微分幾何24直紋面與可展曲面

1、第四節(jié) 直紋面與可展曲面1、定義：由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面。直線為直母線。例如柱面，錐面，單葉雙曲面，正螺面等。 與直紋面上所有直母線相交的曲線叫直紋面的導(dǎo)線。2、直紋面的方程（1）設(shè)導(dǎo)線為 ， 是過導(dǎo)線上一點(diǎn) 處的直母線上的單位向量，則有：其中直紋面上一點(diǎn) P 到導(dǎo)線上的點(diǎn) 的距離為v。)(: )(uaac)(ub)(ua)()(ubvuar)(ua)(ub)(ua)(co（2）坐標(biāo)曲線v-曲線， 為直母線；u-曲線， 為與導(dǎo)線平行的曲線。 )()(00ubvuar)()(0ubvuar4、1 直紋面 (3)幾種特殊的直紋面 為常向量，任意母線的方向不變，為柱面。 為常向量，任意母線

2、過一定點(diǎn)，為錐面。 為導(dǎo)線上的切向量，為一空間曲線的切線曲面0)(bub0)(aua)(ub 3、直紋面的法向量與高斯曲率 ,)()(ubvuaru)(ubrv)()(ubvuar（1）由 得 ,)()()(bbvbaububvuarrvu （2）當(dāng) P 點(diǎn)在直紋面的一條直母線上移動(dòng)時(shí)，u不變，v變，法向量變化如下： a) ，法向量改變方向. b) ，法向量不改變方向， 即沿一條直母線有相同的法向量或切平面。0),(bba，bbba即不平行0),(/bba，bbba即（3）高斯曲率 由,)()(ubvuaru)(ubrv,)()(ubvuaruu 0vvr),(ubruv. 0,),()(22

3、nrNFEGbbaFEGbbanrMvvuv2222222)(),(FEGbbaFEGMFEGMLNK 因此對于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。0),(bba0),(bba 另外注意到直紋面上有直線，即直母線，則一定是直紋面的漸近線，即直紋面上的漸近曲線。 4、腰曲線rMl)(ub)(ua)(co)(uua)(uubrrMl定義:如圖M， 為直母線 l , 的公垂線，當(dāng)垂足M沿直母線 l 趨向于極限位置M0，稱為直母線 l上的腰點(diǎn)。腰點(diǎn)的軌跡為腰曲線。它的表示為Ml0u)()(2ubbbauar 特別地，當(dāng)取腰曲線為導(dǎo)線時(shí)，上式中的向徑 就是 ，因此有 ，即它們垂直。 r)(u

4、a0 ba二、可展曲面1、定義：稱滿足 的直紋面為可展曲面。 由前面的結(jié)論可知，這是情形（2），它沿一條直母線有同一個(gè)切平面，或沿一條直母線有同一法向量，因此，可展曲面是沿一條直母線有同一個(gè)切平面的直紋面。2、命題1：每一個(gè)可展曲面或是柱面，或是錐面，或是一條曲線 的切線曲面。0),(bba 證明：對于可展曲面有 ，取腰曲線為導(dǎo)線， （1）當(dāng) ，這時(shí)腰曲線退化成一點(diǎn)，所有直母線上的腰點(diǎn)為同一點(diǎn)，曲面為錐面。腰點(diǎn)即為錐面的頂點(diǎn)。方程為 （2） ，由于 ，則三向量共面，且0),(bba0 ba為常向量則aua, 0)()(0ubvrr0a0),(bba。avarba，babbb為切線曲面所以但/,

5、 1 （3） 為常向量，所有直母線平行，為柱面。bb, 03、單參數(shù)曲面族的包絡(luò) 給出一個(gè)單參數(shù)曲面族 （1） 對于不同的參數(shù)有不同的曲面，并假定函數(shù)（1）有一階和二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 （1）定義：如果有一曲面S，它的每一點(diǎn)是族（1） 中的一個(gè)曲 面 上的點(diǎn)，而且在S與 的公共點(diǎn)它們有相同的切平面； 反過來，對于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一點(diǎn)P ，使 和S在P有相同的切平面，則稱 S 為單參數(shù)平面族 的包絡(luò)。0),(:zyxFSSSSSS （2）包絡(luò)面的方程 現(xiàn)在假定曲面族 的包絡(luò)S存在，由上面的定義，S上任意點(diǎn)P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而這個(gè)曲面由參數(shù) 來確定，所以包絡(luò)面S上每一

6、點(diǎn)對應(yīng)于 的一個(gè)確定的值，因此 為S上點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù)，即 代入（1）得S),(zyx0),(,(zyxzyxF (2) 對于S上的點(diǎn)，上式恒成立。 其次，在包絡(luò)面S上任取一條曲線因?yàn)椋╟）上的點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足方程，所以對t 求導(dǎo)得： （3）在（c）上取一點(diǎn)，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c）在P的切線與 在P 的法線垂直，而切向量平行于對包絡(luò)面上的每條曲線都成立，由（c）的任意性有 ，否則 ，因此 ，即)(),(),()(: )(tztytxtrrc0)(),(),(),(ttztytxF0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyxSS00,dtdFdtdzFdtdyFdtdxFFF

7、Fdtdzdtdydtdxzyxzyx法向量平行于0dtd常數(shù)0F0),(,(zyxzyxF 由上面的分析，曲面族的包絡(luò)面滿足方程組 （4）消去參數(shù) 得關(guān)于x,y,z的三元方程，它表示一張曲面稱為曲面族 的判別曲面。0),(,(0),(,(zyxzyxFzyxzyxFS0),(:*zyxS 若假定在族中的曲面上的點(diǎn)和在包絡(luò)面上的點(diǎn)是正常點(diǎn)，則判別曲面就是包絡(luò)面S，這一點(diǎn)后面說明，先看一個(gè)例： 例題：求平面族 的包絡(luò)面方程。2222zyx下面說明判別曲面就是S。 首先 可以這樣理解：對每一固定的 ，方程組（4）代表曲面 和曲面 的交線 ，而判別曲面 是這些交線所產(chǎn)生的，因此， 上的每一點(diǎn)決定一個(gè)

8、 的值 ，而點(diǎn)的坐標(biāo)以及所對應(yīng)的 值適合（4），但上面已經(jīng)得到包絡(luò)S上的每一點(diǎn)和它所對應(yīng)的 值適合（4），因此S屬于 。*S0FCS*S*S),(*zyx*S* 再證 屬于S 。由于判別曲面上每一點(diǎn)都在族中某一曲面上，因此它的坐標(biāo)對 的某個(gè)值滿足方程在判別曲面上取一條過P點(diǎn)的曲線（c）：代入（4）式第一式中，然后關(guān)于t 求導(dǎo)，則有但由（4）第二式 ，所以即P點(diǎn) 的法線和 上曲線（c）的切向量垂直，由（c）的任意性， 與 在P點(diǎn)相切，這就說明了 的點(diǎn)也是 的點(diǎn)。因此， 屬于S 。所以*S0),(zyxF)(),(),(tztytxr 0F0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx0dtdzF

9、dtdyFdtdxFzyx*S*SSS*SS*SSS *(3)特征線 包絡(luò)S與族中的曲面 相切的曲線稱為特征線，因而當(dāng) 固定時(shí)，（4）為特征線的方程，特征線的軌跡就是包絡(luò)，族中每曲面沿特征線切于包絡(luò)。S（4）命題2：一曲面為可展曲面的充要條件是此曲面為單參數(shù)平 面族的包絡(luò)。 證明：充分性：設(shè)單參數(shù)平面族為 則特征線方程為 它是平面與平面的交線，即為直線，所以這些特征線的軌跡為直紋面，即包絡(luò)面為直紋面，下證是可展的。 由于包絡(luò)面沿特征線（現(xiàn)為直母線）與族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母線上所有點(diǎn)的公共切平面，即沿一條直母線有同一個(gè)切平面，按可展曲面的定義，它是可展的。0)()()()(DzC

10、yBxA0)()()()(),(0)()()()(),(DzCyBxAzyxFDzCyBxAzyxF必要性：設(shè)曲面可展。由于直紋面的坐標(biāo)曲線為直母線和與導(dǎo)線 平行的曲線，所以對于可展曲面，它的直母線就是v線（u= 常數(shù)），當(dāng)u變化時(shí)，得到v線族，所以可展曲面可以看成是由 單參數(shù)u的直母線族所構(gòu)成的，即可展曲面的直母線族僅與單 參數(shù)有關(guān)，而且經(jīng)過給定的母線，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，這就是說可展曲面在它每一點(diǎn)處切于它的單參數(shù)平面族中的某一平面，即可展曲面是這個(gè)單參數(shù)平面族的包絡(luò)。4、命題3：一個(gè)曲面是可展的充分必要條件是高斯曲率為零。 證明：如果曲面是可展

11、的，則沿一條直母線的單位法向量保持不變，即為常向量，故 。但零向量與任意向量共線，所以 ，由主方向判別定理，沿直母線的方向?yàn)橹鞣较?，并且直母線方向上的主曲率為0，于是有 K=k1 k2=0。0ndrdnd/ 一個(gè)，曲面由這些曲線組成，所以曲面是一個(gè)單參數(shù)族的包絡(luò)面，因而是可展曲面。 反之，若 K=k1 k2=0，則兩主曲率至少有一為0，設(shè) k2=0，由于為主曲率，所以對應(yīng)的方向?yàn)橹鞣较颍质欠ㄇ?，說明這個(gè)方向是漸近方向，所以這一族漸近線也是曲率線，由主方向判別定理， 為常向量。 這說明單位法向量沿漸近曲線保持不變，因此在所有漸近曲線上曲面的法線都平行。又沿漸近曲線的切向量為dr，它垂直于

12、法向量，所以 積分有 對于漸近曲線上任一點(diǎn)成立。現(xiàn)設(shè) 為漸近曲線上某一點(diǎn)，有得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r對應(yīng)的點(diǎn)在M0的切平面上，但這些點(diǎn)為漸近曲線上的點(diǎn)，所以漸近曲線在這個(gè)切平面上，因此對于同一條漸近曲線上的點(diǎn)，其切平面是同 nrdknd, 02, 0nrd常量nr0r常量nrnr0nrrnrr00, 0)(命題4：曲面上的曲線是曲率線的充要條件是沿此曲線曲面的 法線組成一可展曲面。證明：必要性：曲面上的曲線 是曲率線，有 沿曲線曲面的法線組成的曲面為 所以 ，故為可展曲面。)(saaanaknrdknd/,11nvsar)(0),(nna 充分性：設(shè) 是曲面上一曲線，沿它曲面的法線

13、構(gòu)成 一可展曲面 ，即有 但 （它們?yōu)橛泄潭ㄩL和為切向量） 由此 由主方向判別定理， 是主方向，因此曲線 上每一點(diǎn)的切向量都是主方向，因而為曲率線。 )(saanvsar)(，nna三向量共面 0),(annn ,ndadan/ad)(saa命題5：可展曲面可以與平面成等距對應(yīng)（簡稱展為平面）。 證明：在直角坐標(biāo)下，平面的第一基本形式為 在極坐標(biāo)下則為（1）柱面： 有 （2）錐面： 有22dydx 222dd)()(sbvsar22dvds )(0sbvar222dsvdv 線曲面就是平面曲線所在的平面，但第一基本形式不變，因此切線曲面也可展成平面。 又由前面結(jié)論，可展曲面只有以上三種，綜上所述，命題得到證明。 最后指出，上述命題曲面和平面的一部分而言的。 （3）切線曲面： 上式中出現(xiàn)曲率，但沒有撓率，所以如果兩條曲線曲率相同，即使撓率不同，它們的切線曲面也有相同的第一基本形式，即