域時(shí)時(shí)的的去去心心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx 對(duì)此處所有不等于對(duì)此處所有不等于x0的的xf(x)落在此處落在此處A+A-AAxfxx )(lim0例例3.4lim22 xx證證明明證證,5, 1min 取取.52 x只只要要, 0 所所以以,20時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) x 42x有有. 4lim22 xx,12,2 xx所所以以不不妨妨限限制制由由于于.523,31 xx得得,252242 xxxx從從而而,42 x要要使使例例4. 211lim21 xxx證明證明證證,12112 xxx, 0 ,

7、 取取,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,2112 xx要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.|1| x只只要要例例5.lim00 xxxx 證證0 xx , 0 ,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,0 xx要使要使.0 xx就就有有,00 xxx ,00 xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明且且.0 x而而0 x可用可用00 xxx 保證保證 .例例6 6.sinsinlim:00 xxxx 證證明明證證0sinsinxx 2cos2sin200 xxxx 1220 xx.0 xx , 0 , 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

8、xx.sinsin0 xx有有.sinsinlim00 xxxx 可以證明，若可以證明，若 f (x) 是基本初等函數(shù)，是基本初等函數(shù)，x0 是其是其定義域內(nèi)一點(diǎn)，則定義域內(nèi)一點(diǎn)，則).()(lim00 xfxfxx 單側(cè)極限單側(cè)極限: 0, 10,)(2xxxxxf觀察觀察,0時(shí)時(shí)從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近當(dāng)當(dāng)x;0)(xf,0時(shí)時(shí)從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近當(dāng)當(dāng)x. 1)(xf左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)0:00000 xxxxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000A

9、xfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作A+A+A對(duì)此處所有不等于對(duì)此處所有不等于x0的的xf(x)落在此處落在此處Axfxx)(0limAxfxx)(0limA+AA+f(x)落在此處落在此處對(duì)此處所有不等于對(duì)此處所有不等于x0的的x.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx .lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例7證證1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x定理定理 0,10,00,1

10、)(xxxxxxf討論討論 0 x時(shí)時(shí))(xf的極限是否存在的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?(lim0 xfx )1(lim0 xx1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx1 顯然顯然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .例例 8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1. 局部有界性局部有界性2. 唯一性唯一性)(lim0 xfxx, 0 ),(0 xUx )(xf定理定理1 若極限若極限存在，則存在，則當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，有界。有界。)(limxfx ,0 X),(),( XXx)(xf定理定理1 若極限若極限存在，則存

11、在，則當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，有界。有界。定理定理2 若若)(limxf存在，則極限唯一。存在，則極限唯一。).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若 定理定理33. 局部保號(hào)性局部保號(hào)性,)(,),(, 0,)(lim,2, 0:000 AxfxUxAxfAAxx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)知知由由取取若若證證. 022)( AAAAxf 從從而而).0)(0)(,),(),(, 0),0(0,)(lim xfxfXXxXAAAxfx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理3類似地可以證明類似地可以證明).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(l

12、im000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論推論推論).0(0),0)(0)(,),(),(, 0,)(lim AAxfxfXXxXAxfx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論).()(,),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則且且設(shè)設(shè) 局部保序性局部保序性定理定理4 4.),()(,),(, 0,)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)若若設(shè)設(shè) ).()()(xgxfx 令令提示提示: :4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.)(lim

13、,)(,),(,)(lim000AxfxfxxnxxAxfnnnnnxx 且且收收斂斂則則數(shù)數(shù)列列時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)又又?jǐn)?shù)數(shù)列列若若定理定理5證證Axfxx )(lim0, 0, 0 .)(,00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),lim00 xxxxnnn 且且又又.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)對(duì)上述對(duì)上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故例如例如,1sinlim0 xxx重要極限重要極限, 11sinlim nnn從而從而11sin1lim22 nnnnn(在第五節(jié)證明）在第五節(jié)證明）說(shuō)明說(shuō)明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在不存在 .法

14、法1 找一個(gè)數(shù)列找一個(gè)數(shù)列 :nx,0 xxn , )(0 nxxn且且)(limnnxf 使使不存在不存在 .法法2 找兩個(gè)趨于找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列的不同數(shù)列 nx及及 ,nx 使使)(limnnxf )(limnnxf xy1sin 例例9.1sinlim0不存在不存在證明證明xx nxn1 ,2121 nxn證證: 取兩個(gè)趨于取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列的數(shù)列及及有有 nxnnnsinlim1sinlim , 0 )212sin(lim1sinlim nxnnn, 1 二者不相等二者不相等,.1sinlim0不不存存在在故故xx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的或或X定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限若極限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf且且)(lim1xfx存在存在, 則則. a3是否一定有是否一定有1, 121,2xxxxa？例4.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時(shí)，只要時(shí)，只要取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時(shí)，時(shí)，取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二