第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1 存貯模型存貯模型3.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī)3.3 森林救火森林救火3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格3.5 血管分支血管分支3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型3.1 存貯模型存貯模型問(wèn)問(wèn) 題題配

2、件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi)每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求不只是回答問(wèn)題，而且

3、要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。問(wèn)題分析與思考問(wèn)題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次，每次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。元。日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。元。 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次5000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900+4800+1

4、00 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考問(wèn)題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多

5、準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。4. 為方便起見(jiàn)

6、，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。為方便起見(jiàn)，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問(wèn)題連續(xù)化離散問(wèn)題連續(xù)化AcdttqcT202)(一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT

7、 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問(wèn)題回答問(wèn)題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi) c2 ，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 問(wèn)：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？問(wèn)：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂

8、貨Q件，當(dāng)貯存量降到件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，零時(shí)，Q件立即到貨。件立即到貨。允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件件立即生產(chǎn)出來(lái)立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期貯存費(fèi)貯存費(fèi)BcdttqcTT331)(一周期一周期缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(22

9、13121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值平均值（目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)）213121)(2121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與為與不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q212rccT 212crcrTQ不允不允許缺許缺貨模貨模型型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許

10、允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型0qQ rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足注意：缺貨需補(bǔ)足Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR3.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，備，估計(jì)估計(jì)可使可使80千克重的生豬體重增加千克重的生豬體重增加2公斤。公斤。問(wèn)問(wèn)題題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克市場(chǎng)價(jià)格目前

11、為每千克8元，但是元，但是預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)每天會(huì)降每天會(huì)降低低 0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果如果估計(jì)估計(jì)和和預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分分析析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利潤(rùn)天后出售，可多得利潤(rùn)20元元建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出售價(jià)格出售價(jià)格 p=8-gt銷(xiāo)售收入銷(xiāo)售收入 R=pw資金投入

12、資金投入 C=4t利潤(rùn)利潤(rùn) Q=R-C=pw -C估計(jì)估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對(duì)對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時(shí)間推遲，出售時(shí)間推遲3%。 1.522.5305101520r

13、t敏感性分析敏感性分析估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對(duì)對(duì)g的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價(jià)格每天的降低量生豬價(jià)格每天的降低量g增加增加1%，出售時(shí)間提前，出售時(shí)間提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由由 S(t,r)=3建議過(guò)一周后建議過(guò)一周后(t=7)重新

14、估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。再作計(jì)算。wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤(rùn)的增值每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()(3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失

15、大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題問(wèn)題分析分析問(wèn)題問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題問(wèn)題

16、分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫(huà)出時(shí)刻畫(huà)出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）火勢(shì)蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火速度）為隊(duì)員的平均滅火速度） 4）每個(gè)隊(duì)員的單位

17、時(shí)間滅火費(fèi)用）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt0dxdCxcxx

18、tcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次

19、性費(fèi)用每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開(kāi)始救火時(shí)刻開(kāi)始救火時(shí)刻, 火勢(shì)蔓延速度火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么為什么? ? , 可設(shè)置一系列數(shù)值可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量x3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題問(wèn)題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷(xiāo)平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷(xiāo)量，記作）產(chǎn)量等于銷(xiāo)量，記作 x2）收入與銷(xiāo)量）收入與銷(xiāo)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷(xiāo)量）銷(xiāo)量

20、 x 依賴于價(jià)格依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利潤(rùn)利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0* ppdpdU使利潤(rùn)使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足滿足*ppppdpdCdpdI最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模與求解與求解邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出結(jié)果結(jié)果解釋解釋baqp22*0,)(babpapx q /

21、 2 成本的一半成本的一半 b 價(jià)格上升價(jià)格上升1單位時(shí)銷(xiāo)量的下降單位時(shí)銷(xiāo)量的下降 幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度） a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求)b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b?3.5 血血 管管 分分 支支背背景景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)克服血液流動(dòng)的阻力克服血液流動(dòng)的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀消耗能量取決于血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則已經(jīng)達(dá)到能量最小原則研究在能量最小原則

22、下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度問(wèn)問(wèn)題題模型假設(shè)模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液給血管壁的能量隨血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正度近似與血管半徑成正比比qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC與與CB, CB 粘性流體在剛粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)性

23、管道中運(yùn)動(dòng)lprq84 pA,C壓力差，壓力差， 粘性系數(shù)粘性系數(shù)克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量4218dlqpqE提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量21,2lbrE管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比模型假設(shè)模型假設(shè)qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218dlqpqE克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HLltgHLlsin/2)/()tan

24、/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE機(jī)體為血流提供能量機(jī)體為血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型模型解釋解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動(dòng)脈半徑大動(dòng)脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔次分岔 4114rr4m

25、inmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr觀察：狗的血管觀察：狗的血管)4(5n3025n血管總條數(shù)血管總條數(shù)97302510103222n推論推論n=？q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡問(wèn)題問(wèn)題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢(qián)，曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢(qián)，購(gòu)買(mǎi)這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。購(gòu)買(mǎi)這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下

26、凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交），記作交），記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格已知甲乙價(jià)格 p1,p2, 有錢(qián)有錢(qián)s，試分配，試分配s,購(gòu)買(mǎi)甲乙數(shù)量購(gòu)買(mǎi)甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知價(jià)格已知價(jià)格 p1,p2,錢(qián)錢(qián) s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl幾幾何何解解釋

27、釋sqpqp2211直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn)21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU結(jié)果結(jié)果解釋解釋21,qUqU邊際效用邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實(shí)際意義的實(shí)際意義AB 0,)(. 1

28、121qqU效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。與二者價(jià)格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。兩種商品的偏愛(ài)程度。1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。分

29、別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米成本為每立方米0.1英鎊。英鎊。 專(zhuān)家建議從專(zhuān)家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水運(yùn)送冰山，取代淡化海水 從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。從?jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。建模?zhǔn)備建模準(zhǔn)備1. 日租金和最大運(yùn)量日租金和最大運(yùn)量船船 型型小小 中中 大大日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運(yùn)量（米

30、最大運(yùn)量（米3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）與南極距離與南極距離 (千米千米)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(米米3)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用最低，

31、并與淡化海水的費(fèi)用比較米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較模型模型假設(shè)假設(shè) 航行過(guò)程中船速不變，總距離航行過(guò)程中船速不變，總距離9600千米千米 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運(yùn)輸過(guò)程運(yùn)輸過(guò)程融化規(guī)律融化規(guī)律總費(fèi)用總費(fèi)用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,10

32、5 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u(mài) (千米千米/小時(shí)小時(shí))與南極距離與南極距離d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；d4000時(shí)時(shí)u與與d無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時(shí)半

33、徑天時(shí)半徑冰山初始體積冰山初始體積30034RV334ttRVt天時(shí)體積天時(shí)體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)313004334),(tkkrVtVuV選定選定u,V0, 航行航行t天時(shí)冰山體積天時(shí)冰山體積313004334),(TttrVVuV到達(dá)目的地到達(dá)目的地時(shí)冰山體積時(shí)冰山體積uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英鎊英鎊/千米千米)q1對(duì)對(duì)u線性線性, 對(duì)對(duì)log10V線