D7_2曲面方程 空間曲線 平面方程 空間直線

1、第七章空間解析幾何一、 平面及其方程 二、 直線及其方程 三、 二次曲面及一般曲面 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Ozyx0Mn( (一一) ) 平面的點法式方程平面的點法式方程),(0000zyxM設一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n一、平面及其方程一、平面及其方程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (二二) ) 平面的一般方程平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法

2、式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x

3、+ D =0 表示 B y + D = 0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.,), 0(iCBn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別特別, ,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cba平面方程為 POzyxRQ(P250 例3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (三三) ) 兩平面的夾角兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平

4、面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n),(:),(:2222211111CBAnCBAn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例 設222101010)()()(CBA

5、zzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程( (一一) ) 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)二二 直線及其方程直線及其方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx0 x0yO),(0000zyxM(二二) 點向式方程點向式方程故有說明說明:

6、某些分母為零時, 其分子也理解為零.mxx000yyxx設直線上的動點為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的點向式方程點向式方程(也稱為對稱式方程對稱式方程)直線方程為已知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0s目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (三三) 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0過兩個不同的點有且僅有一條直線。 設直線 L 過點P1(x1,y1,z1)，和 P2(x2,y2,z2)，則,111121212zzyyxxzzyyxxt于是設

7、P (x,y,z)為直線上任意一點，,/121PPPP即.,121212zzlyynxxm(P252 例7)說明說明:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2L1L( (四四) ) 線面間的位置關(guān)系線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設直線 L1, L2 的方向向量分別為 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s(P251 例4)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnn

8、mm212121ppnnmm21ss 21/ss),(),(22221111pnmspnms2L1L1s2s2L1L1s2s目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ns ,cossinnsns sn(P252 例5,6)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/

9、nsLsn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 過過直線的平面束方程直線的平面束方程兩不平行平面決定的直線01111DzCyBxA02222DzCyBxA對任意直線上的點(x,y,z)及數(shù)p,q，有)(1111DzCyBxAp)(2222DzCyBxAq0整理得0)()()()(21212121qDpDzqCpCyqBpBxqApA表示過直線 的所有平面，稱為平面束方程。(P265 例8, 9)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例的平面方程為軸且經(jīng)過點垂直于)1, 3, 4(x解解:4x垂直于x軸的平面一般方程為0 BAx經(jīng)過點),1,3,4(可得方程為4x(09-10, 一一(1)例例過點和)

10、1 , 2, 3 (1M解解: 由題21MM) 2 , 0 , 1(2M的直線方程為) 1 , 2 , 4(則直線方程為112243zyx(09-10, 二二.5)例例以) 1, 0 , 2(為球心，且通過坐標原點的球面方程為解解: 由題2222)01()00()02(R5所以球面方程為5) 1()2(222zyx(09-10, 二二(7)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、空間曲面三、空間曲面定義定義1. 0),(zyxF如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程 則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的

11、的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程 SzyxO(一一) 曲面方程曲面方程 例如，球心為2202020)()()(Rzzyyxx),(0000zyxM半徑為 R 的球面方程為MOxyz0M目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二二) 二次曲面二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 )說明說明：研究二次

12、曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 對于由方程F(x,y,z)=0所確定的曲面，坐標面的平面相截，用平行于考察交線的形狀，了解曲面性質(zhì)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxO1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(21222

13、1222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222( p , q 同號)zyxOzyxO特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.:1zz 橢圓;:,11yyxx拋物線.:1zz 雙曲線;:,11yyxx拋物線.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy ),(1222

14、222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: zxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy 相交直線: 雙曲線: 0zxyOzxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面Ozxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

15、束 定義定義2. . 一條平面曲線( (三三) ) 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸. .例如例如 :母線母線軸軸目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立yOz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yOz 面上曲線 C: ), 0(111zyM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉(zhuǎn)到0),(zyfOzyxC),(zyxM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考：思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如

16、何？0),(:zyfCOyxz0),(22zxyf規(guī)律：規(guī)律： 當坐標平面上的曲線C繞此坐標平面的一個坐標旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標，而以其它兩個坐標平方和的正負平方根來代替方程中的另一坐標。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例 試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yOz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令兩邊平方L), 0(zyM(P255 例3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (四四) ) 柱面柱面定義定義3.平行定直線并

17、沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做準線準線, l 叫做母線母線.222Ryx表示圓柱面圓柱面xyzClM1MO平行 z 軸的直線 l ,沿定xOy 面上曲線222Ryx移動222Ryx準線準線母線母線平行于 z 軸Cl目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OxyzxyzOxyz 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xOy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (五五) )空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線可視

18、為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1OC2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 參數(shù)方程參數(shù)方程稱它為空間曲線的參數(shù)方程.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (六六) ) 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去 z 得投影柱面則C在xOy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲線方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzy