工程力學單輝祖-第三章力偶系

1、2FF力偶力偶：大小相等、方向相反且作用線不重合的兩個力組成：大小相等、方向相反且作用線不重合的兩個力組成的力系叫力偶。的力系叫力偶。用用 （F，F(xiàn)）表示）表示d力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂力偶系力偶系：作用在剛體上的一群力偶。：作用在剛體上的一群力偶。力偶的作用效應力偶的作用效應：使剛體轉動（由兩個力共同作用引起）。：使剛體轉動（由兩個力共同作用引起）。-取決于力的大小、方向；取決于力的大小、方向；-取決于力矩的大小、方向。取決于力矩的大小、方向。力的作用效應力的作用效應：331 力對點之矩力對點之矩32 力對軸之矩力對軸之矩33 力偶矩矢力偶矩矢34 力偶的等效條件和性質力偶的等效

2、條件和性質35 力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡 第三章第三章 力偶系力偶系431 力對點之矩矢力對點之矩矢一、平面中力對點之矩一、平面中力對點之矩OFABh力臂力臂矩心矩心FhFMO )( 平面內力對點之矩是代數(shù)量（平面內力對點之矩是代數(shù)量（N.mN.m），不僅與力的大小有關，且與矩心位置有關。），不僅與力的大小有關，且與矩心位置有關。 當當F=0 =0 或或 h=0 =0 時，時， =0=0。)(FMO說明：說明： 力對點之矩不因力的作用線移動而改變。力對點之矩不因力的作用線移動而改變。 互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零?；コ善胶獾膬蓚€力對同一點之矩的代數(shù)和為零。ABOOSFM

3、 2)(531 力對點之矩力對點之矩二、力對點之矩矢二、力對點之矩矢OFABhFrFMO )(ABOOSFhFM 2)()(FMOrv 力對點之矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量力對點之矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積（力始點相對于矩心的矢量與力矢量的矢量積）。積（力始點相對于矩心的矢量與力矢量的矢量積）。v 力對點之矩矢是過矩心力對點之矩矢是過矩心O的定位矢量（是力使剛體繞某點的定位矢量（是力使剛體繞某點轉動效應的度量）。轉動效應的度量）。v 力對點之矩矢服從矢量的合成法則。力對點之矩矢服從矢量的合成法則。力力F對剛體產生繞對剛體產生繞O點轉動效應取決于：點轉動效應取決于

4、：轉動效應的強度轉動效應的強度:力矩的大小（力矩的大?。‵.h）轉動軸的方位（力轉動軸的方位（力F與矩心與矩心O所在平面法向）所在平面法向）使剛體繞轉動軸轉動的方向使剛體繞轉動軸轉動的方向（矢量的指向按右手規(guī)則確定）（矢量的指向按右手規(guī)則確定）631 力對點之矩矢力對點之矩矢二、力對點的矩矢二、力對點的矩矢FrFMO)(kFjFiFFzyxkzj yi xrzyxOFFFzyxkjiFrFM)(kyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(xxyyzzFAFxiFyjFzkOxyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFM)( ,)( ,)(r7因此，得力對點之矩矢在坐標軸

5、上的投影表達式為：因此，得力對點之矩矢在坐標軸上的投影表達式為：3、力對點之矩矢的基本性質、力對點之矩矢的基本性質力對點之矩矢服從矢量合成法則力對點之矩矢服從矢量合成法則 實踐表明：實踐表明：作用于剛體上的二力對剛體產生的繞任一點的作用于剛體上的二力對剛體產生的繞任一點的轉動效應，可以用該點的一個矩矢來度量，這個矩矢等于二力轉動效應，可以用該點的一個矩矢來度量，這個矩矢等于二力分別對該點之矩矢的矢量和。分別對該點之矩矢的矢量和。831 力對點之矩矢力對點之矩矢三、合力矩定理三、合力矩定理合力對任一點之矩矢，等于所有各分力對同一點之合力對任一點之矩矢，等于所有各分力對同一點之矩矢的矢量和（平面力

6、系內為代數(shù)和）。矩矢的矢量和（平面力系內為代數(shù)和）。已知：力系（已知：力系（F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成為一個合力）可以合成為一個合力FRiRFF則：則：)()(iOROFMFM平面力系：平面力系：)()(iOROFMFM9FFxFyOxyxy)()()(yOxOOFMFMFMxyyFxF nRFFFF21nixiiyiiROFyFxFM1)()(jFiFFyxi 平面內力矩的解析表達式平面內力矩的解析表達式10 解解：用力對點的矩法：用力對點的矩法例例1 已知：如圖已知：如圖 F、Q、l, 求：求： 和和)(FMO)(QMO sin)(lFdFFMOlQQMO)( cot)(

7、 lFlFFMyxOlQQMo)(應用合力矩定理應用合力矩定理 cotcossin)( lFlFFMO sin)(FlFMO11 解解：例例2 已知：如圖已知：如圖 F、R、r, , 求：求： )(FMA)()()(yAxAAFMFMFM應用合力矩定理應用合力矩定理ARFr FxFy sin)cos()(rFrRFFMyxA sinsin)cos(cos)(rFrRFFMAFrRFFMA cos)(12 解解：例例3 已知：如圖已知：如圖 q、l, 求：合力的大小和作用線位置。求：合力的大小和作用線位置。xqdxQxQMlCA0)(xClABqQ=qlCxdxqdx22qlqlxC 2lxC

8、13 解解：例例4 已知：如圖已知：如圖 q、l, 求：合力的大小和作用線位置。求：合力的大小和作用線位置。 ldxqQ0 xClABqQCxdxqdx32202qldxxlqxqllC 32lxC xdxqQxQMlCA0)( lxdxlq02qlQ 143-2 3-2 力對軸之矩力對軸之矩一、力對軸之矩的概念與計算一、力對軸之矩的概念與計算 力對軸之矩代數(shù)量的正負號力對軸之矩代數(shù)量的正負號3-2 力對軸之矩1. 力對軸之矩的概念力對軸之矩的概念力對軸之矩：力對軸之矩：力在垂直于該軸平面上的投影對軸與平面交點之矩。力在垂直于該軸平面上的投影對軸與平面交點之矩。力對軸之矩是力對軸之矩是代數(shù)量代

9、數(shù)量，正負號按右手規(guī)則確定。正負號按右手規(guī)則確定。2. 力對坐標軸之矩力對坐標軸之矩3. 力對點之矩與力對軸之矩的關系力對點之矩與力對軸之矩的關系 所以所以 FA = FB = M / d FA = FB即即 M + FAd = 0所以所以BlAM2M1M3FAFBDM1M2BDM2FDFOFABOM1ABODM1M2A已知：已知：F、a、b、，試求試求：MO（F）。解：利用力矩關系解：利用力矩關系解：解：(2) (2) 直接計算直接計算29例例4 已知：已知：P=2000N, C點在點在Oxy平面內。平面內。 求：力求：力P 對三個坐標軸的矩。對三個坐標軸的矩。 45sinPPz解：解： 4

10、5cosPPxy 60sin45cosPPx 60cos45cosPPy)()()()(zzyzxzzPMPMPMPM 60cos45cos560sin45cos6PPxP 60)5( yP)mN(2 .38 30zzxyxxxxPPMPMPMPM600)()()()()()()()(zyyyxyyPMPMPMPMzP500 45sin5P)mN(7 .70 )mN(8 .8445sin6 P3133 力偶矩矢力偶矩矢一、力偶效應的度量一、力偶效應的度量xyzOAFBF 設在剛體上作用有力偶（設在剛體上作用有力偶（F，F(xiàn) ），），現(xiàn)研究它對現(xiàn)研究它對O點的轉動效應。點的轉動效應。 力偶（力偶（

11、F，F(xiàn) ）對）對O點的轉動效應可點的轉動效應可用一矩矢用一矩矢 M 來度量。來度量。)()(FMFMMOOFOBOAFOBFOAFOBFOAMFBAMM力偶矩矢力偶矩矢v 力偶矩矢力偶矩矢 M 與與O點位置點位置無關，無關，是自由矢量。是自由矢量。v 力偶矩矢由其模、方位力偶矩矢由其模、方位和指向確定。和指向確定。3233 力偶矩矢力偶矩矢二、力偶矩矢的確定二、力偶矩矢的確定xyzOAFBFFBAMM力偶矩矢力偶矩矢d力偶矩矢的模（大?。毫ε季厥傅哪＃ù笮。篎dFBAM力偶矩矢的方位：力偶矩矢的方位：沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）力偶矩

12、矢的指向：力偶矩矢的指向：按右手法則確定（表示力偶的轉向）按右手法則確定（表示力偶的轉向）力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和轉向。力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和轉向。力偶矩的大小、力偶的轉向、力偶的作用平面稱為平面力偶的三要素平面力偶的三要素。 33三、平面力偶（代數(shù)量）三、平面力偶（代數(shù)量）FFd力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂平面力偶對物體的作用效應取決于： 力偶矩的大?。?力偶在作用面內的轉向 +四、空間力偶（矢量）四、空間力偶（矢量）xyzMM iM jM k 力偶矩的大小、力偶的轉向、力偶的作用平面稱為平面力偶的三要素平面力偶的三要素。 3434 力偶

13、的等效條件和性質力偶的等效條件和性質一、力偶的等效條件一、力偶的等效條件xyzOAFBFM力偶矩矢力偶矩矢d性質性質1：力偶無合力，本身又不平衡，是一個基本力學量。力偶無合力，本身又不平衡，是一個基本力學量。兩個力偶等效兩個力偶等效力偶矩矢相等力偶矩矢相等二、力偶的性質二、力偶的性質35力偶中兩個力在任意坐標軸上投影之代數(shù)和為零。力偶中兩個力在任意坐標軸上投影之代數(shù)和為零。力偶中兩力對任一點取矩之和恒等于力偶矩，而與力偶中兩力對任一點取矩之和恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關。矩心的位置無關。性質性質4：力偶可以在其作用面內任意移動或轉動，或移到另力偶可以在其作用面內任意移動或轉動，或移到另一平

14、行平面，而不影響它對剛體的作用效應。一平行平面，而不影響它對剛體的作用效應。FFMFFMFFM366N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm性質性質5：只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。剛體的作用效應。3721 MM 、21 MMM合合力力偶偶矩矩矢矢3-53-5 力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡設有兩個力偶設有兩個力偶 由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移動，故可將其由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移動，故可將其按照矢量

15、合成的方法進行合成。按照矢量合成的方法進行合成。21 MMAB21 MMABM一、力偶系的合成一、力偶系的合成38niinRMMMMM121 合合力力偶偶矩矩矢矢：對于對于 n 個個力偶組成的力偶系：力偶組成的力偶系：對于對于 n 個個力偶組成的平面力偶系：力偶組成的平面力偶系：niiRMM1 合合力力偶偶矩矩： 平面力偶系合成結果是一個合力偶平面力偶系合成結果是一個合力偶, ,其力偶矩為各力偶其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和矩的代數(shù)和。一、力偶系的合成一、力偶系的合成39力偶系平衡的充要條件是力偶系平衡的充要條件是: : 合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零。合力偶矩矢等于零，即所有各

16、力偶矩矢的矢量和等于零。 即01niiM 平面力偶系平衡的充要條件是平面力偶系平衡的充要條件是: : 合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。 0 1niiRMM000 zyxMMM力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程二、力偶系的平衡二、力偶系的平衡40 例例5 5 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件, ,在工件上同時鉆四個等直徑在工件上同時鉆四個等直徑 的孔的孔, ,每個鉆頭的力偶矩為每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321 mmmm4321mmmmM 解解: : 各力偶的合力偶距為各力偶的合力偶距為mN60)15(4 niiMM14102 . 04321 mmmmNBN3002 . 060 BNN 300 BANN根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能與力偶平衡的性由力偶只能與力偶平衡的性質，力質，力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。01niiM42 例例6 6 已知：已知：M11kNm，l1m， 求平衡時求