第二章_波函數(shù)和Schrodinger_方程各vv

1、l1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 l2 2 力學(xué)量的平均值和算符的引進力學(xué)量的平均值和算符的引進 l3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程 l4 4 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 l5 5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 l6 6 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程 第二章第二章 波函數(shù)與薛定諤方程波函數(shù)與薛定諤方程1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（一）波函（一）波函數(shù)的概念數(shù)的概念 （二）波函數(shù)的解釋（二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)的性質(zhì) （四）自由粒子的波函數(shù)（四）自由粒子的波函數(shù) )(e

2、xpEtrpiA 3 3個問題？個問題？ 描寫自由粒子的描寫自由粒子的平平 面面 波波),(tr 稱為稱為 dedeBroglie Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。對于受到外場作用的情況下，波函數(shù)的形式肯定會對于受到外場作用的情況下，波函數(shù)的形式肯定會比平面波復(fù)雜，我們一般地記為：比平面波復(fù)雜，我們一般地記為：(1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)的概念（一）波函數(shù)的概念（二）波函數(shù)的解釋（二）

3、波函數(shù)的解釋對波函數(shù)的兩種錯誤理解：對波函數(shù)的兩種錯誤理解： 1. 1. 波由粒子組成波由粒子組成 這種看法是與實驗矛盾的，它這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間不能解釋長時間單個單個電電子衍射實驗子衍射實驗。單個電子也有波動性。單個電子也有波動性波由粒子組成，波是大量粒子運動的表現(xiàn)2. 2. 粒子由波組成粒子由波組成 粒子就是一個波包，波包的尺寸就是粒子的大小。粒子就是一個波包，波包的尺寸就是粒子的大小。 平平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組

4、成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相與實驗事實相矛矛盾。實盾。實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 1 。若若假設(shè)粒子就是波包，則組成粒子的群速度不僅不等于相假設(shè)粒子就是波包，則組成粒子的群速度不僅不等于相速度，而且彼此之間的相速度也各不相同，造成波包在速度，而且彼此之間的相速度也各不相同，造成波包在傳播過程中擴散，這意味著粒子會在運動中自動解體，傳播過程中擴散，這意味著粒子會在運動中自動解體，這顯然是不合理

5、的。這顯然是不合理的。 經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1. 1. 有有一定質(zhì)量、電荷等一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運動軌道，每一時刻有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置有一定位置和速度。和速度。 經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化實在的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ “ 電子既不是粒子也不是波電子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是經(jīng)典的粒子

6、，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波。也不是經(jīng)典的波。但是我們也可以說，但是我們也可以說，“ “ 電子既是粒子也是波，它是粒電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個波不再是經(jīng)典概念的波，這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。波波函數(shù)的統(tǒng)計解釋函數(shù)的統(tǒng)計解釋 幾率波幾率波電子源電子源感感光光屏屏QQOPP一切要從實驗出發(fā)，我們看一切要從實驗出發(fā)，我們看一下電子的衍射實驗一下電子的衍射實驗 ：l結(jié)論：結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：l許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電

7、子在許多次相同許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 l波函數(shù)波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，Born Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。 r r 點附近衍射花樣的強度：點附近衍射花樣的強度：在電子衍射實驗中，在電子衍射實驗中，照相底片上照相底片上 正比于正比于該點附近感光點的數(shù)目；該點附近感光點的數(shù)目；正比于正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目；該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目；正比于正比于電子出現(xiàn)在電子出現(xiàn)在 r r 點附近的幾率點附近的幾率據(jù)此，據(jù)

8、此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運動的描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)(r)(r)有時也稱為幾率幅。有時也稱為幾率幅。 這就是首先由這就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的幾率解釋，它是，它是量量子力學(xué)的基本原理子力學(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與經(jīng)典波相似，描述，與經(jīng)典波相似， 衍射花紋的強度則用衍射花紋的強度則用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意

9、義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點附近幾率的大小，確切的說點附近幾率的大小，確切的說: : | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 點處，體積元點處，體積元x yx y zz中找到中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對絕對值的平方）和在值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，這點找到粒子的幾率成比例，在在 t t 時刻，時刻， r r 點，點，d = dx dy dz d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到體積內(nèi)，找到由波函數(shù)由波函數(shù) (r,t) (r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是： d W( r

10、, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d， 其中，其中，C C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)： （1 1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度 在在 t t 時刻時刻 r r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 稱為幾率密度。稱為幾率密度。在體積在體積 V V 內(nèi)，內(nèi)，t t 時刻找到粒子的幾

11、率為：時刻找到粒子的幾率為： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d （三）（三）波函數(shù)波函數(shù)的幾點性質(zhì)的幾點性質(zhì)（2 2）常系數(shù)不定性與歸一化常系數(shù)不定性與歸一化由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C C 之值為：之

12、值為： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d 這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的函數(shù)。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 d d , , 則則 C C 0 0, , 這是沒有意義的。這是沒有意義的。稱為歸一化因子稱為歸一化因子。這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 2 倍），則相倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的應(yīng)的波動能量將為原來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。倍，因而代表完全不同的

13、波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。經(jīng)典波無歸一化問題。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C C 是常數(shù)。是常數(shù)。 因為在因為在 t t 時刻，空間任意兩點時刻，空間任意兩點 r r1 1 和和 r r2 2 處找到粒子處找到粒子的相對幾率之比是：的相對幾率之比是： 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比

14、例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即子狀態(tài)不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一幾描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。 （3 3）相因子不定性相因子不定性對歸一化波函數(shù)仍有一個對歸一化波函數(shù)仍有一個模為模為1的

15、相因子不定性的相因子不定性。若若 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，),(tr1)exp(2i)exp(i稱為相因子稱為相因子 微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性波的疊加性，即可相加性，兩，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中量子力學(xué)中也存在波疊加原理也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)

16、波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理。2 2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理考慮電子雙縫衍射考慮電子雙縫衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是電子的可能狀態(tài)。也是電子的可能狀態(tài)。 l空間找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2|

17、|2 2 + + CC1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P P1 12 2S S1 1S S2 2電子源電子源感感光光屏屏電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度相干項相干項 正是由于相干項的正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。射花紋。一個電子有一個電子有 1 1 和和 2 2 兩種可能的狀兩種可能的狀態(tài)，態(tài)， 是這兩種狀是這兩種狀態(tài)的疊加。態(tài)的疊加。其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理

18、。是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般表述：態(tài)疊加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加態(tài)的線性疊加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + + . . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)) )。 也是體系的一個可能狀態(tài)。也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于處于態(tài)的體系，部分的處于態(tài)的體系，部分的處于 1 1態(tài)，部分的處于態(tài)，部分的處于2 2態(tài)態(tài).，部分的

19、處于，部分的處于n n，.一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是該體系的一個可能狀態(tài)也是該體系的一個可能狀態(tài). .*疊加態(tài)疊加態(tài)既不是既不是1 1態(tài)也不是態(tài)也不是2 2態(tài)，它是一個態(tài)，它是一個新的狀態(tài)新的狀態(tài)。例：例：)(expEtrpiAp( , )( )( , )( , )( )( , )xyzpppr tc pr tr tc pr tdpdp dpddppp 其中由于 是連續(xù)變化的，所以后式應(yīng)用積分代替，了求和。電子在晶體表面反射后，電子可能以電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量各種不同的動量 p

20、p 運動。具有確定動運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用量的運動狀態(tài)用dedeBroglie Broglie 平面波平面波表示表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示可表示成成 p p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。 d dp p動動量空間（表象）的波函數(shù)量空間（表象）的波函數(shù)l (r,t) (r,t)是以坐標(biāo)是以坐標(biāo) r r 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象波函數(shù)；波函數(shù)；

21、lC(p, t)C(p, t) 是以動量是以動量 p p 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 動量空間波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象動量表象波函數(shù)；波函數(shù)； l二者描寫同一量子狀態(tài)。二者描寫同一量子狀態(tài)。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函數(shù)波函數(shù) (r,t) (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示，可用各種不同動量的平面波表示， 證證明。明。rdtrrtpcp),()(),( (r,t)c(p,Fou)riert顯然，二式互為變換式，故而總是成立的。所以與是同一量子態(tài)的兩種不同描一一對應(yīng)，述方式。展開展開系數(shù)系數(shù)pdrtpctrp)(),(),( 令令則則 可按可按p p 展開展

22、開dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 2( , )|( , ) |dWr tr tdrtrdr 時 刻 粒 子 出 現(xiàn) 在 點 附 近體 積 元 內(nèi) 的 幾 率 ； ( , )( , )c p tr t具有類似的物理含義與2(, )|(, ) |dWp tc p tdptpdp時 刻 粒 子 出 現(xiàn) 在 動 量 點 附 近體 積 元 內(nèi) 的 幾 率 。若若 (r,t) (r,t)已歸一化，則已歸一化，則 C(p, t)C(p, t)也是歸一化的也是歸一化的pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 證證明明：p

23、drdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函數(shù)數(shù)的的目目的的。平平面面波波歸歸一一化化為為由由此此我我們們也也可可以以看看出出把把關(guān)關(guān)系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),( 3 3 Schrodinger Schrodinger 方程方程（一）（一）引言引言 （二）（二）引進方程的基本考慮引進方程的基本考慮 （三）（三）自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 （四）（四）勢場勢場 V (r) V (r)

24、中運動的粒子中運動的粒子 （五）（五）多粒子體系的多粒子體系的SchrodingerSchrodinger方程方程 這些問題在這些問題在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波動方程之后得提出了波動方程之后得到了圓滿解決。到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題

25、就是要解決以下兩子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：個問題：(1)(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)(2)波函數(shù)如何隨時間演化波函數(shù)如何隨時間演化? ?（一）（一）引言引言（二）（二）引進方程的基本考慮引進方程的基本考慮 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t t 粒子的狀態(tài)粒子的狀態(tài) r r 和和 p p 。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。所以方程是時間的二階常微分方程。讓

26、我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1 1）經(jīng)典情況）經(jīng)典情況000,prtt時刻，已知初態(tài)是：22dtrdmF方程：粒子滿足的方程是牛頓（2 2）量子情況）量子情況3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量不能包含狀態(tài)參量，如，如 p p, , E E等，否則方等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。態(tài)所滿足。1 1因為，因為，t = tt = t0 0 時刻，已知的初態(tài)是時刻，已知的初態(tài)是( r, t( r, t0 0) ) 且

27、只知且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程的方程只能含只能含對時間對時間 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。2 2另一方面，另一方面，要滿足態(tài)疊加原理要滿足態(tài)疊加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含這就要

28、求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含, , 對時間的一階導(dǎo)數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù)和和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們，不能含它們的平方或開方項。的平方或開方項。（三）（三）自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E E 。將。將對坐標(biāo)二次微商，得：對坐標(biāo)二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描寫自由粒子波函數(shù)描寫自由粒子波函數(shù): :應(yīng)是所要建立的方程的解。應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對將上式對 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAe

29、xxzyx(1)(2)(1)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或滿足上述構(gòu)造方程滿足上述構(gòu)造方程的三個條件的三個條件討論：討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式如果能量關(guān)系式 E = pE = p2 2/2/2 寫成如下方寫成如下方程形式：程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替換（算符替換（4 4）即得自由即得自由粒子滿足的方程（粒子滿足的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti對自由粒子0)2(2 pE(1)(2)(1)(

30、2)式式E = pE = p2 2/2/2（四）勢場（四）勢場 V(r) V(r) 中運動的粒子中運動的粒子 該方程稱為該方程稱為 Schrodinger Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。方程，也常稱為波動方程。量量。算算符符，亦亦常常稱稱為為是是體體系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子處于勢場若粒子處于勢場 V(r)V(r) 中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋褐羞\動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋篐rVpE )(22 )(22rVpE 將其作用于波函數(shù)得：將其作用于波函數(shù)得：做（做（4 4）式的算符替換得：）式的算符替換得：

31、（五）多粒子體系的五）多粒子體系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程設(shè)體系由設(shè)體系由 N N 個粒子組成，個粒子組成， l質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) l體系波函數(shù)記為體系波函數(shù)記為 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t) ; t) l第第i i個粒子所受到的外場個粒子所受到的外場 U Ui i(r(ri i) ) l粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N) ) l則多粒子體系的則多粒子體系的 Schrodi

32、nger Schrodinger 方程可表示為：方程可表示為：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子體系多粒子體系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 對有對有 Z Z 個電子的原子，電子間相互作用為個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb Coulomb 排斥排斥作用：作用：而原子核對第而原子核對第 i i 個電子的個電子的 Coulomb Coulomb 吸引能為：吸引能為：假定原子核位于坐標(biāo)原點，無窮遠(yuǎn)為勢能零點。假定原子核位于坐標(biāo)原點，無窮遠(yuǎn)為勢

33、能零點。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：4 4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（一）（一） 定域幾率守恒定域幾率守恒 考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd在討論了狀

34、態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在變化。粒子在 t t 時刻時刻 r r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：幾率即幾率密度是：證證：考慮考慮 Schrodinger Schrodinger 方程及其共軛式：方程及其共軛式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：將將)6()5( 2222 titi22 ）（ti取共軛取共軛 dddtdi22 ）（在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有

35、：中將上式積分，則有：閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位率在單位時間內(nèi)的時間內(nèi)的增量增量J J是幾率流密度，是幾率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趨于趨于 ，即讓積分對全空間進行，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.Eq.（7 7）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋?0),( dtrdtd0 Jt 其微分形式與其微分形

36、式與流體力學(xué)中連流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形續(xù)性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（ dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是體體積積）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過的封閉表的封閉表面面 S S 流入（面積分前面的負(fù)流入（面積分前面的負(fù)號）號）內(nèi)的幾率內(nèi)的幾率2 iJSdS 0),( dtrdtd討論：討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。既未產(chǎn)生也未消滅。（1 1）這里的幾率守恒具有）這里的幾率守恒具有定域定域性質(zhì)：當(dāng)性質(zhì)

37、：當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。（2 2） 以以乘連續(xù)性方乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：程等號兩邊，得到：0 Jt量子力學(xué)的質(zhì)量守量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律恒定律同理可得量子力學(xué)同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0 eeJt 表明電荷總量表明電荷總量不隨時間改變不隨時間改變 )(2| ),(|2iJJtr 質(zhì)量密度質(zhì)量密度 和和 質(zhì)量流密度矢質(zhì)量流密度矢量量 )(2| ),(|2 ieJeJtreeee電荷密度電荷密度 和和 電流密度矢

38、量電流密度矢量（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)1. 1. 由由 Born Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為

39、狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由SchrodingerSchrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。（1 1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2 2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件1. 1. 根據(jù)根據(jù)BornBorn統(tǒng)計解釋統(tǒng)計解釋 (r, t) = (r, t) = * *(r, t) (r, t)(r, t) (r, t)是粒子在是粒子在t t時刻出時刻出現(xiàn)在現(xiàn)在 r r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求

40、點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求(r, t)(r, t)應(yīng)是應(yīng)是 r, tr, t的單的單值函數(shù)且有限。值函數(shù)且有限。l式右含有式右含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意選取的，所以S S是任意閉合面。要是積分有意義，是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 l概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應(yīng)滿足單值、有限、概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)

41、準(zhǔn)條件。連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。SdiSdJdtrdtdSS 2),( 2.2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 : :（3 3）量子力學(xué)基本假定）量子力學(xué)基本假定 I I、 IIII量子力學(xué)基本假定量子力學(xué)基本假定 I I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基本假定量子力學(xué)基本假定 II II 波函數(shù)隨時間的演化遵從波函數(shù)隨時間的演化遵從 Schrodinger Schrodinger 方程方程5 5 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程（一）定態(tài)（一）定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程 （二）（二）H

42、amiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟（三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì)（四）定態(tài)的性質(zhì) （一）定態(tài)（一）定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 現(xiàn)在讓我們討論現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定有外場情況下的定態(tài)態(tài) Schrodinger Schrodinger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V

43、(r)與與t t無關(guān)時，可以無關(guān)時，可以分離變量分離變量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 兩兩邊邊同同除除等式兩邊是相互等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，無關(guān)的物理量，故故應(yīng)等于與應(yīng)等于與 t, t, r r 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)定態(tài)薛定態(tài)薛定諤方定諤方程程該方程稱為該方程稱為定態(tài)定態(tài) Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可稱也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0t=0時刻時刻(r,0)(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。的定態(tài)波函數(shù)。此波函數(shù)與時間此波函數(shù)與時間t t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率的關(guān)系是正弦型的，其

44、角頻率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie關(guān)系可知：關(guān)系可知： E E 就是體系處于波函數(shù)就是體系處于波函數(shù)(r,t)(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量體系能量有確定的值有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)(r,t)稱為稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)。Etiertr )(),( )()(222rErV 空間波函數(shù)空間波函數(shù)(r)(r)可由方程可由方程和具體問題和具體問題(r)(r)應(yīng)滿足的邊界條件得出。應(yīng)滿足的邊界條件得出。（二）（二）HamiltonHamilton算

45、符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦稱稱量量，稱稱為為與與經(jīng)經(jīng)典典力力學(xué)學(xué)相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特點：二方程的特點：都是以一個算符作用于都是以一個算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。 HVti222 是相當(dāng)?shù)?。這是相當(dāng)?shù)?。這兩個算符都稱兩個算符

46、都稱為能量算符。為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)也可看出，作用于任一波函數(shù)上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程（1 1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物學(xué)物理方法中的本征值方程相似。理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程微分方程 + + 邊界條件構(gòu)成本征值問題邊界條件構(gòu)成本征值問題； EH EV 22 將將改寫成改寫成（2 2）量

47、子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的法中的邊界條件，稱為邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量的方程為束縛的本征值方程。常量 E E 稱為稱為算符算符 H H 的的本征值本征值；稱為稱為算算符符 H H 的的本征函數(shù)本征函數(shù)。 （3 3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡態(tài)（簡稱稱能量本征態(tài)能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)）時，粒子

48、能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。（三）求解定態(tài)問題的步驟（三）求解定態(tài)問題的步驟討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t)( r, t) 和在這些態(tài)中的能量和在這些態(tài)中的能量 E E。其具體步驟如下：。其具體步驟如下：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定態(tài)）列出定態(tài) SchrodingerSchrodinger方程方程,2121nnEEE ，本本征征函函數(shù)數(shù)本本征征值值：（2 2）根據(jù)波函

49、數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量條件求解能量 E E 的的本征值問題，得：本征值問題，得：（3 3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第到對應(yīng)第 n n 個本征值個本征值 E En n 的定態(tài)波函數(shù)的定態(tài)波函數(shù)（4 4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)）通過歸一化確定歸一化系數(shù) C Cn n（四）定態(tài)的性質(zhì)（四）定態(tài)的性質(zhì)（2）幾）幾率流密率流密度與時間無關(guān)度與時間無關(guān)nnntr ),( 2),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān))/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(

50、rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 綜上所述：綜上所述：當(dāng)當(dāng)滿足下列三個等價條件中的任何一個時，滿足下列三個等價條件中的任何一個時，就是定態(tài)波函數(shù)：就是定態(tài)波函數(shù)： 1. 1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值；描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. 2. 滿足定態(tài)滿足定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程；方程； 3. |3. |2 2 與與 t t無關(guān)。無關(guān)。 dtrFtrFnn),(),( （3 3）任何不顯含）任何不顯含t t得力學(xué)量平均值與得力學(xué)量平均值與t t

51、 無關(guān)無關(guān) dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()( drFrnn)()( 作作 業(yè)業(yè)周世勛周世勛 量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程 2.2 2.2 題題l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各勢域的一維）列出各勢域的一維S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 l（4 4）定歸一化系數(shù)）定歸一化系數(shù) axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII6 6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（1 1）列出各勢域的）列出各勢域的 S S 方程方程方程可方程可 簡化為：簡化為： 000222222

52、222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 勢勢V(x)V(x)分為三個區(qū)域，分為三個區(qū)域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函數(shù)分別為其上的波函數(shù)分別為 I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。則方程為：則方程為： 2 2 xxIIIIIxxIeBe

53、BxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件xIeC 1 從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 則則解解為為：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。

54、單值，成立；。單值，成立； 2 2。有限：當(dāng)。有限：當(dāng)x x - - ， 有限條件要求有限條件要求 C C2 2=0=0。使用標(biāo)準(zhǔn)條件使用標(biāo)準(zhǔn)條件 3 3。連續(xù)：。連續(xù)： 2 2）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)：）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)： l在邊界在邊界 x = -ax = -a，勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因為：因為： l若若I I(-a) = (-a) = IIII(-a)(-a)， 則有，則有，0 = A 0 = A cos(-acos(-a + + ) ) l與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果 A sin(-a + )= 0 A sin(-

55、a + )= 0 矛盾，二者不能同時成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連矛盾，二者不能同時成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。續(xù)。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函數(shù)連續(xù)：）波函數(shù)連續(xù)：.0),sin(,0IIIIIIxA. 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII0)sin(0)sin(aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 兩種情況：兩種情況：1cos00sin.

56、 則則I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 或22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n討論討論 00sin00000 xAEnII ，時時：當(dāng)當(dāng)xakAxakAknIIk sinsin 時時：當(dāng)當(dāng)狀態(tài)不存在狀態(tài)不存在描寫同一狀態(tài)描寫同一狀態(tài)所以所以 n n 只取正整數(shù)，即只取正整數(shù)，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn 于是波于是波函數(shù)：函數(shù)： xanAxa

57、nAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(02120cosII由（由（4 4）式）式0cosa),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以類似類似 I I 中關(guān)于中關(guān)于 n = n = m m 的討論可知：的討論可知：),2,1 ,0( n)4(0cossina 奇奇數(shù)數(shù)。的的偶偶數(shù)數(shù)mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 綜合綜合 I I 、II II 結(jié)果，最后得：結(jié)果，最后得：對應(yīng)對應(yīng) m = 2 nm = 2 n對應(yīng)對應(yīng) m = 2n+1m = 2n+1

58、能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。推。由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處，圍，在無限遠(yuǎn)處， = 0 = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。動能量本征值是分立能級，組成分立譜。（4 4）由歸一化條件定系數(shù)）由歸一化條件定系數(shù) A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12c

59、os|12sin|2222 （取取實實數(shù)數(shù)）得得：aAaA11|2 小結(jié)小結(jié) 由無窮深方勢阱問題的求解可以看由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步驟如下：方程的一般步驟如下：l一、列出各勢域上的一、列出各勢域上的S S方程；方程； l二、求解二、求解S S方程；方程； l三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值；三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值； l四、由歸一化條件定出最后一個待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。四、由歸一化條件定出最后一個待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。（三）宇稱（三）宇稱),(),(trtrrr （1 1）空間反射

60、：空間矢量反向的操作。）空間反射：空間矢量反向的操作。（2 2）此時如果有：）此時如果有： ),(),(trtr 稱波函數(shù)具有正宇稱稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱或偶宇稱）；),(),(trtr 稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱或奇宇稱）；),(),(trtr （3 3）如果在空間反射下，）如果在空間反射下，),(),(trtr 則波函數(shù)沒有確定的宇稱。則波函數(shù)沒有確定的宇稱。（四）討論（四）討論一維無限深一維無限深 勢阱中粒子勢阱中粒子 的狀態(tài)的狀態(tài),3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量