第三章受約束回歸問題

1、第三章 受約束回歸問題n一、模型參數(shù)的線性約束一、模型參數(shù)的線性約束n 二、對回歸模型增加或減少解釋變量二、對回歸模型增加或減少解釋變量n 三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗n 四、非線性約束四、非線性約束6/12/2022受約束回歸n在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需要對在建立回歸模型時，有時根據(jù)經(jīng)濟理論需要對模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。n例如：需求函數(shù)的例如：需求函數(shù)的0階齊次性階齊次性條件：條件：當所有商品和當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變持不變 。n生產(chǎn)函數(shù)的生產(chǎn)函數(shù)的

2、1階齊次性條件：階齊次性條件：+=1n模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回模型施加約束條件后進行回歸，稱為受約束回歸（歸（restricted regression）;n未加任何約束的回歸稱為無約束回歸未加任何約束的回歸稱為無約束回歸（unrestricted regression）。）。6/12/2022一、模型參數(shù)的線性約束n多元回歸模型多元回歸模型:6/12/2022kkXXXY22110施加約束:121kk1得:*11121110)1 (kkkkXXXXY或:*1133*110*kkXXXY(1)(2)6/12/2022如果對（2）式回歸得出:1310,k則由約束條件可得：1211

3、kk 然而，對所研究的具體問題然而，對所研究的具體問題能否施加約束？能否施加約束？需需進一步進行相應的檢驗。進一步進行相應的檢驗。常用的檢驗有常用的檢驗有：F檢驗、檢驗、x2檢驗與檢驗與t檢驗。檢驗。F檢驗檢驗n在同一樣本下，記在同一樣本下，記無約束無約束樣本回歸模型為樣本回歸模型為: :6/12/2022eXY受約束受約束樣本回歸模型為:*eXY于是:)X(eXeXXYe*6/12/2022 受約束受約束樣本回歸模型的殘差平方和：殘差平方和：RSSR)X(X)(eeee*于是eeee*ee為無約束無約束樣本回歸模型的殘差平方和殘差平方和：RSSU(3)受約束受約束與無約束無約束模型都有相同的

4、總離差平方相同的總離差平方和和TSS（因為受約束（因為受約束與無約束無約束模型都有相同的被解釋變量和樣本） 這意味著，通常情況下，對模型施加約束條通常情況下，對模型施加約束條件會降低模型的解釋能力件會降低模型的解釋能力。（模型的擬合優(yōu)度（模型的擬合優(yōu)度=回歸平方和回歸平方和/總平方和總平方和) 但是，如果約束條件為真但是，如果約束條件為真，則受約束回歸則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同或者近似的解模型與無約束回歸模型具有相同或者近似的解釋能力，釋能力，RSSR 與與 RSSU的差異變小的差異變小。6/12/2022由（3）式 RSSR RSSU從而 ESSR ESSU（ESS為回歸平方和

5、）為回歸平方和）6/12/2022可用二者的差可用二者的差: :RSSRSSR R - - RSSRSSU U的大小來檢驗約的大小來檢驗約束的真實性束的真實性 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學的知識：) 1(/22UUknRSS) 1(/22RRknRSS)(/ )(22RUURkkRSSRSS其中kU為無約束模型解釋變量個數(shù)， kR為受約束模型解釋變量個數(shù)，于是：) 1,() 1/()/()(URUUURUURknkkFknRSSkkRSSRSSF結(jié)論結(jié)論n如果約束條件無效，如果約束條件無效， RSSR 與與 RSSU的差異的差異較大，計算的較大，計算的F值也較大。值也較大。n于是，可用計算的于是，可用計算的

6、F統(tǒng)計量的值與所給定的統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進行檢驗。件的真實性進行檢驗。n注意注意，kU - kR恰為參數(shù)關(guān)系約束條件的個數(shù)恰為參數(shù)關(guān)系約束條件的個數(shù)。6/12/2022模型參數(shù)約束回歸案例 例例3.1 建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。6/12/2022 根據(jù)需求理論，城鎮(zhèn)居民對食品的消費需根據(jù)需求理論，城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求函數(shù)大致為求函數(shù)大致為: : ),(01PPXfQ Q: :城鎮(zhèn)居民的食品支出總額，城鎮(zhèn)居民的食品支出總額，X：城鎮(zhèn)居民的消費城鎮(zhèn)居民的消費支出

7、總額支出總額, ,P1：食品價格指數(shù)，：食品價格指數(shù)，P0：居民消費價格：居民消費價格指數(shù)。指數(shù)。 (4)6/12/2022 零階齊次性零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變。 )/,/(010PPPXfQ (5)為了進行比較，將同時估計（為了進行比較，將同時估計（4 4）式與（）式與（5 5）式。）式。 6/12/2022 根據(jù)根據(jù)恩格爾定律恩格爾定律，居民對，居民對食品的消費支出食品的消費支出與與居民的居民的總支出總支出間呈間呈冪函數(shù)冪函數(shù)的變化關(guān)系的變化關(guān)系: : 首先首先, ,確定具體的函數(shù)形式確定具體的函數(shù)形式32101PPAXQ 對上式進行對數(shù)變

8、換，得到: 031210lnlnln)ln(PPXQ(6)6/12/2022考慮到零階齊次性零階齊次性時時)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(7)式相當于是對（6）式施加如下約束而得:0321因此，對（對（7 7）式進行回歸，就意味著原需求函）式進行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件數(shù)滿足零階齊次性條件。(7)6/12/2022表表 3.5.1 中中國國城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民消消費費支支出出（元元）及及價價格格指指數(shù)數(shù) X (當年價) X1 (當年價) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年價) Q (1990年價) P0 (1990=100) P

9、1 (1990=100) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2

10、 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.

11、7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100

12、.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數(shù)FP：居民食品消費價格指數(shù)XC：人均消費（9

13、0年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數(shù)（1990=100）P1：居民食品消費價格縮減指數(shù)（1990=1006/12/20222004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中國國城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民人人均均食食品品消消費費 特征：特征：消費行為在19811995 年間表現(xiàn)出較強的一致性；1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動特征。 因此：我們只建立因此：我們只建立19811994年中國城年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型。需求模型。n各變量的彈性之和各變量的彈性之和 ，比較接，比較接近于零，但不為零。近

14、于零，但不為零。6/12/2022建立建立19811994年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型需求模型: (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 5.00321)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ6/12/2022按按零階齊次性零階齊次性表達式回歸表達式回歸: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ （75.86）(52.66) (-3.62) 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3ln

15、PPXPPPXQ6/12/2022)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ln(01PPXQ與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。性特征。為了比較，改寫該式為： 零階齊次性檢驗零階齊次性檢驗6/12/2022 例例1.11.1 中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求實例中，對零階齊次性零階齊次性檢驗： 231. 010/003240. 01/ )003240. 0003315. 0(F 無約束回歸:RSSU=0.00324， kU=3 受約束回歸:RSSR=0.00332， KR=2 樣本容量n=14， 約束條件個數(shù) kU - kR

16、=3-2=1取取 =5%=5%，查得臨界值，查得臨界值F F0.050.05(1,10)=4.96(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費結(jié)論：不能拒絕中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設。6/12/2022說明：說明： 這里的這里的F F檢驗適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗檢驗適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗 例1.2 生產(chǎn)函數(shù)的一階齊次性檢驗6/12/202221 生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學形式為 LAKQ 10,10 在最初提出的C-D生產(chǎn)函數(shù)中，假定參數(shù)滿足 + =1 ，也就是假定研究對象滿足規(guī)模報酬不變條件。 LAKLA

17、KLKA)()( Q 為產(chǎn)出，K 為資本投入，L 為勞動力投入。很容易推出參數(shù) , 分別是資本和勞動的產(chǎn)出彈性。那么由產(chǎn)出彈性的經(jīng)濟意義，應該有 , 即當資本與勞動的數(shù)量同時增長倍時，產(chǎn)出量也增長 倍。1937年，提出了C-D生產(chǎn)函數(shù)的改進型，即取消了 + =1 的假定，允許要素的產(chǎn)出彈性之和大于1或小于1。 6/12/202222uKLAQlogloglog Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)估計形式如下： 利用美國主要金屬工業(yè)企業(yè)的數(shù)據(jù)（27個企業(yè)的數(shù)據(jù)），C-D生產(chǎn)函數(shù)估計結(jié)果如下（Eviews輸出結(jié)果）： 6/12/202223 從結(jié)果看LogL和logK的系數(shù)和小于1，但為確定這種差異

18、是統(tǒng)計顯著的，常進行有約束的Wald系數(shù)檢驗、F檢驗。選擇View/Coefficient Tests/Wald-Coefficient Restrictions，在編輯對話框中輸入約束條件。為檢驗 + =1 的規(guī)模報酬不變的假設，輸入下列約束： c(2) + c(3) = 1EViews顯示W(wǎng)ald檢驗如下結(jié)果（）： EViews顯示F統(tǒng)計量和 2 統(tǒng)計量及相應的P值。2 統(tǒng)計量等于F 統(tǒng)計量乘以檢驗約束條件數(shù)。本例中，僅有一個約束條件，所以這兩個檢驗統(tǒng)計量等價。它們的P值表明可以接受規(guī)模報酬不變的原假設值表明可以接受規(guī)模報酬不變的原假設。 二、對回歸模型增加或減少解釋變量二、對回歸模型增加

19、或減少解釋變量考慮如下兩個回歸模型考慮如下兩個回歸模型6/12/2022kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(8)(9)(8)式可看成是（9）式的受約束回歸：受約束回歸：H0：021qkkk6/12/2022相應的統(tǒng)計量為：)1(,()1(/(/ )()1(/(/ )(qknqFqknRSSqESSESSqknRSSqRSSRSSFURUUUR )1(/()1 (/ )(222qknRqRRFURU 將上式分子和分母同時除以將上式分子和分母同時除以TSS,得到得到統(tǒng)統(tǒng)計量的另一個等價式：計量的另一個等價式：6/12/2022 如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, , Xk+

20、q對沒有解釋能力，則統(tǒng)計量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對有較強的解釋能力，則統(tǒng)計量較大。 因此，可通過F統(tǒng)計量的計算值計算值與臨界值臨界值的比較，來判斷額外變量是否應包括在模型中。結(jié)論：結(jié)論： 檢驗若干線性約束條件是否成立的檢驗若干線性約束條件是否成立的F 檢驗檢驗 例例11.111.1：建立中國國債發(fā)行額模型：建立中國國債發(fā)行額模型選擇選擇3個解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值，財政赤字額，年還本付息額，根據(jù)散點個解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值，財政赤字額，年還本付息額，根據(jù)散點圖建立中國國債發(fā)行額模型如下：圖建立中國國債發(fā)行額模型如下： DEBTt = 0 + 1 GDPt + 2 DEFt

21、+ 3 REPAYt + ut其中其中DEBTt表示國債發(fā)行總額（單位：億元），表示國債發(fā)行總額（單位：億元），GDPt表示年國內(nèi)生產(chǎn)總值表示年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：百億元），（單位：百億元），DEFt表示年財政赤字額（單位：億元），表示年財政赤字額（單位：億元），REPAYt表示表示年還本付息額（單位：億元）。年還本付息額（單位：億元）。01000200030004000500002004006008001000GDPDEBT010002000300040005000-10000100020003000DEFDEBT010002000300040005000050010001500200025

22、00REPAYDEBT 例例11.111.1：建立中國國債發(fā)行額模型：建立中國國債發(fā)行額模型EViews可以有三種途徑完成上述可以有三種途徑完成上述F檢驗。檢驗。（1）在輸出結(jié)果窗口中點擊）在輸出結(jié)果窗口中點擊View，選，選Coefficient Tests, Wald Coefficient Restrictions功能（功能（Wald參數(shù)約束檢驗），在隨后彈出的對話框中填入?yún)?shù)約束檢驗），在隨后彈出的對話框中填入c(3) = c(4) = 0?？傻萌缦陆Y(jié)果。其中?？傻萌缦陆Y(jié)果。其中F = 537.5。例例11.111.1：建立中國國債發(fā)行額模型：建立中國國債發(fā)行額模型 （第（第3版版25

23、6頁）頁）例例11.111.1：建立中國國債發(fā)行額模型：建立中國國債發(fā)行額模型三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗6/12/20221 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(Chow Test(Chow Test，鄒檢驗，鄒檢驗) ) 建立模型時往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變結(jié)構(gòu)不變，這將提高模型的預測與分析功能。如何檢驗？如何檢驗？ 假設需要建立的模型需要建立的模型為kkXXY110在兩個連續(xù)的時間序列（1,2,，n1）與（n1+1,，n1+n2）中，相應的模型分別為：1110kkXXY2110kkXXY6/12/2022 合并兩個時間序列為( 1,2,，n1 ，n1+1,，

24、n1+n2 )，則可寫出如下無約束回歸無約束回歸模型212121X00XYY 如果 = ，表示沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對如下假設進行檢驗： H0: = (10)式施加上述約束后變換為受約束回歸受約束回歸模型(10)212121XXYY（11）6/12/2022因此，檢驗的F統(tǒng)計量為： 記RSS1與RSS2為在兩時間段上分別回歸后所得的殘差平方和。容易證明：21RSSRSSRSSU于是)1(2,)1(2/ )(2121knnFknnRSSk+1RSSRSSFUUR)1(2,)1(2/)(/)(21212121knnK+1FknnRSSRSSk+1RSSRSSRSSFRK+1參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟

25、參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗步驟（1 1）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，）分別以兩連續(xù)時間序列作為兩個樣本進行回歸，得到相應的殘差平方：得到相應的殘差平方： RSSRSS1 1與與RSSRSS2 2 （2 2）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大）將兩序列并為一個大樣本后進行回歸，得到大樣本下的殘差平方和樣本下的殘差平方和RSSRSSR R（施加相等約束）（施加相等約束）（3）計算計算F F統(tǒng)計量的值，與臨界值比較統(tǒng)計量的值，與臨界值比較： 若若F值大于大于臨界值，則拒絕原假設，認為發(fā)生了結(jié)則拒絕原假設，認為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。 該檢驗也被稱為該檢驗也被稱為

26、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗，簡稱鄒檢驗（Chow test for parameter stability）。6/12/2022 6/12/2022 例例1.3 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒檢驗。 表表 3.5.1 中中國國城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民消消費費支支出出（元元）及及價價格格指指數(shù)數(shù) X (當年價) X1 (當年價) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年價) Q (1990年價) P0 (1990=100) P1 (1990=100) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.

27、1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1

28、104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694

29、.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 11

30、7.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數(shù)FP：居民食品消費價格指數(shù)XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數(shù)（1990=100）P1：居民食品消費價格縮減指數(shù)（1990=1006/12/2022 1. 參數(shù)

31、穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗19811994：)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQRSS1=0.003240 19952001：01ln71. 0ln06. 3ln55. 078.13lnPPXQ (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 6/12/202219812001: 01ln39. 1ln14. 0ln21. 100. 5lnPPXQ (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.1834.10)821/()000058. 0003240. 0(4/)

32、0000580. 0003240. 0(013789. 0F6/12/2022 結(jié)論：結(jié)論：F F值值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在表明中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求在19941994年前年前后發(fā)生了顯著變化。后發(fā)生了顯著變化。 6/12/20222 2、預測檢驗、預測檢驗 上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗要求n2k。（k為自變量個數(shù)） 如果出現(xiàn)n2F(nFF(n2 2, n, n1 1-k-1)-k-1) ，則拒絕原假設，認為預測期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。6/12/20222、鄒氏預測鄒氏預測檢驗檢驗65. 4) 1314/(003240. 07/

33、)003240. 0013789. 0(F給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18 結(jié)論結(jié)論： F F值值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設 例例1.3 中國城鎮(zhèn)居民食品人均消費需求的鄒檢驗。 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表參數(shù)穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗全部樣本估計全部樣本估計參數(shù)穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗選擇選擇Chow檢驗檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗選擇突變點選擇突變點參數(shù)穩(wěn)定性檢驗參數(shù)穩(wěn)定性檢驗檢驗檢驗在在5%的顯著性水平下，自由度為（的顯著性水平下，自由度為（4，13）的）的F分布的臨界值為分布的臨界值為3.18，可見計，可見計算的算

34、的F值遠大于臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的值遠大于臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設，表明中國城鎮(zhèn)居民對食品的人原假設，表明中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求行為在均消費需求行為在1995年前后發(fā)生了顯年前后發(fā)生了顯著變化。著變化。 6/12/202252 中國1978年2006年的數(shù)據(jù)建立的居民消費方程： const= 449.07+ 0.734*inct+ t (8.64) (126.1) R2 = 0.998 D.W.=0.53其中: cons 是居民消費；inc 是可支配收入。方程中c0 = 449.07代表自發(fā)消費，表示收入等于零時的消費水平；而c1= 0.734代表了邊際消費傾向，0c1 2(2)

35、 = 5.99，所以，所以推翻原假設推翻原假設。結(jié)論是。結(jié)論是不能從模型中不能從模型中 刪除刪除解釋解釋變量變量DEFt和和 REPAYt。檢驗檢驗結(jié)果結(jié)果與上面的與上面的F 檢驗結(jié)論相一致。檢驗結(jié)論相一致。 似然比（似然比（LR）檢驗）檢驗6/12/2022 在中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費需求例中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費需求例中，對零零階齊次性階齊次性的檢驗： LR= -2(38.57-38.73)=0.32 給出=5%、查得臨界值臨界值 2 20.05(1)(1)3.84， LR 2 20.05(1),不拒絕原約束的假設， 結(jié)論結(jié)論: :中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均消費需求函中國城鎮(zhèn)居民對食品的人均

36、消費需求函數(shù)滿足零階齊次性條件數(shù)滿足零階齊次性條件。 2、沃爾德（Wald）檢驗n在實踐中似然比檢驗的缺點是在實踐中似然比檢驗的缺點是n需要估計約束和無約束參數(shù)向量，既要進行約束回歸，需要估計約束和無約束參數(shù)向量，既要進行約束回歸，又要進行無約束回歸。又要進行無約束回歸。n如果模型結(jié)構(gòu)比較復雜，其估計值可能很難計算。如果模型結(jié)構(gòu)比較復雜，其估計值可能很難計算。n兩個可供選擇的方法兩個可供選擇的方法n沃爾德檢驗（沃爾德檢驗（Wald Test)Wald Test)和拉格朗日乘數(shù)檢驗，可以和拉格朗日乘數(shù)檢驗，可以解決這個問題。解決這個問題。n這兩個檢驗這兩個檢驗只需要估計約束和無約束參數(shù)向量之一只

37、需要估計約束和無約束參數(shù)向量之一。 、沃爾德檢驗（、沃爾德檢驗（Wald test, W） n沃爾德檢驗是由沃爾德沃爾德檢驗是由沃爾德1943年提出來的，年提出來的，F(xiàn)檢驗和似然比檢驗和似然比LR檢驗都需要估計約束模檢驗都需要估計約束模型和無約束模型兩個模型。型和無約束模型兩個模型。n沃爾德檢驗只需要估計一個沃爾德檢驗只需要估計一個無約束模型無約束模型。n沃爾德檢驗既適用于線性參數(shù)約束，又適沃爾德檢驗既適用于線性參數(shù)約束，又適用于非線性參數(shù)約束。用于非線性參數(shù)約束。6/12/202264n 設設 是在無約束情況下得到的參數(shù)估計值向量，是在無約束情況下得到的參數(shù)估計值向量，要檢驗的原假設為：要檢

38、驗的原假設為：n 若約束條件成立，則至少若約束條件成立，則至少 應該近似地滿足約應該近似地滿足約束條件。如果原假設是錯的，則束條件。如果原假設是錯的，則 應該顯應該顯著地不等于著地不等于0。W檢驗就是遵循這個思路構(gòu)建的。檢驗就是遵循這個思路構(gòu)建的。n W統(tǒng)計量：統(tǒng)計量： n 成立和大樣本的情況下，成立和大樣本的情況下，W服從自由度為約束服從自由度為約束條件個數(shù)的條件個數(shù)的 分布。分布。 其中其中0H : ( )cg( )cg1 ( ) ( ) ( )WcVar ccggg0H2( )( )( ( )( )()ccVar cVarn 需注意的是，需注意的是，W統(tǒng)計量僅需要統(tǒng)計量僅需要無約束模型無

39、約束模型的計的計算，但仍需要計算協(xié)方差矩陣，其估計值由下式算，但仍需要計算協(xié)方差矩陣，其估計值由下式給出：給出： 其中其中 表示估計。是一個表示估計。是一個 矩陣，矩陣，J是約是約束條件的個數(shù)，束條件的個數(shù)，K是待估計參數(shù)的個數(shù)，它的第是待估計參數(shù)的個數(shù)，它的第j行是第行是第j個約束關(guān)于個約束關(guān)于 的第的第k個元素的導數(shù)。個元素的導數(shù)。 .( ( ).EstVar cEstVargCC( )cC.EstCJK、沃爾德檢驗（Wald test）例 沃爾德檢驗中，只須估計沃爾德檢驗中，只須估計無約束模型無約束模型。如對。如對6/12/2022kkXXXY22110 在所有經(jīng)典假設都成立的條件下，容

40、易證明 ),(2212121N6/12/2022因此，在1+2=1的約束條件下: )1 , 0(12121Nz記)(2221Xf可建立沃爾德統(tǒng)計量沃爾德統(tǒng)計量:) 1 () 1(2222121W沃爾德（沃爾德（Wald）檢驗）檢驗（第（第3版版261頁）頁）沃爾德（沃爾德（Wald）檢驗）檢驗（第（第3版版262頁）頁）3、拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗n 拉格朗日乘數(shù)（拉格朗日乘數(shù)（LMLM）檢驗基于）檢驗基于受約束模型受約束模型，只，只需估計需估計受約束模型受約束模型，無需估計無約束模型。，無需估計無約束模型。（第（第3版第版第265頁）頁）拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LM）檢驗）檢驗（第（第3

41、版版265頁）頁）11.6 拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LM）檢驗）檢驗（第（第3版版266頁）頁）11.6 拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LM）檢驗）檢驗（第（第3版版267頁）頁）11.6 拉格朗日乘子（拉格朗日乘子（LM）檢驗）檢驗4、實際應用中三種檢驗法的選擇 n實際應用中在實際應用中在LRLR、W W和和LMLM的選擇上，計算成本往的選擇上，計算成本往往起著關(guān)鍵作用。往起著關(guān)鍵作用。n計算計算LRLR統(tǒng)計量，統(tǒng)計量， 的約束和無約束估計值都要計的約束和無約束估計值都要計算，如果二者都不難計算，則算，如果二者都不難計算，則LRLR檢驗是三種檢驗檢驗是三種檢驗中最具吸引力的。中最具吸引力的。n計算計算W統(tǒng)計量僅需要統(tǒng)計量僅需要無約束估計值無約束估計值。如果約束估。如果約束估