(2.6)第六節(jié)變化率問題舉例及相關變化率(少學時簡約型)

1、應用問題中的函數關系所涉及的變量往往應用問題中的函數關系所涉及的變量往往不止一個，這些變量及變化率之間都有著某種不止一個，這些變量及變化率之間都有著某種依賴關系和聯(lián)系，這就是所謂相關變量及相關依賴關系和聯(lián)系，這就是所謂相關變量及相關變化率問題。變化率問題。 幾乎所有的科學領域都有變化率問題，前面對函數幾乎所有的科學領域都有變化率問題，前面對函數關系及變化率問題的討論主要以抽象形式進行的，即所關系及變化率問題的討論主要以抽象形式進行的，即所研究的是函數及其變化率的一般性質。這些函數關系研究的是函數及其變化率的一般性質。這些函數關系及變化率問題其實都有著具體的實及變化率問題其實都有著具體的實際背景

2、和廣泛的應用。際背景和廣泛的應用。 為更感性地理解這種函數關為更感性地理解這種函數關系及變化率的概念，以下考察系及變化率的概念，以下考察一些具體背景及應用問題。一些具體背景及應用問題。例：例：如果如果 s = f( t )表示質點沿數軸作直線運動時的位置表示質點沿數軸作直線運動時的位置函數，由導數的物理意義可知，函數，由導數的物理意義可知， 代表質點在時刻代表質點在時刻 t 時時的瞬時速度的瞬時速度，即位移關于時間的變化率。，即位移關于時間的變化率。 設設質點位置函數的具體表達式為質點位置函數的具體表達式為 s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，其中其中 t、s 的單

3、位分別為的單位分別為 s 和和 m .(1) 求速度表達式，并求速度表達式，并分別寫出分別寫出 2s 和和 4s 時時的速度；的速度；(2) 何時質點靜止不動；何時質點靜止不動；(3) 何時質點沿數軸正向運動；何時質點沿數軸正向運動；(4) 畫出質點運動草圖；畫出質點運動草圖；(5) 求出前求出前 5s 質點運動的路程。質點運動的路程。ddst2s, ,4s 速度函數是位置函數對時間的導數，給定位置函數速度函數是位置函數對時間的導數，給定位置函數 s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，故求得速度函數為故求得速度函數為 當當 t = 2 時，時， v( 2 )= 3t

4、2 - - 12 t + 9 t = 2 = 3 2 2 - - 12 2 + 9 = - -3 m / /s， 當當 t = 4 時，時， v( 4 )= 3t 2 - - 12 t + 9 t = 4 = 3 4 2 - - 12 4 + 9 = 9 m / /s . . 322dd693129ddstttv ttttt . . 質點的靜止不動點就是速度為零的點，于是令質點的靜止不動點就是速度為零的點，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t 2 - - 4 t + 3 )= 3( t - - 1 )( t - - 3 )= 0，解得解得 t = 1 和和

5、t = 3 是質點的靜止不動點。是質點的靜止不動點。 質點沿數軸正向運動的時間段就是速度方向與數軸質點沿數軸正向運動的時間段就是速度方向與數軸方向一致的時間段，即方向一致的時間段，即 v( t ) 0 的情形的情形，于是令，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t - - 1 )( t - - 3 ) 0，解得解得 t 3 . . 作質點運動的圖形通常就是作質點運動的軌跡圖，作質點運動的圖形通常就是作質點運動的軌跡圖，而不是位移函數的二維圖形。而不是位移函數的二維圖形。 由前幾問的討論知：由前幾問的討論知： 當當 t 3 時，時，質點沿數軸正向運動，質點沿數軸正

6、向運動， 當當 1 t 3 時，時，質點沿數軸反向運動。質點沿數軸反向運動。于是可作出質點運動的軌跡圖如下：于是可作出質點運動的軌跡圖如下：s00ts14ts30ts 因為當因為當 t 1 時，時，質點沿數軸正向運動，當質點沿數軸正向運動，當 1 t 3 時，時，質點又沿數軸質點又沿數軸正向運動。因此質點在正向運動。因此質點在 5s 內走過的路程應逐段考察。內走過的路程應逐段考察。 質點從質點從 t = 0 到到 t = 1 內走過的路程為內走過的路程為 f( 1 )- - f( 0 ) = 4 - - 0 = 4( m )； 質點從質點從 t = 1 到到 t = 3 內走過的路程為內走過的

7、路程為 f( 3 )- - f( 1 ) = 0 - - 4 = 4( m )； 質點從質點從 t = 3 到到 t = 5 內走過的路程為內走過的路程為 f( 5 )- - f( 3 ) = 20 - - 0 = 20( m )；于是求得于是求得質點在質點在 5s 內走過的路程為內走過的路程為 4 + 4 + 20 = 28( m ) . .例：例：如果金屬桿是均勻的，則其線密度如果金屬桿是均勻的，則其線密度 是不變的，此是不變的，此時可用單位長度的質量來定義其密度，其單位為時可用單位長度的質量來定義其密度，其單位為kg/ /m . 現考慮不現考慮不均勻桿的密度定義，假設從左端算起長度均勻桿

8、的密度定義，假設從左端算起長度為為 x 的一段桿的質量為的一段桿的質量為 m = f( x )，桿位于桿位于 x = x 1 和和 x = x 2之間部分的之間部分的質量為質量為 m = f( x 2 )- - f( x 1), ,其平均其平均線密度為線密度為 2121f xf xmxxx . .這部分質量為這部分質量為 f( ( x ) )x1x2x x 隨著隨著 x 0 ( 即即 x 2 x 1 ) ，平均平均線密度線密度的極限就是金屬桿在的極限就是金屬桿在 x = x 1 處的處的線密度線密度 ，即線密度是，即線密度是質量關于長度的變化率或導數。質量關于長度的變化率或導數。 用符號表示就

9、是用符號表示就是例如例如：設設 m = f( x )= ， 則桿在則桿在1,1.2 上的平均上的平均線密線密度為度為而在而在 x = 1 處的處的線密度為線密度為 112121f xxf xf xf xmxxxx 1100dlimlimdxxf xxf xmmxxx . . x 1.211.210.48 kg m1.210.2ffmx . . 1d10.50 kg md2xmxx . . 如果有一固定的條件聯(lián)系著幾個變量，這些變量又如果有一固定的條件聯(lián)系著幾個變量，這些變量又都隨著另一個變量的改變而改變，那么它們的變化率之都隨著另一個變量的改變而改變，那么它們的變化率之間必然也有一定的關系。具

10、有這種連帶關系的變化率就間必然也有一定的關系。具有這種連帶關系的變化率就叫做相關變化率。在這種相關變化率問題中，一個變化叫做相關變化率。在這種相關變化率問題中，一個變化率往往能由其它變化率計算出來。率往往能由其它變化率計算出來。 設已知變量設已知變量 x，y 間的關系滿足方程間的關系滿足方程 F( x , ,y )= 0 .若變量若變量 x、y 還和另一變量還和另一變量 t 之間存在函數關系：之間存在函數關系： x = ( t )，y = ( t )，則三變量則三變量 x、y 、t 間的關系滿足方程間的關系滿足方程 F( x , ,y )= F ( t ), ( t )= 0 . . 將此方程

11、兩邊對變量將此方程兩邊對變量 t 求導可得方程求導可得方程 G x , ,y , , ( t ), ( t )= 0 . . 由于已知由于已知 x = ( t ), ,y = ( t )，故只要知道了故只要知道了 ( t ) ( t )中的一個，解方程就可求得另一個，由此還可進中的一個，解方程就可求得另一個，由此還可進一步求得一步求得 ddyx . .例：例：有一底半徑為有一底半徑為 R( cm )，高為高為 h( cm )的圓錐形容器的圓錐形容器, ,今以每秒今以每秒 A( cm 3 )的速率自頂部向容器內注水，試求：的速率自頂部向容器內注水，試求：當容器內水位達到錐高一半時，水面上升的速率

12、當容器內水位達到錐高一半時，水面上升的速率？ 容器內水位高度容器內水位高度 x 顯然顯然是時間是時間 t 的函數，記為的函數，記為x = x( t )，于是問題歸結為求，于是問題歸結為求由于由于 x = x( t )難以寫出，直難以寫出，直接求接求 x 對時間的變化率有困難。對時間的變化率有困難。 注意到水注入速率，即容器注意到水注入速率，即容器內水的體積內水的體積 V 的變化速率的變化速率 已知的，故考慮先求出體積已知的，故考慮先求出體積 V 與與 t 的函數關系，再間接求的函數關系，再間接求x 設圓錐形容器的容積為設圓錐形容器的容積為V 0，容器內尚未被水填充，容器內尚未被水填充 部分的體

13、積為部分的體積為 V 1，則有，則有 V = V 0 - - V 1 . . 易求得易求得 由圖可得由圖可得故有故有hA每每秒秒xV0V1VrR22 0111 33VR hVrhx, , , rhxhxrRRhh即即 ,2113Vrhx 213hxRhxh 2323Rhxh , , 求得容器中水的體積求得容器中水的體積 V 與液面高度與液面高度 x 的函數關系為的函數關系為 將上式兩邊對將上式兩邊對 t 求導有求導有 代入條件代入條件 232012133RV xVVR hhxh . .2322dd1dd33VRR hhxtth 222222dd03d3dRRxxhxhxthht , ,222d

14、dddxhVttRhx 即即 . .3d dVA cmt 得 得秒秒222d0dxAhxhtRhx , . , . 于是求得當于是求得當 x = h/ /2 時有時有 2211222ddxhxhAhxtRhx 2222412AhARRhh . .例：例：甲船以每小時甲船以每小時 24( km )的速度向北行駛的速度向北行駛，同時在正同時在正東東 10( km )處有乙船以每小時處有乙船以每小時 20( km )的速度向東行的速度向東行駛駛, ,問：從這一時刻起經一小時后，兩船間的距離按怎樣的問：從這一時刻起經一小時后，兩船間的距離按怎樣的速率變化速率變化？ 這是求相對速率這是求相對速率的問題。

15、由于速率是路程的問題。由于速率是路程函數對時間的導數，為求函數對時間的導數，為求速率應先確定路程函數。速率應先確定路程函數。為確定路程函數應先建立為確定路程函數應先建立適當的坐標系。適當的坐標系。ddSt 以甲船最初時刻所在位置為原點以甲船最初時刻所在位置為原點 O，以甲船行駛的，以甲船行駛的正北方向為正北方向為 y 軸方向，以乙船行駛方向為軸方向，以乙船行駛方向為 x 軸方向建立軸方向建立坐標系。坐標系。 由所設坐標系，甲船最由所設坐標系，甲船最初時刻位于原點初時刻位于原點 O，乙船最，乙船最初時刻所在位置為初時刻所在位置為 C 點。點。甲船行駛方甲船行駛方向向 乙船行駛方向乙船行駛方向C10 設設 t 小時后，甲船行駛了小時后，甲船行駛了y( km )到達到達 A 點，乙船行點，乙船行駛了駛了 x( km )到達到達 B 點，甲乙兩船的距離為點，甲乙兩船的距離為 S，則，則 S , ,x , ,y 都是時間都是時間 t 的函數，即有的函數，即有 OA = y = y( t )， OB = x = x( t )， AB = S = S( t ) 由條件有由條件有CB SS t10A 22 10.S txy