小波分析基礎(chǔ)

1、一、認(rèn)識(shí)小波1、預(yù)備知識(shí) 從數(shù)學(xué)的角度講，小波是構(gòu)造函數(shù)空間正交基的基本單元，是在能量有限空間L2(R) 上滿足允許條件的函數(shù)，這樣認(rèn)識(shí)小波需要L2(R) 空間的基礎(chǔ)知識(shí)，特別是內(nèi)積空間中空間分解、函數(shù)變換等的基礎(chǔ)知識(shí)。 從信號(hào)處理的角度講，小波(變換)是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，所以從信號(hào)處理的角度認(rèn)識(shí)小波，需要傅立葉變換、傅立葉級(jí)數(shù)、濾波器等的基礎(chǔ)知識(shí)。 0)(2dttf(1.1) 一個(gè)信號(hào)從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，它是一個(gè)自變量為時(shí)間t的函數(shù)f(t)。因?yàn)樾盘?hào)是能量有限的，即滿足條件(1.1)的所有函數(shù)的集合就形成L2(R) 圖像是二維信號(hào)，同樣是能

2、量有限的。實(shí)際上任何一幅數(shù)字圖像都是從真實(shí)的場(chǎng)景中經(jīng)過(guò)采樣和量化處理后得到的。從數(shù)學(xué)上看，圖像是定義在L2(R2)上的函數(shù)。如圖1所示的LENA圖像f(x,y)，假設(shè)圖像的大小是512x512，量化級(jí)是256，即511,0 255),(0yxyxfxy2、L2(R)空間的正交分解和變換1 對(duì)f(t)L2(R)，存在L2(R) 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基gi(t)，t R，i=1,2,使得其中1)()(iiitgctf(1.2)Zlkdttgtgtgtgdttgtftgtfckllklkiii,)()()(),()()()(),(，(1.3) 對(duì)于給定信號(hào)f(t)，關(guān)鍵是選擇合適的基gi(t) ，使得f(

3、t)在這組基下的表現(xiàn)呈現(xiàn)出我們需要的特性，但是如果某一個(gè)基不滿足要求，可通過(guò)變換將函數(shù)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基下表示，才能得到我們需要的函數(shù)表示。常用的變換2有：(1) K-L變換(2) Walsh變換(3) 傅立葉變換(4) 小波變換 如圖所示如圖所示是信號(hào)f(t)的傅立葉變換示意圖。信號(hào)f(t)經(jīng)傅立葉變換由時(shí)域變換到頻域，基底不同得到大變換也不同。 在信號(hào)處理中，有兩類非常重要的變換即傅立葉變換和。目前，可簡(jiǎn)單地將小波理解為滿足以下兩個(gè)條件的特殊信號(hào)：(1) 小波必須時(shí)振蕩的；(2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。1、Daubechies小波一些著名的小波3：2、Coif

4、lets小波3、Symlets小波4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波6、Meyer小波不是小波的例3、傅立葉變換與時(shí)頻分析4 我們知道，任何復(fù)雜的周期信號(hào)f(t)可以用簡(jiǎn)單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式：這就是著名的傅立葉級(jí)數(shù)，tktk00sincos和都是簡(jiǎn)單的調(diào)和振蕩函數(shù)，直觀講都是正弦波。kkba 和是函數(shù)f(t)的傅立葉系數(shù)，可由以下公式計(jì)算：1000)sincos(2)(ikktkbtkaatf(1.4)于是，周期函數(shù)f(t) 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)，即從數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了，傅立葉級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和是原函數(shù)f(t) 在給定能量下的最佳逼近：2 , 1 , 0si

5、n)(22 , 1 , 0cos)(20000ktdtktfTbktdtktfTaTkTk，(1.5)(1.6),(),( ,)(22110babaatf(1.7)對(duì)于L2(R)上的非周期函數(shù)f(t) ，有0sincos2)(lim201000dxtkbtkaatfTNkkkN(1.8)dtetffti)()(1.9)稱)(f為f(t)的傅立葉變換，反變換公式為deftfti)()(1.10)有了傅立葉變換，我們可以很容易地將時(shí)域信號(hào)f(t)轉(zhuǎn)換到頻域 上，于是信號(hào)的頻率特性一目了然，并且與傅立葉級(jí)數(shù)一樣，傅立葉變換將一段信號(hào)的主要低頻能量都集中在頻率信號(hào)的前面幾項(xiàng)，這種能量集中性有利于進(jìn)一步

6、的處理。在過(guò)去200年里，傅立葉分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，但傅立葉分析也有不足，主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：)(fq 傅立葉分析不能刻畫時(shí)域信號(hào)的局部特性；q 傅立葉分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理效果不好。下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這兩點(diǎn)。例1、歌聲信號(hào) 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)，其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂(lè)譜。但遺憾地是，傅立葉變換無(wú)法反映信號(hào)在哪一時(shí)刻有高音，在哪一時(shí)刻有低音，因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起，如圖所示。小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點(diǎn)，信號(hào)變換到小波域后，小波不僅能檢測(cè)到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號(hào)相對(duì)應(yīng)，如圖所示。例2、信號(hào)逼近：如

7、圖(a)和(b)是原始信號(hào)，其余的是逼近信號(hào)。因此我們需要這樣一個(gè)數(shù)學(xué)工具：既能在時(shí)域很好地刻畫信號(hào)的局部性，同時(shí)也能在頻域反映信號(hào)的局部性，這種數(shù)學(xué)工具就是“小波”。從函數(shù)分解的角度，希望能找到另外一個(gè)基函數(shù)(t) 來(lái)代替sint。(t) 應(yīng)滿足以下三個(gè)特性：q 任何復(fù)雜的信號(hào)f(t)，都能由一個(gè)母函數(shù)(t) 經(jīng)過(guò)伸縮和平移產(chǎn)生的基底的線性組合表示；q 信號(hào)用新的基展開的系數(shù)要能反映出信號(hào)在時(shí)域上的局部化特性；q 新的基函數(shù)(t) 及其伸縮平移要比三角基sint更好地匹配非平穩(wěn)信號(hào)。 歷史上，Haar第一個(gè)找到了這樣一個(gè)基函數(shù)，這就是非常著名但又及其簡(jiǎn)單的Haar小波。 1 ,21 121,

8、0 1)(xxt(1.11)數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：小波級(jí)數(shù)、信號(hào)的小波逼近Zkjktj,| )2(構(gòu)成L2(R)的一個(gè)正交基，通過(guò)規(guī)范化處理，(1.12),( )2(2)(2,Zkjkttjjkj構(gòu)成L2(R)的一個(gè)規(guī)范正交基。故任何一個(gè)能量有限信號(hào)f(t)L2(R) 可以分解為(1.13)dtttfttfctctfkjkjkjZjZkkjkj)()()(),()()(,其中(1.14)(1.15)二、小波變換的定義及特點(diǎn)定義定義1 1函數(shù)(t)L2(R) 稱為基本小波，如果它滿足以下的“允許”條件：dtC)( (2.1)如果)( 是連續(xù)的，易得：0)(0)0( dtt(2.2)(t)又稱為母小波，

9、因?yàn)槠渖炜s、平移可構(gòu)成L2(R)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基：同傅立葉變換一樣，連續(xù)小波變換可定義為函數(shù)與小波基的內(nèi)積：將a,b離散化，令可得離散小波變換：RbRaabtatba ,)(21,，(2.3)(),(),(,ttfbafWba(2.4)Zkjkbajj,22，(2.5) 總結(jié)：即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限、平均值為零的波形。它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是“小”，即在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的“波動(dòng)性”，也即支流分量為零。ZkjkttttfkjfDWjjkjkj,)2(2)()(),(),)(2,，(2.6)(2.7)小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性

10、質(zhì)。而且由于對(duì)高頻成分采用逐漸精細(xì)的時(shí)域或頻域取樣步長(zhǎng)，從而可以聚焦到對(duì)象的任何細(xì)節(jié)，所以被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波分析廣泛應(yīng)用與信號(hào)處理、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別等領(lǐng)域。 可以這樣理解小波變換的含義：打個(gè)比喻，我們用鏡頭觀察目標(biāo)信號(hào)f (t)， (t)代表鏡頭所起的所用。b 相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)，a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。由此可見，小波變換有以下特點(diǎn)： 多尺度/多分辨的特點(diǎn)，可以由粗及細(xì)地處理信號(hào)； 可以看成用基本頻率特性為()的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)做濾波。 適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使(t)在時(shí)域上為有限支撐,()在頻域上也比較集中，就可以使WT在時(shí)、頻域都具有表征信號(hào)局部特

11、征的能力。小波變換的思想來(lái)源于伸縮和平移方法。v 尺度伸縮 對(duì)波形的尺度伸縮就是在時(shí)間軸上對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。1);sin()(attf21);2sin()(attf41);4sin()(attf21);2()(attf41);4()(attf1);()(attfv 時(shí)間平移 時(shí)間平移就是指小波函數(shù)在時(shí)間軸上的波形平行移動(dòng)，如圖所示。小波運(yùn)算的基本步驟：(1) 選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊；(2) 計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。(3) 將小波函數(shù)沿時(shí)間軸

12、向右移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時(shí)的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度，如圖所示；(4) 將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；(5) 對(duì)所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。v 尺度與頻率的關(guān)系尺度與頻率的關(guān)系如下： 小尺度a 壓縮的小波快速變換的細(xì)節(jié)高頻部分 大尺度a 拉伸的小波緩慢變換的粗部低頻部分三、多分辨分析由母小波按如下方式的伸縮平移可構(gòu)成L2(R)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基如何構(gòu)造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析的思想來(lái)構(gòu)造母小波，其基本思想是：q 現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的

13、層層嵌套的閉子空間序列VjjZ，這個(gè)閉子空間序列充滿了整個(gè)L2(R)空間。q 在V0子空間找一個(gè)函數(shù)g(t)，其平移g(t-k)k Z構(gòu)成V0子空間的Riesz基。q 對(duì)函數(shù)g(t)進(jìn)行正交化，得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù)(t)。q 由(t)計(jì)算出小波函數(shù)(t)。RtZkjkttjjkj， ,)2(2)(2,(3.1)Riesz基定義 令H是Hilbert空間，H中的一個(gè)序列g(shù)jjZ是Riesz基，如果它滿足以下的條件：A和B分別稱為Riesz基的上下界，Riesz基又稱為穩(wěn)定基。 jjjjjjjZjjnnjjjZjjjcBgccAlcBAtgctflcHfHZjtgspan22222,0 )2)

14、()(, 0,| )( ) 1有使得存在常數(shù)使得總存在即(3.2)(3.3)定義定義1 空間L2(R )中的多分辨分析是指L2(R )中的滿足如下條件的一個(gè)子空間序列 ZjjV 基。的構(gòu)成使得存在函數(shù)平移不變性伸縮性逼近性單調(diào)性RieszVktgVtgZkVktfVtfVtfVtfRLVVVVVZkjjjjZjjZjj0012101)(,)()5;,)()(:)4;)2()(:)3);(,0:)2;:) 1多分辨空間的關(guān)系可用下圖來(lái)形象地說(shuō)明。如果g(t-k)kZ是V0的Riesz基，可通過(guò)正交化得到V0空間的函數(shù)(t)V0，使得(t-k)kZ 構(gòu)成V0空間的規(guī)范正交基。由伸縮性和平移不變性可

15、知， j,k(t)j,kZ構(gòu)成Vj空間的一個(gè)規(guī)范正交基。于是RtZkjkttjjkj， ,)2(2)(2,(3.4)ZjkjkjVjtttffVtfRLtfj)()(),()()()(,2空間的正交投影是在每個(gè)，則(3.5)注意： (t)并不是L2(R )空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關(guān)的尺度函數(shù)，j,k(t)j,kZ稱為尺度基，多分辨空間序列VjjZ稱為尺度空間，在MRA意義下，可由尺度基導(dǎo)出小波基。由MRA的單調(diào)性可以看出： Vj是Vj+1的嚴(yán)格子空間，設(shè)Wj是Vj關(guān)于Vj+1的正交補(bǔ)(子空間)，即ljljjjjjjjjjjjjjjjjjWVWWWVWWVVWVWVVWVV11221111

16、1:于是顯然，且即滿足(3.6) 對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對(duì)于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來(lái)表示。 我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的， 列，稱為小波空間。是相互正交的子空間序故，所以，而由于顯然ZjjjjjjjjjlljjWWWWVVVWWVRL1112lim)(3.7)從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設(shè)有一幅256級(jí)量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的圖像，則 可

17、理解為Vj空間中的圖像有一部分保留在Vj-1空間中，還有一部分放在Wj-1空間，。11jjjWVV與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣，若存在(t)W0，使得(t-k)kZ構(gòu)成空間W0的一個(gè)規(guī)范正交基，則構(gòu)成L2(R)空間的一個(gè)規(guī)范正交基。 稱為小波基，(t)稱為母小波。Zkjkjt,)()2(2)(2,kttjjkj(3.8)VjWj-1Vj-1MRA非常抽象，但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架。在實(shí)踐中很難通過(guò)小波空間直接構(gòu)造小波，但通過(guò)MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過(guò)求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。 由前面的分析，我們知道：1010)()(WWtVVtkkkk1k)(2tg

18、(t) k)(2th(t) :)2()()(線性表示空間的一個(gè)基都可以用和所以ZkktVtt(3.9)(3.10)方程(3.9)和(3.10)稱為雙尺度方程。由(t) 的正交性可得：對(duì)雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程：ZkkttgZkktthkk，)2(),()2(),(3.12)(3.11)22)( 22)( gh(3.14)(3.13)kikkkikkeggehh21)( 21)( :其中(3.16)(3.15)從信號(hào)處理的角度，h是與(t)對(duì)應(yīng)的低通濾波器，g是與(t) 對(duì)應(yīng)的高同濾波器，h，g既可以表示為時(shí)域上的離散序列形式hk，gkkZ，也可以表示為頻域上的2周期

19、函數(shù)h ()，g()。兩者本質(zhì)上是一樣的。若kN時(shí)，hk=0，這樣的濾波器稱為有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)，F(xiàn)IR濾波器具有好的局部化特性。此時(shí)，(t)只在有限區(qū)間0，N上取值，所以(t)是緊支的，其支集supp=0，N，(3.9)式變?yōu)椋篘kkktht0)2()(3.17) 此時(shí)(t)也是緊支的。所以只要濾波器的長(zhǎng)度是有限的，我們稱對(duì)應(yīng)的小波(t)是緊支小波。 由(3.13)式得：nnjjhhhhhhh22884244222)( 1(3.18)1)0()0( )0()0( )0( 2)( 20)0( )( 11hhhhjjnjj推得且由是收斂的，即，則是連續(xù)的，且若(3.19)只要找到滿足雙

20、尺度方程(3.9)的序列hkkZ，通過(guò)公式(3.15)就可以計(jì)算出2周期函數(shù)h ()，再由公式(3.19)就可以計(jì)算出 ，經(jīng)過(guò)傅立葉反變換，最終可得尺度函數(shù)(t)，有了尺度函數(shù)就可以計(jì)算出小波函數(shù)(t) 。)( 通過(guò)解雙尺度方程(3.9)，我們希望得到滿足MRA的尺度函數(shù)(t) ，并最終構(gòu)造出小波函數(shù)(t) ，但有兩個(gè)問(wèn)題必須解決：雙尺度方程(3.9)是否有解？解的唯一性如何？雙尺度方程(3.9)的解是否滿足MRA？ 關(guān)于問(wèn)題1，I. Daubechies和Lagarias7在1991年給出了證明。 解決問(wèn)題2卻是一件非常困難的事情。這里牽涉到尺度函數(shù)(t)與濾波器系數(shù)hkkZ之間的關(guān)系問(wèn)題：

21、q 如果有一個(gè)L2(R)空間的尺度函數(shù)(t)，一定能構(gòu)造出雙尺度方程(3.9) ，從而找到一組滿足(3.9)的濾波器hkkZ；q 反過(guò)來(lái)，如果有一組濾波器hkkZ滿足某個(gè)雙尺度方程，由此求解得到的函數(shù)卻不一定是滿足MRA的尺度函數(shù)，這樣無(wú)法保證雙尺度方程解的平移構(gòu)成L2(R) Riesz基 若(t)是正交的，則相應(yīng)的濾波器h有什么性質(zhì)呢？ 若(t)是正交的，則相應(yīng)的濾波器hk必須滿足條件：1)0(1)()(22hhh(3.20)(3.21)但是，如果hk僅僅滿足(3.20)和(3.21) ，并不能保證由雙尺度方程構(gòu)造出的函數(shù)(t)是正交尺度函數(shù)。 (3.20)和(3.21) 稱為構(gòu)造正交小波的

22、。僅有必要條件是不夠的，即hkkZ除了滿足條件(3.20)和(3.21) 外，還應(yīng)滿足其他條件。S. Mallat4，W. Lawton6等都在這方面作出了重大的貢獻(xiàn)，并給出了一些有意義的結(jié)論。下面給出W. Lawton的充分條件。定理x2 設(shè)h()是FIR濾波器，若滿足1)0(1)()(22hhh 1,12)( 02)12)(12(1NjiNhhaAhhNkkijkijNNZkkjj，構(gòu)造矩陣，由定義若矩陣A的特征值1是非退化的，則(t-k)kZ是標(biāo)準(zhǔn)正交的。構(gòu)造緊支小波基 尋找滿足雙尺度方程(3.9)和(3.10)的濾波器hk,gkk0,1,N 利用公式(3.15)計(jì)算2周期函數(shù)h()；

23、驗(yàn)證h()是否滿足條件12)( jjh通過(guò)傅立葉反變換求出(t) 驗(yàn)證矩陣A的特征值1是否非退化； (t-k)kZ是正交的尺度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的緊支小波由公式(3.10)計(jì)算。 計(jì)算1)0(1)()(22hhh和 我們知道尺度函數(shù)和小波函數(shù)(t),(t)tR是在時(shí)域刻畫信號(hào)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)的濾波器h(),g()R從頻域上刻畫信號(hào)的性質(zhì)。實(shí)際上，(t),(t)t R大量的性質(zhì)都可以由對(duì)應(yīng)的h(),g()R從頻域上反映出來(lái)，甚至離散小波變換都可以借助濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此小波與濾波器具有緊密的關(guān)系。 若尺度函數(shù)(t)是正交的，則它所對(duì)應(yīng)的濾波器h()稱為h()滿足以下條件：0)(1)0(1)()(22hhhh濾

24、波器hkkZ稱為低通濾波器。所謂低通是指：當(dāng)信號(hào)f(t)被hkkZ作用后，其低頻成分能被保留下來(lái)，而高頻成分(=)卻被濾掉了。 對(duì)應(yīng)的小波濾波器g()也是也滿足條件1)()(22gg(3.22)另外，由于(t-k)kZ與(t-k)kZ分別是V0空間和W0空間的規(guī)范正交基，而V0W0，則0)(),(tkt0) 1() 1()()(:ghgh由此可導(dǎo)出(3.23)公式(3.23)反映了低通濾波器h()和高通濾波器g()之間的關(guān)系。S. Mallat4同時(shí)給出了這樣的結(jié)論：若高通濾波器g()滿足公式，則由公式22)( g產(chǎn)生的小波基(t-k)kZ構(gòu)成W0空間的規(guī)范正交基。因此當(dāng)尺度函數(shù)(t)已經(jīng)確定

25、時(shí)，只要能找到一個(gè)滿足公式(3.22)和(3.23)的g()，就一定能找到對(duì)應(yīng)的小波(t)，但是這樣的解并不是唯一的。例如可取)()(hegi(3.24)可以驗(yàn)證g()滿足(3.22)和(3.23)，對(duì)應(yīng)的共軛鏡像濾波器為：kkkhg11) 1(3.25)因此當(dāng)找到低通共軛鏡像濾波器hkkZ后，利用公式(3.25)馬上可得高通共軛鏡像濾波器gkkZ。在一個(gè)MRA下的正交尺度函數(shù)和小波函數(shù)(t),(t)tR，產(chǎn)生一組共軛鏡像濾波器h,g，滿足：0)()()()(1)()(1)()(2222ghghgghh(3.26)公式(3.26)還有幾個(gè)等價(jià)形式，下面以定理的形式給出。 設(shè)h,g是由正交尺度函

26、數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生的共軛鏡像濾波器，則以下幾個(gè)條件等價(jià)：q 在頻域上(3.26)式成立；q 在時(shí)域上以下公式成立：ZjkjjZjkkjjZjkkjjghZkgghh0 2220 ,20 ,2(3.27)q 定義調(diào)制矩陣：)()()()()(gghhm(3.28)則RmmT，1)()(3.29) L2(R) 空間的一個(gè)MRA產(chǎn)生了兩個(gè)子空間：尺度空間VjjZ和小波空間WjjZ。j,kj,kZ和j,kj,kZ 分別是兩個(gè)空間的規(guī)范正交基，信號(hào)f(t)L2(R) 在兩個(gè)空間上都可以做正交投影：ZkkjkjWZkkjkjVtttfftttffjj)()(),()()(),(,(3.30)信號(hào)在小波空間的

27、展開為ZjZkkjkjZjWtttfftfj)()(),()(,(3.31)但實(shí)踐中不可能進(jìn)行無(wú)窮次逼近，不妨設(shè)f(t)VJ，則因?yàn)?( 1112211JjWWWVWWVWVVJjjjJJJJJJ所以 JjjZkkjkjZkkjkjtttftttftf)()(),()()(),()(,表示從尺度2-J到2-j進(jìn)行了(J-j)次小波分解(jJ)實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以一次一次地進(jìn)行小波分解，然后遞推實(shí)現(xiàn)(J-j)次小波分解，不妨記一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為kjkjkjkjfdfc,nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVV, 1, 1, 11,1, 來(lái)表示：的一組基可由，則由于(3.32)2(

28、)22()(21)2()2(22,1, 1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj令而因?yàn)閐tkttktthk)2()()2(),(代入(3.32)式得故knnjkjhtt2, 1,21)(),()2(21212, 1, 12,knnhhnknjnnnjknkj令從而nknjnnknjnkjkjchtfhtfc2, 12, 1,21),(21),(我們得到如下的遞推公式：Znknjnkjchc2, 1,21(3.33)現(xiàn)在來(lái)求dj,k的遞推公式，nnjnjkjkjZnjnjjkjjjVVW, 1, 1, 11,1, 來(lái)表示：的一組基可由，則由于(3.34)2()22()(21)2()2

29、(22,1, 1,kttdtnkttdtntktjjjjnjkj令而因?yàn)閐tkttkttgk)2()()2(),(代入(3.34)式得)2(21 212, 1, 12,knnggnknjnnnjknkj令故knnjkjgtt2, 1,21)(),(從而nknjnnknjnkjkjcgtfgtfd2, 12, 1,21),(21),(我們得到如下的遞推公式：Znknjnkjcgd2, 1,21(3.35)通過(guò)公式(3.33)和(3.35)，可以很快計(jì)算出尺度系數(shù)和小波系數(shù)cj,k,dj,k，這就是著名的Mallat算法：因此，只要確定VJ空間的初始序列cJ,kkZ，就可以算出任意空間Vj(jJ)

30、的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù)。公式(3.33)和(3.35)稱為離散小波變換的分解公式。又由于Vj+1=VjWj， VjWj，因此Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基與Wj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基是相互正交的。它們共同構(gòu)成Vj+1上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則Vj+1上的函數(shù)j+1,nj,nZ可以由這兩個(gè)基共同表示：ZkkjkjnjZkkjkjnjnj, 1, 1, 1,有前面的計(jì)算可知：knkjnjknkjnjgh2, 12, 121,21,故ZkkjknZkkjknnjgh,2,2, 12121從而ZkkjknZkkjknZkkjknZkkjknnjnjdgchtfgtfhtfc,2,2,2,2, 1, 12121),(21),(2

31、1),(這就是Mallat重構(gòu)算法：小波的應(yīng)用1,4,8,9小波的應(yīng)用主要是信號(hào)的處理，其中最典型的應(yīng)用是小波圖象壓縮。另外，小波在諸如信號(hào)去噪、特征提取等多方面均有成功的應(yīng)用。下面以圖象去噪為例說(shuō)明小波應(yīng)用策略。小波的各種應(yīng)用均可分為以下三步：1）對(duì)原始信號(hào)作小波變換，將信號(hào)由空域變換到頻域；2）對(duì)小波系數(shù)做相應(yīng)處理；3）對(duì)處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，還原原信號(hào)。 因?yàn)樵肼曅盘?hào)多包含在具有較高頻率的細(xì)節(jié)中，所以小波去噪首先對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行小波分解，可利用門限閾值對(duì)所分解的小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行小波重構(gòu)，抑制圖像信號(hào)中的無(wú)用部分，恢復(fù)圖像信號(hào)中的有用部分。具體步驟為： 圖像信號(hào)的

32、小波分解：選擇合適的小波及恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟蜰，對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行N層的小波分解； 對(duì)分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化：對(duì)于分解的每一層，選擇恰當(dāng)?shù)拈撝?，?duì)該層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理； 重構(gòu)圖像：根據(jù)小波分解后的第N層近似的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)閾值量化處理后的細(xì)節(jié)高頻系數(shù)，重構(gòu)圖像。 參考文獻(xiàn)2 李弼程,彭天強(qiáng),彭波.智能圖像處理技術(shù),電子工業(yè)出版社,20043 I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: SIAM, 1992.4 S. Mallat. A wavelet tour of signal processing. Academic

33、Press, USA, 19985 S. Mallat, “A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation,” IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., vol.11, pp. 674693, 1989.6 W. Lawton. Tight frames of compactly supported wavelets, J. Math. Phys., 31: 18981901, 1990.7 I. Daubechies, J. C. Lagar

34、ias. Two-scale difference operations I: existence and glogal regularity of solutions, SIAM J. Math. Anal., 22: 13881410,1991.8 D. Donoho, “De-noising by soft-thresholding,” IEEE Trans. Inform.Theory, vol. 41, pp. 613627, 1995.9 B.JAWERTH,etc. “an overview of wavelet based multiresolution analyses,”

35、SIAM REVIEW,vol. 36,No.33,pp.377-412,September,1994.簡(jiǎn)單實(shí)例例 Fourier變換close all, clear all,t=0:0.001:1.3;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);f1=x+3.3*randn(1,length(t);subplot(121);plot(f1);xlabel(時(shí)間);ylabel(幅值);title(原始信號(hào));y=fft(f1,1024);p=y.*conj(y)/1024; f2=1000*(0:511)/1024;subplot(122); plot(f2,p(1:512);xlabel(頻率); ylabel(功率譜密度); title(信號(hào)功率) 例 連續(xù)小波變換 close all, clear all, t