D7_2曲面方程 空間曲線 平面方程 空間直線

1、第七章空間解析幾何一、 平面及其方程 二、 直線及其方程 三、 二次曲面及一般曲面 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Ozyx0Mn( (一一) ) 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n一、平面及其方程一、平面及其方程 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( (二二) ) 平面的一般方程平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法

2、式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過(guò)原點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x

3、+ D =0 表示 B y + D = 0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.,), 0(iCBn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cba平面方程為 POzyxRQ(P250 例3)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( (三三) ) 兩平面的夾角兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平

4、面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n),(:),(:2222211111CBAnCBAn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例 設(shè)222101010)()()(CBA

5、zzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzO01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程( (一一) ) 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)二二 直線及其方程直線及其方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyx0 x0yO),(0000zyxM(二二) 點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程故有說(shuō)明說(shuō)明:

6、某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.mxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程(也稱為對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0s目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (三三) 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)有且僅有一條直線。 設(shè)直線 L 過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，和 P2(x2,y2,z2)，則,111121212zzyyxxzzyyxxt于是設(shè)

7、P (x,y,z)為直線上任意一點(diǎn)，,/121PPPP即.,121212zzlyynxxm(P252 例7)說(shuō)明說(shuō)明:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2L1L( (四四) ) 線面間的位置關(guān)系線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設(shè)直線 L1, L2 的方向向量分別為 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s(P251 例4)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnn

8、mm212121ppnnmm21ss 21/ss),(),(22221111pnmspnms2L1L1s2s2L1L1s2s目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角為線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ns ,cossinnsns sn(P252 例5,6)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/

9、nsLsn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 過(guò)過(guò)直線的平面束方程直線的平面束方程兩不平行平面決定的直線01111DzCyBxA02222DzCyBxA對(duì)任意直線上的點(diǎn)(x,y,z)及數(shù)p,q，有)(1111DzCyBxAp)(2222DzCyBxAq0整理得0)()()()(21212121qDpDzqCpCyqBpBxqApA表示過(guò)直線 的所有平面，稱為平面束方程。(P265 例8, 9)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例的平面方程為軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)垂直于)1, 3, 4(x解解:4x垂直于x軸的平面一般方程為0 BAx經(jīng)過(guò)點(diǎn)),1,3,4(可得方程為4x(09-10, 一一(1)例例過(guò)點(diǎn)和)

10、1 , 2, 3 (1M解解: 由題21MM) 2 , 0 , 1(2M的直線方程為) 1 , 2 , 4(則直線方程為112243zyx(09-10, 二二.5)例例以) 1, 0 , 2(為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為解解: 由題2222)01()00()02(R5所以球面方程為5) 1()2(222zyx(09-10, 二二(7)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、空間曲面三、空間曲面定義定義1. 0),(zyxF如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的

11、的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程 SzyxO(一一) 曲面方程曲面方程 例如，球心為2202020)()()(Rzzyyxx),(0000zyxM半徑為 R 的球面方程為MOxyz0M目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (二二) 二次曲面二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )說(shuō)明說(shuō)明：研究二次

12、曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 對(duì)于由方程F(x,y,z)=0所確定的曲面，坐標(biāo)面的平面相截，用平行于考察交線的形狀，了解曲面性質(zhì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxO1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(21222

13、1222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222( p , q 同號(hào))zyxOzyxO特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.:1zz 橢圓;:,11yyxx拋物線.:1zz 雙曲線;:,11yyxx拋物線.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy ),(1222

14、222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: zxyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy 相交直線: 雙曲線: 0zxyOzxyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面Ozxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

15、束 定義定義2. . 一條平面曲線( (三三) ) 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸. .例如例如 :母線母線軸軸目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 建立yOz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yOz 面上曲線 C: ), 0(111zyM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfOzyxC),(zyxM目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考：思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如

16、何？0),(:zyfCOyxz0),(22zxyf規(guī)律：規(guī)律： 當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的正負(fù)平方根來(lái)代替方程中的另一坐標(biāo)。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzO例例 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yOz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令兩邊平方L), 0(zyM(P255 例3)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( (四四) ) 柱面柱面定義定義3.平行定直線并

17、沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.222Ryx表示圓柱面圓柱面xyzClM1MO平行 z 軸的直線 l ,沿定xOy 面上曲線222Ryx移動(dòng)222Ryx準(zhǔn)線準(zhǔn)線母線母線平行于 z 軸Cl目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OxyzxyzOxyz 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xOy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( (五五) )空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線可視

18、為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1OC2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 參數(shù)方程參數(shù)方程稱它為空間曲線的參數(shù)方程.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( (六六) ) 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去 z 得投影柱面則C在xOy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲線方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzy